Cách 2. Gọi M là trung điểm của BC
1. Định lý Py-ta-go
10.11. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng
2 2 2 2
AH BC CH AB .
10.12. Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho CBx450, trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và 2. Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Vẽ BH và CI vuông góc với đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH2CI2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM.
b) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định.
10.13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE = AD. Đường vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB vuông góc với EF.
10.14. Cho tam giác ABC có A300. Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng AD2AB2AC2.
3cm 2cm
n m
C D B
A
K
H E C
B
A
Chuyên đề 11. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cần nhớ
Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông.
• Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
A A ' 900
BC B 'C ' ABC A 'B 'C ' c.h c.g.v AC A 'C '
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D.
Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.
Giải
* Tìm cách giải: Để chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, chúng ta cần chứng minh BAD=CAD . Do đó hiển nhiên cần chứng minh ∆BAD= ∆CAD
* Trình bày lời giải:
Xét ∆BAD và ∆CAD có: ABD= ACD (=900); AD là cạnh chung;
AB = AC (∆ABC cân tại A)
Do đó ∆BAD= ∆CAD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> BAD=CAD (cặp góc tương ứng) Vậy AD là tia phân giác góc BAC
* Nhận xét: Chúng ta còn có DA là tia phân giác của góc BDC, tam giác DBC cân tại D.
AD vuông góc với BC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK ⊥ AC (K ∈ AC). Chứng minh AK = AH.
Giải:
* Trình bày lời giải: ∆ABE cân tại B nên BAE =BEA EK //AB ( vì cùng vuông góc với AC)
C' B'
A' C
B
A
D B C
A
THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC
P O
K
H E
B M
A 1 2
⇒ EAB= AEK (so le trong) ⇒ AEH = AEK
⇒ ∆AEH = ∆AEK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AK = AH
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC
a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK
b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng
c) Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh: OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2 Giải
a) ∆PMB và ∆PMCcó PMB =PMC (=900), MB = MC, MP là cạnh chung
⇒ ∆PMB= ∆PMC(c.g.c) ⇒PB = PC (hai cạnh tương ứng)
∆PHA và ∆PKA có PHA =PKA (=900), PAH =PAK, AP là cạnh chung.
⇒∆PHA= ∆PKA (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ PH = PK (hai cạnh tương ứng)
∆PHB và ∆PKC có PHB = PKC =900, PB = PC, PH = PK
⇒ΔPHB = ΔPKC(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)
Kẻ BE //AC (E ∈ HK) ⇒ BEH = AKH (hai góc đồng vị) (1)
Mà ΔPHA = ΔPKA (chứng minh trên) ⇒ AH = AK (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔAHK cân tại A ⇒ AHK=AKH (tính chất tam giác cân) (2) Từ (1) và (2) ⇒ BEH=AHK hay BEH=BHE
⇒ ∆BEH cân tại B ⇒ BH = BE
b) Mà BH = CK (chứng minh trên) ⇒ BE = CK
ΔBEM và ΔCKMcó MB = MC, EBM =KCM , BE = CK
⇒ ΔBEM=ΔCKM (c.g.c)
⇒BME=CMK (hai góc tương ứng) Mà BME +EMC=1800 (hai góc kề bù)
⇒ CMK +EMC=1800 ⇒EMK=1800 ⇒ E, M, K thẳng hàng Mà E ∈ HK ⇒H, M, K thẳng hàng.
c) ∆AOH và ∆AOK có AH = AK, OAH=OAK , AO là cạnh chung
⇒ ∆AOH = ∆AOK, suy ra AOH=AOK , mà hai góc này kề bù nên AOH=AOK =900
⇒PA ⊥ HK tại O
Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có : OA2 + OH2 = AH2 ; OA2 + OK2 = AK2
OP2 + OH2 = PH2 ; OP2 + OK2 = PK2
⇒ 2(OA2 + OP2 + OH2 + OK2) = 2(AH2 + PH2) ( vì AH = AK và PH = PK)
⇒ OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = AH2 + PH2
Mà tam giác PAH vuông tại H ⇒ AH2 + PH2 = PA2 (định lý Pi ta go)
⇒ OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2 C. Bài tập vận dụng
11.1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E sao cho BD = CE. Vẽ DM ⊥ AB tại M, EN ⊥AC tại N. Gọi K là giao điểm của MD và NE. Chứng minh rằng:
a) ΔMBD = ΔNCE b) ΔMAK = ΔNAK
11.2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH ⊥ AD tại H, kẻ CK ⊥ AE tại K. Chứng minh rằng:
a) ΔBHD = ΔCKE b) ΔAHB = ΔAKC c) BC // HK
11.3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a) MH = MK
b) Tam giác ABC cân
11.4. Cho tam giác ABC vuông tại A có C =300 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE ⊥AD. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABD là tam giác đều b) EH song song với AC
11.5.Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD =BA. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng AE = DE.
Đường phân giác góc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K. Tính BAK ?
11.6. Cho tam giác ABC có AB = AC, BAC =900 và M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. Kẻ BK vuông góc với đưởng thẳng AD tại K. Chứng minh rằng KM là tia phân giác của BKD .
11.7. Cho tam giác DEF vuông tại D và DF > DE. Kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng MDH = E - F
11.8. Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ⊥ CM tại H, kẻ HE ⊥ AB tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABH cân
b) HM là tia phân giác góc BHE
THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Chuyên đề 12. VẼ THÊM HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN A. Kiến thức cần nhớ
Trong một số bài toán ở các chuyên đề trước, chúng ta đã phải vẽ thêm hình phụ thì mới giải được. Trong chuyên đề này, chúng ta hệ thống một vài kĩ thuật vẽ hình phụ để giải toán.