[2D3-1.4-1] Nguyên hàm của hàm số f x   x 3x là: A

Câu 1. [2D3-1.4-1] Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ x 3x} _là:

A.

2

3 ln 3 2

x x

 C

. B. ^{1 3 ln 3 x C}. C.

2 3

2 ln 3 x x

 C

. D.

1 3 ln 3

x

 C . Lời giải

Chọn C

(

^{x+3 dx}

)

^x=x₂²⁺_{ln 3}^{3x +C}

ò

_.

Câu 2. [2D3-1.4-1] Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^2x1_.

A. F x

 

x²x. B.

 

²

2 F x  x x

. C.

 

²

2 F x  x x

. D. F x

 

x²x. Lời giải

Chọn D

Có

 

^{2x1 d}



^{x x2  x C x2x} là một nguyên hàm của hàm số f x

 

2x1. Câu 3. [2D3-1.4-1] Nguyên hàm của hàm số

2 1

( ) 3

f x x x

   x là:

A.

3 3 2

( ) ln

3 2

F x x  x  x C

. B.

3 3 2

( ) lnx

3 2

F x x  x  C .

C.

3 3 2

( ) ln

3 2

F x x  x  x C

. D.

3 3 2

( ) ln

3 2

F x x  x  x C . Lời giải

Chọn C Ta có:

3

2 1 2 1 3 2

( )dx ( 3 )dx= dx 3 dx dx ln

3 2

f x x x x x x x x C

x x

        

    

_.

Câu 4. [2D3-2.3-1] Nguyên hàm của hàm số f x( ) 3sin ² xcosx là

A. ^{sin3x C .} B. ^{sin3x C .} C. ^{cos3x C .} D. ^{cos3x C .} Lời giải

Chọn A

2 2 3

( )d 3sin cos d 3sin d(sin ) sin

f x x x x x x x  x C

  

_.

Câu 5. [2D3-2.3-1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x2.ex31}_.

A.

 

^{d 3.e3 1}

3

  



^{f x x x x C}_{. B.}



^{f x x}

 

^{d 3ex31C} _.

C.



^{f x x}

 

^{d ex31C}_{. D.}

^{ }

^{d 1}3^{e 3 1}

  



^{f x x x C}_.

Lời giải Chọn D

 

^d



^{f x x }



^{x2ex31dx 1}₃

_

^ex31d



^x31



^1₃^ex31C

.

Câu 6. [2D3-2.6-1] [Sở GD Vĩnh Long - HK2 - 2019] Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.



^{xsin dx x x cosxsinx C} _{. B.}



^{xsin dx x xcosxsinx C} _.

C.



^{xsin dx x xcosxsinx C} _{. D.}



^{xsin dx x x cosxsinx C} _.

Lời giải

Chọn B.

Ta có



^{xsin dx x xcosx}



^{cos dx x}  ^xcosx^{sinx C} . Câu 7. [2D3-2.6-1] Nguyên hàm của hàm số y x e^xlà

A. ^{e d e}

x x

x x x C



_{. B.}



^{xe dx x}

^

^{x1 e}

^

^{x C}_.

C.



^{x dxex }



^{x1 e}



^xC_{. D.}



^{xe dx xx2exC}_.

Lời giải

Chọn B.

Đặt

d d

d e d^x e .^x

u x u x

v x v

 

 

 

 

 

Khi đó: ^{e d e e d e e}

x x x x x

x x x  x x  C

 

^{ }

^

^{x 1 e}

^

^xC_.

Câu 8. [2D3-3.2-1] Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và ^{F x}

 

là nguyên hàm của ^{f x}

 

_{, biết}

9

 

0

d 9

f x x



, ^F

 

^{0 3}_{. Tính} ^F

 

⁹ _.

A. ^6. B. ⁶. C. 12 . D. 12.

Lời giải Chọn C

Ta có

       

9 9

0 0

d 9 0

f x x F x F F



_{ 9 F}

_{ }

_{9 3F}

_{ }

_{9 12}

.

Câu 9. [2D3-3.2-1] Cho

2

0

( ) 5

f x dx



và

5

0

( ) 3

f x dx 



, khi đó

5

2

( )d f x x



bằng

A. 8 . B. 15 . C. 8. D. 15.

Lời giải

Chọn C

Ta có

5 2 5 5 5 2

0 0 2 2 0 0

( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 3 5 8

f x x f x x f x x f x x f x x f x x    

     

.

Câu 10. [2D3-3.2-1] Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

^1;4 _{, biết} ^f

 

^{4 3,f}

 

^{1 1}_.

Tính

4

 

1

2  d



^{f x x}

A. 10 . B. 8 . C. 4 . D. 5 .

Lời giải Chọn C

Ta có

         

4 4

1 1

2f x x d 2 f x 2f 4  f 1 2 3 1 4



.

Câu 11. [2D3-3.2-1] Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm trên  , ^f

 

^{  1 2} _và ^f

 

^{3 2}_{. Tính}

^{ }

3

1

' .

I f x dx







A. ^{I 4.} B. ^{I 3.} C. ^{I 0.} D. ^{I  4.}

Lờigiải Chọn A

     

3 3

1 1

' ( ) 3 1 4.

I f x dx f x _ f f







    

Câu 12. [2D3-5.1-1] Cho hai hàm số ^{yg x( )} và ^{y f x( )} liên tục trên đoạn

 

^{a c;} có đồ thị như hình vẽ.

 ( ) y g x

 ( ) y f x

c x b a

O y

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A.



^{( ) ( ) d}

 

^{( ) ( ) d}



b c

a b

S



g x  f x x



f x g x x

. B.



^{( ) ( ) d}



c

a

S



f x g x x .

C.



^{( ) ( ) d}



c

a

S



f x g x x

. D.



^{( ) ( ) d}

 

^{( ) ( ) d}



b c

a b

S



f x g x x



f x g x x . Lời giải

Chọn D

( ) ( ) d

c

a

S



f x g x x ^{b ( ) ( ) d c ( ) ( ) d}

a b

f x g x x f x g x x





 



 ^b

^

^{( ) ( ) d}

^

^c

^

^{( ) ( ) d}

^

a b

f x g x x f x g x x





 





Câu 13. [2D3-5.1-1] Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} . Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^{y f x}

 

, trục hoành và hai đường thẳng ^{x a} , x b là:

A.

Sp f²

 

x^dx

a



b

. B.

S f x

 

^dx

a



b

. C.

S f x

 

^dx

a



b

. D.

S f x

 

^dx

a



b

. Lời giải

Chọn D

Hình phẳng

 

^H giới hạn bởi các đường:

 

0 y f x y

x a x b





 

 

 

 (a b ) có diện tích được tính bởi công thức S f x

 

^dx

a



b

.

Câu 14. [2D3-5.9-1] Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2

y x x , trục Ox và hai đường thẳng ^x0,x3 quanh trục Ox là

A. . B.

3

2 0

2

V =

ò

x x dx- .

C.

3

2 2 0

(2 )

V =p

ò

x x dx-

. D.

3

2 2 0

(2 )

V =

ò

x x dx- . Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức

2( )

b

a

V =p

ò

f x dx

với a0, b 3, ( ) 2 f x  x x ² .

Câu 15. [2D3-5.9-1] Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} . Khi quay hình phẳng như hình vẽ bên trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích.

A.

 

^2d

b a

f x x p 



 

. B.

 

^2d

b a

f x x

 

 



. C.

 

^2d

b

a

f x x p





 

. D.

 

^d

b

a

f x x

 



  . Lời giải

Chọn A.

Câu 16. [2D3-3.5-2] Biết

4 2 3

dx ln 2 ln 3 ln 5

I a b c

x x

   





, trong đó ^{a b c, , Z}. Tính giá trị của T   a b c.

A. T 2. B. T 3. C. T  1. D. T 5.

Lời giải Chọn A

Cách 1.

   

4 4 4

4 2 3

3 3 3

d d d

ln ln 1 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 4ln 2 ln 3 ln 5 1

x x x

x x

x x  x  x           

  

.

4; 1; 1 4 1 1 2

a b c T

           . Cách 2.

Ta có:

4 2 3

d

ln 2 ln3 5ln

e e 2 .3 .5

x

x x a b  c a b c

   .

Nhập

4 2 3

d

4 1 1

e 16 2 .3 .5 2 .3 .5 4; 1; 1.

15

x

x^x ^{ } a b c a b c

         

Câu 17. [2D3-3.7-2] Cho số thực m1 thỏa mãn ¹

2 1 d 1

m

mx x



. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^m

 

^1;3 _{. B.} ^m

 

^2;4 _{. C.} ^m

 

^3;5 _{. D.} ^m

 

^4;6 _.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: 2mx 1 0 trên



^1;m



_{nên 1} ^{2 1 d}

m

mx x

 ^{ }

1

2 1 d

m

mx x





 ^



^mx2x



₁^m



^{m3 m}

 ^

^{m 1}

^

^{m3 2m 1 1}

       

nên ^{m  0 m 2}. So sánh điều kiện nên ^{m 2}.

Câu 18. [2D3-4.9-2] Cho ¹



²



0

.ln 2 d ln 3 ln 2 I 



x x x a b c

với , ,a b c là các số hữu tỉ. Tổng 2a b 2c bằng

A. 2 . B. 1. C. 0 . D.

3 2 . Lời giải

Chọn B.

Đặt

2 1

2 2 d d d

t x dt x xx x2 t Đổi cận x  0 t 2, x  1 t 3

3 3

2 2

1 1

ln d ln d

2 2

I 



t t



x x

Đặt



²



²

2

d 2 d

ln 2 2

d d 2

2

u x x

u x x

v x x v x

 

   

   

 

 

 

 

 ²



²



^{1 1}

0 0

2 ln 2 d

2

I  x x 



x x

 

^{1 1}

2 2

2

0 0

2 3 1

ln 2 ln 3 ln 2

2 2 2 2

x x

I   x     3 1

, 1,

2 2

a b c

     

Vậy: ^{2 2 2.3}

 

^{1 2 1 1}

2 2

a b  c      .

Câu 19. [2D3-5.4-2] Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} và thỏa mãn

0

 

d

a

f x x m



,

 

0

d

b

f x x n



. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng

A. m n. . B. m n . C. m n . D. n m .

Lời giải

Chọn B.

Từ đồ thị, ta có: ^{f x}

 

^{  0, x}



^a;0



_, ^{f x}

 

^{  0, x}

 

^0;b _.

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ là

       

0 0

0 0

d d d d

b b

a a

S



f x x



f x x



f x x



f x x m n  .

Câu 20. [2D3-5.9-2] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường tan x, 0, 0, y y x xp4

quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.

A.

ln 2 2 p

. B.

ln 3 4 p

C. 4 p

. D. pln 2.

Lời giải Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra là

  ^{ }

4 2 4 4 4

0 0 0 0

sin d

tan .d tan .d x.d cosx

V x x x x x

cosx cosx

p p p p

p p p p













 





^ln



₀^{4 ln 1 ln 2}₂

cosx 2

p p

p p  

     

  .

Câu 21. [2D3-5.9-2] [Sở GD Vĩnh Long - HK2 - 2019] Cho hàm bậc hai ^{y f x}

 

có đồ thị như hình dưới đây. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x

, trục hoành quanh trục Ox.

A.

4 3

p

. B.

12 15

p

. C.

16 15

p

. D.

16 5 p

. Lời giải

Chọn C.

Parabol hàm số bậc hai cần tìm là

 

^{P y ax:  2bx c} _.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

^0;0 nên suy ra c0.

Tọa độ đỉnh parabol là

1 2 0 1

2 1 2

D

D

b a

x a b

a b

y a b

         

 

  

   

 .

Vậy parabol

 

^{P y:   x2 2x}_.

Phương trình HĐGĐ: ^{ x2 2x  0 x 0} hoặc x2. Do đó thể tích vật thể cần tìm là ²



²



²

0

2 d 16

V p



 x x x 15p .

Câu 22. [2D3-6.1-2] Một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với

gia tốc ^{a t}

 

^{3t8 m/s}



²



_{trong đó t} là khoảng thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 10s kể từ lúc tăng tốc.

A. 540 m . B. 150 m . C. 250 m . D. 264 m .

Lời giải Chọn C

Ta có

   

^dt



^{3 8 dt =}



^{3 2 8}

v t 



a t 



t 2t  t C_.

 

⁰  54 km/h = 15m/s 15

v C

 

^{3 2 8 15}

v t 2t t

   

. Quãng đường ô tô đi được sau 10s kể từ lúc tăng tốc là

   

10 10

2

0 0

dt = 3 8 15 dt 250 m 2

 



 

    

s v t t t

.

Câu 23. [2D3-1.7-3] Cho hàm số ^{f x}

 

_{thỏa mãn}



^{f x}

  

^{2 f x f}

   

^{.  x 15x412 ,x x } và ^f

 

^{0 }

 

⁰

f

1 . Giá trị của



^f

 

¹



² _là

A. ¹⁰. B. ⁸. C.

5

2 . D.

9 2 . Lời giải

Chọn B

Ta có



^{f x f x}

   

^{. '}



^{ }



^{f x'}

^{ } 

^{2 f x f}

^{ }

^{. "}

^{ }

^{x 15x412 ,x x ¡ .}

   

^{. 3 5 6 2 C, .}

f x f x x x x

     ¡

Lại có ^f

 

^{0  f ' 0}

 

^1 _{nên C 1 do đó} f x f x

   

. ' 3x⁵6x²  1, x ¡ .

   



^{f x 2}



^{2f x f x}

^{   }

^{. ' 6x512x2  2, x ¡} 



f x

  

² x⁶4x³2x C 1, x ¡ . Mà ^f

 

^{0 1} _nên C₁ 1. Vậy



^f

 

¹



^{2  16 4.132.1 1 8. }

Câu 24. [2D3-1.7-3] Cho ^{f x}

 

là hàm số liên tục trên  thỏa mãn ^{f x}

 

^{ f x}

 

^{  x x,}  và ^f

 

^{0 1}_.

Tính ^f

 

¹ _.

A.

2

e . B.

1

e . C. e . D.

e 2 Lời giải

Chọn A.

   

^ex

 

^ex

 

^ex

f x  f x  x f x  f x  x ^



^{exf x}

  

^{ exx exf x}

^{ }

^

_

^{e dxx x x .ex ex C}

Mà ^f

 

^{0 1} _{suy ra C2.}

Vậy

 

1 ^{e e 2 2}

e e

f  

 

.

Câu 25. [2D3-4.3-3] Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và có

   

1 3

0 0

d 2; d 8.

f x x f x x

 

Tính

 

1

1

I f 2x 1 dx









A. I 6. B.

2 I 3

. C. I 5. D.

3 I 2 Lời giải

Chọn C Với t  2x 1, u2x1, ta có

   

1 2 1

1 1

2

2 1 d 2 1 d

I f x x f x x







  





       

1 2 1

1 1

2

1 1

2 1 d 2 1 2 1 d 2 1

2 f x x 2 f x x



 



    



  ⁰

_{ }

¹

_{ }

3 0

1 1

d d

2 f t t 2 f u u

 







   

1 3

0 0

1 1

d d 1 4 5

2 f x x 2 f x x









  

. Vậy I 5.

Câu 26. [2D3-4.3-3] Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên

 

^0;1 và thỏa mãn

 

1 3

0

d 1

f x x



,

 

1 2

1 6

2 d 13

f x x



.

Tính tích phân ^{1 2}

 

³

0

d I 



x f x x

.

A. I 6. B. I 8. C. I 7. D. I 9.

Lời giải Chọn D

Xét

 

1 2

1 6

2 d 13

f x x



, đặt

2 d 2d 1d d

u x u x 2 u x .

Đổi cận:

1 1

6 3

x  u

;

1 1

x  2 u .

Ta có

   

1 2 1

1 1

6 3

13 2 d 1 d

f x x 2 f u u









¹

^{ }

1 3

d 26

f u u







.

Xét ^{1 2}

 

³

0

d I 



x f x x

, đặt

3 2 1 2

d 3 d d d

tx  t x x3 tx x . Đổi cận: x  0 t 0; x  1 t 1.

Vậy ta có:

1

 

2 3

0

d

I 



x f x x

^{     }

1

1 3 1

0 0 1

3

1 1 1

d d d

3 f t t 3 f t t 3 f t t











 ^{   }

1 3 1

0 1

3

1 1

d d

3 f t t 3 f u u









1 1

.1 .26 9

3 3

  

. Câu 27. [2D3-5.7-3] Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị ^{y f x}

 

cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ

a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{f c}

 

^{ f a}

 

^{ f b}

 

_{. B.} ^{f c}

 

^{ f b}

 

^{ f a}

 

_.

C. ^{f a}

 

^{ f b}

 

^{ f c}

 

_{. D.} ^{f b}

 

^{ f a}

 

^{ f c}

 

_.

Lời giải Chọn A

Ta có

( ) 0

x a

f x x b

x c

 

   

  .

Dựa vào đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

ta có bảng biến thiên.

Từ bảng biến thiên ta suy ra ^{f a}

 

^{ f b}

 

_và ^{f c}

 

^{ f b}

 

^.

Mặt khác, dựa vào đồ thị ta có:

( ) d ( ) d ( ) d ( )d

b c b c

a b a b

f x x f x x  f x x  f x x

   

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f a f b f c f b f a f c

      .

Từ và suy ra ^{f c}

 

^{ f a}

 

^{ f b}

 

_.

Câu 28. [2D3-5.7-3] Cho hình phẳng

 

^H được giới hạn bởi đồ thị

 

^C của hàm số đa thức bậc ba và Parabol

 

^P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng

A.

37

12 _{. B.}

7

12_{. C.}

11

12_{. D.}

5 12_. Lời giải

Chọn A.

Hàm bậc ba của đồ thị

 

^C _{có dạng} y ax ³bx² cx2_.

 

^C đi qua các điểm có tọa độ



^{ 1; 2}



_,

 

^1;0 _,



^{2; 2}



, nên ta có

4 1

2 3

8 4 2 4 0

a b c a

a b c b

a b c c

     

 

       

 

      

 

Hàm số bậc ba có đồ thị

 

^C _là: y x ³3x² 2

Parabol

 

^P đi qua các điểm có tọa độ



^0;0



_,

 

^1;0 _,



^{2; 2}



. Tương tự ta tìm được hàm số của đồ thị

 

^P _là: y  x² x

Diện tích hình phẳng

 

^H _là:

       

1 2

3 2 2 2 3 2

1 1

3 2 d 3 2 d 37

S x x x x x x x x x x 12



   





       



        . Chọn đáp án A.

Câu 29. [2D3-4.9-4] Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm đến cấp 2 trên  và thỏa mãn

    ^{ }

2 1 2 3 1

f x  x  f x

. Biết ^{f x}

 

^{  0, x}  . Tính

   

2

0

2 1 d

I 



x f x x .

A. I 8. B. I 0. C. I  4. D. I 4.

Lời giải:

Chọn C.

*Thay x1, x 1 vào phương trình ^f2



^1x



^



^x23



^f

^

^1x

^

ta được hệ

   

   

2 2

0 4 2

2 4 0

f f

f f

 



  .

Vì f x

 

  0, x  nên ta suy ra

     

         

2

3 3

2

0 2

0 2 0 2

2 0

f f

f f f f

f  f    

. Thay vào hệ trên ta được ^f

 

^{0  f}

 

^{2 4}_.

* Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế của ^f2



^1x



^



^x23



^f

^

^1x

^

_{ta được:}

      

²

 ^{ }

2f 1 x f.  1 x 2 . 1x f x x 3 .f 1 x

       

.

Thay x1, x 1 vào ta được hệ

   

   

 

 

8 0 8 4 2 0 2

8 2 8 4 0 2 2

f f f

f f f

  

    

 

 

        

 

  .

* Ta có

               

2 2 2

2 0

0 0 0

2 1 d 2 1 d 2 1 2 d

I 



x f x x



x f x  x f x 



f x x

     

²₀

     

3 2 0 2 4 2 2 0 4

I f f f x f f

       

.

Câu 30. [2D3-5.7-4] Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8m.

Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh ^{M N,} nằm trên Parabol và hai đỉnh ^{P Q,} nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200.000 đồng^/m2, biết ^{MN 4m}, ^MQ6m. Hỏi số tiền để mua hoa trang trí gần với số tiền nào sau đây?

A. 3.434.300 đồng. B. 3.373.400 đồng.

C. 3.437.300 đồng. D. 3.733.300 đồng.

Lời giải Chọn D

Gắn hệ trục tọa độ ^Oxy như hình vẽ.

+) Phương trình Parabol có dạng

 

^{P y ax:  2bx c} _.

Ta có:

   

   

   

4;0 4;0

2;6

A P

B P

N P

 



 

 



16 4 0

16 4 0

4 2 6

a b c a b c a b c

  



   

   



1 2 0 8 a b c

  



 

 



 

: ^{1 2} 8

P y 2x

   

.

+) Diện tích để trang trí hoa là:

4

2 4

1 128 56

8 d 4.6

2 ^MNPQ 3 3

S x x S



 





       . Vậy số tiền để mua hoa trang trí:

56.200000 3.733.300

3 

đồng.