5.3. Khảo sát chuyển động của điểm bằng toạ độ tự nhiên
5.3.4. Một số trường hợp chuyển động đặc biệt 1. Chuyển động thẳng
5.3.4.4. Chuyển động cong biến đổi đều
Chuyển động cong biến đổi đều là chuyển động có wt = const.
Ta có: w ; dt dv t
= dv= wtdt
Lấy tích phân hai vế sẽ được:
∫
v =∫
hay v = vv
t t
t
o
, dt . w
dv o + wt.t
Phương trình chuyển động viết được:
t . w dt v
ds t
o +
= suy ra : ds = vodt + wt.t.dt;
Hay: s = so + vot + 2
t wt 2
.
Sau đây là một số bài toán thí dụ.
M A
y
O x
B ϕ v
w Thí dụ 5.1: Xác định quỹ đạo, vận tốc
và gia tốc của điểm M nằm giữa tay biên AB của cơ cấu biên tay quay OAB, (xem hình 5.9) cho biết OA = AB = 2a và thời điểm khảo sát tương ứng với góc ϕ của cơ cấu, với ϕ = ωt.
Hình 5.9
Bài giải:
Chọn hệ toạ độ oxy nằm trong mặt phẳng cơ cấu.
Gọi toạ độ của điểm M là x,y ta có:
x = 2acosϕ + a cosϕ = 3 acosϕ;
y = a sinϕ.
Đây chính là phương trình chuyển động của điểm trong toạ độ Đề các.
Để xác định quỹ đạo của điểm, từ phương trình trên rút ra:
cosωt =
a 3
x ; sinωt =
a y;
suy ra 1 a y a 9
x
2 2 2
2 + = .
Đây chính là phương trình Enlip nhận các trục đối xứng là ox và oy ( xem hình vẽ 5.9).
Để tìm vận tốc ta áp dụng biểu thức (5.6) có:
vx = 3asin t dt
dx =ư ω ;
vy = a cos t dt
dy = ω ω .
Cuối cùng xác định được vận tốc của điểm M như sau:
vM = v v2y 9sin2 t cos2 t.a.
x
2 + = ω + ω
Phương chiều của vr
M như hình vẽ. Từ kết quả trên ta thấy vmin = aω và vmax = 3aω.
Theo biểu thức (5.7) xác định được gia tốc của điểm M:
wx = 2
2
dt x
d = -3aω2cosωt = - ω2x;
wy = -aω2sinωt = - ω2y;
Gia tốc toàn phần w = ω4(x2 +y2) =ω2r.
Phương chiều của w được xác định nhờ các góc chỉ phương như sau:
cos(w,ox) = ; r x w
wx ư
= cos(w,oy) =
r y w
wy ư
= .
Từ kết quả trên cho thấy phương chiều wr luôn luôn hướng từ M về O.
Thí dụ 5.2. Điểm M chuyển động theo phương trình:
x= a sinωt ; y = a cosωt; z=ut.
Trong đó a, ω và u là không đổi.
Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M.
Bài giải:
Từ hai phương trình đầu suy ra:
sin2ωt + cos2ωt = a2 hay x2 + y2 = a2 (a)
Kết hợp phương trình (a) với phương trình z = ut ta thấy điểm chuyển động trên mặt trụ bán kính a và trục là oz.
Từ z = ut suy ra t = z/u và thay vào biểu thức của x ta được:
x = a sin .z; u
ω y = cos .z; u ω
Quỹ đạo của điểm M là một đường vít, có trục oz.
Gọi T1 là chu kỳ của đường vít. T1 xác định từ biểu thức:
ωT = 2 π hay T1 = ω
π 2
Trong thời gian T1 động điểm quay quanh trục oz được một vòng đồng thời cũng tiến theo dọc trục oz một đoạn h =uT1 =
ω π u
2 ; h gọi là bước của vít.
Để xác định vận tốc và gia tốc ta áp dụng phương pháp toạ độ Đề các.
vx = aω cosωt;
vy = aω sinωt;
vz = u.
Từ đó xác định vận tốc v của điểm.
v = 2z 2 2 2 2 2 2 2 2
2y 2x
u a
; u ) t sin t (cos a
v v
v + + = ω ω + ω + = ω +
Như vậy vận tốc v của điểm có trị số không đổi và phương tiếp tuyến với quỹ đạo (xem hình 5.10). Tương tự ta xác định được:
wx = -aω2sinωt wx = -aω2cosωt;
wz = 0.
C
y
x
z
a
x O α
ω y
βz a và w = w w2y a 2.
x
2 + = ω
Gia tốc của điểm có độ lớn không đổi còn phương chiều được xác định bằng các cosin chỉ phương.
cos(w,x) = ;
a t x w sin
wx
= ω ư
=
cos(w,y) = ;
a t y w sin
wy
= ω ư
=
Hình 5.10 cos(w,x)
w wz
= 0.
Mặt khác ta thấy:
α
=cos a
x ; =cosβ a
y .
α và β biểu diễn trên hình vẽ.
Như vậy gia tốc luôn luôn hướng theo bán kính từ động điểm vào trục oz. wr
Thí dụ 5.3: Một bánh xe bán kính R lăn không trượt trên đường thẳng.
Vận tốc tâm bánh xe v = v(t).
Lập phương trình chuyển động của điểm M nằm trên vành bánh xe.
Khảo sát vận tốc và gia tốc của điểm M đó.
Khảo sát tính biến đổi chuyển động của điểm M trên quỹ đạo ứng với một vòng lăn của bánh xe khi V=Vo = cosnt.
Bài giải:
Chọn gốc toạ độ là điểm tiếp xúc O giữa M và mặt đường (xem hình 5.11).
Đặt góc PCM = ϕ. Để xác định phương trình chuyển động ta tìm quan hệ giữa các toạ độ x.y của điểm với góc ϕ.
A M0 x
O
H
C ϕ P E M C0
y
R C v
Hình 5.11
Trên hình có x = OH = OP - PH = Rϕ - R sinϕ;
y = HM =R + Rsin(ϕ-900) = R - Rcosϕ = R(1 - cosϕ);
Vì bánh xe lăn không trượt nên: OP=
∫
t .0 ) t ( dt v
Suy ra ϕ = ϕ(t) =
∫
otv(t)dt R1
Phương trình chuyển động của điểm M có thể viết được:
x= R(ϕ- sinϕ);
y= R(1- cosϕ);
ϕ = ϕ(t).
Đây là phương trình của đường Xycloit viết dưới dạng thông số.
Khảo sát chuyển động của điểm M trên cung OA.
Vận tốc và gia tốc của điểm xác định như sau:
ϕ ϕ
=
=
ϕ ư ϕ
=
=
sin R y v
);
cos 1 ( R x vv
y x
&
&
&
&
r
. sin R cos
R v w
);
cos 1 ( R sin
R v
ww 2
y y
2 x
x
ϕ ϕ + ϕ ϕ
=
=
ϕ ư ϕ + ϕ ϕ
=
=
&&
&
&
&&
&
&
r
Tại vị trí chạm đất O và A thì ϕ =0 và ϕ = 2π. Khi đó sinϕ = 0, cosϕ =1.
và: vx = 0 ; vy = 0 suy ra v = 0;
wx = 0; wy = Rϕ2 > 0.
wr lúc này khác không, do đó điểm chỉ dựng lại tức thời ở mặt đất.
Trong trường hợp đặc biệt v = v0 = hằng số thì:
ϕ = ;
R t dt v
R v
1 t o
o (o) =
∫
ϕ = ; R
t vo
ϕo = 0; ϕ& = ; R vo
ϕ&&=0. Lúc này: vx = vo(1-cosϕ); vy = vosinϕ;
wx = sinϕ R
v2o
; wy = cosϕ R
v2o
.
Để xét tính chất chuyển động của điểm trên cung OA ta có:
vr.wr = v
x.wx + vy.wy =
[
sin(
1 cos)
sin cos]
; Rv3o
ϕ ϕ + ϕ ư
ϕ = sin .
R v3o
ϕ Như vậy vr.wr > 0 trong khoảng 0 < ϕ < π và vr.wr < 0 trong khoảng π <
ϕ < 2π.
Trên nửa cung đầu điểm chuyển động nhanh dần còn nửa cung sau điểm chuyển động chậm dần.
Ví dụ 5.4. Một vật rắn bắn ra theo phương ngang với vận tốc ban đầu vr
o
sau đó rơi xuống theo quy luật : x = vot; y = gt2 2 1
Tìm quỹ đạo, vận tốc, gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, bán kính cong của quỹ đạo tại một thời điểm t bất kỳ.
Bài giải:
Khử thời gian t trong phương trình chuyển động ta được phương trình quỹ đạo: y = x .
v g 2
2o
Đây là phương trình parabol. (xem hình 5.12).
τ ωn
n
ω ωτ M O x
Vận tốc của vật xác định được vx = v ;
dt dx
= o
y
Hình 5.12
vy = gt; dt dy =
v = v2o +g2t2.
Gia tốc của điểm được xác định như sau:
wx = 0; dt
x d
2
2 = wy = g.
dt y d
2
2 =
Suy ra w = g . Gia tốc của vật bằng gia tốc trọng trường.
Để xác định gia tốc tiếp tuyến ta có:
wt = .
v t g t g v
t g dt
dv 2
2 2 2 o
2 =
= +
Theo kết quả ở trên v2 = vo2 + g2t2 nên suy ra:
t = v v . g
1 2
o 2 +
Thay vào biểu thức của wt ta được:
wt = g 2
2 0
v 1ư v .
Từ kết quả này ta thấy tại thời điểm ban đầu v = vo thì wt = 0 Khi v → ∞ thì wt → g.
Tiếp theo ta xác định gia tốc pháp tuyến căn cứ vào biểu thức:
w2 = w2τ + w2n
Ta có: w2n = w2 - w2τ = g2 + g2 ; v g v v
1 v 2
2 o 2 2
2 o ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ư
suy ra : . v g v wn = o
Tại thời điểm đầu v = vo do đó wn = g.
Từ biểu thức tìm đ−ợc của wn ta có thể xác định đ−ợc bán kính cong của quỹ đạo.
wn = ρ
v2 suy ra ρ =
n 2
w
v hay ρ = . g v
v
0 3
Tại thời điểm đầu v = vo ta có ρ = . g v2o
Khi v → ∞ thì ρ → ∞.
Chương 6
Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn
Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định là hai chuyển động cơ bản của vật rắn. Sau này sẽ rõ, các chuyển động khác của vật rắn đều là kết quả tổng hợp của hai chuyển động nói trên.