(4 điểm) Cho biểu thức

Tam giác CEF cân tại C, lại cóC₁180⁰BCA60⁰nên là tam giác đều Như vậy CBCECFFDEF

Suy ra D₁E₃ F₂ 60 (⁰ CEFđều)D₁ 30⁰

Xét tam giác CDE ta có: ^{CED1800}



^C1D1



^{90 (1)0}

Ta có: D₁B₁EBED A, EBAEAEBEAED(2) Từ (1) và (2) suy ra EDAvuông cân tại ED₂ 45⁰ Vậy ADBD₁D₂ 30⁰45⁰ 75⁰

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018

MÔN TOÁN 7

Bài 1. (3 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18

. . .

13 9 9 13 9 13

 

  

b) Cho a b, là các số tự nhiên thỏa mãn: a4bchia hết cho 13 Chứng minh rằng 10abcũng chia hết cho 13

a) Biết ^f

 

^{0 0, f}

 

^{1 2013và f}

 

^{ 1 2012.Tính a b c, ,}

b) Chứng minh rằng nếu ^{f(1)2012, f}

 

^{ 2 f}

 

^{3 2036}thì đa thức ^{f x}

 

^vô

nghiệm Bài 5. (8 điểm)

Cho tam giác ABCvuông cân tại A. Trên tia đối của tia AClấy điểm D sao cho AD AC.Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BCvầ BD

a) Tam giác BDClà tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DMvà CN b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CNcắt tia BAtại K

Chứng minh : BMK  CMD

c) Biết ABa,tính chu vi tam giác DMK ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Tính đúng kết quả là 5

13

b)

 

 

4 13 10( 4 ) 13

10. 4 (10 ) 10 40 10 39 13

a b a b

a b a b a b a b b

  

       

Do ¹⁰



^a4b



^{13(10ab) 13}

Bài 2.

a) Giá trị của biểu thức Akhông xác định khi x2 b) Nhận xét x²   0 x x²  3 0 x

A nhận giá trị là số âm khi x   2 0 x 2 c)

2 4

3 4 7 7

( 2)

2 2 2

x x

A x

x x x

  

    

  

 

   

7 7 2

2

2 7; 1;7;1 5;1;3;9

A x

x

x x

    



        Bài 3.

Từ 5 6 6 4 4 5

4 5 6

z y  x z  y x

20 24 30 20 24 30 20 24 30 20 24 30

25 36 10 25 36 0

20 24 30 20 24 30 0 20 24 30

3 2 5 3 2 5 96

10 12 15 3

4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 12; 15; 18

z x z y x z y x z y x

y

z y x z y x z y x

x y z x y z x y z

z y x

x y z

       

    

 

         

 

           

 

   

Bài 4.

a) Tính được 0 f(0)c;2013 f(1)  a b cvà 2012 f( 1)   a b c

Tính được : a b 2013và 4025 1

2012 ;

2 2

a b   a b

Vậy 4025 1

; ; 0

2 2

a b c b) Tính được:

2012 (1) (1)

2036 ( 2) 4 2 (2)

2036 (3) 9 3 (3)

f a b c

f a b c

f a b c

   

    

   

Từ (1), (2) có a b 8

Từ (2), (3) có a b 0 a 4,b4

Như vậy ^{f x( )4x2 4x2012}



^2x1



^{2 2011 0( x)}

Vậy đa thức vô nghiệm.

Bài 5.

a) Chứng minh được BAD BAC c g c( . . )BDBCvà

0 0 0

45 45 90

DBCDBAABC     BDCvuông cân tại B Chứng minh được BDM  BCNDM CN

b) Vì BDM  BCNBNCBMD

BNCvuông tại B nên BNCBCN 90⁰

CMEvuông tại E nên MCECME90⁰ Từ đó suy ra CMEBMDBMK CMD Chứng minh BMK  CMD g c g( . . )

c) ABa, tính được BCa 2do áp dụng định lý Pytago với tam giác ABC

Và cũng tính được 1 2

2; 2 2

BDBC a BM  BC a

Vì BMK  CMDMDMK Chuvi DMK2MDDK

E

K N M

D

B

A C

Tính được 5 2

DM  a do áp dụng định lý Pytago vào BDM Chứng minh được BDK  BCK DK BC a 2

Chu vi tam giác DMK bằng:

 

2 2 5 2 10 2 10 2

DM DK  a 2 a a a a 

   

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

CH BH AC AH AB AH AC AB

AC BC AC AC

      

   

PHÒNG GD & ĐT SÔNG LÔ ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI MÔN : TOÁN 7 Câu 1. (2,5 điểm)

a) Tìm xbiết: 1 1

: 2015

2016 x 2015

b) Tìm các giá trị nguyên của nđể phân số 3 1 1 M n

n

 

 có giá trị là số nguyên c) Tính giá trị của biểu thức N xy z^{2 3} x y z^{3 4 5} ....x²⁰¹⁴y^{2015 2016}z tại x 1;

1; 1

y  z  Câu 2. (2,0 điểm)

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau 2 3 3 2

2 3 .

bz cy cx ay ay bx

a b c

     Chứng minh :

2 3

x y z a  b  c

b) Tìm tất cả các số tự nhiên m n, sao cho: 2^m2015 n 2016  n 2016 Câu 3. (1,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2015  x 2016  x 2017 b) Cho bốn số nguyên dương khác nhau thỏa mãn tổng của hai số bất kỳ chia

hết cho 2 và tổng của ba số bất kỳ chia hết cho 3. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại A, BH vuông góc với ACtại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (khác B và C). Gọi D E F, , là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB AC BH, , .

a) Chứng minh DBM  FMB

b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BCthì tổng MDMEcó giá trị không đổi

c) Trên tia đối của tia CAlấy điểm K sao cho CK EH.Chứng minh BCđi qua trung điểm của DK

Câu 5. (1,0 điểm) Có sáu túi lần lượt chứa 18,19,21,23,25và 34 bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi 5 túi kia chỉ chứa bóng xanh. Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy 2 túi. Túi còn lại chứa bóng đỏ. Biết lúc này bạn Toán có số bóng xanh gấp đôi số bóng xanh của học Học. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại.

ĐÁP ÁN Câu 1.

1 1 1 1

) : 2015

2016 2015 2016.2015 2015

1 1

: 2016

2015 2016.2015

a x x

x

    

   

Vậy x 2016

b) 3 1

1 M n

n

 

 có giá trị là một số nguyên 3n1 (n1)

         

3 n 1 2 n 1 2 n 1 n 1 U(2) 1; 2

           



^{0;2; 1;3}



 n  thì M nguyên

c) Ta có: N xyz yz. ² x y z yz^{2 2 2}. ² x y z yz^{3 3 3 2} ...x²⁰¹⁴y²⁰¹⁴z²⁰¹⁴yz² Thay y1;z 1ta được:

       

2 2 2 3 3 3 2014 2014 2014

2 3 2014

...

...

N xyz x y z x y z x y z

xyz xyz xyz xyz

     

     

Thay xyz 1ta được: N     1 1 1 1 ... 1 1 0   Vậy N 0

Câu 2.

2 2 2

2 2 2

2 3 3 2

2 ) 2 3

2 3 6 2 3 6

4 9

2 3 6 2 3 6

4 9 0

2 3 0 (1) 3 0 (2)

3 2 3

bz cy cx az ay bx

a a b c

abz acy bcx abz acy bcx

a b c

abz acy bcx abz acy bcx

a b c

z y x z

bz cy cx az

c b a c

    

  

  

    

 

 

         

Từ (1) và (2) suy ra

2 3

x y z a  b  c b) Nhận xét: Với x0thì x  x 2x Với x0thì x  x 0

Do đó x xluôn là số chẵn  x

Áp dụng nhận xét trên thì n2016  n 2016là số chẵn với n2016 Suy ra 2^m 2015là số chẵn 2^mlẻ m 0

Khi đó n2016  n 20162016

Nếu n2016,ta có: ^{ }



^{n 2016}



^{ n 20162016 0 2016(loại)}

Nếu n2016,ta có: ²



^n2016



^{2016 n 2016 1008  n 3024(thỏa}

mãn)

Vậy



^{m n,}

 

^{ 0,3024}



Câu 3.

a) ^{P x 2015  2016  x x 2017 }



^{x2015  2017x}



^{ x 2016}

Ta có: x2015  2017  x x 2015 2017  x 2.Dấu " " xảy ra khi 2015 x 2017 (1)

Lại có x2016 0.Dấu " " xảy ra khi x2016 (2) Từ (1) và (2) ta có minP  2 x 2016

b) Nhận xét: Bốn số phải cùng số dư khi chia cho 2 và 3. Để có tổng nhỏ nhất, mỗi trong hai số dư này là 1

Từ đó ta có các số 1,7,13,19. Tổng của chúng là 1 7 13 19   40.

Câu 4.

a) Chứng minh được DBM  FMB ch( gn)

Q I

F E D

H A

B

K

M C

b) Theo câu ata có: DBM  FMB ch( gn)MDBF(2 cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh: MFH  HEM MEFH(2 cạnh tương ứng ) (2) Từ (1) và (2) suy ra MDMEBFFH BH

BH không đổi MDMEkhông đổi (dfcm)

c) Vẽ DPBCtại P, KQBCtại Q, gọi I ;là giao điểm của DKvà BC. +) Chứng minh: BDFM EH CK

+)Chứng minh BDP CKQ ch( gn)DPKQ(cạnh tương ứng) +)Chứng minh IDPIKQ DPI  KQI g c g( . . )IDIK dfcm( ) Câu 5.

Tổng số bóng trong 6 túi: 18 19 21 23 25 34 140   

Vì số bóng của Toán gấp hai lần số bóng của Học nên tổng số bón của hai bạn là bội của 3. Ta có : 140chia 3 bằng 46 dư 2. Do đó số bóng đỏ cũng là số chia 3 dư 2.

Trong sáu số đã cho chỉ có 23chia 3 dư 2, do đó số bóng đỏ là 23.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN 7

NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1. (4 điểm) Tính

   

15 9 20 9

10 19 29 6

1 2

0 3

2 2 5

5.4 .9 4.3 .8 ) 5.2 .6 7.2 .27

1 1

) 0,1 . . 2 : 2

7 49

a A b B



 



    

 

         Câu 2. (4 điểm)

a) Tìm các số a b c, , biết:

2a3 ,5b b7cvà 3a7b5c 30 b) Cho tỉ lệ thức a c.

b  d Chứng minh rằng: 5 3 5 3

5 3 5 3

a b c d

a b c d

  

 

Câu 3. (4 điểm) Tìm số xthỏa mãn:

 

3 2 2

) 2012 2013 2014

)3 2^x 24 4 2 1

a x x

b ^

   

 

      Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC M, là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MEMA.Chứng minh rằng:

a) ACEB AC, / /BE

b) Gọi I là một điểm trên AC K, là một điểm trên EBsao cho AI EK.Chứng minh rằng I M K, , thẳng hàng

c) Từ E kẻ ^{EH BC H}



^BC



^{. Biết HBE 50 ,0 MEB25 .0 Tính HEM và}

BME

Câu 5. (2,0 điểm) Tìm x y, nguyên biết: xy3x y 6

ĐÁP ÁN Câu 1.

 

 

 

15 9 20 9 2.15 2.9 2 20 3.9

10 19 29 6 10 19 19 29 3.6

29 18 2

29 18

6 5

5.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2 ) 5.2 .6 7.2 .27 5.2 .2 .3 7.2 .3

2 .3 . 5.2 3 10 9 1 2 .3 . 5.3 7 15 7 8 ) 1 49. 1 . 2 : 2 1 2 3

49 a A

b B

 

 

 

 

  

 

    

Câu 2.

a) Vì 2 3 (1)

3 2 21 14

a b a b

a b   

5 7 (2)

7 5 14 10

b c b c

b c    Từ (1) và (2) suy ra:

3 7 5 3 7 5

21 14 10 63 98 50 63 98 50

30 2

21 14 10 15

42; 28; 20

a b c a b c a b c

a b c

a b c

 

     

 

      

      

b) Đặt a c ,

k a kb kd b    d 

Suy ra :

 

 

5 3

5 3 5 3

5 3 5 3 5 3

b k

a b k

a b b k k

    

   ^và

 



^{5 3}



5 3 5 3

5 3 5 3 5 3

d k

c d k

c d d k k

    

  

Vậy 5 3 5 3

5 3 5 3

a b c d

a b c d

  

 

Câu 3.

a) Nếu x2012từ đề suy ra 2011

2012 2013 2014 ( )

x x x 2 tm

     

Nếu 2012 x 2013từ đề suy ra x20122013 x 2014 1 2014(ktm)

Nếu x2013từ đề suy ra 6039

2012 2013 2014 ( )

x  x   x 2 tm Vậy 2011 6039

2 ; 2 x 

 

   

3 3

3 3

3 3

)3 2 24 16 4 1 3 2 24 16 3

3 2 24 13 3 2 11

2 8 2 3 3 6

x x

x x

x

b

x x

 

 



         

      

       

Câu 4.

H

K

E M

A

B C

I

a) Xét AMCvà EMB có: AM EM gt AMC( ); EMB(đối đỉnh);

( )

BM MC gt nên AMC EMB c g c( . . )ACEB

b) Vì AMC EMBMACMEB, mà 2 góc này ở vị trí so le trong \ Suy ra AC/ /BE

Xét AMIvà EMKcó: AM EM gt MAI( ); MEK(AMC EMB) Nên AMI EMKmà AMI IME180⁰(kề bù)

1800 , ,

EMK IME I M K

    thẳng hàng

c) Trong ^{BHE H}



^900



^{có HBE500}

0 0 0 0

90 90 50 40

HBE HEB

     

0 0 0

40 25 15 HEM HEB MEB

     

BMElà góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên BMEHEM MHE15⁰ 90⁰ 105⁰ (định lý góc ngoài của tam giác)

Câu 5.



³

 

³



³



¹



³



³

1 1 1 3

3 3; 3 1

x y y x y

x x

y y

       

     

 

        

Các cặp

 

^{x y; là}

  

2;0 ; 0; 6 ; 4; 2 ;

 



 

 2; 4



PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÌNH MINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2013-2014

MÔN: TOÁN 7

Câu 1. (5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c

b  d với a b c d, , , 0;a b c,  d. Chứng minh:

c) b d

b a d c

  ^và

c d c a b a

 

 d)

2013 2013 2013

2013 2013

a b a b

c d c d

 

  

   

 

Câu 2. (6 điểm)

3) Tìm xthỏa mãn một trong các điều kiện sau:

)3 2 3 810

) 3 7 4

x x

a

b x x x

  

   

4) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm:Cx¹⁰ x⁵ x²  x 1 Câu 3. (2 điểm)

c) Chứng minh với mọi a b,  ta có: a   b a b

d) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B   x 2 x 8 Câu 4. (7 điểm)

3) Cho tam giác cân ABC AB,  AC.Trên tia đối của các tia BCvà CBlấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BDCE

e) Chứng minh ADEcân

f) Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh AM là tia phân giác của DAE g) Từ B và C kẻ BH AD CK; AE.Chứng minh : BH CK

h) Chứng minh AM BH CK, , gặp nhau tại 1 điểm

4) Cho tam giác ABCcó ABAC A; 100 .⁰ Điểm M nằm trong tam giác ABCsao cho MBC10 ,⁰ MCB20 .⁰ Tính số đo góc AMB

ĐÁP ÁN Câu 1.

1)a c 1 a 1 c b a d c

b d b d b c

 

       Kết luận

Từ a c c d c d

b d a b a b

    



2) Từ a c a b a b

b d c d c d

    



2013 2013 2013 2013 2013

2013 2013

a b a b a b

c d c d c d

 

     

          

Câu 2.

3) ^{a)3 . 3x}



^{2  1}



^{8103x 81 x 4}

b) lập luận có x0

Với x     0 x 3 x 7 4x x 5 4) Xét đa thức : Cx¹⁰ x⁵ x²  x 1 Nếu x   0 C 1 0

Nếu x 0 x¹⁰ x²       1 0; x⁵ x 0 C 0 Nếu ^{0   x 1 C x10 x2}



^1x3



^{ }

^

^{1 x}

^

^0

Nếu ^{x  1 C x5.}



^{x5 1}



^{x x}

^

^{  1}

^

^{1 0}

Vậy C 0với mọi xnên đa thức C không có nghiệm Câu 3.

c) Chứng minh đúng BĐT

d) Ta có: B    x 2 8 x 6. Dấu " " xảy ra



^{x 2 8}



^x



^{0 2 x 8}

       Vậy MinB   6 2 x 8

Câu 4.

3)

e) Chứng minh ABD ACE c g c( . . )Kết luận f) Chứng minh MAD MAE c c c( . . )Kết luận

g) Chứng minh BHD CKE(cạnh huyền – góc nhọn)Kết luận

h) Gọi giao điểm của BH và CKlà O. Chứng minh AOlà tia phân giác của DAE mà AMlà phân giác của DAE cmt( )Kết luận

O H K

M

B C

D E

A

4)

Trên tia đối của tia CAlấy điểm E sao cho CECBBECEBC70⁰ Chứng minh ABM  ABE c g c( . . )AMB AEB70⁰

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN 7

Câu 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn : 3 2 1 3 2 1

2 5 10 : 2 3 12 A         

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012  x 2013với xlà số tự nhiên

Câu 2. (5,0 điểm)

E A

B

M C

1) Tìm xbiết: 2^x2.3 .5^{x1 x} 10800

2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4và 5.

Tính số viên bi của mỗi bạn Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho plà số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p² 2012là hợp số 2) Cho nlà số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm nbiết n4và 2nđều là các só chính

phương.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn

1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABEvuông cân ở B. Gọi H là trung điểm BC, trên tia đối của tia AHlấy điểm I sao cho AI BC.Chứng minh hai tam giác ABIvà BECbằng nhau và BI CE

2) Phân giác của các góc ABC BDC, cắt AC BC, lần lượt tại D M, .Phân giác của góc BDAcắt BCtại N. Chứng minh 1

BD 2MN Câu 5. (1,0 điểm)

Cho 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 2011 2012 2013

S         và

1 1 1 1

1007 1008 .... 2012 2013

P     . Tính



^{S P}



²⁰¹³

Trong tài liệu 225 đề thi học sinh giỏi môn Toán - Lớp 7 | (Có đáp án) (Trang 182-200)