(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



²



^{2 3}

A x   y x

Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB(  AC).Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC.Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE AB. Đường thẳng vuông góc với AEtại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:

)

a BABH b) DBK 45⁰

c) Cho AB4cm,tính chu vi tam giác DEK

ĐÁP ÁN Bài 1.

Từ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

a b c d

              

2 2 2 2

1 1 1 1

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           

       

           

   

Nếu ^a        ^{b c d 0 a b}



^{c d b}



^;    ^c



^{a d}



a b b c c d d a 4 M c d d a a b b c

   

     

   

Nếu 0 a b b c c d d a 4

a b c d a b c d M

c d d a a b b c

   

             

   

Bài 2.

a) P x( )Q x( )x⁴ x³3x² 3x1

b) H x( )Q x( )2x⁴   2 2x⁴ x²   x 2 2x⁴    2 x² x

c)

 

²



¹



^{0 0}

1 H x x x x x x

x

 

        

Bài 3.

a) x2010  x 2012  x 2014  x 20102014  x x 2012 4(*) Mà x2010  x 2012  x 2014 4, nên (*) xảy ra dấu

2012 0

" " 2012

2010 2014

x x

x

 

     

1 1 1 1 1 1

3 7 11 101 2 3 4 3 2

) 1

1 1 1 5 1 1 1 5 5

5 .

7 11 101 2 2 3 4

b y

     

 

 

    

       

   

   

1

1 7

2 3

1 1 2 4

2 3

1 5

2 2

2 3

2 4

x x

x

x x

    

  

           

Bài 4.

Ta có :



^x2



^{2 0với mọi xvà y x 0với mọi x y,  A 3với mọi x y,}

Suy ra Anhỏ nhất 3khi



²



^{2 0}

2 0

x x y

y x

  

   

  



Bài 5.

a) ABD HBD ch( gn)

b) Qua Bkẻ đường thẳng vuông góc với EK,cắt EK tại I

4 3 2 1

I

K

E H

A D C

B

Ta có: ABI 90⁰

Ta có: ^{ABI 90 ;0 ABBH}



^{ABD HBD}



^;

 

( ); / /

AE AB gt AEBI BA IE BH BI

3 4

( )

HBK IBK ch cgv B B

       mà B₁B₂ DBK 45⁰ c) ABD HBDADDH

HBK IBK HK KI KD DH HK AD KI

         

Chu vi tam giác DEK DEEKKDDEKEADKI 2 2.4 8( )

AEIE AB  cm

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2016-2017

MÔN: TOÁN 7

Câu 1. (5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c

b  d với a b c d, , , 0;a b c,  d. Chứng minh:

a) b d

b a d c

  ^và

c d c a b a

 

 b)

2013 2013 2013

2013 2013

a b a b

c d c d

 

  

   

 

Câu 2. (6 điểm)

1) Tìm xthỏa mãn một trong các điều kiện sau:

)3 2 3 810

) 3 7 4

x x

a

b x x x

  

   

2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm:Cx¹⁰ x⁵ x²  x 1 Câu 3. (2 điểm)

a) Chứng minh với mọi a b,  ta có: a   b a b

b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B   x 2 x 8 Câu 4. (7 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC AB,  AC.Trên tia đối của các tia BCvà CBlấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BDCE

a) Chứng minh ADEcân

b) Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh AM là tia phân giác của DAE c) Từ B và C kẻ BH AD CK; AE.Chứng minh : BH CK

d) Chứng minh AM BH CK, , gặp nhau tại 1 điểm

2) Cho tam giác ABCcó ABAC A; 100 .⁰ Điểm M nằm trong tam giác ABCsao cho MBC10 ,⁰ MCB20 .⁰ Tính số đo góc AMB

ĐÁP ÁN Câu 1.

1)a c 1 a 1 c b a d c

b d b d b c

 

       Kết luận

Từ a c c d c d

b d a b a b

    



2) Từ a c a b a b

b d c d c d

    



2013 2013 2013 2013 2013

2013 2013

a b a b a b

c d c d c d

 

     

          

Câu 2.

1) ^{a)3 . 3x}



^{2  1}



^{8103x 81 x 4}

b) lập luận có x0

Với x     0 x 3 x 7 4x x 5 2) Xét đa thức : Cx¹⁰ x⁵ x²  x 1 Nếu x   0 C 1 0

Nếu x 0 x¹⁰ x²       1 0; x⁵ x 0 C 0 Nếu ^{0   x 1 C x10 x2}



^1x3



^{ }

^

^{1 x}

^

^0

Nếu ^{x  1 C x5.}



^{x5 1}



^{x x}

^

^{  1}

^

^{1 0}

Vậy C 0với mọi xnên đa thức C không có nghiệm Câu 3.

a) Chứng minh đúng BĐT

b) Ta có: B    x 2 8 x 6. Dấu " " xảy ra



^{x 2 8}



^x



^{0 2 x 8}

       Vậy MinB   6 2 x 8

Câu 4.

1)

a) Chứng minh ABD ACE c g c( . . )Kết luận b) Chứng minh MAD MAE c c c( . . )Kết luận

c) Chứng minh BHD CKE(cạnh huyền – góc nhọn)Kết luận

d) Gọi giao điểm của BH và CKlà O. Chứng minh AOlà tia phân giác của DAE mà AMlà phân giác của DAE cmt( )Kết luận

O H K

M

B C

D E

A

2)

Trên tia đối của tia CAlấy điểm E sao cho CECBBECEBC70⁰ Chứng minh ABM  ABE c g c( . . )AMB AEB70⁰

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH VĂN

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 Năm học 2017-2018

Câu 1. (5 điểm)

1) Cho c² ab.Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

2 2

) )

a c a a b c b

b a b a

b a c a

 



  



E A

B

M C

2) Ba phân số có tổng bằng 213

70 ,các tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2. Tìm ba phân số đó.

Câu 2. (6 điểm)

1. Cho đa thức: ^{f x}

 

^{x17 2000x16 2000x152000x14 ... 2000 x1}

Tính giá trị của đa thức tại x1999

2. Chứng minh rằng nếu mvà nlà các số tự nhiên thì số:



^{5 1 3}



⁴



A m n m n là số chẵn Câu 3. (2 điểm)

Tìm số tự nhiên xđê phân số 7 8

2 3

x x



 có giá trị lớn nhất.

Câu 4. (7 điểm)

1. Cho tam giác ABCcân tại A B, 50 .⁰ Gọi Klà điểm trong tam giác sao cho

0 0

10 , 30 .

KBC KCB

a) Chứng minh BABK b) Tính số đo BAK

2. Cho xAy60⁰có tia phân giác Az.Từ điểm B trên Axkẻ BH vuông góc với Aytại H, kẻ BKvuông góc với Azvà Btsong song với Ay Bt, cắt Az tại C.

Từ Ckẻ CM vuông góc với Aytại M. Chứng minh:

a) K là trung điểm của AC b) KMClà tam giác đều

c) Cho BK2cm.Tính các cạnh AKM ĐÁP ÁN Câu 1.

1.

a) Từ c² ab

 

 

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a a b

a c a c a c a ab a

c b c b c b ab b b a b b

  

       

  

b) Theo câu a ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2

a c a b c b

c b b a c a

    

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 ... 2 2

b c b b c b b a b a

a c a a c a a c a

   

       

  

2. Gọi các phân số phải tìm là : a b c, , , ta có: 213 a  b c 70

Và 3 4 5

: : : : 6 : 40 : 25 5 1 2

a b c  9 12 15

; ;

35 7 14

a b c

   

Câu 2.

1.

 

 

17 16 16 15 15 14 14

17 17 16 16 15 15 2

1999 1995 1999 ... 1999 1

1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 .... 1999 1999 1

1999 1 1998

f x x x x x x x x x x

f

          

         

  

2. Ta xét hiệu



^{5m  n 1}

 

^{3m n 4}



^{ ... 2m2n3}

Với m n,  thì 2m2n3là một số lẻ. Do đó trong hai số 5m n 1và

3m n 4phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn. Vậy Alà số chẵn

Câu 3.

Đặt

 

   

   

2 7 8 7 2 3 5

7 8 7 5

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3

x x

A x

x x x x

  

     

   

Đặt ^{B2 2}



^x53



^{thì A}lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất

…… GTLN của A  6 x 2

Câu 4.

1.

a) Vẽ tia phân giác ABKcắt CKở I , ta có: IBCcân nên IBIC ... BIA CIA c c c( . . ) BIA CIA 1200

        ,

do đó BIA BIK gcg( )BABK b) Từ phần a ta tính được BAK 70 .⁰

I

A

B

K

C

2)

a) ABC cân tại B do ^{CAB ACB}



^MAC



và BK là đường cao nên BK là đường trung tuyếnKlà trung điểm của AC.

b) ABH  BAK(cạnh huyền –góc nhọn)BH  AKmà

1 1

2 2

AK  ACBH  AC

Ta có: BH CM (tính chất đoạn chắn) mà 1

CK BH  2ACCM CK  MKClà tam giác cân (1) Mặt khác: MCB90⁰và ACB30⁰MCK 60⁰ (2) Từ (1) và (2)  MKClà tam giác đều

c) Vì ABKvuông tại K mà KAB30⁰ AB2BK 2.24cm

Vì ABKvuông tại K nên theo Pytago ta có: AK  AB² BK²  16 4 12

Mà 1

2 12

KC ACKC  AC

Mà 1

2 12

KC ACKC AK 

Theo phần b) ABBC4;AH BK2;HM BC HBCM( là hình chữ nhật) 6

AM AH HM

   

x

y z

M K

A H

B

PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN 7

Câu 1.

a) Thực hiện phép tính:

3 3

0,375 0,3 11 12 1,5 1 0,75

5 5 5

0, 265 0,5 2,5 1, 25

11 12 3

    



     

b) So sánh: 50 26 1 và 168 Câu 2.

a) Tìm xbiết: x  2 3 2x 2x1 b) Tìm x y,  biết: xy2x y 5

c) Tìm x y z, , biết: 2x3 ;4y y5zvà 4x3y5z7 Câu 3.

a) Tìm đa thức bậc hai biết ^{f x}

 

^{ f x}



^{ 1}



^x. Từ đó áp dụng tính tổng 1 2 3 ....

S     n

b) Cho 2 3 3 2

2 3 .

bz cy cx az ay bx

a b c

     Chứng minh :

2 3

x y z a  b  c Câu 4.

Cho tam giác ^{ABC BAC}



^{90 ,0}



^{đường cao AH.Gọi E F,} lần lượt là điểm đối xứng của Hqua AB AC, ,đường thẳng EFcắt AB AC, lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) AE  AF

b) HAlà phân giác của MHN

c) Chứng minh CM / /EH BN, . / /FH

ĐÁP ÁN Câu 1.

3 3 3 3 3 3 3

8 10 11 12 2 3 4

) 53 5 5 5 5 5 5

100 10 11 12 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 110

3 3 3.

8 10 11 12 2 3 4 1320 3

53 1 1 1 1 1 1 53 66 60 55 5

5 5 5

100 10 11 12 2 3 4 100 660

3. 263 1320 a A

    

 

     

  

          

     

     

   

               

 

3. 263

3 1320 3 3945 3 1881

53 5. 49 5 1749 1225 5 5948 5 29740

100 660 3300

        



b) Ta có: 50  497; 26  255

Vậy 50 26 1 7 5 1 13      169 168 Câu 2.

a) Nếu x2ta có: x 2 2x 3 2x  1 x 6 Nếu 3

2 x 2ta có: 2 x 2x 3 2x   1 x 2(ktm)

Nếu 3

2,

x ta có: 4

2 3 2 2 1

x x x x 5

      

Vậy 4

6; 5 x x

b) Ta có: ^{xy2x  y 5 x y}



^2

 

^{ y2}



^{ 3}



^x1



^y2



^3



^{y 2}



^{x 1}



^{3.1 1.3}

       

^{1 . 3 3 . 1}

           2

y 3 1 -1 -3

1

x 1 3 -3 -1

x 2 4 -2 0

y _{1 -1 -3 -5}

c) Từ 2x3 ;4y y5 ;8z x12y15z

4 3 5 4 3 5 7

1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 12

8 12 15 2 4 3 2 4 3 12

1 3 1 1 4

12. ; 12. 1; 12.

8 2 12 15 5

x y z x y z x y z

x y z

 

        

 

      

Vậy 3 4

; 1;

2 5

x y z Câu 3.

a) Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: ^{f x}

 

^{ax2 bxc a}



^0



Ta có: ^{f x}



^{ 1}

 

^{a x1}



^{2b x}



^{ 1}



^c

   

1

2 1 2

1 2

0 1

2 a a

f x f x ax a b x

b a

b

 

  

          



Vậy đa thức cần tìm là

 

^{1 2 1}

2 2

f x  x  xc(clà hằng số tùy ý) Áp dụng:

Với x1,ta có: ^{1 f}

 

^{1  f}

 

⁰

Với x2ta có: ^{1 f}

 

^{2  f}

 

¹

...

Với xnta có: ^{n f n}

 

^{ f n}



^1



   

²



¹



1 2 3 .... 0

2 2 2

n n n n

S n f n f c c 

            

2 2 2

2 2 2

2 3 3 2

) 2 3

2 3 6 2 3 6

4 9

2 3 6 2 3 6

4 9 0

2 3 0 (1)

3 2

3 0 (2)

3

bz cy cx az ay bx

b a b c

abz acy bcx abz acy bcx

a b c

abz acy bcx abz acy bcx

a b c

z y

bz cy

c b

x z cx az

a c

    

  

  

    

 

 

    

    

Từ (1) và (2) suy ra :

2 3

x y z a  b  c Câu 4.

a) Vì ABlà trung trực của EH nên ta có: AE AH(1) Vì AClà trung trực của HFnên ta có: AH  AF(2) Từ (1) và (2) suy ra AE  AF

b) Vì MABnên MBlà phân giác EMH MBlà phân giác ngoài góc M của tam giác MNH

Vì NACnên NClà phân giác FNH NClà phân giác ngoài N của tam giác MNH

Do MB NC, cắt nhau tại Anên HAlà phân giác trong góc Hcủa tam giác HMNhay HAlà phân giác của MHN.

c) Ta có: AH BC gt( )mà HM là phân giác MHN HBlà phân giác ngoài của Hcủa tam giác HMN

N M

F

E

H A

B C

MBlà phân giác ngoài của M của tam giác HMN cmt( )NBlà phân giác trong góc N của tam giác HMN BNAC(hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)BN/ /HF (cùng vuông góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH / /CM

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: TOÁN

Trong tài liệu 225 đề thi học sinh giỏi môn Toán - Lớp 7 | (Có đáp án) (Trang 121-137)