d Dạng 1. Phương pháp thế
1 VÍ DỤ
#Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
®2x−y+ 1 = 0 (1)
4x2−y2+ 2xy+ 5y= 0. (2) ýLời giải.
Từ (1) suy ray= 2x+ 1thay vào phương trình (2) ta được
4x2−(2x+ 1)2+ 2x(2x+ 1) + 5(2x+ 1) = 0⇔4x2+ 8x+ 4 = 0⇔x=−1.
Vớix=−1⇒y=−1.
Vậy hệ Phương trình có nghiệm là(−1;−1).
#Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
®x+y= 1 (1)
x3−y3= 3(x−y). (2) ýLời giải.
Từ (1) suy ray= 1−xthay vào (2) ta được
x3−(1−x)3−3(x−1 +x)⇔2x3−3x2−3x+ 2 = 0⇔
x=−1 x= 2 x=1 2. Vớix=−1⇒y= 2.
Vớix= 2⇒y=−1.
Vớix= 1
2 ⇒y= 1 2.
Vậy phương trình có các nghiệm là(−1; 2),(2;−1), Å1
2;1 2 ã
.
2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
®x+ 2y= 5
x2+ 2y2−2xy= 5.
1
®2x+y= 1
x2−5xy+y2= 7.
2
®x2+y= 4x 2x+y= 5.
3
®x+y+ 2 = 0 x2+y2−xy= 13.
4
®x+ 2y= 4 x2+ 3y2= 7.
5
®x+ 2y= 4
x2+ 3y2−xy+ 2x−5y= 4.
6
ýLời giải.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
1
®x+ 2y= 5
x2+ 2y2−2xy= 5.
Ta cóx+ 2y= 5⇒x= 5−2y. (*) Thay (*) vào phương trình còn lại được
(5−2y)2+ 2y2−2(5−2y)y= 5⇔10y2−30y+ 20 = 0⇔ ñy= 1
y= 2.
Vớiy= 1⇒x= 3.
Vớiy= 2⇒x= 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(3; 1),(1; 2).
2
®2x+y= 1
x2−5xy+y2= 7.
Ta có2x+y= 1⇔y= 1−2x, thay vào phương trình còn lại ta được
x2−5x(1−2x) + (1−2x)2= 7⇔15x2−9x−6 = 0⇔
x= 1 x=−2
5. Vớix= 1⇒y=−1.
Vớix=−2
5 ⇒y= 9 5.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(1;−1), Å
−2 5;9
5 ã
.
3
®x2+y= 4x 2x+y= 5.
Ta có2x+y= 5⇔y= 5−2x, thay vào phươn trình còn lại của hệ ta được x2+ 5−2x= 4x⇔x2−6x+ 5 = 0⇔
ñx= 1 x= 5.
Vớix= 1⇒y= 3.
Vớix= 5⇒y=−5.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(1; 3),(5;−5).
4
®x+y+ 2 = 0 x2+y2−xy= 13.
Ta cóx+y+ 2 = 0⇔y=−2−x, thay vào phương trình đã còn lại ta được x2+ (−2−x)2−x(−2−x) = 13⇔3x2+ 6x−9 = 0⇔
ñx= 1 x=−3.
Vớix= 1⇒y=−3.
Vớix=−3⇒y= 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(1;−3),(−3; 1).
5
®x+ 2y= 4 x2+ 3y2= 7.
Ta cóx+ 2y= 4⇔x= 4−2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được
(4−2y)2+ 3y2= 7⇔7y2−16y+ 9 = 0
y= 1 y= 9 7. Vớiy= 1⇒x= 2.
Vớiy=9
7 ⇒x=10 7 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(2; 1), Å10
7 ;9 7 ã
.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
6
®x+ 2y= 4
x2+ 3y2−xy+ 2x−5y= 4.
Ta cóx+ 2y= 4⇔x= 4−2y, thay vào phương trình còn lại của hệ ta được
(4−2y)2+ 3y2−(4−2y)y+ 2(4−2y)−5y= 4⇔9y2−29y+ 20 = 0⇔
y= 1 y= 20
9 . Vớiy= 1⇒x= 2.
Vớiy=20
9 ⇒x=−4 9.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(2; 1), Å
−4 9;20
9 ã
.
d Dạng 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng
®f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 với
®f(x, y) =f(y, x) g(x, y) =g(y, x).
Cách giải:
Đặt
®S=x+y
P =xy (điều kiện hệ có nghiệmS2≥4P).
ThếS,Pvào hệ.
Khi đ1ox,ylà nghiệm của phương trìnhX2−SX+P= 0.
!
Một số biểu thức đối xứng thường gặp
○ x2+y2= (x+y)2−2xy=S2−2P.
○ x3+y3= (x+y)(x2−xy+y2) = (x+y)
(x+y)2−3xy
=S(S2−3P) =S3−3P S.
○ x4+y4= x2+y22
−2x2·y2= S2−2P2
−2P2.
2 VÍ DỤ
#Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
®x+y+xy= 5 x2+y2= 5.
ýLời giải.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®x+y+xy= 5 (x+y)2−2xy= 5.
Đặt
®S=x+y
P=xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S+P = 5 S2−2P = 5 ⇔
®P = 5−S
S2−2(5−S) = 5
⇔
®P = 5−S
S2+ 2S−15 = 0 ⇔
P = 5−S ñS= 3
S=−5
⇔
®S= 3
P = 2 (Nhận)
®S=−5 P = 10. (Loại)
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Với
®S= 3
P = 2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−3X+ 2 = 0⇔
ñX = 1 X = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là(1; 2),(2; 1).
#Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
®x+y+xy= 11 x2y+xy2= 30.
ýLời giải.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®x+y+xy= 11 xy(x+y) = 30.
Đặt
®S=x+y
P=xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S+P = 11 S·P= 30 ⇔
®S= 11−P (11−P)P = 30
⇔
®S= 11−P
−P2+ 11P−30 = 0 ⇔
S= 11−P ñP = 6
P = 5
⇔
®S= 5
P = 6 (nhận)
®S= 6
P = 5. (nhận) Với
®S= 5
P = 6 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−5X+ 6 = 0⇔
ñX = 3 X = 2.
Với
®S= 6
P = 5 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−6X+ 5 = 0⇔
ñX = 1 X = 5.
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là(3; 2),(2; 3),(1; 5),(5; 1).
#Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
®x+y= 1
x3+y3=x2+y2. ýLời giải.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®x+y= 1
(x+y)3−3(x+y)xy= (x+y)2−2xy Đặt
®S=x+y
P=xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S= 1
S3−3SP =S2−2P ⇔
®S= 1
1−3P = 1−2P
⇔
®S= 1
P = 0. (nhận) Với
®S= 1
P = 0 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−X= 0⇔
ñX = 0 X = 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(0; 1),(1; 0).
#Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
®x2+y2= 5
x4+y4−x2y2= 13.
ýLời giải.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Hệ phương trình đã cho tương đương với
((x+y)2−2xy= 5 x2+y22
−3(xy)2= 13.
Đặt
®S=x+y
P=xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S2−2P = 5
(S2−2P)2−3P2= 13⇔
®S2−2P = 5 52−3P2= 13
⇔
S2= 5 + 2P ñP= 2
P=−2
⇔
®P = 2 S2= 9
®P =−2 S2= 1
⇔
®P = 2 S = 3
®P = 2 S =−3
®P =−2 S = 1
®P =−2 S =−1.
Với
®S= 3
P = 2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−3X+ 2 = 0⇔
ñX = 1 X = 2.
Với
®S=−3
P = 2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2+ 3X+ 2 = 0⇔
ñX =−1 X =−2.
Với
®S= 1
P =−2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−X−2 = 0⇔
ñX=−1 X= 2.
Với
®S=−1
P =−2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2+X−2 = 0⇔
ñX= 1 X=−2.
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là(1; 2),(2; 1),(−1;−2),(−2;−1),(−1; 2),(2;−1),(1;−2),(−2; 1).
3 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
®xy+x+y= 5 x2+y2+x+y= 8.
1
®x+xy+y= 11
x2+y2+ 3(x+y) = 28.
2
®x+y= 2 x4+y4= 34.
3
®x2+y2= 13
3(x+y) + 2xy+ 9 = 0.
4
ýLời giải.
1
®xy+x+y= 5 x2+y2+x+y= 8.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®xy+x+y= 5
(x+y)2−2xy+x+y= 8.
Đặt
®S=x+y
P =xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S+P = 5
S2−2P+S= 8 ⇔
®P= 5−S S2+ 3S−18 = 0
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
⇔
P = 5−S ñS= 3
S=−6
⇔
®S= 3 P= 2
®S=−6 P= 11. (loại) Với
®S= 3
P = 2 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−3X+ 2 = 0⇔
ñX = 1 X = 2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(1; 2),(2; 1).
2
®x+xy+y= 11
x2+y2+ 3(x+y) = 28.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®x+y+xy= 11
(x+y)2−2xy+ 3(x+y) = 28.
Đặt
®S=x+y
P =xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S+P = 11
S2−2P+ 3S= 28 ⇔
®P = 11−S S2+ 5S−50 = 0
⇔
P = 11−S ñS= 5
S=−10
⇔
®S= 5 P= 6
®S=−10 P= 21.
Với
®S= 5
P = 6 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−5X+ 6 = 0⇔
ñX = 3 X = 2.
Với
®S=−10
P = 21 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2+ 10X+ 21 = 0⇔
ñX =−3 X =−7.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(3; 2),(2; 3),(−3;−7),(−7;−3).
3
®x+y= 2 x4+y4= 34.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
(x+y= 2 x2+y22
−2x2y2= 34.
Đặt
®S=x+y
P =xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành (S= 2
S2−2P2
−2P2
⇔
®S= 2
(4−2P)2−2P2= 34
⇔
®S= 2
2P2−16P−18 = 0 ⇔
S= 2
ñP =−1 P = 9
⇔
®S= 2 P =−1
®S= 2 P = 9. (loại) Với
®S= 2
P =−1 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−2X−1 = 0⇔
"
X = 1 +√ 2 X = 1−√
2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là(1−√
2; 1 +√
2),(1 +√
2; 1−√ 2).
4
®x2+y2= 13
3(x+y) + 2xy+ 9 = 0.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®(x+y)2−2xy= 13 3(x+y) + 2xy+ 9 = 0.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Đặt
®S=x+y
P =xy (điều kiện có nghiệmS2≥4P).
Khi đó hệ phương trình trở thành
®S2−2P= 13 3S+ 2P+ 9 = 0 ⇔
®S2+ 3S−4 = 0
−2P = 9 + 3S
⇔
ñS= 1
S=−4 P =9 + 3S
−2
⇔
® S= 1 P =−6
S=−4 P = 3
2. Với
®S= 1
P =−6 khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2−X−6 = 0⇔
ñX = 3 X =−2.
Với
S=−4 P =3
2
khi đóx,ylà nghiệm của phương trìnhX2+ 4X+3 2 = 0⇔
X =−4 +√ 10 2 X =−4−√
10
2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
Ç−4 +√ 10
2 ;−4−√ 10 2
å ,
Ç−4−√ 10
2 ;−4 +√ 10 2
å
,(3;−2),(−2; 3).
!
Thiếu toàn bộ nội dung dạng 3,4 đến hết ví dụ 1 (kể cả bài tập tương tự trang 124)#Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
®x3−6x2y+ 9xy2−4y3= 0 (1) x2−5y2−x−7 = 0. (2) ýLời giải.
Nhận xét. Phương trình(1)chứa các biểu thứcx3,6x2y,9xy2,4y3là những biểu thức có cùng bậc ba. Ta gọi phương trình dạng này là phương trìnhđẳng cấp(bậc3). Nếuy6= 0, chia hai vế của phương trình(1)choy3(hoặc nếux6= 0, chia hai vế chox3).
○ Xéty= 0hệ đã cho trở thành
®x3= 0
x2−x−7 = 0 vô nghiệm.
○ Xéty6= 0, chia hai vế choy3ta được
(1)⇔ Åx
y ã3
−6 Åx
y ã2
+ 9x
y −4 = 0⇔
x y = 1 x y = 4
⇔ ñx=y
x= 4y.
○ Vớix=ythế vào(2)ta được
(2)⇔y2−5y2−y−7 = 0⇔ −4y2−y−7 = 0vô nghiệm.
○ Vớix= 4ythế vào(2)được
(2)⇔16y2−5y2−4y−7 = 0⇔11y2−4y−7 = 0⇔
y= 1⇒x= 4 y=−7
11 ⇒x=−28 11.
Vậy hệ có2nghiệm
®x= 4 y= 1 hay
x=−28 11 y=−7
11.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải các hệ phương trình
®x2−5xy+ 6y2= 0 (1) 4x2+ 2xy+ 6x−27 = 0. (2) 1
2x
y +
…2y
x = 3 (1) x−y+xy= 3. (2) 2
®2y2−x2= 1 (1) 2x3−y3= 2y−x. (2) 3
®x3−2y3=x+ 4y (1) 13x2−41xy+ 21y2=−9. (2) 4
ýLời giải.
1) Ta xét các trường hợp sau
○ Vớiy= 0hệ đã cho trở thành
®x2= 0
4x2+ 6x+ 27 = 0 vô nghiệm.
○ Vớiy6= 0. Phương trình(1)là đẳng cấp (bậc2). Chia hai vế của(1)choy2ta được
(1)⇔2 Åx
y ã2
−5 Åx
y ã
+ 6 = 0⇔
x y = 2 x y = 3
⇔
ñx= 2y x= 3y.
• Vớix= 2ythế vào phương trình(2)ta được
16y2+ 4y2+ 12y−27 = 0⇔20y2+ 12y−27 = 0⇔
y=−3
2 ⇒x=−3 y= 9
10 ⇒x=9 5.
• Vớix= 3y, thay vào phương trình(2)ta có
36y2+ 6y2+ 18y−27 = 0⇔42y2+ 18y−27 = 0⇔
y= −3−3√ 15
14 ⇒x=−9−9√ 15 14 y= −3 + 3√
15
14 ⇒x=−9 + 9√ 15 14 . Hê phương trình có4nghiệm là
Å
−3;−3 2 ã
; Å9
5; 9 10
ã
; Ç9√
15 14 − 9
14;3√ 15 14 − 3
14 å
; Ç
−9 14−9√
15 14 ;− 3
14−3√ 15 14
å . 2) Điều kiệnxy >0.
(1) ⇔ 2x y +2y
x + 2 2x
y
…2y
x = 9⇔2x y +2y
x + 4 = 9
⇔ 2x y +2y
x = 5⇔2x2−5xy+ 2y2= 0 (∗) Phương trình(∗)là đẳng cấp (bậc2). Chia cả hai vế của(∗)choy26= 0ta được
2 Åx
y ã2
−5x
y + 2 = 0⇔
x y = 1
2 x y = 2
⇔
ñy= 2x x= 2y.
○ Vớiy= 2xthế vào phương trình(2)ta được
x−2x+ 2x2= 3⇔2x2−x−3 = 0⇔
x=−1⇒y=−2 x= 3
2 ⇒y= 3.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
○ Vớix= 2y, thay vào phương trình(2)ta có
2y−y+ 2y2= 3⇔2y2+y−3 = 0⇔
y= 1⇒x= 2 y=−3
2 ⇒x=−3.
Vậy hệ phương trình có4nghiệm là Å
−3;−3 2
ã
;(−1;−2);
Å3 2; 3
ã
;(2; 1).
Cách khác.Hệ phương trình còn có dạng đối xứng loại1.
3) Phương trình(1)và(2)không là đẳng cấp, nhưng thế(1)vào(2)ta được:
(2)⇔2x3−y3= (2y−x) 2y2−x2
⇔x3+ 2x2y+ 2xy2−5y3= 0. (*)
○ Nếuy= 0thì hệ đã cho tương đương
®x2=−1
2x3=−xvô nghiệm.
○ Nếuy6= 0. Phương trình(∗)là đẳng cấp (bậc3). Chia cả hai vế của(∗)choy3ta được Åx
y ã3
+ 2 Åx
y ã2
+ 2 Åx
y ã
−5 = 0⇔ x
y = 1⇔x=y Thay vào phương trình(1)ta được
2y2−y2= 1⇔
ñy= 1⇒x= 1 y=−1⇒x=−1.
Vậy hệ phương trình có2nghiệm là(−1;−1)và(1; 1).
4) Xét các trường hợp sau
○ Nếuy= 0hệ đã cho tương đương
®x3−x= 0
13x2=−9 vô nghiệm.
○ Nếuy6= 0. Phương trình(1)và(2)không là đẳng cấp. Nhân hai vế của phương trình(1)cho−9rồi thế(2) vào(1)ta được:
(2) ⇔ −9 x3−2y3
= (x+ 4y) 13x2−41xy+ 21y2
⇔ 22x3+ 11x2y−143xy2+ 66y3= 0 (∗) Phương trình(∗)là đẳng cấp bậc ba. Chia hai vế của(∗)choy3ta được
22 Åx
y ã3
+ 11 Åx
y ã2
−143 Åx
y ã
+ 66 = 0⇔
x y =−3 x y =1
2 x y = 2
⇔
y= 2x x= 2y x=−3y.
• Vớiy= 2x, thay vào phương trình(2)ta được
13x2−82x2+ 84x2=−9⇔15x2=−9vô nghiệm.
• Vớix=−3ythay vào(2)ta được
117y2+ 123y2+ 21y2=−9⇔261y2=−9vô nghiệm.
• Vớix= 2ythay vào phương trình(2)ta được
52y2−82y2+ 21y2=−9⇔y2= 1⇔
ñy=−1⇒x=−2 y= 1⇒x= 2 . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là(2; 1)và(−2;−1).
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
#Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
®xy+x+ 1 = 7y x2y2+xy+ 1 = 13y2. ýLời giải.
○ Xéty= 0. Hệ trở thành
®x+ 1 = 0
1 = 0 vô nghiệm.
○ Xéty6= 0. Chia hai vế của phương trình đầu choyvà chia hai vế của phương trình sau choy2ta được hệ tương đương
x+x
y +1 y = 7 x2+x
y + 1 y2 = 13
(I)
○ Đặt ẩn phụ.
Cách 1.Hệ(I)viết lại thành
x+x· 1 y +1
y = 7 x2+x· 1
y + 1 y2 = 13.
○ Đặt
u=x v= 1 y
, hệ(I)trở thành
®u+uv+v= 7 u2+uv+v2= 13⇔
®u+v+uv= 7
(u+v)2ưuv= 13 (a).
Đây là hệ đối xứng loại1. ĐặtS=u+v,P =u·v.
(a)trở thành
®S+P= 7 (1) S2ưP = 13 (2). Lấy(1)cộng(2)theo từng vế ta được
S2+S= 20⇔S2+Sư20 = 0⇔
ñS=ư5⇒P = 12 S= 4⇒P= 3.
Khi đóuvàvlà nghiệm của phương trình
X2+ 5X+ 12 = 0(vô nghiệm) hoặcX2ư4X+ 3 = 0⇔
ñX= 1 X= 3.
Vậy
®u= 1 v= 3 hoặc
®u= 3 v= 1.
Suy ra
x= 1
1 y = 3
x= 3
1 y = 1
⇔
x= 1 y= 1 3
®x= 3 y= 1.
Vậy hệ có hai nghiệm
x= 1 y= 1 3
và
®x= 3 y= 1.
Cách 2.Ta có(1)⇔
Å
x+1 y ã
+x y = 7 Å
x+1 y
ã2 ưx
y = 13.
(∗)
○ Đặt
u=x+1 y v=x
y
,(∗)trở thành
®u+v= 7 (3) u2ưv= 13 (4).
○ Lấy(3)cộng với(4)theo từng vế ta được:
u2+u= 20⇔u2+uư20 = 0⇔
ñu=ư5⇒v= 12 u= 4⇒v= 3.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Trường hợp1.
x+1
y =ư5 x
y = 12
⇔
®xy+ 1 =ư5y (5)
x= 12y. (6)
Thếx= 12yvào(5)ta được12y2+ 1 =ư5y⇔12y2+ 5y+ 1 = 0vô nghiệm.
Trường hợp2.
x+1
y = 4 x
y = 3
⇔
®xy+ 1 = 4y (7)
x= 3y. (8)
Thếx= 3yvào phương trình(7)ta được3y2+ 1 = 4y⇔3y2ư4y+ 1 = 0⇔
y= 1⇒x= 3 y=1
3 ⇒x= 1.
Vậy hệ có hai nghiệm
x= 1 y= 1 3
và
®x= 3 y= 1.
5 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Giải hệ phương trình
®xy+xư1 = 3y x2yưx= 2y2. 1
®x2+y2+xy+ 1 = 4y y(x+y)2= 2x2+ 7y+ 2.
2
2x2+xư1 y = 2 yưy2xư2y2=ư2.
3
x(x+y+ 1)ư3 = 0 (x+y)2ư 5
x2 + 1 = 0.
4
ýLời giải.
1 Điều kiệny6= 0.
Hệ phương trình⇔
x+x
y ư1 y = 3 x2
y ư x y2 = 2
⇔
Å
xư1 y ã
+x y = 3 x
y Å
xư1 y ã
= 2
(I).
Đặt
u=xư1 y v=x
y
. Hệ(I)trở thành
®u+v= 3 u·v= 2.
Nênuvàvlà nghiệm của phương trìnhX2ư3X+ 2 = 0⇔X = 1, X= 2.
Suy ra
®u= 1 v= 2 hoặc
®u= 2 v= 1. Suy ra
xư1
y = 1 x
y = 2
hoặc
xư1
y = 2 x
y = 1.
Giải hệ
xư1
y = 1 x
y = 2
⇔
xư1
y = 1 x= 2y
⇔
2yư1
y = 1 x= 2y
⇔
®2y2ưyư1 = 0
x= 2y ⇔
®y= 1 x= 2
y=ư1
2 x=ư1.
Giải hệ
xư1
y = 2 x
y = 1
⇔
yư1
y = 2 x=y
⇔
®y2ư2yư1 = 0
x=y ⇔
(y= 1ư√ 2 x= 1ư√
2 (y= 1 +√
2 x= 1 +√
2.
Vậy hệ đã cho có nghiệm4nghiệm là
x=ư1 y=ư1 2
;
®x= 2 y= 1;
(x= 1ư√ 2 y= 1ư√
2;
(x= 1 +√ 2 y= 1 +√
2.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
2 Điều kiệny6= 0.
Hệ phương trình⇔
x2+ 1
y +x+y= 4 (x+y)2ư2x2+ 1
y = 7 (I)
Đặt
u=x2+ 1 y v=x+y.
Hệ(I)trở thành
®u+v= 4 v2ư2u= 7 ⇔
®u= 9 v=ư5
®u= 1 v= 3.
Với
®u= 9 v=ư5 ⇔
x2+ 1
y = 9 x+y=ư5
⇔
(ư5ưy)2+ 1
y = 9
x=ư5ưy
⇔
®y2+y+ 26 = 0
x= 9ưy vô nghiệm.
Với
®u= 1 v= 3 ⇔
x2+ 1
y = 1 x+y= 3
⇔
(3ưy)2+ 1
y = 1
x= 3ưy
⇔
®y2ư7y+ 10 = 0 x= 1ưy ⇔
®y= 2 x= 1
®y= 5 x=ư2.
Vậy hệ phương trình có2nghiệm là
®x=ư2 y= 5 và
®x= 1 y= 2.
3 Điều kiệny6= 0.
Hệ phương trình⇔
2x2+xư1
y ư2 = 0 2
y2+1
y ưxư2 = 0.
Đặt
u=x v= 1 y.
Hệ đã cho trở thành
®2u2+uưvư2 = 0 2v2+vưuư2 = 0 ⇔
u=ư1;v=ư1 u= 1;v= 1 u=ư1ư√ 3 2 ;v=
√ 3ư1
2 u=
√3ư1
2 ;v= ư1ư√ 3 2 Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có4nghiệm là
®x=ư1 y=ư1;
®x= 1 y= 1;
x=ư1
2ư
√3 2 y= 1 +√
3
;
x=
√3 2 ư1
2 y= 1ư√
3 .
4 Hệ phương trình⇔
x+y+ 1ư3 x = 0 (x+y)2ư 5
x2+ 1 = 0 (I)
Đặt
u=x+y v= 1
x
. Hệ(I)trở thành
®u+ 1ư3v= 0 u2ư5v2+ 1 = 0⇔
u= 1
2;v= 1 2 u= 2;v= 1.
Với
u=1
2 v= 1 2
⇔
x+y=1 2 1
x= 1 2
⇔
x= 2 y=ư3
2 .
Tương tự với
®u= 2 v= 1 ⇔
®x= 1 y= 1.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Vậy hệ phương trình có2nghiệm là
®x= 1 y= 1;
x= 2 y=ư3
2.
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên2cm thì diện tích tam giác tăng lên17cm2. Nếu giảm các cạnh góc vuông đi3cm và1cm thì diện tích tam giác giảm đi11cm2. Tính diện tích tam giác ban đầu.
A 50cm2. B 25cm2. C 50√
5cm2. D 50√
2cm2. ýLời giải.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt làxcm,ycm,x > y(x >3, y >1). Diện tích của tam giác là xy
2 Theo bài ra ta có hệ phương trình
(x+ 2)(y+ 2)
2 ưxy
2 = 17 (xư3)(yư1)
2 ưxy
2 =ư11
⇔
®x= 10 y= 5. .
Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là5cm và10cm. Suy ra diện tích của tam giác ban đầu làxy
2 = 25cm2.
¤ Chọn đáp án B . . . . Câu 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 24
5 giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 3 2 lần lượng nước của vòi thứ hai. hỏi vòi thứ hai chảy riêng một mình thì bao lâu sẽ đầy bể?
A 12giờ. B 10giờ. C 8giờ. D 3giờ.
ýLời giải.
Gọi thời gian vòi thứ nhất và thứ hai chảy riêng một mình đầy bễ lần lượt làxgiờ vàygiờ. Mỗi giờ vòi thứ nhất và thứ hai chảy được lần lượt là 1
xbể và 1
y bể. Theo bài ra ta có hệ phương trình
1 x =3
2 ·1 y 24
5 Å1
x+1 y ã
= 1
⇔
®x= 8 y= 12.
Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau12giờ sẽ đầy bể.
¤ Chọn đáp án A . . . . Câu 3. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng: khi ta tăng mỗi cạnh lên2cm thì diện tích tăng17cm2; khi ta giảm chiều dài của cạnh này là3cm và cạnh kia1cm thì diện tích giảm11cm2.
A 5cm và10cm. B 4cm và7cm. C 2cm và3cm. D 5cm và6cm.
ýLời giải.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt làxcm,ycm,x > y(x >3, y >1). Diện tích của tam giác là xy
2 Theo bài ra ta có hệ phương trình
(x+ 2)(y+ 2)
2 ưxy
2 = 17 (xư3)(yư1)
2 ưxy
2 =ư11
⇔
®x= 10 y= 5. . Vậy độ dài hai cạnh của tam giác là5cm và10cm.
¤ Chọn đáp án A . . . .
Câu 4. Ta đặt
®x+y=S
xy=P thì hệ phương trình
®x2+y2= 1
x3y+xy3= 2 thành A
®S+P = 1
P = 2 . B
®S2ư2P = 1
P = 2 . C
®S2+ 2P = 1
P = 2 . D
®S2ư2P = 1 S = 2 . ýLời giải.
Viết lại
®x2+y2= 1 x3y+xy3= 2 ⇔
®x2+y2= 1 xy(x2+y2) = 2 ⇔
®(x+y)2ư2xy= 1
xy= 2 .
Khi đặt
®x+y=S
xy=P thì hệ phương trình
®x2+y2= 1
x3y+xy3= 2 thành
®S2ư2P = 1 P= 2.
¤ Chọn đáp án B . . . .
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Câu 5. Cho hệ phương trình
®x+ 2y=m−1
2x−y= 3m+ 3. Với giá trị nào củamthì hệ phương trình có nghiệm(x;y)sao cho x2+y2nhỏ nhất?
A m=−4
5. B m=−3
2. C m=1
2. D m=−1.
ýLời giải.
®x+ 2y=m−1 2x−y= 3m+ 3 ⇔
®2x+ 4y= 2m−2 2x−y= 3m+ 3 ⇔
x= 7m+ 5 5 y= −m−5
5 .
x2+y2= (7m+ 5)2+ (m+ 5)2
25 = 2m2+16
5 m+ 2 = 2 Å
m+4 5
ã2
+18 25 ≥18
25. Vậyx2+y2nhỏ nhất khim=−4
5.
¤ Chọn đáp án A . . . . Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình
®x−4y= 5 2x−5y= 7 là
A (−1;−1). B (1; 1). C (1;−1). D (−1; 1).
ýLời giải.
Nghiệm của hệ đã cho là
®x= 1 y=−1.
¤ Chọn đáp án C . . . .
Câu 7. Hệ phương trình
®x−2y= 1
2x+my=−1 vô nghiệm khi
A không cóm. B m=−4. C m=−1
4. D m6=−4.
ýLời giải.
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi 1 2 = −2
m 6= 1
−1 ⇔m=−4.
¤ Chọn đáp án B . . . .
Câu 8. Nghiệm của hệ phương trình
2m x−1 +2
y = 3 m
x−1 +y+ 6 y = 5
trong trường hợpm6= 0là
A (1; 0). B (m+ 1; 2). C
Å1 m;1
2 ã
. D (3;m).
ýLời giải.
Điều kiệnx6= 1,y6= 0. Hệ được viết lại
2m x−1 +2
y = 3 m
x−1 +6 y = 4.
(I)
Đặtu= 1
x−1,v=1
y vớiu6= 0,v6= 0.
Hệ(I)⇔
®2m·u+ 2v= 3 (1) m·u+ 6v= 4 (2).
Khim6= 0dùng phương pháp công đại số ta tìm đượcu= 1 m,v= 1
2. Suy ra
®x=m+ 1 y= 2.
¤ Chọn đáp án B . . . . Câu 9. Hệ phương trình
®mx+y=m−3
4x+my=−2 có vô số nghiệm khi
A m=±2. B m=−2. C m= 2. D
®m6= 2 m6=−2. ýLời giải.
Hệ có vô số nghiệm⇔ m 4 = 1
m =m−3
−2 ⇔m= 2.
¤ Chọn đáp án C . . . .
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Câu 10. Tìmađể hệ phương trình
®ax+y=a2
x+ay= 1 vô nghiệm.
A a=−1. B a= 1hoặca=−1. C a= 1. D không cóa.
ýLời giải.
Hệ vô nghiệm⇔ a 1 = 1
a 6=a2
1 ⇔a=−1.
¤ Chọn đáp án A . . . . Câu 11. Tìm tham sốmđể hệ phương trình
®mx+y+m= 0
x+my+m= 0 vô nghiệm
A m=−1. B m= 1. C m= 0. D m6= 1.
ýLời giải.
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm⇔ m 1 = 1
m 6= m
m ⇐m=−1.
¤ Chọn đáp án A . . . .
Câu 12. Hệ phương trình
2x+ 3y+ 4 = 0 3x+y−1 = 0 2mx+ 5y−m= 0
có nghiệm duy nhất khi
A m=10
3 . B m= 10. C m=−10. D m=−10
3 . ýLời giải.
Từ hai phương trình đầu có chung nghiệm duy nhất là
®x= 1 y=−2.
Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình2mx+ 5y−m= 0phải có nghiệm
®x= 1 y=−2
⇔2m−10−m= 0⇔m= 10.
¤ Chọn đáp án B . . . .
Câu 13. Hệ phương trình
®xy+x+y= 11 x2y+xy2= 30
A có2nghiệm(2; 3)và(1; 5). B có2nghiệm(2; 1)và(3; 5).
C có1nghiệm là(5; 6). D có4nghiệm(2; 3),(3; 2),(1; 5),(5; 1).
ýLời giải.
ĐặtS =x+y,P =xyvớiS2−2P ≥0. Hệ đã cho trở thành
®S+P= 11
S·P = 30 . VậySvàP là nghiệm của phương trìnhX2−11X+ 30 = 0⇔X = 5;X = 6.
Vậy
®S= 5 P = 6 hoặc
®S= 6 P = 5.
○ Với
®S= 5 P = 6 ⇒
®x+y= 5
xy= 6 , nênx,ylà nghiệm của phương trìnht2−5t+ 6 = 0⇐t= 2;t= 3.
Suy ra(x;y) = (2; 3)hoặc(x;y) = (3; 2).
○ Với
®S= 6 P = 5 ⇒
®x+y= 6
xy= 5 , nênx,ylà nghiệm của phương trìnht2−6t+ 5 = 0⇐t= 1;t= 5.
Suy ra(x;y) = (1; 5)hoặc(x;y) = (5; 1).
Vậy hệ phương trình đã cho có4nghiệm là(2; 3),(3; 2),(1; 5),(5; 1).
¤ Chọn đáp án D . . . . Câu 14. Hệ phương trình
®x2+y2= 1
y=x+m có đúng1nghiệm khi và chỉ khi A m=√
2. B m=−√
2.
C m=√
2vàm=−√
2. D mtùy ý.
ýLời giải.
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
ß x2+y2= 1 y=x+m ⇔
®x2+ (x+m)2= 1
y=x+m ⇔
®2x2+ 2xm+m2−1 = 0 y=x+m.
Để hệ phương trình ban đầu có đúng một nghiệm thì phương trình2x2+ 2xm+m2−1 = 0có đúng một nghiệm
⇔∆0=m2−2m2+ 2 = 0⇔m=±√ 2.
¤ Chọn đáp án C . . . .
Câu 15. Hệ phương trình
1
x=y+ 5x 1
y =x+ 5y
có bao nhiêu cặp nghiệm(x, y)màx6=y?
A 1. B 2. C 3. D 4.
ýLời giải.
1
x=y+ 5x 1
y =x+ 5y
⇔
®1 =xy+ 5x2 1 =xy+ 5y2 ⇔
®x2−y2= 0 1 =xy+ 5x2 ⇔
ñ
x=y(loại)
®x=−y 1 = 4x2 ⇔
x= 1
2 y=−1
2
x=−1
2 y=1
2 . Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm.
¤ Chọn đáp án B . . . . Câu 16. Tìm điều kiện của tham sốmđể hệ phương trình
®3x−my= 1
−mx+ 3y=m−4 có đúng một nghiệm.
A m6= 3haym6=−3. B m6= 3vàm6=−3. C m6= 3. D m6=−3.
ýLời giải.
Ta có định thức của hệ phương trìnhD= 9−m2.
Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thìD6= 0⇔m6=±3.
¤ Chọn đáp án B . . . . Câu 17. Hệ phương trình
®x·y+x+y= 11 x2y+xy2= 30
A có2nghiệm(2; 3)và(1; 5). B có2nghiệm(2; 1)và(3; 5).
C có1nghiệm là(5; 6). D có4nghiệm(2; 3),(3; 2),(1; 5),(5; 1).
ýLời giải.
ĐặtS =x+y,P =xy, điều kiệnS2≥4P. Khi đó hệ phương trình tương đương
®S+P = 11 SP = 30 ⇔
®S= 5 P= 6
®S= 6 P= 5.
TH 1.
®S = 5 P = 6 ⇔
®x+y= 5 xy= 6 ⇔
® y= 5−x x(5−x) = 6 ⇔
ñx= 3, y= 2 x= 2, y= 3.
TH 2.
®S = 6 P = 5 ⇔
®x+y= 6 xy= 5 ⇔
® y= 6−x x(6−x) = 5 ⇔
ñx= 5, y= 1 x= 1, y= 5.
¤ Chọn đáp án D . . . . Câu 18. Hệ phương trình
®x2+y2= 1
y=x+m có đúng1nghiệm khi và chỉ khi A m=√
2. B m=−√
2.
C m=√
2vàm=−√
2. D mtùy ý.
ýLời giải.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
®x2+ (x+m)2= 1
y=x+m ⇔
®y=x+m
2x2+ 2mx+m2−1 = 0.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi2x2+ 2mx+m2−1 = 0có nghiệm duy nhất
∆0= 0⇔m2−2m2+ 2 = 0⇔
"
m=√ 2 m=−√
2.
¤ Chọn đáp án C . . . . Câu 19. Hệ phương trình
®|x−1|+y= 0
2x−y= 5 có nghiệm là
A x=−3;y= 2. B x= 2;y=−1. C x= 4;y=−3. D x=−4;y= 3.
ýLời giải.
ß |x−1|+y= 0 2x−y= 5 ⇔
®y= 2x−5
|x−1|=−2x+ 5 ⇔
−2x+ 5≥0
®y= 2x−5 x−1 = 2x−5
®y= 2x−5 x−1 =−2x+ 5
⇔
−2x+ 5≥0 ñx= 4, y= 3
x= 2, y=−1.
Vậyx= 2,y=−1.
¤ Chọn đáp án B . . . . Câu 20. Hệ phương trình
®mx+ 3y= 2m−1
x+ (m+ 2)y=m+ 3 có nghiệm duy nhất với giá trị củamlà
A m6= 1. B m6=−3. C
ñm6= 1
m6=−3. D
®m6= 1 m6=−3. ýLời giải.
Ta có định thức của hệ phương trìnhD=m(m+ 2)−3.
Để hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thìD6= 0⇔m2+ 2m−36= 0⇔
®m6= 1 m6=−3.
¤ Chọn đáp án D . . . . Câu 21. Với giá trị nào của tham sốmthì hệ phương trình
®mx+ (m+ 4)y= 2
m(x+y) = 1−y vô nghiệm
A m= 0. B
ñm= 1
m= 2. C
m−2 m=1
2
. D
m=−1 2 m= 3
. ýLời giải.
ß mx+ (m+ 4)y= 2 m(x+y) = 1−y ⇔
®mx+ (m+ 4)y= 2 mx+ (m+ 1)y= 1.
Ta có định thức của hệ phương trìnhD = m(m+ 1)−m(m+ 4) = −3m,Dx = 2(m+ 1)−m−4 = m−2, Dy =m−2m=−m.
Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì
®D= 0
Dx2+Dy26= 0 ⇔
®m= 0 D2x+D2y6= 0.
Vậym= 0thỏa bài toán.
¤ Chọn đáp án A . . . .
Câu 22. Hệ phương trình
2 x+3
y = 13 3
x+2 y = 12
có nghiệm là
A x= 1
2;y=−1
3. B x=1
2;y= 1
3. C x=−1 2;y= 1
3. D vô nghiệm.
ýLời giải.
Đặtd= 1 x,b= 1
y. Khi đó hệ viết lại
®2a+ 3b= 13 3a+ 2b= 12 ⇔
®a= 2 b= 3 ⇔
x=1
2 y=1 3.
¤ Chọn đáp án B . . . .
h | NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN
T E X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Câu 23. Tìmađể hệ phương trình
®ax+y=a2
x+ay= 1 vô nghiệm.
A a= 1. B a= 1hoặca=−1. C a=−1. D không cóa.
ýLời giải.
Ta có định thức của hệ phương trìnhD=a2−1,Dx=a3−1,Dy =a−a2. Để hệ phương trình trên có vô nghiệm thì
®D= 0
Dx2+Dy26= 0 ⇔
®a=±
D2x+D2y6= 0 ⇔a=−1.
Vậym= 0thỏa bài toán.
¤ Chọn đáp án C . . . .
Câu 24. Nghiệm của hệ phương trình
x+y+z= 9 1
x+1 y +1
z = 1 xy+yz+zx= 27
là
A (1; 1; 1). B (1; 2; 1). C (2; 2; 1). D (3; 3; 3).
ýLời giải.
Hệ tương đương với
x+y+z= 9 xy+yz+zx=xyz xy+yz+zx= 27
⇔
x+y+z= 9 xy+yz+zx= 27 xyz= 27.
Khi đóx, y, zlà ba nghiêm của phương trìnhX3−9X+ 27X−27 = 0⇔X= 3.
Khi đó nghiệm của hệ phương trình đã cho là(3; 3; 3).
¤ Chọn đáp án D . . . .
Câu 25. Hệ phương trình
x+y+xy=7 2 x2y+xy2=5
2
có nghiệm là
A (3; 2);(−2; 1). B (0; 1);(1; 0). C (0; 2);(2; 0). D Å
2;1 2 ã
; Å1
2; 2 ã
. ýLời giải.
ĐặtS =x+y,P =xy, điều kiệnS2≥4P. Khi đó hệ phương trình tương đương
S+P =7 2 SP= 5
2
⇔
S= 1 P = 5
2 (loại).
S= 5
2 P = 1.
Khi đó
x+y= 5 2 xy= 1
⇔
y=5
2 −x 2x2−5x+ 2 = 0
⇔
x= 1
2, y= 2 x= 2y=1
2.
¤ Chọn đáp án D . . . . Câu 26. Hệ phương trình
®x+y+xy= 5
x2+y2+xy= 7 có nghiệm là
A (2; 3)hoặc(3; 2). B (1; 2)hoặc(2; 1).
C (−2;−3)hoặc(−3;−2). D (−1;−2)hoặc(−2;−1).
ýLời giải.
Hệ phương trình tương đương với
ß x+y+xy= 5 (x+y)2−xy= 7
ĐặtS =x+y,P =xy, điều kiệnS2≥4P. Khi đó hệ phương trình tương đương
®S+P = 5 S2−P = 7 ⇔
®P = 5−S
S2+S−12 = 0 ⇔
®P= 9 S=−4 loại
®S= 3 P= 2.
| NHÓM TO ÁN TH- THCS- THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TE X ĐC Toán 10 - Marie Curie
Khi đó
®x+y= 3 xy= 2 ⇔
®y= 3−x x(3−x) = 2 ⇔
ñx= 1, y= 2 x= 2, y= 1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm(1; 2),(2; 1).
¤ Chọn đáp án B . . . .
Câu 27. Hệ phương trình
®x+y+xy= 11
x2+y2+ 3(x+y) = 28có nghiệm là
A (3; 2);(2; 3). B (−3;−7);(−7;−3).
C vô nghiệm. D (3; 2);(2; 3);(−3;−7);(−7;−3).
ýLời giải.
ĐặtS =x+y,P =xy, điều kiệnS2≥4P. Khi đó hệ phương trình tương đương
®S+P = 11
S2−2P+ 3S= 28 ⇔
®P = 11−S
S2+ 5S+ 50 = 0 vô nghiệm.
¤ Chọn đáp án C . . . . Câu 28. Hệ phương trình
®x3= 3x+ 8y
y3= 3y+ 8x có nghiệm là(x;y)vớix6= 0vày6= 0là A (−√
11;−√ 11); (√
11;√
11). B (0;√
11); (√ 11; 0).
C (−√
11; 0). D (√
11; 0).
ýLời giải.
®x3= 3x+ 8y y3= 3y+ 8x ⇔
®x3−y3= 5(y−x) x3= 3x+ 8y ⇔
®(x−y)(x2+y2+xy+ 5) = 0
x3= 3x+ 8y ⇔
®x=y x3= 11x ⇔
"
x=y=√ 11 x=y=−√
11.
(vìx2+y2+xy+ 5>0với mọix, y)
¤ Chọn đáp án A . . . . .
Câu 29. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác0của hệ phương trình
®x2= 5x−2y y2= 5y−2x.
A (3; 3). B (2; 2);(3; 1);(−3; 6).
C (1; 1);(2; 2);(3; 3). D (−2;−2);(1;−2);(−6; 3).
ýLời giải.
®x2= 5x−2y y2= 5y−2x ⇔
®x2−y2= 7(x−y) x2= 5x−2y ⇔
®x=y x2= 3x
®x+y= 7
x2= 5x−2(7−x)
⇔
®x=y= 0 x=y= 3
®y= 7−x
x2−7x+ 14 = 0 vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là(3; 3).
¤ Chọn đáp án A . . . .
Câu 30. Hệ phương trình
®x2+y= 6
y2+x= 6 co bao nhiêu nghiệm?
A 6. B 4. C 2. D 0.
ýLời giải.
®x2−y2−(x−y) = 0 x2+y= 6 ⇔
®x=y
x2+x−6 = 0
®y= 1−x
x2−x+ 5 = 0 vô nghiệm
⇔
ñx=y=−3 x=y= 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có2cặp nghiệm.
¤ Chọn đáp án C . . . . Câu 31. Hệ phương trình
®x2= 3x−y
y2= 3y−x có bao nhiêu cặp nghiệm(x;y)?
A 1. B 2. C 3. D 4.
ýLời giải.