ứng dụng ph‡ơng pháp phân bố chuẩn để định giá sai số Để đánh giá kết quả của phép đo, ta phải giới hạn, định l†ợng đ†ợc sai số ngẫu

nhiên. Muốn làm đ†ợc điều này, thì cần tìm đ†ợc quy luật phân bố của nó. Để tìm đ†ợc, ng†ời ta dùng công cụ toán học cần thiết cho việc nghiên cứu sự phân bố là lý thuyết xác suất và thống kê.

Với sai số của mỗi lần đo riêng biệt, sau khi ta đã loại bỏ sai số hệ thống rồi thì nó hoàn toàn có tính chất của một sự kiện ngẫu nhiên. Kết quả của lần đo này hoàn toàn

không phụ thuộc gì với kết quả của lần đo khác, vì các lần đo đều riêng biệt, và đều chịu những yếu tố ảnh h†ởng tới kết quả đo một cách ngẫu nhiên khác nhau. Với mỗi lần đo chỉ cho ta một kết quả nào đó. Nh† vậy, dùng phép tính xác suất để nghiên cứu, tính toán các sai số ngẫu nhiên, thì cần thực hiện các điều kiện sau:

-Tất cả các lần đo đều phải tiến hành với độ chính xác nh† nhau. Nghĩa là không những cùng đo ở một máy, trong cùng một điều kiện, mà với cả sự thận trọng, chu đáo nh† nhau.

-Phải đo nhiều lần. Phép tính xác suất chỉ đúng khi có một số nhiều các sự kiện.

2.2.1 Hàm mật độ phân bố sai số

Để xây dựng và hiểu đ†ợc quy luật phân bố, mà từ đó áp dụng đ†ợc vào phép tính toán sai số. Ta cũng cần phải xét tới đặc tính cấu tạo của hàm số phân bố sai số.

Để dễ trình bày, ta giả sử là khi tiến hành đo một đại l†ợng nào đó, ta đo nhiều lần, và đ†ợc một loạt số liệu kết quả đo có các sai số lần l†ợt là x₁, x₂, ... x_n.

Số l†ợng lần đo là n, cũng đồng thời là số l†ợng của các sai số. Ta sắp xếp các sai số theo giá trị độ lớn của nó thành từng nhóm riêng biệt. Ví dụ, có n₁ sai số có trị số từ 0y0,01; có n₂ sai số x có trị giá cũng ví dụ nh† từ 0,01y0,02, ... cũng tiến hành sắp xếp cả về phía có trị giá âm: từ 0y-0,01, từ -0,01y-0,02 ... nh† trên.

Ta có các tỷ số:

1 1

n

n Q ; ² ₂

n

n Q ..., ở đây, Q₁ và Q₂ ... gọi là tần xuất (hay tần số xuất hiện) các lần đo có các sai số ngẫu nhiên nằm trong khoảng có giá trị giới hạn đó.

Hình 2-3 Hình 2-2

Lập các số liệu trên thành biểu đồ phân bố tần xuất nh† hình 2-2 Trục hoành là giá trị của các sai số x; trục tung là tần xuấtQ; diện tích của mỗi hình chữ nhật nhỏ biểu thị

số l†ợng xuất hiện các sai số ngẫu nhiên có trị giá nằm trong khoảng khắc độ t†ơng ứng trên trục hoành theo một tỷ lệ nào đó.

Giản đồ này cho ta hình ảnh đơn giản về sự phân bố sai số, nghĩa là quan hệ giữa số l†ợng xuất hiện các sai số theo giá trị độ lớn của sai số.

Nếu tiến hành đo nhiều lần, rất nhiều lần, tức số lần đo là nof, thì theo quy luật phân bố tiêu chuẩn của lý thuyết xác suất, giản đồ của Q theo x sẽ tiến đến một đ†ờng cong trung bình p(x) nh† hình vẽ 2-3:

lim_nofQ(x)=p(x)

Hàm số p(x) là hàm số phân bố tiêu chuẩn các sai số, (còn gọi là hàm số chính tắc). Gọi là hàm số phân bố tiêu chuẩn vì nó biểu thị theo quy luật phân bố tiêu chuẩn. Trong phần lớn các tr†ờng hợp sai số trong đo l†ờng điện tử thì thực tế là đều thích hợp với quy luật này. Rất ít khi có tr†ờng hợp sử dụng quy luật phân bố đồng đều, quy luật phân bố cung sin hay quy luật phân bố tam giác,..., nên ta không đề cập đến các quy luật này.

Hình 2-4

Hàm số p(x) còn gọi là hàm số “Gốt” (Gauss). Nó có biểu thức sau:

2 2x

e h

p(x) h

S (5)

ở đây chỉ có một thông số h, ứng với các trị số h khác nhau thì đ†ờng cong có dạng khác nhau. Hình 2-4 biểu thị vài đ†ờng cong phân bố sai số ứng với thông số h khác nhau. ứng với đờng có h lớn thì đờng đờng cong hẹp và nhọn, có nghĩa là xác suất các sai số có trị số bé thì lớn hơn. Thiết bị đo l†ờng nào ứng với đ†ờng cong có h lớn thì có độ chính xác cao; khi dùng thiết bị này để đo, thì sai số hay gặp phải là sai số có trị số bé. Với ý nghĩa nh vậy ngời ta gọi h là thông số đo chính xác.

2.2.2 Hệ quả của sự nghiên cứu hàm mật độ phân bố sai số

Từ hàm phân bố của sai số, ta rút ra hai nhận xét về quy tắc phân bố:

a. Xác suất xuất hiện của các sai số có trị số bé thì nhiều hơn xác suất xuất hiện các sai số có trị số lớn. Іờng biểu diễn trong tr†ờng hợp này có dạng hình chuông.

b. Xác suất xuất hiện sai số thì không phụ thuộc vào dấu, nghĩa là các sai số có trị số bằng nhau về trị số tuyệt đối nh†ng khác dấu nhau, thì có xác suất xuất hiện nh†

nhau. Іờng biểu diễn trong tr†ờng hợp này đối xứng qua trục tung.

Với hàm số phân bố p(x), ta có thể tính đ†ợc số l†ợng sai số nằm trong một khoảng dx giữa hai trị số x và x+dx nào đó. Ta biết rằng l†ợng này phải tỷ lệ với p(x), vì p(x) là mật độ phân bố sai số; phải tỷ lệ với n là tổng số các sai số (hay của các lần đo);

và phải tỷ lệ với dx là khoảng trị số độ lớn sai số cần tính:

dn =p(x).n.dx (6)

Chia hai vế của (6) cho n, thì ta có biểu thức vi phân xác suất phân bố sai số:

p(x).dx n

dp dn (7)

Thay p(x) là biểu thức (5), ta có:

dx h e

dp ^h2x2

S (8)

Có biểu thức vi phân này, ta có thể tìm đ†ợc xác suất của các sai số nằm trong khoảng có trị số nào đó đã cho tr†ớc. Ví dụ, xác suất xuất hiện các sai số trong khoảng x₁yx₂ thì bằng:

h dx

1 _S

³

x^x₁^{2 2 2}

x

2) e h

x x

P(x (9)

Trị số này chính là diện tích giới hạn bởi đ†ờng cong và trục hoành với hai đ†ờng có hoành độ là x₁ và x₂ (nh† đã gạch chéo trong hình 2-5).

Xác suất của các sai số có trị số không v†ợt quá một trị số x_inào dó cho tr†ớc, đ†ợc biểu thị bằng diện tích gạch chéo trong hình 2-6:

2h dx h dx

x ^{i i}

i 0

i

³

³

S

S ^{x x hx}

x x

h^{2 2} e ^{2 2}

e )

x

P( (10)

Còn xác suất của các sai số có trị số v†ợt quá trị số x_i cho tr†ớc, chính là phần diện tích không đ†ợc gạch chéo của hình 2-6.

h dx

i _S

³

^f i

! x

x h^{2 2}

e )

x x P(

2h dx

2h dx i

0

0

³

³

^f _S

S

x h x x

h^{2 2} e ^{2 2}

e (11)

Phân tích phần đầu của vế phải (11) chính là trị số xác suất sai số trong khoảng từ -f đến +f. Nó chính là sự kiện tất yếu, và có trị số bằng 1. Phần tích phân thứ hai chính là biểu thức (10). Do vậy có thể viết:

) x x P(

) x x

P( ! _i 1 _i

Biểu thức (10) còn hay đ†ợc biểu diễn d†ới dạng khác, bằng cách thay biến số tích phân

2 h

x t :

dt 2

t 2 ⁱ

2

t 0

2 t

i _S

³

)( ) e (12)

Khi x=x_i thì t_i = x_ih 2.

Biểu thức (12) chính là biểu thức tích phân của xác suất. Bảng trị số hàm số này th†ờng đ†ợc cho sẵn trong sổ tay tra cứu toán học. Nó là hàm Laplace.

Hình 2-5 Hình 2-6

Nh† vậy, biết đ†ợc sự phân bố sai số, ta có thể tính đ†ợc xác suất xuất hiện những lần đo có sai số mà trị số của nó lớn hơn hay bé hơn một giá trị sai số nào đo cho tr†ớc.

Điều này đ†a tới một ý nghĩa thực tế, ở kết quả đo ta cần lấy giới hạn của trị số sai số phải bằng bao nhiêu thì đảm bảo chính xác với một độ tin cậy nào đó.

2.2.3 Sử dụng các đặc số phân bố để định giá kết quả đo và sai số đo

Trong tài liệu đo l‡ờng điện tử (Trang 37-42)