A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. So sánh hai số nguyên
BÀI 7 ÔN TẬP CHƯƠNG II
4. Bội và ước của số nguyên
Vậy x∈ {−1;−3;−5; 1}.
2 Ta có x+ 7 = (x+ 4) + 3.
Vì (x+ 7) ...(x+ 4) và (x+ 4)...(x+ 4) nên 3...(x+ 4).
Do đóx+ 4∈Ư(3) ={±1;±3}.
Ta có bảng sau:
x+ 4 1 −1 3 −3
x −3 −5 −1 −7
Vậy x∈ {−1;−3;−5;−7}.
BÀI 4. Chứng tỏ rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3.
- LỜI GIẢI.
Gọi ba số nguyên liên tiếp làa−1;a;a+ 1 a∈Z.
Tổng của chúng là 3a ...3.
BÀI 5. Cho a, b là các số nguyên. Chứng tỏ rằnga(a+ 1)−ab(a+b)luôn chia hết cho 2.
- LỜI GIẢI.
Vìa, blà các số nguyên nên a(a+ 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp do đó tích này chia hết cho2.
Nếua chẵn hoặc b chẵn thì ab(a+b)...2.
Nếua và b cùng lẻ thì(a+b)...2 do đó ab(a+b)...2.
Vậy a(a+ 1)−ab(a+b) luôn chia hết cho2.
B CÁC DẠNG TOÁN
{ DẠNG 1. So sánh các số, so sánh giá trị tuyệt đối với một số
Phương pháp giải:
Số nguyên dương lớn hơn số0. Số 0 lớn hơn số nguyên âm.
Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
|a| ≥0; |a|=| −a|; |a| ≥a (với mọi a∈Z).
VÍ DỤ 1. Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần:
43;−51;−35; 0; 12;−9;| −100|;−(−44).
- LỜI GIẢI.
Ta có | −100|= 100;−(−44) = 44, do đó−51<−35<−9<0<12<43<44<100.
VÍ DỤ 2. Với a, b ∈ Z, hãy cho biết trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
| −a|=−|a|;
a) b) |a|>−a;
| −a|<0;
c) d) |a−b|=|b−a|.
- LỜI GIẢI.
1 Sai, ví dụ nếu a <0thì | −a|>0 còn −|a|<0.
2 Sai, ví dụ nếu a= 0 thì |a|= 0 còn −a= 0.
3 Sai, ví dụ nếu a <0thì −a >0.
4 Đúng, vì |b−a|=| −(a−b)|=|a−b|.
VÍ DỤ 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
| −5 + 17| ≤ | −5|+|17|;
a) b) |(−8) + (−11)|=| −8|+| −11|;
|10−(−7)|=|10| − | −7|;
c) d) |23−48|=|23| − |48|.
- LỜI GIẢI.
1 Đúng, vì | −5 + 17|=|12|= 12, còn | −5|+|17|= 5 + 17 = 22.
2 Đúng, vì |(−8) + (−11)|=| −19|= 19 và | −8|+| −11|= 8 + 11 = 19.
3 Sai, vì |10−(−7)|=|17|= 17, còn |10| − | −7|= 10−7 = 3.
4 Sai, vì |23−48|=| −25|= 25, còn|23| − |48|=−25.
{ DẠNG 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Phương pháp giải: Với mọi a ∈Z ta có các tính chất sau: |a| ≥0;−|a| ≤ 0;a2 ≥ 0;−a2 ≤0 (dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0).
VÍ DỤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =|x−9|+ 10;
a) b)B =|x+ 1| −5.
- LỜI GIẢI.
1 Ta có|x−9| ≥0(dấu ” = ”xảy ra khi x= 9). Suy ra|x−9|+ 10≥10. Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là10 khi x= 9.Ta viết minA = 10 khix= 9.
2 Ta có |x+ 1| ≥ 0 (dấu ” = ” xảy ra khi x =−1). Suy ra |x+ 1| −5 ≥ −5. Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là−5 khi x=−1. Ta viết min B =−5 khi x=−1.
VÍ DỤ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
C = 4− |x−2|;
a) b)D=−|x+ 7| −16.
- LỜI GIẢI.
1 Ta có −|x−2| ≤0(dấu ” = ” xảy ra khix= 2). Suy ra4− |x−2| ≤4. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức C là4 khix= 2. Ta viết max C= 4 khix= 2.
2 Ta có−|x+ 7| ≤ 0 (dấu ” = ” xảy ra khi x=−7). Suy ra −|x+ 7| −16≤ −16. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thứcD là −16 khi x=−7. Ta viết max D=−16 khix=−7.
VÍ DỤ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
M = 3x2+ 8;
a) b)N = 20−5(x−3)2.
- LỜI GIẢI.
1 Ta cóx2 ≥0 (dấu” = ” xảy ra khi x= 0). Suy ra 3x2+ 8≥8. Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 8 khix= 0. Ta viết min M = 8 khi x= 0.
2 Ta có(x−3)2 ≥0⇒ −5(x−3)2 ≤0 (dấu ” = ”xảy ra khix= 3). Suy ra 20−5(x−3)2 ≤20.
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thứcN là20 khi x= 3. Ta viết max N = 20 khix= 3.
{ DẠNG 3. Thực hiện các phép tính về số nguyên
Phương pháp giải: Thứ tự thực hiện các phép tính về số nguyên cũng tương tự thứ tự thực hiện phép tính về số tự nhiên. Có thể vận dụng tính chất của các phép tính để tính nhanh, tính hợp lí.
VÍ DỤ 7. Tính giá trị của biểu thứcA = (−5)2−3·(−2)3+ 4·(−11).
- LỜI GIẢI.
Ta có
A = (−5)2−3·(−2)3+ 4·(−11) A = 25−3·(−8) + 4·(−11) A = 25 + 24−44
A = 5.
VÍ DỤ 8. Tính giá trị của các biểu thức
1 B = 1−2−3 + 4 + 5−6−7 + 8 +· · ·+ 21−22−23 + 24;
2 C = 23−501−343 + 61−257 + 16−499.
- LỜI GIẢI.
1
B = 1−2−3 + 4 + 5−6−7 + 8 +· · ·+ 21−22−23 + 24 B = (1−2−3 + 4) + (5−6−7 + 8) +· · ·+ (21−22−23 + 24) B = 0 + 0 +· · ·+ 0
B = 0.
2
C = 23−501−343 + 61−257 + 16−499 C = (23 + 61 + 16)−(501 + 499)−(343 + 257) C = 100−1000−600
C = −1500.
VÍ DỤ 9. Tính tổng đại số S = 743−231 + (−495)−(−69)−38 + (−117).
- LỜI GIẢI.
S = 743−231 + (−495)−(−69)−38 + (−117) S = 743−231−495 + 69−38−117
S = (743 + 69)−(231 + 495 + 38 + 117) S = 812−881
S = −69.
{ DẠNG 4. Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
Dựa vào quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế.
Dựa vào các điều kiện cho trước để tạo ra các số thích hợp.
VÍ DỤ 10. Tìm x∈Z biết (19−51)−(x−23) = 6;
a) b)−5x−10·(−7) = 55.
- LỜI GIẢI.
1
(19−51)−(x−23) = 6 19−51−x+ 23 = 6
−x = 6−19 + 51−23
−x = 15 x = −15.
2
−5x−10·(−7) = 55
−5x+ 70 = 55
−5x = 55−70
−5x = −15
x = (−15) : (−5) x = 3.
VÍ DỤ 11. Tìm x∈Z biết |x+ 101| −(−16) = (−43)·(−5).
- LỜI GIẢI.
|x+ 101| −(−16) = (−43)·(−5)
|x+ 101|+ 16 = 215
|x+ 101| = 215−16
|x+ 101| = 199.
Suy ra x+ 101 = 199⇒x= 199−101 = 98;
hoặc x+ 101 =−199 ⇒x=−199−101 =−300.
VÍ DỤ 12. Tìm x∈Z biết 3· |x|<15.
- LỜI GIẢI.
Ta có 3· |x| < 15 suy ra |x| < 15 : 3
|x| < 5.
Vì x∈Z nên |x| ∈ {0; 1; 2; 3; 4}. Do đó x∈ {0;±1;±2;±3;±4}.
VÍ DỤ 13. Tìm x∈Z biết (x−7)(x+ 1) = 0;
a) b) (x−7)(x+ 1)>0.
- LỜI GIẢI.
1 Ta có(x−7)(x+ 1) = 0. Suy rax−7 = 0⇒x= 7 hoặcx+ 1 = 0⇒x=−1. Vậy x∈ {−1; 7}.
2 Ta có (x−7)(x+ 1)>0. Suy ra x−7 vàx+ 1 là hai số cùng dấu.
Trường hợp x−7và x+ 1 cùng dương
(x−7)(x+ 1)>0⇔x−7>0⇔x >7.
Trường hợp x−7và x+ 1 cùng âm
(x−7)(x+ 1) >0⇔x+ 1<0⇔x <−1.
Vậy x >7 hoặcx <−1.
VÍ DỤ 14. Tìm x∈Z, biết (x2−5)·(x2−30) <0.
- LỜI GIẢI.
Vì (x2−5)·(x2−30) <0 nên (x2−5)và (x2−30) là hai số trái dấu.
Mặt khác (x2 −5)> (x2−30) nên ta có x2−5 >0 và x2−30<0, suy ra x2 >5 và x2 <30. Vậy 5< x2 <30, do đóx2 ∈ {9; 16; 25}. Suy ra x∈ {±3;±4;±5}.
{ DẠNG 5. Xét tính chia hết của một số
Phương pháp giải: Vận dụng tính chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
VÍ DỤ 15. Trong khoảng từ −7đến 8có bao nhiêu số nguyên là bội của2hoặc của3 hoặc của 5.
- LỜI GIẢI.
Các số nguyên từ −7đến 8là −7;−6;−5;−4;−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Các số là bội của 2 trong số đó là −6;−4;−2; 0; 2; 4; 6; 8 (8 số).
Các số là bội của 3 (trừ các số đã được tính là bội của 2) là −3; 3 (2 số).
Các số là bội của 5 (trừ các số đã được tính là bội của 2, của 3) là −5; 5 (2 số).
Vậy có tất cả 8 + 2 + 2 = 12(số) là bội của 2hoặc của 3hoặc của 5.
VÍ DỤ 16. Cho hai tập hợp E ={13;−5; 6}; F ={−4; 10;−2}.
Với a∈E và b∈F, hỏi có
Bao nhiêu tích a·b được tạo thành?
a) b)Có bao nhiêu tích nhỏ hơn 0?
Có bao nhiêu tích là bội của 10?
c) d)Có bao nhiêu tích là ước của 24?
- LỜI GIẢI.
1 Tập hợp E có 3 phần tử; tập hợp F có 3 phần tử. Với a ∈ E; b ∈ F thì có 3·3 = 9 tích a·b được tạo thành.
2 Có 5 tích nhỏ hơn 0, đó là các tích: 13·(−4); 13·(−2);−5·10; 6·(−4); 6·(−2).
3 Có 5 tích là bội của 10, đó là các tích: 13·10; (−5)·(−4);−5·10; (−5)·(−2); 6·10.
4 Có 2 tích là ước của 24, đó là các tích: 6·(−4); 6·(−2).
VÍ DỤ 17. Tìm x∈Z để(2·x+ 7)...(x+ 1).
- LỜI GIẢI.
Ta có 2· x+ 7 = 2(x + 1) + 5. Vì (2·x + 7)...(x + 1) và 2(x+ 1)...(x+ 1) nên 5...(x + 1). Do đó x+ 1∈Ư(5) ={−1; 1;−5; 5}. Ta có bảng sau:
x+ 1 −1 1 −5 5
x −2 0 −6 4
Vậy x∈ {−2; 0;−6; 4}.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Tìm x∈Z, biết −14· |x|+ 2 =−40.
Biểu diễn giá trị tìm được của x trên trục số.
- LỜI GIẢI.
−14· |x|+ 2 =−40⇒ −14· |x| =−40−2
−14· |x| =−42
|x| =−42 : (−14)
|x| = 3.
Vậy x= 3 hoặc x=−3.
x A
−3
B 3
BÀI 2. Cho các số nguyên 7;−45; 159;−243; 0;−7.
1 Sắp xếp các số nguyên đó theo thứ tự tăng dần.
2 Tính tổng của các số nguyên đó.
3 Tính tích của các số nguyên đó.
- LỜI GIẢI.
1 Sắp xếp các số nguyên theo thứ tự tăng dần −243<−45<−7<0<7<159.
2 Tính tổng của các số nguyên −243 + (−45) + (−7) + 0 + 7 + 159 =−129.
3 Tính tích của các số nguyên −243·(−45)·(−7)·0·7·159 = 0.
BÀI 3. Tính giá trị của biểu thức A= (−10)·(−7) + (−15)·(+5)−(−3)3.
- LỜI GIẢI.
Ta có
A = (−10)·(−7) + (−15)·(+5)−(−3)3 A = 70−75−(−27)
A =−5 + 27 A = 22.
BÀI 4. Tính tổng và tích của các số nguyên xbiết rằng −5< x <−2.
- LỜI GIẢI.
Vì x ∈ Z và −5 < x < −2 nên x ∈ {−4;−3}. Tổng của chúng là S = (−4) + (−3) = −7. Tích của
chúng là P = (−4)·(−3) = 12.
BÀI 5. Cho x=−5, tính giá trị của các biểu thức sau
|x|+x.
a) b) |x| −x. c)|x| ·x.
- LỜI GIẢI.
1 |x|+x=| −5|+ (−5) = 5 + (−5) = 0.
2 |x| −x=| −5| −(−5) = 5 + 5) = 10.
3 |x| ·x=| −5| ·(−5) = 5·(−5) =−25.
BÀI 6. Cho a, b∈Z. Biết tích a·b <0và |a|=b, hỏi a là số dương hay số âm?
- LỜI GIẢI.
Ta có a·b <0, suy ra a và b trái dấu. Mà b >0(vìb =|a|), nêna là số âm.
BÀI 7. Tìm x, biết 28−(x−11) = 9;
a) b) 17−(63−x) =−4.
- LỜI GIẢI.
1
28−(x−11) = 9⇐ x−11 = 28−9 x−11 = 19
x = 19 + 11 x = 30.
2
17−(63−x) =−4⇒ 63−x = 17−(−4) 63−x = 21
x = 63−21 x = 42.
BÀI 8. Tìm x, y ∈Z, biết x·y= 7 và x > y.
- LỜI GIẢI.
Ta có x·y= 7 >0, suy ra x, y cùng dấu và x, y ∈Ư(7) ={±1;±7}
Vì x > y nên ta chọn x= 7;y= 1 hoặc x=−1;y=−7.
BÀI 9. Tìm số nguyên n, biết (n−2)(n+ 5) = 0;
a) b)(n−3)(n2 + 5) = 0.
- LỜI GIẢI.
1 (n−2)(n+ 5) = 0⇒n−2 = 0 hoặc n+ 5 = 0 ⇒n= 2 hoặcn =−5.
Vậy n∈ {−5; 2}.
2 (n−3)(n2+ 5) = 0⇒n−3 = 0 hoặc n2+ 5 = 0⇒n = 3 hoặc n2 =−5 (vô lý).
Vậy n∈ {3}.
BÀI 10. Ba số nguyên liên tiếp có tổng bằng−9. Hỏi tích của chúng bằng bao nhiêu?
- LỜI GIẢI.
Gọi ba số nguyên liên tiếp làx−1; x;x+ 1 (x∈Z). Ta có (x−1) +x+ (x+ 1) =−9
3·x =−9 x = 3.
Vậy ba số nguyên liên tiếp đó là−4;−3;−2. Tích của chúng là (−4)·(−3)·(−2) = −24.