11.2. Các định luật của Niu -Tơn
11.3.3. Dạng toạ độ tự nhiên
Gọi Wτ, Wη, Wβ là hình chiếu của gia tốc điểm và Fiτ, Fiη, Fiβ là hình chiếu của Fi lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên. Sau khi chiếu phương trình (11-4) lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên ta được :
∑
;= τ τ = = n
1 i Fi
s m
mw &&
∑
= ηη =
= ρ n
1 i
i 2
v F m
mw ; (11-6)
∑
.= β β = = n
1 i
Fi
0 mw
Đối với cơ hệ chúng ta có thể tách một chất điểm trong hệ ra để xét. Gọi hợp các ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k được tách ra là và hợp các nội lực tác dụng lên nó là .
Frke
Frki
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm viết dưới dạng véc tơ :
ke ki k
kw F F
m r = r + r
Trong đó mk và wr k là khối lượng và gia tốc của chất điểm thứ k .
Khi xét tất cả các chất điểm ta sẽ thu được N phương trình sau :
e 1 i 1 1
1w F F
m r =r +r ;
e 2 i 21 2
2w F F
m r =r + r ; (11-7)
...
ne ni n
nw F F
m r = r +r .
Hệ phương trình (11-7) được gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ dưới dạng véc tơ. Nếu chiếu hệ phương trình (11.7) lên các trục của hệ toạ độ Đề các hoặc hệ toạ độ tự nhiên ta sẽ được hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới dạng toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự nhiên.
11-4. Hai bài toán cơ bản của động lực học
Từ phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động lực học có hai bài toán cơ bản sau đây :
- Bài toán cơ bản thứ nhất: Cho biết chuyển động của chất điểm xác định lực đã gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận.
- Bài toán cơ bản thứ hai: Cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài toán này gọi là bài toán nghịch.
Sau đây giới thiệu cách giải hai bài toán cơ bản nói trên.
Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phương trình vi phân của chuyển động chất điểm. Từ phương trình vi phân ta xác định được lực tác dụng lên từng chất điểm. Điều cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm điều này đã được giải quyết trong động học.
Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phương trình vi phân sau đó tích phân phương trình vi phân tìm được. Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động.
Nếu phương trình vi phân viết dưới dạng toạ độ Đề các sau khi lấy tích phân hai
lần sẽ xuất hiện 6 hằng số tích phân, nghĩa là các nghiêm x, y, z thu được là các hàm của thời gian và 6 hằng số tích phân đó :
x=f1(t,C1,C2....C6) y= f2(t,C1,C2....C6) z= f3(t,C1,C2....C6)
Các hằng số tích phân trên được xác định từ các điều kiện ban đầu ; Khi t=0 x=x0 ; y=y0; z=z0 ;
0 0
0;y y ;z z x
x& = & & = & & = &
Thí dụ 11-1:
Chất điểm có khối lượng m chuyển động theo đường enlip x=acoskt và y=bsinkt hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm (hình 11-2).
Bài giải :
M O
y b
a x v
F r Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ
nhất. Căn cứ vào phương trình chuyển động x=acoskt
y=bsinkt
Hình 11.2 Xác định được :
x k kt cos ak
x&&= 2 =ư 2 ;
; y k kt sin bk
y&&= 2 =ư 2
Ta có phương trình vi phân chuyển động như sau : x
mk F
m
x&& = x =ư 2
y mk F
m
y&& = y =ư 2
Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với : r mk y
x mk F
F
F= x2 + y2 = 2 2 + 2 = 2
Các góc chỉ phương của Fr là :
r x F
) F x , F
cos( = x =ư
r y F
) F y , F
cos( = y = ư
Mặt khác ta cũng có :
r ) x x , r cos( =
r ) y y , r cos( = Dễ dàng nhận thấy Fr
cùng phương nhưng ngược chiều với véc tơ định vị rr của chất điểm.
Ta có : Fr =ưmkrr.
Thí dụ 11-2 : Để phân loại hạt người ta cho hạt đi qua một sàng dao động ngang có nhiều lỗ. Biết rằng vận tốc của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ (hình 11-3). Hạt có hình dạng cầu, bán kính R. Bỏ qua lực cản của không khí xác định độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ được.
v0
r
Bài giải:
Để hạt rơi qua lỗ sàng trọng tâm của hạt tại vị trí bất đầu chạm mép bên kia của lỗ phải nằm dưới mặt phẳng ngang của sàng. Để giải quyết được điều kiện đó ta xác
định quãng đường hạt đi được theo phương ngang (phương ox) khi tâm hạt rơi xuống được một đoạn x=R. Lực tác dụng lên hạt coi như đã biết đó là trọng lượng bản thân của nó. Bài toán ở đây thuộc loại bài toán cơ bản thứ hai.
R
b
→v
o
x
y
Hình
Chọn hệ toạ độ oxy gắn với sàng (hình 11-3) coi sàng đứng yên còn hạt chuyển động so với sàng. Lực tác dụng lên hạt có :
Fy = 0 Fx = +mg.
Phương trình vi phân chuyển động của hạt viết được : mg
x
m&&= ; hay x&&=g ;
0 y
m&&= ; hay y&&=0 ;
Tích phân hai vế phương trình trên ta được :
C gt
x& = + 1 2
2
C t 2 C
x= gt + +
C3
y& = y=C3t+C4
Để xác định hằng số tích phân ta dựa vào điều kiện đầu đã cho của chuyển động.
Khi t = 0 x& = x&0 suy ra C1=0 x=x0 suy ra C4=0.
Thay vào nghiệm đã tìm được ta có :
2 x gt
= 2 y=v0t
Phương trình quỹ đạo thu được :
g x v 2 y= 0
Khi x=R thì
g R v 2 R b
y= ư = 0
Suy ra
g R v 2 R b= + 0
Để hạt chắc chắn rơi qua lỗ ta phải có :
g R v 2 R b≥ + 0
Thí dụ 11.3 :
Một chất điểm có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực hút về tâm O là Fr k2mrr
ư
= . ở đâyrr là véc tơ định vị còn k là hệ số tỷ lệ. Hãy tìm phương trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho biết tại thời điểm ban đầu t0 = 0 , x0 = 1 , y0 = 0 ,x& =0 , y& =v0(hình 11-4)
Bài giải:
Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm viết dưới dạng véc tơ :
r m k W
m r 2 r
ư
=
chọ hệ toạ độ oxy như hình vẽ ta có thể thiết lập phương trình vi phân dưới dạng toạ độ Đề các như sau :
mx k x
m&&=ư 2
my k y
m&&=ư 2
Khử khối lượng m ở hai vế phương trình trên ta được :
y M
x y
F O
l x
Hình 11.4
0 x k
x&&=ư 2 =
0 y k
y&&=ư 2 =
Nghiệm tổng quát của hai phương trình có dạng:
x=c1coskt + c2sinkt y=c3coskt + c4sinkt
Các hằng số tích phân c1, c2, c3, c4 được xác định từ các điều kiện đầu của chuyển động.
Ki t =t0 = 0 có :
x = x0 = l = C1; x& =0=kC2 y = y0 = 0 = C3; y& = v0 = kC4 Suy ra :
C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; và C4 = v0/k
Phương trình chuyển động chất điểm được viết :
x=lcoskt; y = (v0sinkt)/k
Khử t trong phương trình trên sẽ tìm được phương trình quỹ đạo dạng k 1
/ v
y l
x
2 2 0
2 2
2 + =
Đây là phương trình đường enlip nhận các trục ox, oy là trục
Thí dụ 11-4: Con lắc toán học gồm chất điểm M có khối lượng m treo vào đầu sợi dây không dãn và không trọng lượng, chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Xác định phản lực N của dây (hình
vẽ 11-5). Cho biết lúc đầu con lắc ở vị trí M0 và
có vận tốc v0 ϕ
ϕo
P→
h N τ
→ Mo
vo
→
M Bài giải :
Xét chuyển động của chất điểm M. Các
Hình 11.5
lực tác dụng lên nó gồm P và N. Có thể thiết lập phương trình vi phân viết dưới dạng tọa độ tư nhiên như său :
ϕ ư
= ϕ ư
= Psin mgsin s
m&& (a)
N cos
mg N
cos V P
m
2 =ư ϕ+ =ư ϕ+
ρ (b)
Thay lϕ = s vào phương trình (a)
Ta được : mlϕ&&=ưmgsinϕ hay : sin 0 l
g ϕ= +
ϕ&&
Xét dao động là nhỏ lấy sinϕ ≈ ϕ, ta có
(c) Trong đó : 0
k2ϕ= +
ϕ&&
l k2 = g
Nghiệm tổng quát của phương trình này là : ϕ = Asin(kt + ∝)
A, ∝ là hằng số được xác định bằng điều kiện đầu của chuyển động . Để tìm N căn cứ vào phương trình (b).
Ta có :
ϕ +
= mgcos l
N mv
2
Để tính v2 ta chú ý :
ϕ ω ω ϕ= ϕ
= ω
= ω ϕ
d d dt
d d d dt d dt d2
Thay kết quả trên vào phương trình ( c) ta có : 0
l sin g ϕ= +
ϕ&& ta có :
ϕ ư
ω =
ω sin
l g dt
d
c l cos
dω=ưg ϕ+ ω
Hằng c đ−ợc xác định từ điều kiện ban đầu. Gọi góc ban đầu và vận tốc góc ban đầu kà ϕ0 và ω0 ta sẽ có :
2 0 2 0 0 2
0 cos
l g l 2 cos v
l g
c ω2 − ϕ = − ϕ
=
Thay c vào biểu thức (c) ta đ−ợc :
2 0 2 2 0
l cos g l cos v l
g
2 ϕ+ − ϕ
=
ω ;
0 2
0 2 2
2 l v 2gl(cos cos
v = ω = + ϕ− ϕ
Cuối cùng nhận đ−ợc :
) cos 2 cos gl 3
(v P
N 0
2
0 + ϕ− ϕ
=
Nh− vậy phản lực N phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và vị trí của điểm M.
Kết quả này cũng đúng cho cả khi dao động là không nhỏ.
Chương 12
Các định lý tổng quát của động lực học
Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng do chuyển động của chất điểm hay cơ hệ với các đại lượng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phương trình vi phân để giải thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn.