Bài 13.6 Cho góc xoy. Trên hai cạnh ox và oy lần lượt là hai điểm B và C sao cho OB=OC
A. Kiến thức cần nhớ
15.12. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho
d
Hình 16.2 H A
M
<
ABM ACM . Hãy so sánh các góc AMB v AMCà
15.13. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm giữa A và B. Gọi O là trung điểm củaCM . Tia AO cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD>CD.
15.14. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho
AMB> AMC. Tai AM cắt BC tại D. Chứng minh rằngMD<MB.
15.15. Cho tam giác ABC AB, .< AC Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D nằm giữa A và C sao cho AMD> °90 . Chứng minh MD<MB.
15.16. Cho tam giác ABC, A= °60 , tổng AB+AC=10cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC.
Chuyên đề 16. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A. Kiến thức cần nhớ
• Khái niệm: Trong hình 16.1
-Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đường thẳng d. -Đoạn thẳng AH gọi là đường vuông góc, đoạn thẳng
AB gọi là đường xiên.
-Đoạn thắng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
• Định lí 1: Trong các đường xiên, đường vuông góc kẻ từ
một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
-Trong hình 16.1 ta có AH < AB.
Bổ sung: Trong hình 16.2: A∉d; M∈d; AH ⊥d. Ta có AM ≥ AH ( dấu "=" xảy ra ⇔M ≡H).
• Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:
-Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;
-Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
-Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau. Ngược nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và DC song song và bằng nhau. Một đưởng thẳng xy không song song, không vuông góc với hai đoạn thẳng đó. Hãy so sánh các hình chiếu của
AB và DC trên đường thẳng xy.
Giải (h.16.3)
*Tìm cách giải
d
Hình 16.1 H A
B
THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Muốn có hình chiếu của AB và DC trên xy ta vẽ AA BB', ', ', 'CC DD cùng vuông góc với xy . Ta phải chứng minh
' ' ' '
A B =C D . Muốn vậy ta tạo hai tam giác bằng nhau bằng cách vẽ đường phụ.
* Trình bày lời giải.
VẽAA'⊥xy BB, '⊥xy CC, '⊥xy DD, '⊥xy. Khi đó A B' ' và C D' ' lần lượt là hình chiếu của AB và CD trên xy.
Vẽ A M' AB C N, ' CD theo tính chất đoạn chắn song song ta có A M' = AB C N; ' =CD. Mắt khác do AB=CD nên A M' =C N' .
' ' NC'D'
∆MA B = ∆ có B'=D'
(
= °90)
; A M' =C N' và M =N (hai góc có cạnh tương ứng song song cùng nhọn).Do đó ∆MA B' '= ∆NC'D'(cạnh huyền, góc nhon). Suy ra: A B' '=C D' '
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a 2. Trên các cạnh AB BC CA, , lần lượt lấy các điểm D M E, , . Chứng minh MD+ME≥a.
Giải (h16.4)
* Tìm cách giải.
Ta thấy giữa các độ dài a và a 2 có sự liên hệ với nhau:
2
a là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài là a. Ta phải chứng minh
.
MD+ME≥ AB Vì MD ME, là các đường xiên kẻ từ M đến các cạnh góc vuông AB AC, nên ta vẽ thêm các đường vuông góc từ M đến AB AC, đẻ có thể dùng định lý về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
* Trình bày lời giải
Ta cóL AB2+AC2 =BC ⇒2AB2 =
( )
a 2 2 ⇒AB=a.Vẽ MH ⊥AB; MK⊥ AC, khi đó MH AC MK; AB suy ra MK =AB (tính chất đoạn chắn song song)
∆HBM vuông cân ⇒MH =BH.
Ta có MD≥MH MF; ≥MK (dấu " "= xảy ra khi D≡H ) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Do đó:
MD+ME≥MH+MK =BH+AH =a.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A AB, .<AC Đường trung trực của BC cắt BC tại ,
M cắt AC tại N. Lấy điểm K trên đoạn thẳng CN. Hãy so sánh BK và CN.
Hình 16.3
C' D'
A' B' A
B D
C
Hình 16.4 K H
A
B C
M D
E
Giải (h16.5)
* Tìm cách giải.
Ta có thể dễ dàng so sánh đường xiên BK và BN nhờ so sánh các hình chiếu của chúng. Vậy chỉ còn phải só sánh BN với CN mà thôi.
* Trình bày lời giải
Ta có BK và CN là các đường xiên vẽ từ B tới đường thẳng AC, còn AK và AN là các hình chiếu của chúng trên AC.
Vì AK >AN nên BK >BN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) (1)
Mặt khác, MN ⊥BC và MB=MC nênNB=NC (2) Từ (1) và (2) suy raBK >NC.
C. Bài tập vận dụng
•Đường vuông góc và đường xiên
16.1. Cho tam giác ABC. Vẽ AD⊥BC BE, ⊥ AC CF, ⊥ AB D( ∈BC E, ∈AC F, ∈AB). Chứng minh rằng AD+BE+CF nhỏ hơn chi vi tam giác ABC.
16.2. Cho tam giác ABC, góc A tù. Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC tại O. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng d luôn nhỏ hơn hoặc bằng BC. 16.3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi Mlà trung điểm của AC. Chứng minh rằng trung bình cộng các hình chiếu của AB và BCtrên đường thẳng BM thì lớn hơnAB. 16.4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt canh BC. Gọi Dvà E theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên xy. Xác định vị trí của xy để
BD + CE =BC.
16.5. Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác. Biết đường trung trực của CM đi qua A. Hãy so sánh AB và AC.
16.6. Cho ABC cân tại A. Trên các tia đối của tia BA và CAlần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM =CN . Chứng minh rằng:
) 2
MN BC a BN > + .
) 2
MN BC b BM > − .
16.7. Cho đoạn thẳng BC =5cm và trung điểm M của nó. Vẽ điểm A sao cho BAC =900. Qua M vẽ một đoạn thẳng vuông góc với AM cắt các tia AB AC, lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của điểm A để EF có độ dài ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
•Đường xiên và hình chiếu.
16.8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC ( H ∈BC).
Hình 16.5 N
B M C
A
K
THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Cho biết BAH =CAH . Hãy so sánh HB với HC.
16.9. Cho tam giác ABC, B <C <900. Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm M nằm giữa B và Cta luôn có AM < AB.
16.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =5cm; AC =12cm. Vẽ AH ⊥ BC. Gọi M là một điểm trên đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng: 13≤ MB + MC ≤17.
16.11. Cho tam giác ABC. Vẽ AH ⊥ BC ( H nằm giữa B và C). Lấy điểm M nằm trên AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
Chứng minh rằng nếu BD =CE thì tam giác ABC là tam giác cân.
Chuyên đề 17. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC A. Kiến thức cần nhớ