HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ
!
○ Một hàm số được cho bởi một biểu thức hoặc nhiều biểu thức
#Ví dụ 2.
• Hàm sốy=f(x) = x2−3x+ 1 x−1 .
• Hàm sốy=g(x) =
®2x−1 nếux≤1 x2+ 2 nếux >1.
○ Nếu hàm sốy =f(x)không giải thích gì thêm thì tập xác định của nó là tập hợp các số thựcx sao cho giá trị của biểu thứcf(x)được xác định.
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ
d Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Để tính giá trị cùa hàm sốy=f(x)tạix=a, ta thếx=avào biểu thứcf(x)và được giá trịf(a).
#Ví dụ 1. Cho hàm sốy=f(x) =
®4x+ 1 nếux≤2
−x2+ 3 nếux >2. Tínhf(3),f(2),f(−2),fÄ√
2ä vàfÄ
2√ 2ä
.
ýLời giải.
Ta cóf(3) =−32+ 3 =−6,f(2) = 4·2 + 1 = 9,f(−2) = 4·(−2) + 1 =−7.
f(√
2) = 4√
2 + 1,f(2√
2) =−(2√
2)2+ 3 =−5.
#Ví dụ 2. Cho hàm sốy=f(x) =
®8 nếux≥ −2
x2−2x nếux <−2. Tínhf(−3),f(2),f(−2)vàf(0).
ýLời giải.
Ta cóf(−3) = (−3)2−2(−3) = 15,f(2) = 8,f(−2) = 8,f(0) = 8.
#Ví dụ 3. Cho hàm sốy=f(x) =
®4x+ 1 nếux≥2
−x3+ 3 nếux <2. Tínhf(2),fÄ√ 2ä
.
ýLời giải.
Ta cóf(2) = 4·2 + 1 = 9,f(√
2) =−(√
2)3+ 3 =−2√ 2 + 3.
#Ví dụ 4. Cho hàm sốy=h(x) =
®−2(x2+ 1) nếux≤1
√
x−1 nếux >1. Tínhh(1),h(2),h Ç√
2 2
å ,h(√
2).
ýLời giải.
Ta có
h(1) =−2(12+ 1) =−4,h(2) =√
2−1 = 1,h Ç√
2 2
å
=−2 Ç√
2 2
å2 + 1
!
=−3,hÄ√
2ä
=p√
2−1.
d Dạng 2. Đồ thị hàm số
○ Cho hàm sốy =f(x)xác định trên tậpD. Trong mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x;f(x))vớix∈Dgọi là đồ thị của hàm sốy=f(x).
○ Để biết điểmM(a;b)có thuộc đồ thị hàm sốy=f(x)không, ta thếx=avào biểu thứcf(x).
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
• Nếuf(a) =bthì điểmM(a;b)thuộc đồ thị hàm sốy=f(x).
• Nếuf(a)6=bthì điểmM(a;b)không thuộc đồ thị hàm sốy=f(x).
1 VÍ DỤ
#Ví dụ 1. Cho hàm sốy=f(x) =x2+√
x−3. Trong các điểmA(2; 8),B(4; 12)vàCÄ
5; 25 +√ 2ä
, điểm nào thuộc đồ thị của hàm số đã cho?
ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khix−3≥0⇔x≥3. Tập xác định:D= [3; +∞).
○ Ta có2∈/ DnênA(2; 8)không thuộc đồ thị của hàm số.
○ Ta cóf(4) = 42+√
4−3 = 176= 12nênB(4; 12)không thuộc đồ thị của hàm số.
○ Ta cóf(5) = 52+√
5−3 = 25 +√
2nênCÄ
5; 25 +√ 2ä
thuộc đồ thị của hàm số.
#Ví dụ 2. Cho hàm sốy=f(x) = 2x2−5x+ 5 (C).
a) Các điểmA(1; 2),B(−1; 5),C Å
−1 2; 8
ã
có thuộc đồ thị(C)của hàm số đã cho không?
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng2.
ýLời giải.
Tập xác định:D=R.
a) Ta có
○ f(1) = 2·12−5·1 + 5 = 2nênA(1; 2)thuộc đồ thị(C)của hàm số.
○ f(−1) = 2·(−1)2−5·(−1) + 5 = 126= 5nênB(−1; 5)không thuộc đồ thị(C)của hàm số.
○ f Å
−1 2
ã
= 2· Å
−1 2
ã2
−5· Å
−1 2 ã
+ 5 = 8nênC Å
−1 2; 8
ã
thuộc đồ thị(C)của hàm số.
b) f(x) = 2⇔2x2−5x+ 5 = 2⇔2x2−5x+ 3 = 0⇔
x= 1 x=3 2. Vậy có hai điểm cần tìm làM(1; 2)vàN
Å3 2; 2
ã .
2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hàm sốy=g(x) = −2x
x2−2x−3. Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng2.
ýLời giải.
Ta cóg(x) = 2⇔ −2x
x2−2x−3 = 2⇔ −2x= 2(x2−2x−3)⇔2x2−2x−6 = 0⇔
1 +√
13 2 1−√
13 2 . Vậy có hai điểm cần tìm làM
Ç1 +√ 13 2 ; 2
å vàN
Ç1−√ 13 2 ; 2
å .
Bài 2. Cho hàm sốy=f(x) =
®x2−6 nếux≤1 x2−3x nếux >1.
a) Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của hàm số?
A(3; 3), B(−1;−5), C(1;−2)vàD(3; 0).
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tung độ bằng−2.
ýLời giải.
a) Ta có
○ f(3) = 32−3·3 = 06= 3, suy raA(3; 3)không thuộc đồ thị của hàm số.
○ f(−1) = (−1)2−6 =−5, suy raB(−1;−5)thuộc đồ thị của hàm số.
○ f(1) = 12−6 =−56=−2, suy raC(1;−2)không thuộc đồ thị của hàm số.
○ f(3) = 32−3·3 = 0, suy raD(3; 0)thuộc đồ thị của hàm số.
b) Ta cóf(x) =−2.
○ Vớix≤1, ta cóx2−6 =−2⇔x2= 4⇔
ñx=−2(nhận) x= 2(loại).
○ Vớix >1, ta cóx2−3x=−2⇔x2−3x+ 2 = 0⇔
ñx= 1(loại) x= 2(nhận).
Vậy có hai điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng−2làM(−2;−2)vàN(2;−2).
d Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm sốy=f(x)là tập hợp các số thựcxsao cho biểu thứcf(x)xác định.
!
○ Hàm sốy= A
f(x)xác định khi và chỉ khif(x)6= 0(Alà hằng số).
○ Hàm sốy=p
f(x)xác định khi và chỉ khif(x)≥0.
○ Hàm sốy= A
pf(x) xác định khi và chỉ khif(x)>0.
!
○ P(x)·Q(x)6= 0⇔®PQ(x)(x)6= 06= 0.!
○ Nếua≤x≤bthìD= [a;b].
○ Nếua≤x < bthìD= [a;b).
○ Nếu
®a < x < b
x6=x0 thìD = (a;b)\ {x0}.
○ Nếux > athìD= (a; +∞).
○ Nếux≤bthìD = (−∞;b].
○ Nếu
ña < x < b c≤x≤d x6=x0
thì D = (a;b)∪[c;d]\ {x0}.
1 VÍ DỤ MINH HỌA
#Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm sốy= x+ 3
2x2−18+ 5
1 +x3 −2x+ 1.
ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®2x2−186= 0 1 +x36= 0 ⇔
®x6=±3 x6=−1.
Vậy tập xác địnhD=R\ {±3;−1}.
#Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm sốy= 4√
2x+ 1−(x−4)√ 3−x.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®2x+ 1≥0 3−x≥0 ⇔
x≥ −1
2 x≤3
⇔ −1
2 ≤x≤3.
Vậy tập xác địnhD= ï
−1 2; 3
ò .
#Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm sốy= x3−√ 7−3x (x2−4x)√
2x+ 2. ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
7−3x≥0 2x+ 2>0 x2−4x6= 0
⇔
x≤7
3 x >−1 x6= 0 x6= 4
⇔
−1< x≤ 7 3 x6= 0.
Vậy tập xác địnhD= Å
−1;7 3 ò
\ {0}.
#Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm sốy= x3−3
√x−2−√ 7−3x. ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x−2≥0 7−3x≥0
√x−2−√
7−3x6= 0
⇔
x≥2 x≤7
√ 3
x−26=√ 7−3x
⇔
2≤x≤ 7 3 x−26= 7−3x
⇔
2≤x≤ 7 3 x6= 9
4. Vậy tập xác địnhD=
ï 2;7
3 ò
\ ß9
4
™ .
#Ví dụ 5. Tìm các giá trị của tham sốmđể hàm sốy= 3x+ 5
x2+ 3x+m−1 có tập xác địnhD=R. ýLời giải.
Hàm số có tập xác địnhD=Rkhi và chỉ khi
x2+ 3x+m−16= 0, ∀x∈R
⇔ x2+ 3x+m−1 = 0 vô nghiệm
⇔ ∆ = 13−4m <0
⇔ m > 13 4 . Vậym > 13
4 .
#Ví dụ 6. Tìm các giá trị của tham sốmđể hàm sốy=x2+2√
3x−2m+ 1có tập xác địnhD= [−1; +∞).
ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi3x−2m+ 1≥0⇔x≥ 2m−1 3 . Vì tập xác địnhD= [−1; +∞)nên 2m−1
3 =−1⇔m=−1.
Vậym=−1.
2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau y=x2−3x+ 2.
1 y= x−1
x2+ 2x−3
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
2T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
y= x2+ 2x−3 (x2−9x)(x2+x+ 1).
3 y=
√x−1 x2−4. 4
y= x x√
x−1.
5 y= x
x−1 +
√x+ 1 x . 6
ýLời giải.
1 y=x2−3x+ 2.
Hàm số xác định với mọix∈R.
Vậy tập xác địnhD=R. 2 y= x−1
x2+ 2x−3.
Hàm số xác định khi và chỉ khix2+ 2x−36= 0⇔
®x6= 1 x6=−3.
Vậy tập xác địnhD=R\ {1;−3}.
3 y= x2+ 2x−3 (x2−9x)(x2+x+ 1). Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x2−9x6= 0 x2+x+ 16= 0 ⇔
®x6= 0 x6= 9.
Vậy tập xác địnhD=R\ {9; 0}.
4 y=
√x−1 x2−4 .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x−1≥0 x2−46= 0 ⇔
x≥1 x6= 2 x6=−2
⇔
®x≥1 x6= 2.
Vậy tập xác địnhD= [1; +∞)\ {2}.
5 y= x
x√ x−1.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x−1>0 x6= 0 ⇔
®x >1
x6= 0 ⇔x >1.
Vậy tập xác địnhD= (1; +∞).
6 y= x x−1+
√x+ 1 x .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x−16= 0 x+ 1≥0 x6= 0
⇔
x6= 1 x≥ −1 x6= 0.
Vậy tập xác địnhD= [−1; +∞)\ {0; 1}.
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau y= x√
2x+ 5−3√ 2−5x 4√
x2+ 4 .
1 y= 3x+ 4 +√
x2+ 2 (x2+x+ 5) (|x|+ 1). 2
y= 2x−√ x+ 2
√7−2x .
3 y= x2−4x+ 3
(x2+ 2x+ 4)√
2x2+ 1. 4
y= 2x2+x−3 (x2−5x)√
x−2.
5 y=
√2x−3 3−x +√
5−x.
6
y=
√2x+ 4 + 3√ 4−x x2−3x+ 2 .
7 y= 3x+√
6−x 1 +√
x+ 4 . 8
y= 2x2−5√ 9−2x 2−√
x−2 .
9 y=
3x+
x2+ 2 2x+ 10 1−√
3−x . 10
y=
√3−4x+x√ x
|2x−7|+ 2 .
11 y=
√x2+ 10−√ 2x+ 11
|3x−2| −4 . 12
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
ýLời giải.
1 y= x√
2x+ 5−3√ 2−5x 4√
x2+ 4 . Hàm số xác định khi và chỉ khi
2x+ 5≥0 2−5x≥0 x2+ 4>0
⇔
x≥ −5
2 x≤ 2
5
⇔ −5
2 ≤x≤ 2 5. Vậy tập xác địnhD=
ï
−5 2;2
5 ò
.
2 y= 3x+ 4 +√ x2+ 2
(x2+x+ 5) (|x|+ 1). Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x−1>0 x6= 0 ⇔
®x >1
x6= 0 ⇔x >1.
Vậy tập xác địnhD= (1; +∞).
3 y= 2x−√ x+ 2
√7−2x .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x+ 2≥0 7−2x >0 ⇔
x >−2 x < 7
2
⇔ −2≤x < 7 2. Vậy tập xác địnhD=
ï
−2;7 2
ã .
4 y= x2−4x+ 3 (x2+ 2x+ 4)√
2x2+ 1. Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x2+ 2x+ 46= 0
2x2+ 1>0 ⇔x∈R.
Vậy tập xác địnhD=R. 5 y= 2x2+x−3
(x2−5x)√ x−2.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
®x−2>0 x2−5x6= 0 ⇔
x >2 x6= 0 x6= 5
⇔
®x >2 x6= 5.
Vậy tập xác địnhD= (2; +∞)\ {5}.
6 y=
√2x−3 3−x +√
5−x.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2x−3≥0 3−x6= 0 5−x≥0
⇔
x≥ 3
2 x6= 3 x≤5
⇔
3
2 ≤x≤5 x6= 3.
Vậy tập xác địnhD= ï3
2; 5 ò
\ {3}.
7 y=
√2x+ 4 + 3√ 4−x x2−3x+ 2 . Hàm số xác định khi và chỉ khi
2x+ 4≥0 4−x≥0 x2−3x+ 26= 0
⇔
x≥ −2 x≤4 x6= 1 x6= 2
⇔
−2≤x≤4 x6= 1 x6= 2.
Vậy tập xác địnhD= [−2; 4]\ {1; 2}.
8 y= 3x+√ 6−x 1 +√
x+ 4 .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
6−x≥0 x+ 4≥0 1 +√
x+ 46= 0
⇔
®x≤6
x≥ −4 ⇔ −4≤x≤6.
Vậy tập xác địnhD= [−4; 6].
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
9 y= 2x2−5√ 9−2x 2−√
x−2 .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
9−2x≥0 x−2≥0 2−√
x−26= 0
⇔
x≤ 9
2 x≥2
√x−26= 2
⇔
2≤x≤ 9 2 x−26= 4
⇔
2≤x≤ 9 2 x6= 6
⇔2≤x≤ 9 2.
Vậy tập xác địnhD= ï
2;9 2 ò
.
10 y= 3x+
x2+ 2 2x+ 10 1−√
3−x .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x2+ 2 2x+ 10 ≥0 3−x≥0 1−√
3−x6= 0
⇔
2x+ 10≥0 x≤3
√3−x6= 1
⇔
x≥ −5 x≤3 3−x6= 1
⇔
®−5≤x≤3 x6= 2.
Vậy tập xác địnhD= [−5; 3]\ {2}.
11 y=
√3−4x+x√ x
|2x−7|+ 2 .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
3−4x≥0 x≥0
|2x−7|+ 26= 0
⇔
x≤ 3
4 x≥0
⇔0≤x≤ 3 4. Vậy tập xác địnhD=
ï 0;3
4 ò
.
12 y=
√x2+ 10−√ 2x+ 11
|3x−2| −4 .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x2+ 10≥0 2x+ 11≥0
|3x−2| −46= 0
⇔
x≥ −11 2
|3x−2| 6= 4
⇔
x≥ −11 2 3x−26= 4 3x−26=−4
⇔
x≥ −11 2 x6= 2 x6=−2
3. Vậy tập xác địnhD=
ï
−11 2 ; +∞
ã
\ ß
−2 3; 2
™ .
Bài 3. Tìm các giá trị của tham sốmđể hàm sốy= x3+ 2
x2−3x+m−5 có tập xác địnhD=R. ýLời giải.
Hàm số có tập xác địnhD=Rkhi và chỉ khi
x2−4x+m−56= 0, ∀x∈R
⇔ x2−4x+m−5 = 0 vô nghiệm
⇔ ∆0= 9−m <0
⇔ m >9.
Vậym >9.
Bài 4. Tìm các giá trị của tham sốmđể hàm sốy= 2x2−5
3mx−4m+ 8 có tập xác địnhD=R\ {2}.
ýLời giải.
Vì hàm số có tập xác địnhD=R\ {2}nên ta có 3m·2−4m+ 8 = 0⇔m=−4.
Khi đó hàm số trở thànhy= 2x2−5
−12x+ 24 và có tập xác địnhD=R\ {2}.
Vậym=−4.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Bài 5. Tìm các giá trị của tham sốmđể hàm sốy=√
x2−2mx+m2−m+ 1có tập xác địnhD=R. ýLời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khix2−2mx+m2−m+ 1≥0⇔(x−m)2+ 1−m≥0.
Tập xác địnhD=R⇔1−m≥0⇔m≤1.
Vậym≤1.
d Dạng 4. Sự biến thiên của hàm số
Hàm sốf xác định trên khoảngKvàx1, x2∈K.
○ Hàm sốf gọi là đồng biến trênKnếux1< x2⇒f(x1)< f(x2).
○ Hàm sốf gọi là nghịch biến trênKnếux1< x2⇒f(x1)> f(x2).
!
○ Hàm sốf xác định trên khoảngK. Nếuf(x1) =f(x2)với mọix1, x2∈K, nghĩa làf(x) =c(c là hằng số) thìf gọi làhàm số hằng(còn gọi làhàm số không đổi) trênK.
○ Hàm sốfxác định trên khoảngK. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốfnghĩa là xemfđồng biến, hoặcnghịch biến, hoặckhông đổitrên các khoảng nào đó trong tập xác định của nó.
1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNGK Cho hàm sốy=f(x)và hai số tùy ýx1, x2∈K.
CÁCH 1.Giả sửx1< x2.
○ Nếuf(x1)−f(x2)<0thìf đồng biếntrênK.
○ Nếuf(x1)−f(x2)>0thìf nghịch biếntrênK, CÁCH 2.Giả sửx16=x2.
○ Nếu f(x1)−f(x2) x1−x2
>0thìf đồng biếntrênK.
○ Nếu f(x1)−f(x2) x1−x2
<0thìf nghịch biếntrênK.
VÍ DỤ
#Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy=f(x) = 2x−7trên khoảng(−∞; +∞).
ýLời giải.
Với∀x1, x2∈(−∞; +∞), x16=x2. Ta có:f(x1)−f(x2) x1−x2
= 2x1−7−2x2+ 7 x1−x2
=2(x1−x2) x1−x2
= 2>0.
Vậy hàm số đồng biến trên(−∞; +∞).
#Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy=h(x) =x2+ 2x−3trong khoảng(−∞;−1).
ýLời giải.
Với∀x1, x2∈(−∞;−1), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2)
x1−x2 = x21+ 2x1−3−x22−2x2+ 3 x1−x2
= x21−x22+ 2(x1−x2) x1−x2
= (x1−x2)(x1+x2) + 2(x1−x2) x1−x2
= (x1−x2)(x1+x2+ 2) x1−x2
=x1+x2+ 2.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Vì
®x1∈(−∞;−1) x2∈(−∞;−1) ⇒
®x1<−1
x2<−1 ⇒x1+x2<−2⇒x1+x2+ 2<0.
Vậy hàm số giảm trên(−∞;−1)
#Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên của hàm sốy=g(x) = 4x
x−1 trên khoảng(1; +∞).
ýLời giải.
Với∀x1, x2∈(1; +∞), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) = 4x1
x1−1 − 4x2 x2−1
= −4(x1−x2) (x1−1)(x2−1). Khi đó:
f(x1)−f(x2) x1−x2
= −4(x1−x2)
(x1−1)(x2−1) : (x1−x2)
= −4
(x1−1)(x2−1). Vì
®x1∈(1; +∞) x2∈(1; +∞) ⇒
®x1>1 x2>1 ⇒
®x1−1>0
x2−1>0 ⇒ −4
(x1−1)(x2−1) <0.
Vậy hàm số giảm trên(1; +∞) 2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
a. y=f(x) = (2−x)2−(1−x)2trong khoảng(−∞; +∞).
b. y=f(x) = 2−x(x−4)trên khoảng(2; +∞).
c. y=f(x) = 1−x−5
x−3 trên khoảng(3; +∞).
d. y=k(x) = x2−4
(x+ 2)2 trên khoảng(−∞;−2).
e. y=√
x+ 1trên khoảng(−1; +∞).
f. y= 1
x+ 1 trên khoảng(−∞;−1).
ýLời giải.
a. Ta có:y=f(x) = (2−x)2−(1−x)2=−2x+ 3.
Với∀x1, x2∈(−∞; +∞), x16=x2thì:
f(x1)−f(x2) x1−x2
= −2x1+ 3 + 2x2−3 x1−x2
=−2(x1−x2) x1−x2
=−2<0.
Vậy hàm số nghịch biến trên(−∞; +∞).
b. Ta có:y=f(x) = 2−x(x−4) =−x2+ 4x+ 2trên khoảng(2; +∞).
Với∀x1, x2∈(2; +∞), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) x1−x2
= −x21+ 4x1+ 2 +x22−4x2−2 x1−x2
= −(x1−x2)(x1+x2) + 4(x1−x2) x1−x2
= −(x1−x2)(x1+x2−4) x1−x2
=x1+x2−4.
Vì
®x1∈(2; +∞) x2∈(2; +∞) ⇒
®x1>2
x2>2 ⇒x1+x2>4⇒x1+x2−4>0.
Vậy hàm số tăng trên(−∞;−1)
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
c. y=f(x) = 1−x−5 x−3 = 2
x−3 trên khoảng(3; +∞).
Với∀x1, x2∈(3; +∞), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) = 2
x1−3− 2 x2−3
= −2(x1−x2) (x1−3)(x2−3). Khi đó:
f(x1)−f(x2)
x1−x2 = −2(x1−x2)
(x1−3)(x2−3) : (x1−x2)
= −2
(x1−3)(x2−3).
Vì
®x1∈(3; +∞) x2∈(3; +∞) ⇒
®x1>3 x2>3 ⇒
®x1−3>0
x2−3>0 ⇒ −2
(x1−3)(x2−3) <0.
Vậy hàm số giảm trên(3; +∞) d. y=k(x) = x2−4
(x+ 2)2 = (x−2)(x+ 2)
(x+ 2)2 =x−2
x+ 2 trên khoảng(−∞;−2).
Với∀x1, x2∈(−∞;−2), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) = x1−2
x1+ 2−x2−2 x2+ 2
= 2(x1−x2) (x1+ 2)(x2+ 2). Khi đó:
f(x1)−f(x2)
x1−x2 = 2(x1−x2)
(x1+ 2)(x2+ 2) : (x1−x2)
= 2
(x1+ 2)(x2+ 2).
Vì
®x1∈(−∞;−2) x2∈(−∞;−2) ⇒
®x1<−2 x2<−2 ⇒
®x1+ 2<0
x2+ 2<0 ⇒ 2
(x1+ 2)(x2+ 2) >0.
Vậy hàm số tăng trên(−∞;−2) e. y=√
x+ 1trên khoảng(−1; +∞).
Với∀x1, x2∈(−1; +∞), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) x1−x2
=
√x1+ 1−√ x2+ 1 x1−x2
=
√x1+ 1−√
x2+ 1 √
x1+ 1 +√ x2+ 1 (x1−x2) √
x1+ 1 +√ x2+ 1
= x1−x2
(x1−x2) √
x1+ 1 +√ x2+ 1
= 1
√x1+ 1 +√
x2+ 1 >0,∀x∈(−1; +∞).
Vậy hàm số tăng trên(−1; +∞) f. y= 1
x+ 1 trên khoảng(−∞;−1).
Với∀x1, x2∈(−∞;−1), x16=x2. Ta có:
f(x1)−f(x2) = 1
x1+ 1− 1 x2+ 1
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
= −(x1−x2) (x1+ 1)(x2+ 1). Khi đó:
f(x1)−f(x2) x1−x2
= −(x1−x2)
(x1+ 1)(x2+ 21) : (x1−x2)
= −1
(x1+ 1)(x2+ 1). Vì
®x1∈(−∞;−1) x2∈(−∞;−1) ⇒
®x1<−1 x2<−1 ⇒
®x1+ 1<0
x2+ 1<0 ⇒ −1
(x1+ 1)(x2+ 1) <0.
Vậy hàm số giảm trên(−∞;−1)
d Dạng 5. Hàm số chẵn - Hàm số lẻ
1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Tập đối xứng. Dlà tập con của tập số thựcRgọi làtập đối xứngnếu thỏa: với mọixthuộcDthì−x cũng thuộcD.
( )
−a −x 0 x a
#Ví dụ 1.
○ Rlà tập đối xứng vì∀x∈R⇒ −x∈R.
○ R\ {−1; 1}là tập đối xứng vì∀x∈R\ {−1; 1} ⇒ −x∈R\ {−1; 1}.
○ {−a;a},(vớia >0) là tập đối xứng vì∀x∈ {−a;a} ⇒ −x∈ {−a;a}.
○ [−a;a],(vớia >0) là tập đối xứng vì∀x∈[−a;a]⇒ −x∈[−a;a].
○ {−a;a} \ {0},(vớia >0) là tập đối xứng vì∀x∈ {−a;a} \ {0} ⇒ −x∈ {−a;a} \ {0}.
○ [−a;a]\ {0},(vớia >0) là tập đối xứng vì∀x∈[−a;a]\ {0} ⇒ −x∈[−a;a]\ {0}.
#Ví dụ 2.
○ R\ {2}không là tập đối xứng vìx=−2∈R\ {2}nhưng−x= 2∈/R\ {2}.
○ [−4; 4)không là tập đối xứng vìx=−4∈[−4; 4)nhưng−x= 4∈/ [−4; 4).
○ [−4; 6]không là tập đối xứng vìx= 5∈[−4; 6]nhưng−x=−5∈/ [−4; 6].
○ [−5; 5]\ {1}không là tập đối xứng vìx=−1∈[−5; 5]nhưng−x= 1∈/[−5; 5].
2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm sốf xác định trêntập đối xứngD.
○ Nếu∀x∈Dmàf(−x) =f(x)thì ta nóif làhàm số chẵntrênD.
○ Nếu∀x∈Dmàf(−x) =−f(x)thì ta nóif làhàm số lẻtrênD. 3 Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ
○ Đồ thị hàm sốhàm số chẵnnhận trục tung làm trục đối xứng,
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
○ Đồ thị hàm sốhàm số lẻnhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
x y
O
x y
O
Đồ thị hàm số chẵn Đồ thị hàm số lẻ
2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁCH XÉT TÍNH CHẴN - LẺ CỦA HÀM SỐ Tìm tập xác địnhDcủa hàm sốy=f(x).
○ NếuDkhônglà tập đối xứng thì hàm sốf không chẵn và không lẻ trênD.
○ NếuDlà tập đối xứng: Với∀x∈D, tínhf(−x).
• Nếuf(−x)6=±f(x): Chọn một giá trị thích hợpx=a∈Dđể cóf(−a)6=±f(a). Từ đó kết luận hàm số không chẵn và không lẻ trênD.
• Nếuf(−x) =f(x)thìf là hàm sốchẵntrênD.
• Nếuf(−x) =−f(x)thìf là hàm sốlẻtrênD.
3 VÍ DỤ
#Ví dụ 1. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy=f(x) =√ 2x−3 ýLời giải.
Hàm số xác định⇔2x−3≥0⇔x≥ 3 2.
⇒Tập xác địnhD= ï3
2; +∞
ã .
Vớix= 3∈Dnhưngx=−3∈/DnênDkhông phải là tập đối xứng.
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
#Ví dụ 2. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy=g(x) = 2x−1 +√
3 +x+√ 3−x ýLời giải.
Hàm số xác định⇔
®3 +x≥0 3−x≥0 ⇔
®x≥ −3
x≤3 ⇔ −3≤x≤3.
⇒Tập xác địnhD= [−3; 3]là tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
g(−x) = 2(−x)−1 +»
3 + (−x) +»
3−(−x)
= −2x−1 +√
3−x+√ 3 +x
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
= −Ä
2x+ 1−√
3−x−√ 3 +xä
. Chọna= 2, ta có
g(−2) =−4 +√
5;g(2) = 4 +√ 5⇒
®g(−2)6=g(2) g(−2)6=−g(2).
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
#Ví dụ 3. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy=f(x) =
√3 +x+√ 3−x x2 ýLời giải.
Hàm số xác định⇔
3 +x≥0 3−x≥0 x26= 0
⇔
x≥ −3 x≤3 x6= 0
⇔
®−3≤x≤3 x6= 0 .
⇒Tập xác địnhD= [−3; 3]\ {0}là tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
f(−x) =
p3 + (−x) +p
3−(−x) (−x)2
=
√3−x+√ 3 +x
x2 =f(x).
Vậy hàm số chẵn.
#Ví dụ 4. Xét tính chẵn-lẻ của hàm sốy=h(x) =x3−x+√
1 +x−√ 1−x ýLời giải.
Hàm số xác định⇔
®1 +x≥0 1−x≥0 ⇔
®x≥ −1
x≤1 ⇔ −1≤x≤1.
⇒Tập xác địnhD= [−1; 1]là tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
h(−x) = (−x)3−(−x) +»
1 + (−x)−»
1−(−x)
= −x3+x+√
1−x−√ 1 +x
= −Ä
x3−x+√
1 +x−√ 1−xä
=−h(x) Vậy hàm số lẻ.
4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Chứng minh đồ thị hàm sốy=f(x) = 5x
x2−4 nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
ýLời giải.
Ta cần chứng minh hàm sốy=f(x) = 5x x2−4 là lẻ.
Thật vậy: Hàm số xác định⇔x2−46= 0⇔x6=±2. Suy ra tập xác địnhD=R\ {±2}là tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
f(−x) = 5(−x) (−x)2−4
= −5x
x2−4 =−f(x).
Vậy hàm số lẻ.
Bài 2. Chứng minh đồ thị hàm sốy=g(x) =|2−x|+|2 +x|nhận trục tung làm trục đối xứng.
ýLời giải.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Ta cần chứng minh hàm sốy=g(x) =|2−x|+|2 +x|là chẵn.
Thật vậy: Hàm số xác định∀x∈R⇒Tập xác địnhD=Rlà tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
g(−x) = |2−(−x)|+|2 + (−x)|
= |2 +x|+|2−x|=g(x).
Vậy hàm số chẵn.
Bài 3. Xét tính chẵn-lẻ của các hàm số sau.
y=f(x) = 2x4 x2−9.
1 2 y=h(x) =x2−3x.
y=g(x) =√
2 +x+√ 2−x.
3 y=k(x) = x3−5x
|x−1|+|x+ 1|. 4
y=u(x) =
√5 +x+√ 5−x x−1 .
5 y=v(x) = 2x3
√6 + 3x−√ 6−3x. 6
ýLời giải.
1 y=f(x) = 2x4 x2−9.
Hàm số xác định⇔x2−96= 0⇔x6=±3.⇒Tập xác địnhD=R\ {−3; 3}là tập đối xứng. Với∀x∈D. Xét f(−x) = 2(−x)4
(−x)2−9
= 2x4
x2−9 =f(x).
Vậy hàm số chẵn.
2 y=h(x) =x2−3x.
Tập xác địnhD=Rlà tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
h(−x) = (−x)2−3(−x) =x2+ 3x.
Chọna= 2, ta có
h(−2) = 10;h(2) =−2⇒
®h(−2)6=h(2) h(−2)6=−h(2).
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
3 y=g(x) =√
2 +x+√ 2−x.
Hàm số xác định⇔
®2 +x≥0 2−x≥0 ⇔
®x≥ −2
x≤2 ⇔ −2≤x≤2.
Suy ra tập xác địnhD = [−2; 2]là tập đối xứng.
Với∀x∈D. Xét
g(−x) = »
2 + (−x) +»
2−(−x)
= √
2−x+√
2 +x=g(x).
Vậy hàm số chẵn.
4 y=k(x) = x3−5x
|x−1|+|x+ 1|.
Tập xác địnhD=Rlà tập đối xứng. Với∀x∈D. Xét
k(−x) = (−x)3−5(−x)
|(−x)−1|+|(−x) + 1|
= −x3+ 5x
|x+ 1|+|x−1|
= − x3−5x
|x−1|+|x+ 1| =−k(x) Vậy hàm số lẻ.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
5 y=u(x) =
√5 +x+√ 5−x x−1 . Hàm số xác định⇔
5 +x≥0 5−x≥0 x−16= 0
⇔
x≥ −5 x≤5 x6= 1
⇔ −5≤x≤5vàx6= 1.
Tập xác địnhD= [−5; 5]\ {1}không phải là tập đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
6 y=v(x) = 2x3
√6 + 3x−√ 6−3x. Hàm số xác định⇔
6 + 3x≥0 6−3x≥0
√
6 + 3x−√
6−3x6= 0
⇔
x≥ −2 x≤2
√
6 + 3x6=√ 6−3x
⇔
®−2≤x≤2 x6= 0 . Tập xác địnhD= [−2; 2]\ {0}là tập đối xứng. Với∀x∈D. Xét
v(−x) = 2(−x)3
p6 + 3(−x)−p
6−3(−x)
= −2x3
√6−3x−√ 6 + 3x
= 2x3
√6 + 3x−√
6−3x =v(x).
Vậy hàm số chẵn.