TỔNG HỢP CÁC CÂU VẬN DỤNG – ĐỀ THI THỬ CHUYÊN ĐH VINH
Câu 1: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D3-4] Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
A. 800cm .2 B.800 2
3 cm . C. 400 2
3 cm . D. 250cm .2
Lời giải Chọn C.
Cách 1: Trước hết ta chứng minh công thức tổng quát.
“Một cánh cổng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân bằng 2 .a Trục đối xứng vuông góc với đường nối hai chân và khoảng cách từ đỉnh đến đáy bằng h. Khi đó, diện tích cánh cổng đó
là 4
3 . S ah ”
Thật vậy, giả sử hai chân là Avà B. Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ O trùng với trung điểm AB, A a
;0
, B a
;0
và đỉnh I
0;h
.Khi đó, phương trình parabol là h2 2
y x h
a Suy ra, diện tích cánh cổng là
2 2
2 2
0
d 2 d
a a
a
h h
S x h x x h x
a a
23ha2 x3hx0a 43ah.Áp dụng vào bài toán ta có, diện tích mỗi phần parabol là 4.20.20
S 3 1600 2 3 cm .
Tổng diện tích của bốn cánh hoa bằng tổng diện tích 4 phần parabol trừ đi diện tích hình vuông nên ta được: 1600 2
4 40
3 1600 2 3 cm .
Vậy diện tích mỗi cánh bằng 400 2 3 cm . Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Gọi S là diện tích một cách hoa. Ta xé cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất.
Ta có: S 2S, với S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
P y ax: 2 và đường thẳng
d :y x .Ta có:
P qua điểm.
20; 20 . nên
2 1 20 20a a 20
. Suy ra:
: 1 2P y 20x .
Khi đó: 020 1 2 200 400
2 2 d 2
20 3 3
S S
x x x
cm .2Câu 2: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2H3-3] Cho hình lập phương ABCD A B C D. cạnh .a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC và B C (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D bằng
N M
A' D'
C' C
A D
B
B'
A. 5 .a B. 5 .
5
a C. 3 .a D. .
3 a
Lời giải
Chọn D.
Cách 1. ( dùng tọa độ)
Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz sao choB' 0;0;0 , ' ;0;0 , ' 0; ;0
C a
A
a
,
' ; ;0 , 0;0; , 0; ; , ;0;
D a a B a A a a C a a .
Ta có : ; ; , ;0;0
2 2 2
a a a
M a N
0; ;
0;1;2
2 2
a a
MN a
1 0;1; 2
u
là VTCP của MN.
; ;0
1;1;0
2B D a a a u
là VTCP của B D . 1 2
1 2
( ; ) ;
; 3
u u B N a d MN B D
u u
.
Cách 2.
Gọi P là trung điểm của C D . E A'C'NP,I A'C'B'D'.
Ta có :d MN B D
; ' '
d B D BDPN
' ';
d I BDPN
;
h. Ta có h là độ dài đường cao trong tam giác vuông MIN.Vậy 3
9 1 2
16 1 1 1
2 2 2 2 2 2
h a a a a IE MI
h .
Câu 3: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2H2-3] Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5, 4cmvà chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng?
A. 2,7cm. B. 4, 2cm. C. 3,6cm. D. 2,6cm. Lời giải
Chọn A.
Thể tích nước trong cốc ban đầu là V1=B h. =p. 5, 4 .4,5 131, 22
( )
2 = p Gọi (x cm) là bán kính của viên billiards snooker (điều kiện 0< <x 4,5 ).Khi đó thể tích của khối của viên billiards là 2 3
4 V =3px
Do khi thả viên billiards vào cốc thì viên billiards tiếp xúc đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng, nên chiều cao của nước là 2x.
Khi đó thể tích của nước và viên bi là V =p. 5, 4 .2
( )
2 x=58,32pxVậy ta có phương trình:
3
1 2
131, 22 4 58,32 V + = ÛV V p+3px = px
4x3 174,96x 393,66 0
Û - + =
Giải phương trình trên và đối chiếu điều kiện ta được: x=2,7 Vậy bán kính của viên bi đó là 2,7cm.
Câu 4: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D1-3] Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên. Bảng biến thiên của hàm số y f x
được cho như hình vẽ dưới đây. Hàm số 1 2y f xx nghịch biến trên khoảng
A. (2;4). B. (0; 2). C. ( 2;0). D. ( 4; 2). Lời giải
Chọn D.
Đặt
12
g x f xx thì
1 1 12 2
g x f x .
Ta có
0 1 22 g x f x
TH1: 1 2
2
f x 2 1 3 2
x 4 x 2. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
4; 2
. TH2: 1 2
2
f x 1 1 <0 2
x a
2 2 2a x 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng
2 2 ;4 a
, chứ không nghịch biến trên toàn khoảng
2; 4 .
Vậy hàm số 1 2 y f xx
nghịch biến trên
4; 2
. Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án D nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.
Câu 5: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D3-4] Cho hàm số f x
thỏa mãn
f x
2 f x f
x 15x412x, x và f
0 f
0 1. Giá trị của f2
1 bằng ? A. 92. B. 5
2. C. 10. D. 8 .
Lời giải Chọn D.
Ta có
f x f x
f x
2 f x f
x .Do đó f x f x
15x412 dx x
3x56x2C. Mà f
0 f
0 1 nên f x f x
3x56x21. Suy ra
f x f x x
d
3x56x21 d
x.Tức là 2
2
f x 6 3
2 2
x x x C
, mà f
0 1 nên 2
2
f x 6 3
2 1
2
x x x
. Vậy f2
1 8.Câu 6: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [1D2-3] Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M
0;10
, N
100;10
và P
100;0
. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A x y
;
,
x y,
nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm A x y
;
S. Xác suất để x y 90 bằng A. 169.
200 B. 845.
1111 C. 86.
101 D. 473.
500 Lời giải
Chọn C.
Số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trong kể cả trên cạnh của hình chữ nhật OMNP là n
101 11.Gọi X là biến cố “Các điểm A x y
;
,
x y,
thuộc tập S thỏa mãn x y 90”.Vì x
0;100 ;
y
0;10
và x y 90 nên:
0 0;1;2;...;90
y x ; y 1 x
0;1;2;...;89
; .… ;y10 x
0;1;2;...;80
. Khi đó có 91 90 ... 81 946 cặp
x y;
thỏa mãn. Hay n X
946.Vậy xác suất cần tính là
P n X
n
946 101 11
86.
101
Câu 7: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D2-3] Giả sử ,a b là các số thực sao cho
3 3 .103z .102z
x y a b đúng với mọi các số thực dương x y z, , thỏa mãn log(x y )z và
2 2
log(x y ) z 1. Giá trị của a b bằng ? A. 31.
2 B. 29.
2 C. 31
2 D. 25.
2 Lời giải
Chọn B.
Cách 1 : Từ giả thiết ta có: log
x y
z x y 10z.Và: log
x2y2
z 1 x2y2 10z1
x y
22xy10.10 .zDo đó:
2 10.10 102 10.102 2
z z z
xy x y
.
Để tồn tại x y, ta phải có
x y
2 4xy 102z 2 10
2z 10.10z
z log 20.Mặt khác: x3y3a.103zb.102z
x y
33xy x y
a.103z b.102z2
3 10 10.10
10 3. .10
2
z z
z z
a.103zb.102z.
3 2 3 2
10 z 30.10 z 2 .10a z 2 .10b z
. (*)
Vì đẳng thức (*) đúng với mọi 0 z log 20 nên 2 1
2 30
a b
1 2 15 a b
.
Do đó, giá trị 29 a b 2 . Cách 2:
Đặt t10z. Khi đó x3y3 a t.3b t.2.
Ta có
2 2
log
log 1
x y z
x y z
2 2
10
10.10 10
z z
x y t
x y t
2 10.
2
t t
xy
.
Khi đó 3 3
3
3 3
2 10
1 3 23 15
2 2
t t t
x y x y xy x y t t t
.
Suy ra 1
a 2, b15.
Vậy 29
a b 2 .
Câu 8: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D3-4] Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 và f
0 f
1 0. Biết 1 2
0
d 1 f x x2
, 1
0
cos d
f x x x2
. Tính 1
0
d f x x
.A. . B. 1
. C. 2
. D. 3
2
. Lời giải
Chọn C.
Ta có 1
1
0 0
cos d cos d
f x x x x f x
1
0
cos 1 sin d
f x x 0 f x x x
1
0
1 0 sin d
f f f x x x
1
0
sin d
f x x x 2
1
0
sin d 1 f x x x 2
.Áp dụng bất đẳng thức Holder
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
ta có:
1 2
0
1 sin d
4 f x x x
1 1
2 2
0 0
d . sin d
f x x x x
10
1 1 cos 2
2 2 d
x x
1 sin 2 1 1
0
2 2 4 4
x x
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x
ksinx.Từ đó ta có: 1
1 2
0 0
1 sin d sin d
2
f x x x
k x x 10
1 cos 2 2 d
k x x
2kxsin 22x10k2 1 k .
Suy ra f x
sinx. Do đó 1
10 0
cos 1 2
d sin d .
0 f x x x x x
Câu 9: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D2-3] Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình
2 2 ln 2 1 0
x x a x x nghiệm đúng với mọi x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a
2;3 .
B. a
8;
. C. a
6;7 .
D. a
6; 5 .
Lời giải Chọn C.
Đặt
2
2 1 3 3
1 2 4 4
tx x x nên 3 t 4.
Khi đó bài toán trở thành đi tìm a lớn nhất để t 1 a tln 0, 3 t 4
* . - Ta xét a0 do cần tìm a lớn nhất.Xét hàm số f t
t 1 a tln , 3; t4 .
1 a 0f t t , 3; t 4
do đó hàm số f t
luôn đồng biến trên 3; 4
Suy ra
3f t f 4
.
Để
* luôn đúng với 3t 4 thì 7 3
ln 0
4a 4 3 7
ln4 4
a 7
6,083 4ln3
4
a
.
- Vì trong trường hợp a0 đã tồn tại
7 4ln3
4 a
thỏa mãn điều kiện bài toán nên ta không
phải tìm a0 do mọi giá trị a0 nếu thỏa mãn bài toán thì đều nhỏ hơn 7 4 ln3
4
.
Do đó giá trị lớn nhất của a là 7 4 ln3
4
thuộc
6;7 .
Bài tập tương tự: Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình
2 2
2018 log2018 1 0
x x a x x nghiệm đúng với mọi x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a
2017;2018 .
B. a(53375;).C. a
53374;53375 .
D. a
53375; 53374 .
Câu 10: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [1H3-4] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC , SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD).
M N
G H
C
A D
B S
A. 2 39
39 . B. 3
6 . C. 2 39
13 . D. 13
13 . Lời giải
Chọn C.
z
x
y t
K
I G
N M
P H
A D
B C
S
Cách 1:
Điểm H là trung điểm AB SH AB và (SAB)(ABCD) nên SH (ABCD). Gọi P là trung điểm của CD và I SP MN thì I là trung điểm SP.
Điểm K GI PH thì K(GMN) ( ABCD).
Do MN CD// nên (GMN) ( ABCD)Kt AB CD// // . Dễ thấy SH Kt ( ) SHK Kt HK Kt
.
Suy ra
(GMN),(ABCD)
(KG KH, )GKH .Nhận xét: tam giác SPK có KI là đường trung tuyến và SG2GH nên nhận G làm trọng tâm.
Suy ra HK a ; 1 3
3 6
GH SH 39
GK 6
.
Ta có cos 2 39
13 GKH HK
GK . Vậy cos (
),( )
2 39GMN ABCD 13 . Cách 2:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, xem a là 1 đơn vị.
Ta có: 0;0; 3 S 2
; 0;0; 3 G 6
; 1;1;0 C2
; 1;1;0
D2 1 1 3 4 2 4; ;
M
;
1 1 3 4 2 4; ;
N
.
Và 1 1; ; 3 4 2 12
GM
; 1;0;0
NM 2
3 1
, 0; ;
24 4
GM NM
.
Khi đó: nGMN
0; 3; 6
và nABCD k
0;0;1
.Ta có:
. 6 2 39
cos ,
39.1 13 .
GMN ABCD
GMN ABCD
n n
GMN ABCD
n n
.
Câu 11: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D1-4] Cho hàm số y f x
có đạo hàm
1
2
2 2
f x x x x với mọi x . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x
28x m
có 5 điểm cực trị?A. 15. B. 17. C. 16. D. 18.
Lời giải Chọn A.
Đặt g x
f x
28x m
. Ta có f x
x1
2
x22x
2 8
2 8 1
2 2 8
2 8 2
g x x x x m x x m x x m
2 2
2 2
4
8 1 0 1
0
8 0 2
8 2 0 3
x
x x m g x
x x m x x m
Các phương trình
1 ,
2 ,
3 không có nghiệm chung từng đôi một và
x28x m 1
20với m nên g x
có 5 cực trị khi và chỉ khi
2 và
3 có hai nghiệm phân biệt và khác4
16 0
16 2 0
16 32 0
16 32 0
m m
m m
16 18 16 18
m m m m
m 16.
Vậy m nguyên dương và m16 nên có 15 giá trị m cần tìm.
Câu 12: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2H1-4] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC) và (AB C ) bằng
60 (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp .B ACC A bằng
B'
C' B
C A
A'
A.
3
3
a . B.
3
6
a . C.
3
2
a . D. 3 3
3 a . Lời giải
Chọn A.
Đặt xAA.
Ta có
ACC
AB C
AC. Gọi G là trung điểm của A C , H là hình chiếu của G lên AC.Ta có GH (ACC A ), GH AC
Ta có B G
ACC A
B G AC suy ra BH AC. Vậy góc giữa
AB C
và
ACC A
là góc GHB 60 .Ta có . 1 .
B ACC A 3 ACC A
V S B G , B G a22 , .cot 60 6 6 GH B G a .
GH AA GC AC
2 2
6 6
2 2
2 a
x
a x a
2 2
3 2 3
x x a
x a
. B ACC A
V
1 . 2. 2
3 2
a a a
3
3
a .
Cách 2: (Dùng công thức diện tích hình chiếu).
Đặt xAA. Gọi M là trung điểm của A C . Ta có B M A C nên B M
AA C C
tại M .Do đó: MAC là hình chiếu của BAC lên
AA C C
. Suy ra: SMACSBAC.cos 600 SAAC SBAC1 1 2
. . 2 .
2 x a 2 x a a x a
Vậy
3 2
. . .
2 2 1
2. 2. . . . .
3 3 2 3
B AA C C B AA C A A B C A B C
V V V AA S a a a .
Câu 13: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D3-4] Trong không gianOxyz , cho hai điểm
10;6; 2
A , B
5;10; 9
và mặt phẳng
: 2x2y z 12 0 . Điểm M di động trên mặt phẳng
sao choMA , MB luôn tạo với
các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn ( ) cố định. Hoành độ của tâm đường tròn ( ) bằngA. 4. B. 9
2. C. 2 . D. 10.
Lời giải Chọn C.
Ta có:
,
20 12 2 12 64 4 1
d A
;
,
10 20 9 12 34 4 1
d B
.
Vì điểm M di động trên mặt phẳng
sao cho MA, MB luôn tạo với
các góc bằng nhau nên ta có MA2MB.Gọi M x y z
; ;
, ta có:2
MA MB MA2 4MB2
x 10
2 y 6
2 z 2
2 4
x 5
2 y 10
2 z 9
2
2 2 2 20 68 68
228 0
3 3 3
x y z x y z
.
Suy ra M thuộc đường tròn 2 2 2
2 2 12 0 ( )
( ) : 20 68 68
228 0
3 3 3
x y z
x y z x y z S
.
Mặt cầu
S có tâm 10 34; ; 343 3 3
I . Gọi H là tâm của đường tròn
, ta có H là hình chiếu vuông góc của điểm 10 34; ; 343 3 3
I trên mặt phẳng
. Suy ra điểm H
2;10; 12
.Vậy hoành độ của tâm đường tròn
bằng 2 .Câu 14: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D1-4] Cho đồ thị
C có phương trình y x 33x2. Có bao nhiêu số nguyên b
10;10
để có đúng một tiếp tuyến của
C đi qua điểm B
0;b .A. 2. B. 9 . C. 17 . D. 16 .
Lời giải Chọn C.
Ta có y 3x26x.
Phương trình đường thẳng đi qua B
0;b và có hệ số góc k là y kx b . Qua điểm B
0;b có đúng một tiếp tuyến của
C khi và chỉ khi2
3 2
3 6
3 x x k x x kx b
có nghiệm
duy nhất
2
3 2 2
3 6
3 3 6
x x k
x x x x x b
có nghiệm duy nhất
x33x2 3x36x2b có nghiệm duy nhất 2x33x2 b có nghiệm duy nhất.
Đặt g x
2x33x2
6 2 6 0 01 g x x x x
x
. Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta có phương trình 2x33x2 b có nghiệm duy nhất 0 1 b b
. Vì bnguyên và b
10;10
nên có tất cả 17 giá trị b thỏa YCBT.Câu 15: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2H3-3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
:x z 3 0 và điểm M
1;1;1
. Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên
. Biết rằng tam giác MAB cân tại M . Diện tích của tam giác MAB bằng:A. 6 3. B. 3 3.
2 C. 3 123.
2 D. 3 3.
Lời giải Chọn B.
Gọi A
0;0;a
với a0. Đường thẳng AB đi qua điểm A
0;0;a
và có một vectơ chỉphương u
1;0; 1
có phương trình là: 0 x t y z a t
t
.
B t a t 3 0 3 2 t a
3 3
2 ;0; 2 a a B
.
Vì tam giác MAB cân tại M MA MB 1 1
1
2 1 2 1 5 22 2
a a
a
2 2
2 2 1 10 25
2 1 1
4 4
a a a a
a a
4a28a 8 2a28a26 2a2 18
3
a A
0;0;3
và B
3;0;0
.Cách 1: AM
1;1; 2
, BM
2;1;1
AM BM,
3;3;3
12 ,
SABM AM BM
. 3 3
2 .
Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB. Ta có 3;0;3
2 2
I
.
2
21 2 1
2 1 2
IM
6
2 .
22 2
3 0 3
AB 3 2.
Do đó 1 .
ABM 2
S IM AB 1 6 . .3 2
2 2 3 3
2 . Cách3:
H
B
M A
( , , ) 3
f x y z x z
Tam giác MAB cân tại M nên ( ) 2 ( )f A f M zA 3 2.( 3) A(0;0;3)
2 2
3 9 3 3. ,( ) , ( ) . 6
2 2
ABM 2
S HM HB d M MA d M
Câu 16: [Chuyên Vinh-Nghệ An-L1-2018] [2D4-4] Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1z2 2. Giá trị lớn nhất của z1 z2 bằng
A. 4. B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3.
Lời giải Chọn A.
Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1 . Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I
1; 2 , R1.Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN 2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2 3.
Ta có
z1 z2
22
z12 z2 2
z1z2 2 z1z2 2 16 z1 z2 4.Dấu bằng xảy ra khi z1 z2 MN OI. Vậy giá trị lớn nhất của z1 z2 bằng 4.