Câu hỏi và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh - TOANMATH.com

α y0

x0

M

O 1

1

−1

y

x

N

α y0

x0

−

M

O x₀

y

x

CHỦ ĐỀ

7. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 01

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0

⁰

ĐẾN 180

⁰

1. Định nghĩa

Với mỗi gĩc ^{α 0}

(

^{0≤α≤1800}

)

ta xác định một điểm M trên nửa đường trịn đơn vị sao cho xOM=α và giả sử điểm M cĩ tọa độ M x y

(

0; 0

)

. Khi đĩ ta cĩ định nghĩa:

• sin của gĩc α là y₀, kí hiệu sinα=y₀;

• cosin của gĩc α là x₀, kí hiệu cosα=x₀;

• tang của gĩc α là ⁰

(

0

)

0

y 0 ,

x x ^{≠ kí hiệu}

0 0

tan y ; α=x

• cotang của gĩc α là ⁰

(

0

)

0

x 0 ,

y y ^{≠ kí hiệu}

0 0

cot x . α=y

2. Tính chất

Trên hình bên ta cĩ dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM=α thì 1800 .

xON = −α Ta cĩ y_M =y_N =y₀, x_M = −x_N =x₀. Do đĩ

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

sin sin 180 cos cos 180 tan tan 180

cot cot 180 .

α α

α α

α α

α α

= −

= − −

= − −

= − −

3. Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

Giá trị lượng giác

00 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 180⁰

sinα 0 1

2

2 2

3

2 1 ⁰

cosα 1 3

2

2 2

1

2 ⁰ −1

tanα 0 1

3 1 3 0

cotα 3 1 1

3 ⁰

Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

sin120 sin 180 60 sin 60 3 2

cos135 cos 180 45 cos 45 2.

2

= − = =

= − = − = −

4. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a và OB=b. Góc AOB với số đo từ 0⁰ đến 180⁰ được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là

( )

^{a b, . Nếu}

( )

^{a b, =900} thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a⊥b hoặc b⊥a.

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có

( ) ( )

^{a b, = b a, .}

CÂU HỎI V. B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10

NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205

Khi mua có sẵn File đề riêng;

File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 45⁰+sin 45⁰ bằng bao nhiêu?

A. 1. B. 2. _C. 3. _D. 0.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

ta được

0

0 0

0

cos 45 2

2 cos 45 sin 45 2.

sin 45 2 2

 =

 → + =



 =



Chọn B.

b

a b

a

A B

O

Câu 2. Giá trị của tan 30⁰+cot 30⁰ bằng bao nhiêu?

A. 4 .

3 B. 1 3 3 .

+ C. 2 .

3 D. 2.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được

0

0 0

0

tan 30 1 4

3 tan 30 cot 30 .

cot 30 3 3

 =

 → + =



 =



Chọn A.

Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

A. ^O 3

sin150 .

= − 2 B. ^O 3

cos150 .

= 2

C. ^O 1

tan150 .

= − 3 D. cot 150^O= 3.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

ta được ^O 1

tan150 .

= − 3 Chọn C.

Câu 4. Tính giá trị biểu thức P=cos 30 cos 60 −sin 30 sin 60 .

A. P= 3. B. 3

2 .

P= C.P=1. D. P=0.

Lời giải. Vì 30⁰ và 60⁰ là hai góc phụ nhau nên

0 0

0 0

sin 30 cos 60 sin 60 cos 30

 =

 =



cos 30 cos 60 sin 30 sin 60 cos 30 cos 60 cos 60 cos 30 0.

→P= − = − = Chọn D.

Câu 5. Tính giá trị biểu thức P=sin 30 cos 60 +sin 60 cos 30 .

A. P=1. B. P=0. C. P= 3. D. P= − 3.

Lời giải. Vì 30⁰ và 60⁰ là hai góc phụ nhau nên

0 0

0 0

sin 30 cos 60 sin 60 cos 30

 =

 =



2 2

sin 30 cos 60 sin 60 cos 30 cos 60 sin 60 1.

→P= + = + = Chọn A.

Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 45^O+cos 45^O= 2. B. sin 30^O+cos 60^O=1.

C. sin 60^O+cos150^O=0. D. sin120^O+cos 30^O=0.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

ta được

0

0 0

0

cos 30 3

2 cos 30 sin120 3.

sin120 3 2

 =

 → + =



 =



Chọn D.

Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 0^O+cos 0^O=0. B. sin 90^O+cos 90^O=1.

C. sin180^O+cos180^O= −1. D. ^{O O} 3 1

sin 60 cos 60 .

2

+ = +

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được

0

0 0

0

cos 0 1

cos 0 sin 0 1.

sin 0 0

 =

 → + =

 =



Chọn A.

Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. cos 45^O=sin 45 .^O B. cos 45^O=sin135 .^O C. cos 30^O=sin120 .^O D. sin 60^O=cos120 .^O

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

ta được

0

0

cos120 1

2. sin 60 3

2

 = −



 =



Chọn D.

Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc B=30 .⁰ Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 1

cos .

B= 3 B. 3

sin .

C= 2 C. 1

cos .

C=2 D. 1

sin .

B=2 Lời giải. Từ giả thiết suy ra C=60 .⁰

Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được

0 3

cos cos 30 .

B= = 2 Chọn A.

Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 3

sin .

BAH = 2 B. 1

cos .

BAH = 3 C. 3

sin .

ABC= 2 D. 1

sin .

AHC =2 Lời giải. Ta có ⁰

sin 1 30 2

cos 3

2 BAH BAH

BAH

 =



= →

 =



. Do đó A sai; B sai.

Ta có ⁰ 3

60 sin .

ABC= → ABC= 2 Do đó C đúng. Chọn C.

Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. ^{sin 180}

(

^°−α

)

^{= −cos .α B. sin 180}

(

^°−α

)

^{= −sin .α}

C. ^{sin 180}

(

°−^α

)

=^{sin .α} D. ^{sin 180}

(

°−^α

)

=^{cos .α}

Lời giải. Hai góc bù nhau α và

(

^180°−α

)

thì cho có giá trị của sin bằng nhau.

Chọn C.

Câu 12. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. sinα=sin .β B. cosα= −cos .β C. tanα= −tan .β D. cotα=cot .β Lời giải. Hai góc bù nhau α và β thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai. Chọn D.

Câu 13. Tính giá trị biểu thức P=sin 30 cos15° ° +sin150 cos165 .° °

A. 3

4.

P= − B. P=0. C. 1 2.

P= D. P=1.

Lời giải. Hai góc 30⁰ và 150⁰ bù nhau nên sin 30° =sin150°; Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15° = −cos165°.

Do đó P=sin 30 cos15° ° +sin150 cos165° ° =sin150 .° −

(

cos165° +

)

sin150 cos165° ° =0. Chọn B.

Câu 14. Cho hai góc α và β với α+ =β 180°. Tính giá trị của biểu thức cos cos sin sin

P= α β− β α.

A. P=0. B. P=1. C. P= −1. D. P=2.

Lời giải. Hai góc α và β bù nhau nên sinα=sinβ; cosα= −cosβ.

Do đó, ^{P=cos cosα β−sinβsinα= −cos2α−sin2α= −}

(

^{sin2α+cos2α}

)

^{= −1. Chọn C.}

Câu 15. Cho tam giác ABC. Tính ^P=^{sin .cosA}

(

^B+^C

)

+^{cos .sinA}

(

^B+^C

)

. A. P=0. B. P=1. C. P= −1. D. P=2.

Lời giải. Giả sử A=α;B+C=β. Biểu thức trở thành P=sinαcosβ+cosαsinβ. Trong tam giác ABC, có A+ +B C=180° ⇒α+ =β 180°.

Do hai góc α và β bù nhau nên sinα=sinβ; cosα= −cosβ.

Do đó, P=sinαcosβ+cosαsinβ= −sinαcosα+cosαsinα=0. Chọn A.

Câu 16. Cho tam giác ABC. Tính ^{P=cos .cosA}

(

^B+C

)

^{−sin .sinA}

(

^B+C

)

^.

A. P=0. B. P=1. C. P= −1. D. P=2.

Lời giải. Giả sử A=α;B+C=β. Biểu thức trở thành P=cosαcosβ−sinαsinβ. Trong tam giác ABC có A+ +B C=180° ⇒α+ =β 180°.

Do hai góc α và β bù nhau nên sinα=sinβ; cosα= −cosβ.

Do đó, ^{P=cos cosα β−sinαsinβ= −cos2α−sin2α= −}

(

^{sin2α+cos2α}

)

^{= −1. Chọn C.}

Câu 17. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A. sinα= −cos .β B. cosα=sin .β C. tanα=cot .β D. cotα=tan .β Lời giải. Hai góc nhọn α và β phụ nhau thì sinα=cos ; cosβ α=sin ; tanβ α=cot ;β

cotα=tanβ. Chọn A.

Câu 18. Tính giá trị biểu thức S=sin 15² ° +cos 20² ° +sin 75² ° +cos 110² °. A. S=0. B. S=1. C. S=2. D. S=4.

Lời giải. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin 75° =cos15 .° Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110° = −sin 20 .° Do đó, S=sin 15² ° +cos 20² ° +sin 75² ° +cos 110² °

( )

²

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

sin 15 cos 20 cos 15 sin 20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20 2

= ° + + ° + − ° = ° + ° + ° + ° = .

Chọn C.

Câu 19. Cho hai góc α và β với α+ =β 90°. Tính giá trị của biểu thức sin cos sin cos

P= α β+ β α.

A. P=0. B. P=1. C. P= −1. D. P=2.

Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sinα=cos ; cosβ α=sinβ. Do đó, P=sinαcosβ+sinβcosα=sin²α+cos²α=1. Chọn B.

Câu 20. Cho hai góc α và β với α+ =β 90°. Tính giá trị của biểu thức cos cos sin sin

P= α β− β α.

A. P=0. B. P=1. C. P= −1. D. P=2.

Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sinα=cos ; cosβ α=sinβ.

Do đó, P=cosαcosβ−sinβsinα=cos sinα α−cosαsinα=0. Chọn A.

Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho α là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sinα<0. B. cosα>0. C. tanα<0. D. cotα>0.

Lời giải. Chọn C.

Câu 22. Cho hai góc nhọn α và β trong đó α<β. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. cosα<cos .β B. sinα<sin .β C. cotα>cot .β D. tanα+tanβ>0.

Lời giải. Chọn A.

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?

A. cos 75° >cos 50 .° B. sin 80° >sin 50 .° C. tan 45° <tan 60 .° D. cos 30° =sin 60 .°

Lời giải. Chọn A. Trong khoảng từ 0° đến 90°, khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.

Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin 90° <sin100 .° B. cos 95° >cos100 .° C. tan 85° <tan125 .° D. cos145° >cos125 .° Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180°, khi giá trị của góc tăng thì:

- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.

Chọn B.

Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin 90° <sin150 .° B. sin 90 15° ′<sin 90 30 .° ′ C. cos 90 30° ′>cos100 .° D. cos150° >cos120 .° Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180°, khi giá trị của góc tăng thì:

- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.

Chọn C.

Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos²α+sin²α=1?

A. ^{2 2} 1

cos sin .

2 2 2

α α

+ = B. ^{2 2} 1

cos sin .

3 3 3

α α

+ =

C. ^{2 2} 1

cos sin .

4 4 4

α α

+ = D. 5 cos² sin² 5.

5 5

α α

 

 + =

 

 

Lời giải. Từ biểu thức cos²α+sin²α=1 ta suy ra cos² sin² 1.

5 5

α α

+ =

Do đó ta có 5 cos² sin² 5.

5 5

α α

 

 + =

 

  ^{Chọn D.}

Câu 27. Cho biết 3

sin .

3 5

α= Giá trị của 3 sin² 5 cos²

3 3

P α α

= + bằng bao nhiêu ?

A. 105 25 .

P= B. 107 25 .

P= C. 109 25.

P= D. 111 25 . P=

Lời giải. Ta có biểu thức ^{2 2 2 2} 16

sin cos 1 cos 1 sin .

3 3 3 3 25

α α α α

+ = ⇔ = − =

Do đó ta có

2

2 2 3 16 107

3 sin 5 cos 3. 5. .

3 3 5 25 25

P= α+ α=     + = Chọn B.

Câu 28. Cho biết tanα= −3. Giá trị của 6 sin 7 cos 6 cos 7 sin

P α α

α α

= −

+ bằng bao nhiêu ?

A. 4

3.

P= B. 5 3.

P= C. 4

3.

P= − D. 5 3. P= −

Lời giải. Ta có

6sin 7

6 sin 7 cos cos 6 tan 7 5.

6 cos 7 sin 6 7sin 6 7 tan 3

cos P

α

α α α α

α α α α

α

− − −

= = = =

+ + +

Chọn B.

Câu 29. Cho biết 2

cos .

α= −3 Giá trị của cot 3 tan 2 cot tan

P α α

α α

= +

+ bằng bao nhiêu ?

A. 19

13.

P= − B. 19 13.

P= C. 25 13.

P= D. 25

13. P= −

Lời giải. Ta có biểu thức ^{2 2 2 2} 5

sin cos 1 sin 1 cos .

α+ α= ⇔ α= − α=9 Ta có

2

2 2

2 2 2

2 5

cos 3sin 3.

cot 3 tan sin cos cos 3 sin 3 9 19.

cos sin

2 cot tan 2 2 cos sin 2. 2 5 13

sin cos 3 9

P

α α

α α α α α α

α α

α α α α

α α

 

−  +

+  

+ +

= = = = =

+ + + −  +

Chọn B.

Câu 30. Cho biết cotα=5. Giá trị của P=2 cos²α+5 sinαcosα+1 bằng bao nhiêu ? A. 10

26.

P= B. 100 26 .

P= C. 50 26.

P= D. 101 26 . P=

Lời giải. Ta có ^{2 2} cos₂² cos 1₂

2 cos 5 sin cos 1 sin 2 5

sin

sin sin

P α α

α α α α

α

α α

 

 

= + + =  + + 

(

^{2 2}

)

²

2 2

1 3 cot 5 cot 1 101

2 cot 5 cot 1 cot .

1 cot cot 1 26

α α

α α α

α α

+ +

= + + + = =

+ + Chọn D.

Câu 31. Cho biết 3 cosα−sinα=1, 0⁰<α<90 .⁰ Giá trị của tanα bằng

A. 4

tan .

α=3 B. 3

tan .

α=4 C. 4

tan .

α=5 D. 5

tan .

α=4 Lời giải. Ta có ^{3 cosα−sinα= ⇔1 3 cosα=sinα+ →1 9 cos2α=}

(

^sinα+1

)

²

( )

2 2 2 2

9 cos α sin α 2 sinα 1 9 1 sin α sin α 2 sinα 1

⇔ = + + ⇔ − = + +

2

sin 1

10 sin 2 sin 8 0 4 .

sin 5

α

α α

α

 = −



⇔ + − = ⇔

 =



• sinα= −1: không thỏa mãn vì 0⁰<α<90 .⁰

• 4 3 sin 4

sin cos tan .

5 5 cos 3

α α α α

= ⇒ = → = α= Chọn A.

Câu 32. Cho biết 2 cosα+ 2 sinα=2, 0⁰<α<90 .⁰ Tính giá trị của cot .α

A. 5

cot .

α= 4 B. 3

cot .

α= 4 C. 2

cot .

α= 4 D. 2

cot .

α= 2

Lời giải. Ta có ^{2 cosα}+ ^{2 sinα}= ⇔^{2 2 sinα}= −^{2 2 cosα}→^{2 sin2α}=

(

²−^{2 cosα}

)

²

( )

2 2 2 2

2

2 sin 4 8 cos 4 cos 2 1 cos 4 8 cos 4 cos

cos 1

6 cos 8 cos 2 0 1.

cos 3

α α α α α α

α

α α

α

⇔ = − + ⇔ − = − +

 =



⇔ − + = ⇔

 =



• cosα=1: không thỏa mãn vì 0⁰<α<90 .⁰

• 1 2 2 cos 2

cos sin cot .

3 3 sin 4

α α α α

= ⇒ = → = α= Chọn C.

Câu 33. Cho biết sinα+cosα=a. Tính giá trị của sinαcos .α A. sinαcosα=a². B. sinαcosα=2 .a

C. ² 1

sin cos .

2 α α a −

= D. ² 11

sin cos .

2 α α a −

=

Lời giải. Ta có ^{sinα+cosα= →a}

(

^sinα+cosα

)

^{2 =a2}

2

2 1

1 2 sin cos sin cos .

2 a a

α α α α −

⇔ + = ⇔ = Chọn C.

Câu 34. Cho biết 1

cos sin .

α+ α=3 Giá trị của P= tan²α+cot²α bằng bao nhiêu ?

A. 5

4.

P= B. 7 4.

P= C. 9

4.

P= D. 11 4. P= Lời giải. Ta có ^{cos sin 1}

(

^{cos sin}

)

^{2 1}

3 9

α+ α= → α+ α =

1 4

1 2 sin cos sin cos .

9 9

α α α α

⇔ + = ⇔ = −

Ta có

( )

2

2 2 2 sin cos

tan cot tan cot 2 tan cot 2

cos sin

P α α

α α α α α α

α α

 

= + = + − =  +  −

2 2 2

2 2

sin cos 1 9 7

2 2 2 .

sin cos sin cos 4 4

α α

α α α α

 +     

     

=   − =   − = −  − = Chọn B.

Câu 35. Cho biết 1

sin cos .

α− α= 5 Giá trị của P= sin⁴α+cos⁴α bằng bao nhiêu ?

A. 15

5 .

P= B. 17 5 .

P= C. 19

5 .

P= D. 21

5 . P= Lời giải. Ta có ^{sin cos 1}

(

^{sin cos}

)

^{2 1}

5 5

α− α= → α− α =

E C

A B

1 2

1 2 sin cos sin cos .

5 5

α α α α

⇔ − = ⇔ =

Ta có ^{P= sin4α+cos4α=}

(

^{sin2α+cos2α}

)

^{2−2 sin2αcos2α}

( )

^{2 17}

1 2 sin cos .

α α 5

= − = Chọn B.

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120^O?

A.

(

^{MN NP,}

)

^B.

(

^{MO ON,}

)

^{. C.}

(

^{MN OP,}

)

^{. D.}

(

^{MN MP,}

)

^.

Lời giải. • Vẽ NE=MN . Khi đó

(

^{MN NP,}

) (

^{= NE NP,}

)

0 0 0 0

180 180 60 120 .

PNE MNP

= = − = − = Chọn A.

• Vẽ OF =MO. Khi đó

(

^{MO ON,}

) (

^{= OF ON,}

)

^{=NOF=60 .0}

• Vì ^{MN ⊥OP→}

(

^{MN OP,}

)

^{=90 .0}

• Ta có

(

^{MN MP,}

)

^{=NMP=60 .0}

Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính ^P=cos

(

^{AB BC,}

)

^+cos

(

^{BC CA,}

)

^+cos

(

^{CA AB,}

)

^.

A. 3 3 2 .

P= B. 3

2.

P= C. 3

2.

P= − D. 3 3

2 . P= − Lời giải. Vẽ BE=AB. Khi đó

(

^{AB BC,}

) (

^{= BE BC,}

)

^{=CBE=180−CBA=1200}

( )

^{0 1}

cos , cos120 .

AB BC 2

→ = = −

Tương tự, ta cũng có ^cos

(

^{BC CA,}

)

^=cos

(

^{CA AB,}

)

^{= −1}₂^.

Vậy ^cos

(

^{AB BC,}

)

^+cos

(

^{BC CA,}

)

^+cos

(

^{CA AB,}

)

^{= −3}₂^{. Chọn C.}

Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính

(

^{AH BA,}

)

^.

A. 30 .⁰ B. 60 .⁰ C. 120 .⁰ D. 150 .⁰ Lời giải. Vẽ AE=BA.

Khi đó

(

^{AH AE,}

)

^=HAE=α (hình vẽ)

0 0 0 0

180 BAH 180 30 150 .

= − = − =

Chọn D.

Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B=50 .⁰ Hệ thức nào sau đây sai?

H

E C

B A

α F

O P

E N M

A.

(

^{AB BC,}

)

^{=130 .0 B.}

(

^{BC AC,}

)

^{=40 .0}

C.

(

^{AB CB,}

)

^{=50 .0 D.}

(

^{AC CB,}

)

^{=40 .0}

Lời giải. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì

(

^{AC CB,}

)

^{=1800−ACB=1800−400=140 .0}

Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC =2AC. Tính ^cos

(

^{AC CB,}

)

^.

A. ^cos

(

^{AC CB,}

)

⁼¹₂^{. B. cos}

(

^{AC CB,}

)

^{= −1}₂^.

C. ^cos

(

^{AC CB,}

)

⁼ ₂^{3. D. cos}

(

^{AC CB,}

)

^{= −} ₂^3.

Lời giải. Xác định được

(

^{AC CB,}

)

^=1800−ACB.

Ta có 1 ⁰

cos 60

2

ACB AC ACB

=CB = → =

(

^{AC CB,}

)

^{1800 ACB 1200}

→ = − =

Vậy ^cos

(

^{AC CB,}

)

^{=cos1200 = −1}₂^{. Chọn B.}

Câu 41. Cho tam giác ABC. Tính tổng

(

^{AB BC,}

) (

^{+ BC CA,}

) (

^{+CA AB,}

)

^.

A. 180 . B. 360 . C. 270 . D. 120 .

Lời giải. Ta có

( )

( )

( )

0

0

0

, 180

, 180

, 180

AB BC ABC

BC CA BCA

CA AB CAB

 = −



 = −



 = −



(

^{AB BC,}

) (

^{BC CA,}

) (

^{CA AB,}

)

⁵⁴⁰⁰

(

^{ABC BCA CAB}

)

^{5400 1800 360 .0}

→ + + = − + + = − =

Chọn B.

Câu 42. Cho tam giác ABC với A=60 . Tính tổng

(

^{AB BC,}

) (

^{+ BC CA,}

)

^.

A. 120 . B. 360 . C. 270 . D. 240 .

Lời giải. Ta có

( )

( )

0

0

, 180

, 180

AB BC ABC

BC CA BCA

 = −



 = −



(

^{AB BC,}

) (

^{BC CA,}

)

³⁶⁰⁰

(

^{ABC BCA}

)

→ + = − +

( )

0 0 0 0 0 0

360 180 BAC 360 180 60 240 .

= − − = − + = Chọn D.

Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm H. Tính tổng

(

^{HA HB,}

) (

^{+ HB HC,}

) (

^{+ HC HA,}

)

^.

A. 360 . B. 180 . C. 80 . D. 160 .

C

A B

Lời giải. Ta có

( )

( )

( )

, , ,

HA HB BHA HB HC BHC HC HA CHA

 =



 =



 =



(

^{HA HB,}

) (

^{HB HC,}

) (

^{HC HA,}

)

^{BHA BHC CHA}

→ + + = + +

(

^{0 0}

)

⁰

2BHC 2 180 100 160

= = − =

(do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D.

Câu 44. Cho hình vuông ABCD. Tính ^cos

(

^{AC BA,}

)

^.

A. ^cos

(

^{AC BA,}

)

⁼ ₂^{2. B. cos}

(

^{AC BA,}

)

^{= −} ₂^2.

C. ^cos

(

^{AC BA,}

)

^{=0. D. cos}

(

^{AC BA,}

)

^{= −1.}

Lời giải. Vẽ AE=BA.

Khi đó ^cos

(

^{AC BA,}

)

^=cos

(

^{AC AE,}

)

0 2

cos cos135 .

CAE 2

= = = −

Chọn B.

Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng

(

^{AB DC,}

) (

^{+ AD CB,}

) (

^{+CO DC,}

)

^.

A. 45 .⁰ B. 405 .⁰ C. 315 .⁰ D. 225 .⁰ Lời giải. • Ta có AB DC, cùng hướng nên

(

^{AB DC,}

)

^=00.

• Ta có AD CB, ngược hướng nên

(

^{AD CB,}

)

^=1800.

• Vẽ CE=DC , khi đó

(

^{CO DC,}

) (

^{= CO CE,}

)

^{=OCE=135 .0}

Vậy

(

^{AB DC,}

) (

^{+ AD CB,}

) (

^{+ CO DC,}

)

^{=00+1800+1350 =315 .0 Chọn C.}

F I

C B

H

A 1000

E D

C

B A

D C E

A B

O

Bài 02

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vơ hướng của a và b là một số, kí hiệu là a b. , được xác định bởi cơng thức sau:

( )

. . cos , .

a b = a b a b

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a b. =0.

Chú ý

•

Với a và b khác vectơ 0 ta cĩ a b. = ⇔ ⊥0 a b.

•

Khi a=b tích vơ hướng a a. được kí hiệu là a² và số này được gọi là bình phương vơ hướng của vectơ a. Ta cĩ

2 2

. .cos 0

0

.

a = a a = a

2. Các tính chất của tích vơ hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vơ hướng:

Với ba vectơ a b c, , bất kì và mọi số k ta cĩ:

•

a b. =b a. (tính chất giao hốn);

•

^{a b}

(

^+c

)

^{=a b. +a c.} (tính chất phân phối);

• ( )

^{ka b. =k a b}

( )

^{. =a kb.}

( )

^;

•

a²≥0, a²= ⇔ =0 a 0.

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra:

• (

^a+b

)

^{2=a2+2 .a b+b2;}

• (

^a−b

)

^{2=a2−2 .a b+b2;}

• (

^{a+b a}

)(

^−b

)

^=a2−b2.

3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Trên mặt phẳng tọa độ

(

^{O i j; ;}

)

^, cho hai vectơ a=

(

a a1; 2

)

, b=

(

b b1; 2

)

. Khi đĩ tích vơ hướng a b. là:

1 1 2 2

. .

a b = a b + a b

Nhận xét. Hai vectơ a=

(

a a1; 2

)

, b=

(

b b1; 2

)

đều khác vectơ 0 vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi

1 1 2 2

0.

a b + a b = 4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a=

(

a a1; 2

)

được tính theo công thức:

2 2

1 2

.

a = a + a

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a=

(

a a1; 2

)

và b=

(

b b1; 2

)

đều khác 0 thì ta có

( )

₂ ^{1 1}₂ ^{2 2}_{2 2}

1 2 1 2

cos ; . .

. .

a b a b a b a b

a a b b

a b

= = +

+ +

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x

(

A^;yA

)

và B x

(

B^;yB

)

được tính theo công thức:

(

B A

)

²

(

B A

)

²

.

AB = x − x + y − y

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a b. =a b. . B. a b. =0. C. a b. = −1. D. a b. = −a b. . Lời giải. Ta có ^{a b. =a b. .cos}

( )

^{a b, .}

Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên

( )

^{a b, =00 →cos}

( )

^{a b, =1.}

Vậy a b. =a b. . Chọn A.

Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi

. . .

a b= −a b

A. α=180 .⁰ B. α=0 .⁰ C. α=90 .⁰ D. α=45 .⁰ Lời giải. Ta có ^{a b. =a b. .cos}

( )

^{a b, .}

Mà theo giả thiết a b. = −a b. , suy ra ^cos

( )

^{a b, = − 1 →}

( )

^{a b, =180 .0 Chọn A.}

Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a =3, b =2 và a b. = −3. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b.

A. α=30 .⁰ B. α=45 .⁰ C. α=60 .⁰ D. α=120 .⁰ Lời giải. Ta có ^{. . .cos}

( )

^{, cos}

( )

^{, .} _3.2^{3 1}₂

( )

^{, 120 .0}

.

a b a b a b a b a b a b

a b

= → = =− = − → =

Chọn D.

Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a =b =1 và hai vectơ 2 5 3

u= a− b và v = +a b vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b.

A. α=90 .⁰ B. α=180 .⁰ C. α=60 .⁰ D. α=45 .⁰ Lời giải. Ta có ^{u⊥ v →u v. = ⇔0 }²₅^{a−3b a}

(

^+b

)

^{= ⇔0 2}₅^a2−13₅ ^ab−3b2=0

1 1.

a b

= = ab

→ = −

Suy ra ^cos

( )

^{, . 1}

( )

^{, 180 .0}

.

a b a b a b

a b

= = − → = Chọn B.

Câu 5. Cho hai vectơ a và b. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. 1 ^{2 2 2}

. .

a b=2a+b −a −b  ^B.

2 2

1 2

. .

a b=2a +b − −a b 

C. 1 ^{2 2}

. .

a b=2a+b − −a b  ^D.

2 2

. 1 .

a b=4a+b − −a b  Lời giải. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 1

2 ^và 1

4 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D.

Ta có ^{a+b2− −a b2=}

(

^a+b

) (

^{2− a−b}

)

^{2 =4ab→a b. =1}₄^^{a+b2− −a b2}^{. Chọn C.}

• A đúng, vì ^{a+b2 =}

(

^a+b

) (

^{2 = a+b}

) (

^{. a+b}

)

^{=a a. +a b. +b a. +b b. =a2+b2+2 .ab}

2 2 2

. 1 .

a b 2a b a b 

→ =  + − − 

• B đúng, vì ^{a−b2 =}

(

^a−b

) (

^{2= a−b}

) (

^{. a−b}

)

^{=a a. −a b. −b a. +b b. = a2+b2−2 .ab}

2 2

1 2

. .

a b 2a b a b 

→ =  + − − 

Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB AC. . A. AB AC. =2a². B. ² 3

. .

2

AB AC= −a C. . ². 2

AB AC= −a D. . ². 2 AB AC=a Lời giải. Xác định được góc

(

^{AB AC,}

)

^{là góc A nên}

(

^{AB AC,}

)

^{=60 .0}

Do đó ^{AB AC. =AB AC. .cos}

(

^{AB AC,}

)

^{=a a. .cos 600=a}₂^{2. Chọn D.}

Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB BC. . A. AB BC. =a². B. ² 3

. .

2

AB BC=a C. . ². 2

AB BC= −a D. . ². 2 AB BC=a Lời giải. Xác định được góc

(

^{AB BC,}

)

là góc ngoài của góc B nên

(

^{AB BC,}

)

^{=120 .0}

Do đó ^{AB BC. =AB BC. .cos}

(

^{AB BC,}

)

^{=a a. .cos1200= −a}₂^{2. Chọn C.}

Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. 1 ²

. .

AB AC=2a B. 1 ²

. .

AC CB= −2a C. . ². 6

GA GB=a D. 1 ²

. .

AB AG=2a

Lời giải. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

• Xác định được góc

(

^{AB AC,}

)

^{là góc A nên}

(

^{AB AC,}

)

^{=60 .0}

Do đó ^{AB AC. =AB AC. .cos}

(

^{AB AC,}

)

^{=a a. .cos 600=a}₂^{2 → A đúng.}

• Xác định được góc

(

^{AC CB,}

)

là góc ngoài của góc C nên

(

^{AC CB,}

)

^{=120 .0}

Do đó ^{AC CB. =AC CB. .cos}

(

^{AC CB,}

)

^{=a a. .cos1200 = −a}₂^{2 → B đúng.}

• Xác định được góc

(

^{GA GB,}

)

^{là góc AGB nên}

(

^{GA GB,}

)

^{=120 .0}

Do đó ^{GA GB. =GA GB. .cos}

(

^{GA GB,}

)

^{= a}₃^{. a}₃^{.cos1200 = −a}₆^{2 →} C sai. Chọn C.

• Xác định được góc

(

^{AB AG,}

)

là góc GAB nên

(

^{AB AG,}

)

^{=30 .0}

Do đó ^{. . .cos}

(

^,

)

^{. .cos 300} ₂²

3

a a

AB AG=AB AG AB AG =a = → D đúng.

Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. AH BC. =0. B.

(

^{AB HA,}

)

^{=150 .0 C. AB AC. =a}₂^{2. D. AC CB. =a}₂^2.

Lời giải. Xác định được góc

(

^{AC CB,}

)

là góc ngoài tại đỉnh C nên

(

^{AC CB,}

)

^{=120 .0}

Do đó ^{AC CB. =AC CB. .cos}

(

^{AC CB,}

)

^{=a a. .cos1200 = −a}₂^{2. Chọn D.}

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB=AC=a. Tính AB BC. . A. AB BC. = −a². B. AB BC. =a². C. ² 2

. .

2

AB BC= −a D. ² 2

. .

2 AB BC=a Lời giải. Xác định được góc

(

^{AB BC,}

)

là góc ngoài của góc B nên

(

^{AB BC,}

)

^{=135 .0}

Do đó ^{AB BC. =AB BC. .cos}

(

^{AB BC,}

)

^{=a a. 2.cos1350= −a2. Chọn A.}

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB=c AC, =b. Tính BA BC. .

A.BA BC. =b². B. BA BC. =c². C. BA BC. =b²+c². D.BA BC. =b²−c². Lời giải. Ta có . . .cos

(

,

)

. .cos . ^{2 2}. 2c 2 ².

BA BC BA BC BA BC BA BC B c b c c

b c

= = = + =

+

Chọn B.

Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB⊥AC ⇒AB AC. =0.

Ta có ^{BA BC. =BA BA.}

(

^+AC

)

^{=BA2+BA AC. =AB2=c2. Chọn B.}

Câu 12. Cho ba điểm A B C, , thỏa AB=2cm, BC=3cm, CA=5cm. Tính CA CB. . A. CA CB. =13. B. CA CB. =15. C. CA CB. =17. D. CA CB. =19.

Lời giải. Ta có AB+BC=CA⇒ ba điểm A B C, , thẳng hàng và B nằm giữa A C, . Khi đó ^{CA CB. =CA CB. .cos}

(

^{CA CB,}

)

^{=3.5.cos 00 =15. Chọn B.}

Cách khác. Ta có ^{AB2=AB2 =}

(

^CB−CA

)

^{2=CB2−2CBCA+CA2}

(

^{2 2 2}

) (

^{2 2 2}

)

1 1

3 5 2 15.

2 2

CBCA CB CA AB

→ = + − = + − =

Câu 13. Cho tam giác ABC có BC=a CA, =b AB, =c. Tính ^P=

(

^{AB+AC BC}

)

^{. .}

A. P=b²−c². B. ^{2 2}. 2 c b

P +

= C. ^{2 2 2}.

3 c b a

P + +

= D. ^{2 2 2}.

2 c b a

P + −

= Lời giải. Ta có ^P=

(

^{AB+AC BC}

)

^{. =}

(

^AB+AC

) (

^{. BA+AC}

)

^.

(

^{AC AB}

) (

^{. AC AB}

)

^{AC2 AB2 AC2 AB2 b2 c2.}

= + − = − = − = − Chọn A.

Câu 14. Cho tam giác ABC có BC=a CA, =b AB, =c. Gọi M là trung điểm cạnh .

BC Tính AM BC. .

A. . ^{2 2}.

2 b c

AM BC −

= B. . ^{2 2}.

2 c b

AM BC +

=

C. . ^{2 2 2}.

3 c b a

AM BC + +

= D. . ^{2 2 2}.

2 c b a

AM BC + −

=

Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB+AC=2AM. Khi đó ^{AM BC. =1}₂

(

^{AB+AC BC}

)

^{. =1}₂

(

^AB+AC

) (

^{. BA+AC}

)

( ) ( ) ( 2 2) (

^{2 2}

)

^{2 2}

1 1 1

. .

2 2 2 2

b c

AC AB AC AB AC AB AC AB −

= + − = − = − = Chọn A.

Câu 15. Cho ba điểm O A B, , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng

(

^{OA+OB AB}

)

^{. =0 là}

A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Lời giải. Ta có

(

^{OA+OB AB}

)

^{. = ⇔0}

(

^OA+OB

) (

^{. OB−OA}

)

⁼⁰

2 2

2 2

0 0 .

OB OA OB OA OB OA

⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Chọn B.

Câu 16. Cho M N P Q, , , là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. ^{MN NP}

(

^+PQ

)

^{=MN NP. +MN PQ. . B. MP MN. = −MN MP. .}

C. MN PQ. =PQ MN. . D.

(

^{MN−PQ MN}

)(

^+PQ

)

^=MN2−PQ2.

Lời giải. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.

Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP MN. =MN MP. . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán.

Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC. .

A. AB AC. =a². B. AB AC. =a² 2. C. 2 ²

. .

AB AC= 2 a D. 1 ²

. .

AB AC=2a Lời giải. Ta có

(

^{AB AC,}

)

^{=BAC =450 nên AB AC. =AB AC. .cos 450=a a. 2.} ₂^2=a2.

Chọn A.

Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính ^{P=AC CD.}

(

^+CA

)

^.

A. P= −1. B. P=3 .a² C. P= −3 .a² D. P=2a². Lời giải. Từ giả thiết suy ra AC=a 2.

Ta có ^{P=AC CD.}

(

^+CA

)

^{=AC CD.}