SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: 3 16 7 1 7
2 3 3 1 2 1
x x x x x
A x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A 6.
Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: 2 2
2 5
mx y x my
(với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình trên khi m10.
b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
x y;
thỏa mãn hệ thức:2 2
2015 14 8056
2014 4
m m
x y
m
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 2 3 2 3 2
9 3 9 3 9 3
a b c
P a b c b c a c a b
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn: x(1 x x2)4 (y y1).
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho 4 .
AC AB Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và
CD lần lượt tại K, .E
a) Tính giá trị DC CE. theo a.
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất .
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1 1 1
; ; ;...; ; .
1 2 3 2014 2015
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.
---Hết--- Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….. Số báo danh:…….………..…
ĐỀ CHÍNH THỨC
