4.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất
4.3.5. Trọng tâm của vật có thể phân chia thành những vật nhỏ đơn giản Trong trường hợp này ta chia vật thành
các phần có hình dạng đơn giản dễ xác định trọng tâm, sau đó coi mỗi vật đó như một phần tử nhỏ của cả vật, mỗi phần tử này có trọng lượng đặt tại trọng tâm. Xác định được trọng lượng và trọng tâm các phần nhỏ của vật ta sẽ xác định được trọng tâm của cả vật nhờ các biểu thức xác định toạ độ trọng tâm ở trên.
O C1
C2
C3 y
Hình 4.2 Bảng 4.1 C1 C2 C3 xi
yi Si
-1 1 4
1 5 20
5 9 12
x Sau đây ta vận dụng những kết quả trên
để tìm trọng tâm của một số vật.
Thí dụ 4.1: Xác định trọng tâm của tấm tôn phẳng có hình dạng như hình vẽ (4-2).
Biết rằng tấm tôn là đồng chất và kích thước của các cạnh tính bằng cm đã cho trên
hình.
Bài giải:
Trước hết chia vật thành 3 phần, mỗi phần là một hình chữ nhật như hình vẽ (4-2). Các hình này là các tấm phẳng và có tâm đối xứng là C1, C2 và C3. Toạ độ trọng tâm và diện tích của nó có thể xác định như bảng 4.1.
Diện tích của cả vật là : S = S1 + S2 + S3 = 36 (cm2) áp dụng công thức (4.5) ta có:
xc =
S
S x S x S
x1 1+ 2 2+ 3 3
= 36 60 20 4+ +
ư = 2
9 1cm
yc =
S
S y S y S
y1 1+ 2 2+ 3 3
= 36 108 100 4+ +
= 59 8cm Trọng tâm C của vật hoàn toàn được xác định.
Thí dụ 4.2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính R và r ( xem hình vẽ 4.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là c1c2 = a.
Bài giải:
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ. Phân tích thành hai phần mỗi phần là một tấm tròn nhưng ở đây tầm tròn có bán kính r phải coi như vật có tiết diện âm. Cụ thể ta có: Phần 1 là một tấm tròn có bán kính R có toạ độ trọng tâm là x1 = 0 và y1 = 0. Diện tích là S1
= πR2. Phần 2 là tấm tròn có bán kính r, toạ độ trọng tâm là x2 = a, y2 = 0 và diện tích là S2 = -πr2.Diện tích cả vật là :
R
C2 C1 C
r a y
S = S1 + S2 = π(R2 - r2)
Hình 4.3
Ta có thể tính đ−ợc toạ độ trọng tâm của vật.
xc =
S S x S
x1 1+ 2 2
= - 2 2
2
r R
r . a
− ; yc =
S S y S
y1 1+ 2 2
= 0.
Thí dụ 4-3. Tìm trọng tâm của một cung tròn AB bán kính R, góc ở tâm là AÔB = 2 α ( hình 4-4)
Nếu chọn hệ toạ độ nh− hình vẽ ta thấy trục ox là trục đối xứng do đó trọng tâm C của chúng nằm trên trục ox có nghĩa là yc =0. ở đây chỉ còn phải xác định xc
Ta chia cung AB thành N phần nhỏ, mỗi phần có chiều dài ∆lk, có toạ độ xk = Rcosϕk.
Theo công thức (4.6) có:
B
O
∆lk ϕk
xk α
x
A Hình 4.4 y
xc =
L 1 L
x l
n 1 i
k k
=
∑
∆=
∑
= n 1 i
∆lkRcosϕk Thay ∆lkcosϕk = ∆Yk ta có:
Xc =
L 1R
∑
= n 1 i
∆Yk=
L
1R.AB
Thay L = R.2α và AB = 2R sinα ta đ−ợc:
Xc =
α α 2 . R
sin 2 .
R = R.
α α
sin (4-7)
Thí dụ 4-4: Tìm trọng tâm của một tấm phẳng hình tam giác ABC đồng chất (hình 4-5).
Bài giải:
C K G
C A Chia tam giác thành các dải nhỏ song song
với đáy BC. Mỗi dải nhỏ thứ i đ−ợc coi nh− một
B E
Hình 4.5
thanh mảnh và trọng tâm của nó đặt tại giữa dải. Như vậy trọng tâm của các dải sẽ nằm trên đường trung tuyến AE và trọng tâm của cả tam giác cũng nằm trên AE.
Chứng minh tương tự ta thấy trọng tâm của tam giác phải nằm trên trung tuyến BG và trung tuyến CK. Rõ ràng trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó.
Trong hình học ta đã biết điểm đó được xác định theo biểu thức:
CE =
3 1AE
Thí dụ 4-5 Tìm trọng tâm của vật đồng nhất hình tứ diện ABDE như hình vẽ (4-6) .
Bài giải:
Ta chia hình thành các phần nhỏ nhờ các mặt phẳng song song với đáy ABD. Mỗi tấm được coi như một tấm phẳng đồng chất hình tam giác trọng tâm của mỗi phần được xác định như ở thí dụ 4-4. Lớp sát đáy sẽ có trọng tâm là C1với C1k = BK
3
1 (BK là trung tuyến của đáy ABD).
Như vậy tất cả các trọng tâm của các phần sẽ
nằm trên đường EC1 và trọng tâm của cả vật cũng sẽ nằm trên EC1. E
C K B
C2 A
C1 D
Hình 4.6
Tương tự ta tìm thấy trọng tâm của vật nằm trên đường BC2 với C2 là trọng tâm tam giác EAD. Kết quả là trọng tâm C của hình vẽ nằm trên điểm C là giao điểm của EC1 và BC2.
Theo hình vẽ ta có ∆CC1C2 đồng dạng với ∆ ECB mặt khác C1C2 =
3BE
1 và KC1 = KB 3
1 từ đó suy ra:
CE CC1
= BE C C1 2
= 3 1
Suy ra CC1 = CE 3
1 = CE 4 1
1
Phần 2
Động học
Động học nghiên cứu các qui luật chuyển động của vật thể đơn thuần về hình học, không đề cập đến khối lượng và lực. Những kết quả khảo sát trong động học sẽ làm cơ sở cho việc nghiên cứu toàn diện các qui luật chuyển động của vật thể trong phần động lực học.
Trong động học vật thể được đưa ra dưới hai mô hình: động điểm và vật rắn. Động điểm là điểm hình học chuyển động trong không gian, còn vật rắn là tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong nó luôn luôn không đổi. Khi khảo sát các vật thực có kích thước không đáng kể, có thể coi như mô hình động điểm.
Chuyển động là sự thay đổi vị trí của vật trong không gian theo thời gian.
Đơn vị đo độ dài là mét và ký hiệu m, đơn vị đo thời gian là giây viết tắt là s.
Tính chất của chuyển động phụ thuộc vào vật chọn làm mốc để so sánh ta gọi là hệ qui chiếu. Trong động học hệ qui chiếu được lựa chọn tuỳ ý sao cho việc khảo sát chuyển động của vật được thuận tiện . Để có thể tính toán người ta còn phải chọn hệ toạ độ gắn với hệ qui chiếu. Thông thường muốn hình vẽ được đơn giản ta dùng ngay hệ toạ độ làm hệ quy chiếu.
Tính thời gian thông thường phải so sánh với mốc thòi điểm t0 chọn trước.
Về nội dung, động học phải tìm cách xác định vị trí của vật và mô tả chuyển động của vật theo thời gian so với hệ quy chiếu đã chọn.
Thông số xác định vị trí của vật so với hệ quy chiếu đã chọn là thông số định vị. Thông số định vị có thể là véc tơ, là toạ độ, là góc...
Qui luật chuyển động được biểu diễn qua các biểu thức liên hệ giữa các thông số định vị với thời gian và được gọi là phương trình chuyển động. Trong phương trình chuyển động thì thời gian được coi là đối số độc lập. Khi khử đối số thời gian trong phương trình chuyển động ta được biểu thức liên hệ giữa các thông số định vị và gọi là phương trình qũi đạo.
Để biểu thị tính chất của chuyển động ta đưa ra các đại lượng vận tốc và gia tốc. Vận tốc là đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyển động của điểm hay vật.Gia tốc là đại lượng biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian. Gia tốc cho biết tính chất chuyển động đều hay biến đổi. Vận tốc và gia tốc là các đại lượng phụ thuộc vào thời gian.
Căn cứ nội dung người ta chia động học thành hai phần: động học điểm và động học vật rắn. Khi khảo sát động học của vật rắn bao giờ cũng gồm hai phần:
Động học của cả vật và động học của một điểm thuộc vật.
Chương 5
Chuyển động của điểm