A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và bội
3. Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó
BÀI
10 ƯỚC VÀ BỘI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Số1 chỉ chia hết cho 1.
Do đó Ư(1) ={1}.
VÍ DỤ 2. Tìm số tự nhiênx sao cho:
x∈Ư(54) và 3< x <20.
- LỜI GIẢI.
Số54 chia hết cho1; 2; 3; 4; 6; 9; 18;27; 54.
Mặt khác 3< x <20nên x∈ {6; 9; 18}.
{ DẠNG 2. Tìm và viết tập hợp các bội của một số cho trước
Phương pháp giải: Để tìm các bội của một số khác 0, ta nhân số đó lần lượt với0;1;2; 3; . . ..
Nếu a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a.
VÍ DỤ 1. Tìm các bội của 9trong các số 1234; 2345; 3456; 0.
- LỜI GIẢI.
Các số1234, 2345 không chia hết cho 9nên không phải là bội của 9.
Các số3456, 0 đều chia hết cho9 nên chúng là bội của 9.
VÍ DỤ 2. Viết tập hợp các bội của 6, của 15, của 0.
- LỜI GIẢI.
B(6) ={0; 6; 12; 18;. . .}
B(15) ={0; 15; 30; 45;. . .}
B(0) =∅ (vì không thể chia một số cho 0).
VÍ DỤ 3. Viết dạng tổng quát các bội của 7rồi viết tập hợp các bội của 7nhỏ hơn 50.
- LỜI GIẢI.
Dạng tổng quát các bội của 7là 7·n (n∈N).
Các bội của 7nhỏ hơn 50là
{0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49}.
{ DẠNG 3. Nhận biết và viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số
Phương pháp giải:
Để kiểm tra số c có phải là ước chung của a và b hay không ta kiểm tra xem a và b có cùng chia hết cho chay không.
Để viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số ta viết tập hợp các ước của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.
VÍ DỤ 1. Cho các số 20;28; 42; 70. Hỏi:
a) Số 10là ước chung của những số nào?
b) Số 14là ước chung của những số nào?
c) Số 2có phải là ước chung của các số đó không?
- LỜI GIẢI.
a) Ta có 20...10; 70...10nên 10∈ƯC(20; 70).
b) Ta có 28...14; 42...14;70...14nên 14∈ƯC(28; 42; 70).
c) Các số 20; 28; 42; 70 đều chia hết cho2 nên 2 là ước chung của tất cả các số đó.
VÍ DỤ 2. Số 8có phải là ước chung của :
a) 56 và 104;
b) 56; 104; 18.
- LỜI GIẢI.
a) Ta có 56...8; 104...8 nên 8∈ƯC(56; 104).
b) Ta có 186...8 nên 86∈ƯC(56; 104; 18).
VÍ DỤ 3. Viết tập hợp các ước chung của :
a) 36 và 48;
b) 45; 75và 105;
c) 14 và 33.
- LỜI GIẢI.
a) Ư(36) ={1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36};
Ư(48) ={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}.
Do đó ƯC(36; 48) ={1; 2; 3; 4; 6; 12}.
b) Ư(45) ={1; 3; 5; 9; 15; 45};
Ư(75) ={1; 3; 5; 15; 25; 75};
Ư(105) ={1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105}
Do đó ƯC(45; 75; 105) ={1; 3; 5; 15}.
c) Ư(14) ={1; 2; 7; 14};
Ư(33) ={1; 3; 11; 33}.
Do đó ƯC(14; 33) ={1}.
{ DẠNG 4. Nhận biết và viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số
Phương pháp giải:
Để kiểm tra sốccó phải là bội chung của a vàb hay không ta kiểm tra xem ccó chia hết choa và b hay không.
Để viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số ta viết tập hợp các bội của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.
VÍ DỤ 1. Cho ba số 12; 18; 45. Hỏi:
a) Số72 là bội chung của những số nào?
b) Số40 là bội chung của những số nào?
c) Số180 có phải là bội chung của cả ba số đó không?
- LỜI GIẢI.
a) Ta có72...12; 72...18nên 72∈BC(12; 18).
b) Ta có90...18; 90...45 nên 90∈BC(18; 45).
c) Số 180 chia hết cho cả ba số 12; 18; 45 nên 180 là bội chung của ba số đã cho.
VÍ DỤ 2. Số450 có phải là bội chung của:
a) 45và 75;
b) 30; 225;54.
- LỜI GIẢI.
a) Ta có450 ...45; 450...75nên 450∈BC(45; 75).
b) Ta có450 6...54nên 450 không phải là bội chung của 30; 225; 54.
VÍ DỤ 3. Viết tập hợp các bội chung của:
a) 5 và15;
b) 2 và3;
c) 9;12 và 18.
- LỜI GIẢI.
a) B(5) ={0; 5; 10; 15; 20; 25; 30;. . .};
B(15) ={0; 15; 30; 45;. . .}.
Do đó BC(5; 15) ={0; 15; 30; 45;. . .}.
b) B(2) ={0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;. . .};
B(3) ={0; 3; 6; 9; 12; 15; 18;. . .}.
Do đó BC(2; 3) ={0; 6; 12; 18;. . .}.
c) B(9) ={0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72;. . .};
B(12) ={0; 12; 24; 36; 48; 60; 72;. . .};
B(18) ={0; 18; 36; 54; 72;. . .}.
Do đó BC(9; 12; 18) ={0; 36; 72; 108;. . .}.
{ DẠNG 5. Chứng minh tính chất của các số
Phương pháp giải:
Có thể viết các số dạng tổng các lũy thừa của 10.
Có thể vận dụng tính chất chia hết của một tổng, một tích.
VÍ DỤ 1. Chứng tỏ rằng số abab là bội của101.
- LỜI GIẢI.
Ta có abab=ab·100 +ab= 101·ab...101.
Vậy abab là bội của101.
VÍ DỤ 2. Chứng tỏ rằng 37 là ước của sốaaabbb.
- LỜI GIẢI.
Ta có
aaabbb = aaa·1000 +bbb
= a·111·1000 +b·111
= 111 (1000·a+b)
= 37·3 (1000·a+b) ...37.
Vậy 37 là ước củaaaabbb.
VÍ DỤ 3. Chứng tỏ rằng hai số chẵn liên tiếp chỉ có hai ước chung là 1 và 2.
- LỜI GIẢI.
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n và 2n+ 2 (n∈N). Giả sử d là ước chung của 2n và 2n+ 2.
Khi đó 2n...d; 2n+ 2...d.
Do đó (2n+ 2−2n) ...d hay 2...d.
Suy ra d∈ {1; 2}.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Viết dạng tổng quát các số là bội của 15 rồi viết tập hợp các bội của 15lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 200.
- LỜI GIẢI.
B(15) ={15·k
k∈N};
Các bội của 15 lớn hơn100 và nhỏ hơn 200 là
{105; 120; 135; 150; 165; 180; 195}.
BÀI 2. Viết tập hợp các ước của 20; 42.
- LỜI GIẢI.
Ư(20) ={1; 2; 4; 5; 10; 20}
Ư(42) ={1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}.
BÀI 3. Viết tập hợp các ước chung của:
a) 9 và 25;
b) 6; 9; 15.
- LỜI GIẢI.
a) Ta có Ư(9) ={1; 3; 9};
Ư(25) ={1; 5; 25}.
Do đó ƯC(9; 25) = {1}.
b) Ta có Ư(6) ={1; 3; 6};
Ư(9) ={1; 3; 9};
Ư(15) ={1; 3; 5; 15}.
Do đó ƯC(6; 9; 15) = {1; 3}.
BÀI 4. Viết tập hợp các bội chung của
a) 4 và 8;
b) 6; 10và 15.
- LỜI GIẢI.
a) Ta có B(4) ={0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;. . .};
B(8) ={0; 8; 16; 24;. . .}.
Do đó BC(4; 8) ={0; 8; 16; 24;. . .}.
b) Ta có B(6) ={0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60;. . .};
B(10) ={0; 10; 20; 30; 40; 50; 60;. . .};
B(15) ={0; 15; 30; 45; 60;. . .}.
Do đó BC(6; 10; 15) ={0; 30; 60;. . .}.
BÀI 5. Tìm số tự nhiên n, biết(n+ 6) ...n.
- LỜI GIẢI.
Ta có (n+ 6) ...n mà n...n nên 6...n.
Do đón ∈Ư(6) hay n ∈ {1; 2; 3; 6}.
BÀI 6. Tìm số tự nhiên n sao cho 15... (2n+ 1).
- LỜI GIẢI.
Ta có 15... (2n+ 1), suy ra 2n+ 1∈Ư(15) hay 2n+ 1∈ {1; 3; 5; 15}. Do đó 2n+ 1 = 1⇒n= 0;
2n+ 1 = 3⇒n= 1;
2n+ 1 = 5⇒n= 2;
2n+ 1 = 15⇒n = 7.
Vậy n∈ {0; 1; 2; 7}.
BÀI
11 SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ. BẢNG SỐ NGUYÊN TỐ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1và chính nó.
•Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
•Số 2là số nguyên tố nhỏ nhất, là số nguyên tố chẵn duy nhất.
2) Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
• Có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố “theo cột dọc” hoặc “theo hàng ngang” và viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ tới lớn.
•Dù phân tích ra thừa số nguyên tố theo cách nào thì ta cũng được cùng một kết quả.
B CÁC DẠNG TOÁN
{ DẠNG 1. Nhận biết số nguyên tố, hợp số
Phương pháp giải: Phương pháp giải:
•Dựa vào định nghĩa của số nguyên tố, hợp số.
•Dựa vào các dấu hiệu chia hết.
•Có thể dùng bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000.
VÍ DỤ 1. Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số?
0; 1; 87; 73; 1675; 547.
- LỜI GIẢI.
• số 0và 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số.
• Số87 là hợp số vì 87>1 và 87...3 (ngoài1 và chính nó).
• Số1675 là hợp số vì 1675>1 và 1675...5 (ngoài1 và chính nó).
• Số73 là số nguyên tố vì 73>1 và 73chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
• Số547 là số nguyên tố (vì có trong bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 1000).
VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng tích của hai số nguyên tố là một hợp số.
- LỜI GIẢI.
Gọi p1 và p2 là hai số nguyên tố. Xét tích p1 ×p2, tích này lớn hơn 1, chia hết cho 1 và chính nó.
Ngoài ra tích này còn chia hết cho p1 và p2 nên tích p1 ×p2 là hợp số.
VÍ DỤ 3. Tổng S= 5·6·7 + 10·11·13là số nguyên hay hợp số?
- LỜI GIẢI.
Số5·6·5...5 (vì tích này có một thừa số là 5).
Số10·11·13...5(vì 10...5).
Do đó tổngS = 5·6·7 + 10·11·13chia hết cho5.
TổngS > 5và chia hết cho 5nên nó là hợp số.
{ DẠNG 2. Điền chữ số để được số nguyên tố hay hợp số
Phương pháp giải: Phương pháp giải
• Dùng các dấu hiệu chia hết để xét.
• Có thể dùng bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000.
VÍ DỤ 4. Cho số10∗. Điền chữ số thích hợp vào ∗để được:
Hợp số.
a) b)Số nguyên tố.
- LỜI GIẢI.
a) Với 10∗ ta có thể chọn ∗ ∈ {0; 2; 4; 6; 8} để 10∗ chia hết cho 2, có thể chọn ∗ là 5 để 10∗ chia hết cho 5.
Vậy để cho 10∗ là hợp số ta có thể chọn ∗ ∈ {0; 2; 4; 6; 8; 5}.
b) Các số101;103;107;109 đều là số nguyên tố (dùng bảng số nguyên tố nhỏ hơn1000). Vậy để10∗
là số nguyên tố, ta chọn ∗ ∈ {1; 3; 5; 7; 9}.
VÍ DỤ 5. Cho biết x1là một số nguyên tố. Hỏi chữ số x là chữ số nào?
- LỜI GIẢI.
Các số11; 31; 41;71 đều là số nguyên tố, các số 21; 51;81; 91đều là hợp số do đó x∈ {1; 3; 4; 6; 7}.
VÍ DỤ 6. Tìm k∈N để tích 19·k là số nguyên tố.
- LỜI GIẢI.
• Với k = 0 thì 19·k= 0, số 0 không phải là số nguyên tố.
• Với k = 1 thì 19·k= 19, số 19là số nguyên tố.
• Với k ≥2 thì 19·k là hợp số vì ngoài các ước là 1 và chính nó còn có ước là19.
Vậy vớik = 1 thì 19·k là số nguyên tố.
{ DẠNG 3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Phương pháp giải: Phương pháp giải Cách 1. Phân tích theo cột dọc.
Cách 2. Phân tích theo hàng ngang.
Nên nhớ: 10 = 2·5; 100 = 22·52; 1000 = 23·53; 10n = 2n·5n.
VÍ DỤ 7. Trong các cách viết sau, cách viết nào là phân tích số 48ra thừa số nguyên tố?
48 = 3 + 13 + 29;
a) b) 48 = 53−3;
48 = 6·8;
c) d) 48 = 23·3.
- LỜI GIẢI.
Ta có 2 và 3là các số nguyên tố. Do đó cách viết48 = 24·3là phân tích số 48 ra thừa số nguyên tố.
Chọn d).
VÍ DỤ 8. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
180;
a) b) 2034.
- LỜI GIẢI.
Ta có
182 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
. Vậy 180 = 22·32·5;
a) Ta có
2034 2
1017 3
339 3
113 113
1
. Vậy 2034 = 2·32 ·
113.
b)
VÍ DỤ 9. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
1500;
a) b) 40000.
- LỜI GIẢI.
a) 1500 = 15·100 = 3·5·(22·52) = 22·3·53. b) 40000 = 4·10000 = 22·(24·54) = 26·54.
{ DẠNG 4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của một số, để tính số lượng các ước số của số đó
Phương pháp giải: Phương pháp giải
• Khi phân tích số m ra thừa số nguyên tố, giả sử m=a·b. Lúc đó ta được các ước của m là 1, a, b và a·b.
• Khi phân tích số m ra thừa số nguyên tố:
Nếu m=ax thì m có x+ 1 ước.
Nếu m=ax·by thì m có(x+ 1)·(y+ 1) ước.
Nếu m=ax·by ·cz thì m có(x+ 1)·(y+ 1)·(z+ 1) ước.
VÍ DỤ 10. Tìm các ước của mỗi số sau:
33;
a) b) 81; c)45.
- LỜI GIẢI.
a) 33 = 3·11⇒Ư(33) ={1; 3; 11; 33}.
b) 81 = 34 ⇒Ư(81) ={1; 3; 32; 33; 34}={1; 3; 9; 27; 81}.
c) 45 = 32·5 ⇒Ư(45) ={1; 3; 9; 5; 15; 45}.
VÍ DỤ 11. Mỗi số sau có bao nhiêu ước?
200;
a) b)720.
- LỜI GIẢI.
a) 200 = 2·100 = 23·52.
Số lượng các ước của 200 là(3 + 1)·(2 + 1) = 12 (ước).
b) 720 = 9·9·10 = 23·32·5.
Số lượng các ước của 720 l à(4 + 1)·(2 + 1)·(1 + 1) = 30(ước).
{ DẠNG 5. Vài ứng dụng khác của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Phương pháp giải: Phương pháp giải
• Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố.
• Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các thừa số thích hợp thành từng nhóm.
VÍ DỤ 12. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 2450.
- LỜI GIẢI.
Ta có 2450 = 2·52·72 = 72·(2·52) = 49·50.
VÍ DỤ 13. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng6840.
- LỜI GIẢI.
Tìm có 6840 = 23·32·5·19 = (2·32)·19·(22·5) = 18·19·20.
VÍ DỤ 14. Một khu đất hình vuông có diện tích là 1156m2. Tính độ dài mỗi cạnh của khu đất này.
- LỜI GIẢI.
Gọi độ dài mỗi cạnh của hình vuông là x. Ta có
x2 = 1156 = 22·172
x2 = (2·17)·(2·17) = 342.
Vậy x= 34 (m).
VÍ DỤ 15. Lập phương của một số bằng 1728. Hỏi số đó là số nào?
- LỜI GIẢI.
Gọi số phải tìm là x. Ta có
x3 = 1728 x3 = 26·33 x3 = 22 ·3
· 22 ·3
· 22 ·3 x3 = 12·12·12 = 123.
Vậy số phải tìm là 12.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Cho 4∗. Hãy điền chữ số thích hợp vào dấu∗ để được:
Số nguyên tố;
a) b) Hợp số.
- LỜI GIẢI.
a) Ta có 41, 43, 47là các số nguyên tố. Do đó chọn ∗ ∈ {1; 3; 7}.
b) 4∗ chia hết cho 2ta có thể chọn ∗ ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.
4∗ chia hết cho 5ta có thể chọn ∗ ∈ {0; 5}.
4∗ chia hết cho 7ta có thể chọn ∗ ∈ {2; 9}.
Vậy để4∗ là hợp số ta chọn ∗ ∈ {0; 2; 4; 5; 6; 8; 9}.
BÀI 2. Tổng hay hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 17·19 + 23·29;
b) 5·8−3·13;
c) 143·144·145−145·144·143.
- LỜI GIẢI.
a) 17·19 + 23·29 = 990. Nhận thấy 990...5. Nên 17·19 + 23·29là hợp số.
b) 5·8−3·13 = 1. Nên 5·8−3·13 = 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số.
c) 143·144·145−145·144·143 = 143·144·145−143·145·143 = 0. Nên143·144·145−145·144·143 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số.
BÀI 3. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố.
504;
a) b)900.
- LỜI GIẢI.
504 = 23·32·7;
a) b)900 = 22·32·52.
BÀI 4. Tìm các ước của các số sau:
65;
a) b)16; c) 28.
- LỜI GIẢI.
65 = 5·13. Vậy Ư(65) ={1; 5; 13; 65}.
a) b)16 = 24. Vậy Ư(16) ={1; 2; 4; 8; 16}.
28 = 22·7. Vậy Ư(28) ={1; 2; 4; 7; 28}.
c)
BÀI 5. Tìm số lượng các ước của các số sau:
30;
a) b)81; c) 600.
- LỜI GIẢI.
a) 30 = 2·3·5. Vậy số lượng các ước của 30là (1 + 1)·(1 + 1)·(1 + 1) = 6.
b) 81 = 34. Vậy số lượng các ước của 81 là(4 + 1) = 5.
c) 600 = 23·3·52. Vậy số lượng các ước của 600 là (3 + 1)·(1 + 1)·(2 + 1) = 24.
BÀI 6. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 1260.
- LỜI GIẢI.
Ta có 1260 = 22·32·5·7 = (5·7)·(22·32) = 35·36.
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp thỏa yêu cầu bài là35 và 36.
BÀI 7. Số 7056 có phải là một số chính phương hay không?
- LỜI GIẢI.
Ta có 7056 = 24·32·72 = (22·3·7)·(22·3·7) = 84·84 = 842.
Do đó số 7056 là một số chính phương.