B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI 9 DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2 , CHO 5 ,CHO 3 , CHO 9
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho2 và chỉ những số đó mới chia hết cho2.
2. Các số có chữ số tận cùng là0 hoặc 5thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
3. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc 9) thì chia hết cho 3 (hoặc 9) và chỉ những số đó mới chia hết cho 3(hoặc 9).
4. Một số có tổng các chữ số chia cho9 (hoặc 3) dư m thì số đó chia cho9 (hoặc 3) cũng dư m.
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
{ DẠNG 1. Nhận biết một số chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9
Phương pháp giải:
Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho3, cho5, cho 9.
Sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng, của hiệu, của tích.
Lưu ý thêm: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng ngược lại, một số chia hết cho 3thì chưa chắc chia hết cho 9.
VÍ DỤ 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho2, số nào chia hết cho 5?
483; 572; 330; 615; 298.
- LỜI GIẢI.
Các số chia hết cho 2là 572, 330, 298.
Các số chia hết cho 5là 330, 615.
VÍ DỤ 2. Trong các số sau, số nào chia hết cho3, số nào chia hết cho 9?
233; 169; 111; 450; 846.
- LỜI GIẢI.
Ta có
2 + 3 + 3 = 86...3 nên số233 6...3 và 2336...9.
1 + 6 + 9 = 166...3nên số 1696...3 và 1696...9.
1 + 1 + 1 = 3...3 nhưng không chia hết cho 9 nên 111...3 nhưng111 6...9.
4 + 5 + 0 = 9...9 nên 450...9 và 450...3.
8 + 4 + 6 = 18...9nên 846...9và 846 ...3.
Vậy các số chia hết cho 3là 111; 450; 846; các số chia hết cho 9 là450;846.
VÍ DỤ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3mà mỗi số đều có hai chữ số?
- LỜI GIẢI.
Các số chia hết cho 3 mà mỗi số có hai chữ số là:
12, 15, 18, 21, . . . , 99.
Số các số hạng của dãy này là:
(99−12) : 3 + 1 = 30(số).
VÍ DỤ 4. Trong dãy số 1, 2, 3, . . . , 199 có bao nhiêu số lẻ chia hết cho 9?
- LỜI GIẢI.
Các số lẻ chia hết cho 9 trong dãy là :
9, 27, 45, . . . , 189 Số các số hạng của dãy này là :
(189−9) : 18 + 1 = 11(số).
VÍ DỤ 5. Chứng tỏ rằng:
a) Số 1021+ 5 chia hết cho 3và 5;
b) Số 10n+ 8 chia hết cho 2và 9 (n∈N∗).
- LỜI GIẢI.
a) Ta có 1021+ 5 = 10. . .0
| {z }
21 chữ số0
+5 = 10. . .05
| {z }
20chữ số0
Số này có tận cùng là5 nên chia hết cho 5.
Số này có tổng các chữ số là 6nên chia hết cho 3.
b) Ta có 10n+ 8 = 10. . .0
| {z }
nchữ số0
+8 = 10. . .08
| {z }
n−1chữ số0
Vì n∈N∗ nên số 10. . .08
| {z }
n−1chữ số0
có tận cùng là 8 nên chia hết cho2.
Số này có tổng các chữ số là 9nên chia hết cho 9.
{ DẠNG 2. Viết các số chia hết cho2, cho 5, cho 3, cho 9 hoặc các chữ số cho trước
Phương pháp giải: Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, cho5, cho3, cho 9.
Chú ý rằng các số đồng thời chia hết cho 2 và 5phải có chữ số tận cùng là 0.
VÍ DỤ 6. Điền chữ số thích hợp vào dấu * trong số 31∗ để được số chia hết cho 5 và 9.
- LỜI GIẢI.
Sô31∗...5 nên ∗ ∈ {0; 5} (1)
Sô31∗...9 nên (3 + 1 +∗)...9 hay 4 +∗...9 suy ra ∗ ∈ {5} (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∗ là chữ số5.
VÍ DỤ 7. Dùng ba trong bốn chữ số 7; 2; 0; 1 ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho2 và3.
- LỜI GIẢI.
Số đó chia hết cho3nên phải có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ta chọn được ba chữ số 2; 1; 0 hoặc 7; 2; 0.
Số đó chia hết cho 2 nên phải có tận cùng là 0hoặc 2.
Nếu chữ số tận cùng là0 thi ta có bốn số là 120, 210, 270, 720.
Nếu chữ số tận cùng là2 thì ta có hai số là102 và 702.
VÍ DỤ 8. Với bốn chữ số0; 1; 3; 5có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau, mỗi số chia hết cho cả2, 5, 3 và 9?
- LỜI GIẢI.
Ta thấy 0 + 1 + 3 + 5 = 9 ...9 nên số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số 0; 1; 3; 5 luôn chia hết cho3 và 9.
Số được lập còn phải chia hết cho 2và 5 nên phải có chữ số tận cùng là0.
Các số đó là1350; 1530; 3150; 5130; 5310.
VÍ DỤ 9. Tìm các sốab để cho số 67ab:
a) Chia hết cho 2;3 và 5.
b) Chia hết cho 3và 5 nhưng không chia hết cho 2.
- LỜI GIẢI.
a) Số 67ab chia hết cho2 và 5nên b = 0.
Số này còn chia hết cho 3 nên (6 + 7 +a+ 0) ...3 hay (13 +a)...3, suy ra a∈ {2; 5; 8}.
Vậy ab∈ {20; 50; 80}.
b) Số 67ab chia hết cho5 nhưng không chia hết cho 2 nên b= 5.
Mặt khác số này chia hết cho 3 nên (6 + 7 +a+ 5) ...3 hay (18 +a) ...3, suy ra a∈ {0; 3; 6; 9}.
Vậy ab∈ {05; 35; 65; 96}.
{ DẠNG 3. Tìm số dư trong một phép chia mà không trực tiếp thực hiện phép chia đó
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Nếu tổng các chữ số của một số chia cho 9 dưr thì khi chia số đó cho 9cũng dư r.
Đối với phép chia cho3 cũng vậy.
VÍ DỤ 1. Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho 9, cho3:
365; 5420; 10. . .0
| {z }
9chữ số0
.
- LỜI GIẢI.
Xét số 365 có3 + 6 + 5 = 14. Số 14chia cho 9dư 5nên số 365 chia cho 9 dư5.
Số 14chia cho 3 dư2 nên số 365 chia cho 3 dư2.
Xét số 5420 có 5 + 4 + 2 + 0 = 11.
Số 11chia cho 9 dư2, chia cho 3 cũng dư 2 nên số5420 chia cho 9, cho 3đều dư 2.
Xét số 10. . .0
| {z }
9chữ số0
có tổng các chữ số là 1nên số đó chia cho 9cũng dư 1, chia cho 3 cũng dư 1.
VÍ DỤ 2. Cho số a= 257 + 496. Tìm số trong phép chiaa cho9.
- LỜI GIẢI.
Ta có 2 + 5 + 7 + 4 + 9 + 6 = 33.
Số 33có tổng các chữ số là6, chia cho 9 dư6.
Vậy số a chia cho 9 dư6.
VÍ DỤ 3. Cho M1 là tập hợp các số chia hết cho 3;
M2 là tập hợp các số chia cho 3 dư1;
M3 là tập hợp các số chia cho 3 dư2.
Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 187∈M1. B. 436∈M2.
C. 1000∈M3. D. Cả A, B, C đều sai.
- LỜI GIẢI.
Số 436 có tổng các chữ số là13. Số 13chia cho 3dư 1nên 436 chia cho 3dư 1.
Vậy 436 ∈M2.
Chọn đáp án B
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Tập hợp nào dưới đây chỉ gồm những số chia hết cho9?
A. {89; 135; 720}. B. {135; 720; 891}. C. {75; 720; 891}. D. {135; 999; 2999}.
- LỜI GIẢI.
Ta có 135...9; 720...9;891 ...9. Vậy tập hợp {135; 720; 891} chỉ gồm những số chia hết cho 9.
Chọn đáp án B
BÀI 2. Cho số a= 3x0 và b= 71y.
a) Tìmx và y biết rằng cả a và b vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5.
b) Tìmx và y biết rằng a...3, b...9.
- LỜI GIẢI.
a) Số a= 3x0 có chữ số tận cùng là 0 nên luôn chia hết cho2 và 5 nên x∈ {0; 1;. . .; 9};
Số b= 71y chia hết cho cả 2 và 5nên y∈ {0}.
b) Ta có3 +x+ 0 = 3 +x. Vì a...3⇒x...3 nên x∈ {0; 3; 6; 9};
Vì b...9 nên 7 + 1 +y= (8 +y)...9. Vậy y∈ {1}.
BÀI 3. Dùng ba trong bốn chữ số 0,1, 4,5 ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho:
a) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9;
b) Vừa chia hết cho5, vừa chia hết cho 9.
- LỜI GIẢI.
a) Số đó chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3 và không chia hết cho 9. Ta chọn được bộ ba số là0; 1;5.
Vậy các số thỏa mãn yêu cầu là 105; 150; 501; 510.
b) Số được tạo thành chia hết cho 9 nên ta chọn được bộ ba chữ số là 4; 5; 0. Mặt khác số đó chia hết cho 5 nên có tận cùng là 0 hoặc 5.
Vậy các số thỏa mãn là 405; 450; 540.
BÀI 4. Chứng tỏ rằng số 1044+ 5 vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5.
- LỜI GIẢI.
1044+ 5 = 10 . . . 0
| {z }
44chữ số0
+5 = 10. . .05
| {z }
43chữ số0
Số này có tận cùng là5 nên chia hết cho 5, số này có tổng các chữ số là 6 nên chia hết cho 3.
BÀI 5. Không trực tiếp chia các số sau cho 3, cho 9, hãy tìm số dư khi chia mỗi số đó cho 3 và 9.
4567; 9876; 10. . .0
| {z }
20chữ số0
.
- LỜI GIẢI.
Các số4567,9876, 10. . .0
| {z }
20chữ số0
có tổng các chữ số lần lượt là22,30,1 khi chia cho3lần lượt được số dư là1, 0,1.
Vậy số dư khi chia mỗi số đó cho 3 lần lượt là1; 0;1.
Tương tự, các số22, 30, 1khi chia cho 9được số dư lần lượt là 4,3,1nên số dư khi chia các số 4567, 9876, 10. . .0
| {z }
20chữ số0
cho 9lần lượt là 4; 3; 1.
BÀI