Tâm gia tốc tức thời

Điểm trên tiết diện có gia tốc tức thời bằng không gọi là tâm gia tốc tức thời. Ký hiệu tâm gia tốc tức thời là J . Ta có : W_j = 0.

Định lý 8-4 :

Tại mỗi thời điểm trên tiết diện chuyển động song phẳng luôn tồn tại một và chỉ một tâm gia tốc tức thời J.

Chứng minh tính tồn tại của tâm gia tốc tức thời : giả thiết tiết diện chuyển động song phẳng với vận tốc góc và gia tốc góc là ω và ε. Trên tiết diện có điểm A biết gia tốc W_A (hình 8-15). Xoay W_A theo chiều quay của ε quanh A đi một góc à với tg ₂

ω

= ε

à . Dựng nửa đường thẳng Ax theo phương đó.và lấy trên Ax

một điểm J cách A một đoạn

4 2

wA

AJ= ε +ω . Điểm J đó có gia tốc :

JA A

J w w

wr = r + r

Trong đó W_JA có độ lớn bằng w_JA =AJ. ε² +ω⁴ .' Thay

4 2

wA

AJ= ε +ω . Ta được : _A

4 2

4 2 A

JA w w

w =

ω + ε

ω +

= ε .

wr JAhợp với AJ một góc à với tg ₂ ω

= ε

à hướng theo chiều quay của ε quanh A. Như trên hình vẽ (8-15) ta thấy hai véc tơ gia tốc và có độ lớn bằng nhau song song và ngược chiều do đó :

wr A

wr JA

0 w w

wr _J = r _A + r _JA =

ε w_A

B J

à

à C w_B w_C

A x

w_A à

w_M

w_A J

x à

ω Aε M

w_M

w_A ϕw_M

w_A ω A ε

Hình 8.16 Hình 8.15

Hình 8.14

Điểm J chính là tâm gia tốc tức thời của tiết diện .

Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của tâm gia tốc tức thời J : giả thiết tại thời điểm trên tiết diện có hai tâm gia tốc tức thời J₁ và J₂.

Khi đó W_J1 = 0 và W_J2= 0.

Theo biểu thức (4-8) ta có thể viết :

1 J 2 J 1 J 2

J w w

wr = r + r .

Thay W_J1 = 0 và W_J2= 0 vào biểu thức trên ta được W_J2J1= 0.

Vì w_J2J1 =J₂J₁ ε² +ω⁴ trong đó ε≠0 ω≠0

nên W_J2J1 chỉ có thể bằng không khi J₂J₁ = 0 nghĩa là J₂ trùng với J₁. Không thể có hai tâm gia tốc cùng một thời điểm trên tiết diện chuyển động phẳng.

Nếu trên tiết diện có một tâm gia tốc tức thời J và chọn J là tâm cực thì gia tốc của điểm M trên tiết diện có thể xác định theo biểu thức :

MJ J

M w w

wr = r + r .

Vì w_J = 0 nên có thể viết :

n MJ MJ

MJ

M w w w

wr = r = r^τ + r .

Về trị số w_M =MJ. ε² +ω⁴ có phương hợp với MJ một góc à với

tg 2

ω

= ε

à theo chiều quay của ε quanh J (hình 8-16). Như vậy ta nhận thấy gia tốc của các điểm trên tiết diện chuyển động song phẳng luôn luôn hợp với phương nối từ điểm đến tâm gia tốc tức thời một góc à có độ lớn tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đến tâm gia tốc tức thời J. Vì các tính chất đó quy luật phân bố gia tốc các điểm trên tiết diện biểu diễn như trên hình (8-16). Cũng từ các tính chất trên có thể xác định tâm gia tốc tức thời trong một số trường hợp biểu diễn trên các hình (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22).

α α

w_A A

J B

w_B

Hình 8.18 ε

α α w_A

w_B

A B

J

Hình 8.17

ε ε

w_A

A J

B w_B

Hình 8.19

Trên hình (8-17) và (8-18) khi 0<à<90⁰⁰;;ω≠00,,ε≠00 Trên hình (8-19) và (8-20) khi à=90⁰;ω≠0,ε≠0 Trên hình (8-21) và (8-22) khi à = 0;ω≠0,ε=0 Trên hình (8-23) wr _A =wr _B.

Thí dụ 8-4 : Bánh xe tầu hoả, bán kính vành ngoài R bán kính vành lăn là r lăn không trượt trên ray thẳng. Cho biết vận tốc và gia tốc của tầu là Vc = 0,4 m/s và W_C = 0,2 m/s². Xác định gia tốc

của các điểm M₁, M_2, M₃, M₄ trên vành ngoài của bánh xe tại thời điểm đang xét như hình (8-23). Biết r = 40cm, R = 50cm.

Bài giải :

Bánh xe chuyển động song phẳng đã biết vận tốc và gia tốc tâm C.

Trước hết xác định vận tốc góc và gia tốc góc của bánh xe.

w^τ_MC w₃

w₄ wⁿ_MC

w^τ_MC M₄ w_C ω

w_C M₃ wⁿ_MC

w_C w_C

M₁

w₁ wⁿ_MC w^τ_MC

w_C w^τ_MC wⁿ_MC w₂

M₂ ε

α w_A

J B

w_B ε

Hình 8.20

w_A A

J B wB

ε

Hình 8.21

à A à

B

w_A w_B

J --> ∞

Hình 8.22 ε

C

Có thể xác định vận tốc góc theo

v_C. Vì tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc giữa bánh xe với đường ray nên có : Hình 8.23

).

s / rad ( 4 1 , 0

4 , 0 r v PC

v_{C C}

=

=

=

= ω

Gia tốc góc :

) s / rad ( 59 , 4 0 , 0

2 , 0 r w dt .dv r 1 r v dt

d dt

d _{C C C 2}

=

=

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ω ε

Xác định gia tốc các điểm M theo biếu thức :

n MC r

MC C

M w w w

wr = r + r + r ở đây nhận tâm C là tâm cực.

Các véc tơ của các điểm có trị số như nhau, chỉ khác nhau về phương chiều.

n MC r

MC,w wr r

Về độ lớn ta có : W_MC^τ = CM.ε = R.ε =0,5.0,5 = 0,25 m/s²; W_MCⁿ = CM.ω² = R.ω² = 0,5.1² = 0,5 m/s²;

Phương chiều các véc tơ này ở các điểm biểu diễn trên hình vẽ. Căn cứ vào hình vẽ và trị số đã thu được ta có thể tính gia tốc các điểm M₁, M_2, M₃, M₄ như sau :

(

_C ⁿ_MC

)

² _MC²

( )

^{2 2 2}

1 w w w 0,2 0,5 0,25 0,74m/s

w = + + ^τ = + + =

(

_{C MC}

)

^{2 n}_MC²

( )

^{2 2 2}

2 w w w 0,2 0,25 0,5 0,67m/s

w = + ^τ + = + + =

(

ⁿ_{CM C}

)

² _MC²

( )

^{2 2 2}

3 w w w 0,5 0,2 0,25 0,39m/s

w = + + ^τ = + + =

(

_{CM C}

)

^{2 n}_MC²

( )

^{2 2 2}

4 w w w 0,25 0,2 0,5 0,50m/s

w = ^τ + + = + + =

Thí dụ 8-5 : Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ω_OA. Tìm gia tốc của con trượt B và gia tốc góc của thanh AB trên cơ

cấu hình vẽ (8-24). Cho biết tại thời điểm khảo sát góc BOA = 90⁰ ; độ dài OA = r ; AB = 1.

B wr

A

v_A

v_B w_B l

J ε A

r O

ω₀ Bài giải :

Tại vị trí khảo sát có :v_A = v_B

Hình 8.24 Thanh AB tức thời chuyển động tịnh

tiến: ω_AB = 0

Gia tốc điểm A bằng : W_A = W_Aⁿ = rω₀² có phương chiều hướng từ A vào O.

Gia tốc điểm B luôn có phương nằm ngang.

Để xác định tâm gia tốc tức thời ta xác định góc à:

∞ ω =

= ε à ₂

tg do đó à = 90⁰

Dễ dàng tìm được tâm gia tốc tức thời của thanh AB là giao điểm của hai đường thẳng hạ vuông góc với phương W_A và W_B tại A và B.

Vì ω_AB = 0 nên có thể viết : W_A=JA.ε_AB ; W_B =JB.ε_AB

Suy ra : ,

JB w JA

w_A = _B

ở đây JB = r còn JA= l² ưr² nên ^{2 2}

2 2

2

B . rad/s

r l

w r ω

= ư

Phương của theo phương ngang, chiều hướng theo chiều quay vòng của ε

wr B

AB quanh J như hình vẽ.

Từ biểu thức : W_A = JA.ε_AB suy ra ^{2 2}

2 2

A A

AB . rad/s

r l

w JA

w ω

= ư

= ε

Thay W_A = r.ω₀² ta được : ^{2 2}

2

AB 2 . rad/s

r l

r ω

= ư ε

Thí dụ 8-6 : Cho cơ cấu gồm hai bánh răng ăn khớp với nhau. Bánh răng 1 bán kính r₁ = 0,3 m cố định; Bánh

răng 2 bán kính r₂ = 0,2 m lăn trên vành bánh răng 1 và nhận chuyển động từ tay quay OA quay với vận tốc góc là ω_OA và gia tốc góc ε_OA (hình 8-25a).

Hình 8.25 2

1 P D

ε₂ ω₂ v_A

w_Aτ

w_An ω O ε

y

D x

w_Anw_Aτ wⁿ_D

w^τ_D

A ω₂ ε₂

Xác định gia tốc điểm D trên

vành bánh răng 2 tại thời điểm có ; a) b) ω_OA =1 rad/s²

và ε_OA = =4 rad/s².

Bài giải : Bánh răng 2 chuyển động song phẳng. Vận tốc và gia tốc của tâm A đ−ợc xác định :

v_A = OA.ω_OA = 0,5 m/s ;

W_A^τ = OA.ε_OA = -2 m/s²; W_Aⁿ = OA.ω² = 0,5 m/s². Ta có thể xác định đ−ợc vận tốc góc ω₂ của bánh răng 2 :

s / rad 5 , 2 2 , 0

5 , 0 r v

2 A

2 = = =

ω

Chiều quay của ω₂ nh− hình vẽ (8-25).

Gia tốc góc ε₂ của bánh răng 2 đ−ợc xác định theo biểu thức :

2 2

a A 2 2

2 10rad/s

2 , 0

2 r

w dt .dv r

l dt

dω = = = − =−

=

ε ^τ

Điều này chứng tỏ bánh răng 2 chuyển động chậm dần, chiều của ε₂ ng−ợc chiều với ω₂.

Gia tốc điểm D có thể viết :

n DA DA

n A A

D w w w w

wr = r^τ + r + r ^τ + r (a)

Tại thời điểm khảo sát có :

W_DA^τ = DA.ε₂ = r₂ε₂ = 0,2.(10) = 2 m/s²;

W_DAⁿ = DA.ω₂ = r₂ω₂² = 0,2.(2,5)² = 1,25 m/s².

Chiếu hai vế đẳng thức (a) lên hai trục Dx và Dy (hình 8-25b) ta đ−ợc : W_Dx = W_A^τ + W_DAⁿ = 2 + 1,25 = 3,25 m/s²;

W_Dy = W_DA^τ - W_Aⁿ = 2 - 0,5 = 1,5 m/s².

Suy ra : w_D = w²_Dx +w²_Dy = 3,25² +1,5² ≈3,58m/s²

Chương 9

Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định - chuyển động tổng quát của vật rắn

Trong tài liệu Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của tĩnh học lý thuyết về mô men lực và ngẫu lực (Trang 112-119)