Tam giác đều - Một số ví dụ: - 22 chuyên đề bồi dưỡng Hình học 7

B. Một số ví dụ:

3. Tam giác đều

a)Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

∆ABC đều  ABC

AB BC CA

∆

 = =



b)Tính chất. Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.

c)Dấu hiệu nhận biết

•Theo định nghĩa.

•Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

•Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều.

B. Một số ví dụ:

Ví dụ 1. Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB = AC = AD

ABC = 45°; ACD =75°. Tính số đo góc BAD^

Giải

*Tìm cách giải. Chúng ta lưu ý rằng: trong một tam giác cân, nếu biết một góc thì tính được hai góc còn lại. Chẳng hạn: nếu ∆ABC cân tại A thì: Â= 180° - 2B^ = 180° - 2C hoặc

B =C= 180 2

° −Â

*Trình bày lời giải

∆ABC cân tại A nên BAC= 180° - 2.ABC= 90°

∆ABC cân tại A nên CAD = 180° - 2ACD = 30°

C B

0 75

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Ta có BAD^ = BAC + CAD = 120°

Ví dụ 2.

a) Một tam giác cân có một góc là 80°. Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?

b) Một tam giác cân có một góc là 100°. Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?

Giải

a) Nếu góc ở đỉnh tam giác cân là 80° , thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là: ¹⁸⁰ ⁸⁰ 2

° − °=50°

- Nếu mỗi góc ở đáy tam giác cân là 80° thì góc ở đỉnh tam giác cân là: 180° - 80° - 80° = 20°.

b) Nếu góc ở đáy tam giác cân là 100°; thì tổng hai góc ở đáy là: 100° + 100° + 200° > 180 (không xảy ra)

Do đó góc ở đỉnh tam giác cân là 100⁰ thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là

0 0

180 100 0

2 40

− =

* Nhận xét: Bài toán này dễ bỏ sót các trường hợp. Khi đề bài chưa cho cụ thể số đo là số đo ở đỉnh hay ở đáy , ta cần xét cả hai trường hợp.

Ví dụ 3 . Cho hình vẽ bên . Biết AB=AC A; E=DE=CD và BC=CE. Tính số đo BAC Giải

* Tìm cách giải . bài toán xuất hiện nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc bằng

nhau. Để lời giải đơn giản, không bị nhầm lẫn, chúng ta nên đặt góc nhỏ nhất trong hình vẽ là x.

Sau đó biểu diễn các góc khác theo x. Trong quá trình giải,

lưu ý tính chất góc của tam giác cân và tính chất góc ngoài của tam giác.

* Trình bày lời giải

∆DECcân tại D. Đặt DCE =DEC=x

B C

∆DECcó   A ED =DCE+DEC=2x ( góc ngoài tam giác )

∆AED cân tại E nên EA D= ADE=2x

∆AECcó BEC  =CAE+ECA=3x ( góc ngoài tam giác )

∆BCE cân tại C nên  B=BEC=3x

∆ABC cân tại A nên B =BCA=3x

∆ABC có   A+ + =B C 180⁰

Suy ra 2x+3x+3x=180⇔ =x 22, 5⁰ Do đó BAC=2.22, 5⁰ =45⁰

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lay điểm E sao cho

=2.

EBC ABE. Trên tia BE lấy điểm M sao cho EM = BC. So sánh MBCvà BMC.

Giải

*, Cách 1. Trên tia BE lấy điểm K sao cho BK =BC⇒ ∆BKC cân tại B

  180⁰  ⁰  

90 E

⇒ = = −KBC = − =

BCK BKC ABE A B

∆CEKcân tại C ⇒CE =CK;

 = ⇒ = CEK CKE CEB CKM mà

= ⇒ =

BK EM BE KM

(

^{. .}

)

⇒ ∆CEB= ∆CKM c g c , suy ra: MBC =BMC

*, Cách 2. Kẻ ^MH ^⊥^{AC H}

(

^∈^AC

)

Gọi MH cắt tia phân giác BCE tại I.

Ta có : ^{  } ¹^

 

= = = 

 

ABE EBI IBC EBC mà  ABE=EMI ( so le trong)

 

(



)

⇒EMI =CBI =ABE

∆BIMcó IBM =IMB⇒ ∆BIM cân tại I ⇒IB=IM

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Từ đó suy ra ^∆^IBC^{= ∆}^IM^E

(

^{c g c}^{. .}

)

⇒IE=IC⇒ ∆IECcân tại I , mà IH ⊥EC Nên dễ có ^∆^EMH ^{= ∆}^{CMH c g c}

(

^{. .}

)

⇒EM =CM ⇒BC =CM

⇒ ∆BCM cân tại C suy ra MBC =BMC

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) , vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao điểm của AB và CD.

a ) Chứng minh rằng ∆A CD = ∆ABE b ) Chứng minh rằng DIB=60⁰.

c ) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE . Chứng minh rằng ∆AMN đều.

d ) Chứng minh rằng IA+IB=ID.

e ) Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc DIE.

Giải a ) ∆A CD và ∆ABEcó

 

(

⁰ 

)

D= = E =60 + ; = E

A AB DAC BA BAC AC A

⇒ ∆A CD = ∆ABE( c.g.c)

b ) ∆A CD = ∆ABE⇒ A CD =ABE

∆ADK có KAD=60⁰nên  A CD +AKD=120⁰

  120⁰  60⁰

⇒ ABE+BKI = ⇒BKI = hay

=60⁰ DIB

c ) ∆A CD = ∆ABE⇒DC=BE⇒DM =BN

∆ADM và ∆ABNcó AD=AB A K; D = ABN DM; =BN

( )

DM = . .

⇒ ∆A ∆ABN c g c ⇒AM = AN⇒ ∆AMN cân

 = ⇒   + = + ⇒=60⁰ DAM BAN DAM MAB MAB BAN MAN

⇒ ∆AMNđều

d ) Trên tia ID lấy IF = IB.

Ta có BIF=60⁰ nên ∆BIF là tam giác đều.

Xét ∆BFD và ∆BIAcó ^B^D⁼^{BA DBF}^, ⁼ ^ABI

(

⁼⁶⁰⁰⁻^{FBA BF}

)

^, ⁼^BI

Suy ra ^∆^BF^{D =}^∆^{BIA c g c}

(

^{. .}

)

^⇒^DF ⁼^IA

Do đó IA+IB=DF+FI =ID

e ) ∆BIFđều nên BFI=60⁰ ⇒BFD=120⁰⇒BIA=120⁰ Mà BID=60⁰ nên ^DIA⁼⁶⁰⁰^⇒^AI^E⁼⁶⁰⁰ ^DIA⁼ ^AI^E

(

⁼⁶⁰⁰

)

Hay IA là tia phân giác của góc DIE

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn thẳng AM. Trên tia đối tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2 . MH. Chứng minh BN = AC.

( Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội , năm 2015) Giải

*Tìm cách giải . Bài toán chưa hề ghép BN và AC vào hai tam giác bằng nhau trực tiếp được. mặt khác MNB = MC , do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc trên tia đối của tia MA lấy MD = MA bởi đây là giả thiết quen thuộc, để suy ra AC = BD. Sau đó chỉ việc chứng minh BD = BN

* Trình bày lời giải .

Trên tia đối của tia MA lấy MD = MA, Xét ∆ACM và ∆DBM có

D, ,

= = =

AM M AMC DMB BM CM

Suy ra ^∆^ACM⁼^∆^{DBM c g c}

(

^{. .}

)

^⇒^B^D⁼ ^AC

Ta có HN =HA+AN =HA+2.HM=AM +HM

D + HM HM HN H D

= = + ⇒ =

HD M AM

∆DBNcó BH ⊥DN H; D=HN ⇒ ∆DBNcân tại B ⇒BN =BD Vậy BN = AC.

Ví dụ 7.Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao cho tam giác DAB vuông cân tại D;

điểm E ( khác A) thuộc đoạn AD. Đường thẳng qua E, vuông góc với BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng EF = EB.

Giải

*Tìm cách giải. Để chứng minh EF = EB , thông thường chúng ta nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác , sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Tuy nhiên , với hình vẽ này chúng ta chưa thể ghép được . Phân tích đề bài, chúng ta có nhiều góc vuông , góc 45⁰

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

cũng như các cặp cạnh bằng nhau DA = DB , AB = AC. Với sự phân tích trên , chúng ta nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp được giả thiết với nhau cũng như ghép EF và EB là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

* Từ đó chúng ta có hướng giải sau:

• Cách 1. Có thể ghép EF vào ∆AEF có EAF=135⁰ nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với nó cũng bằng 135⁰ . Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, lấy điểm K trên BD sao cho ∆DEK vuông cân .

• Cách 2 . Nhận thấy BAD=45⁰ nên , tia AD là tia phân giác góc ngoài đỉnh A của

∆ABC, nên có thể kẻ thêm EM, EN vuông góc với các đường thẳng AC, AB . Dễ chứng minh được EM = EN . Từ đó cũng có lời giải.

* Trình bày lời giải

Cách 1. Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho

Trong tài liệu 22 chuyên đề bồi dưỡng Hình học 7 - THCS.TOANMATH.com (Trang 41-46)