50 bài tập về Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau (có đáp án 2022) - Toán 9

(1)

Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau I. Lý thuyết

Cho đường thẳng d: y = ax + b



^a^⁰



và đường thẳng d’: y = a’x + b’



^{a '}^⁰



1. Điều kiện để hai đường thẳng song song d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

a a ' b b '

 

 

Ví dụ: y = 3x + 1 và y = 3x – 2 là hai đường thẳng song song vì

 

a a ' 3 b b' 1 2

 



  



2. Hai đường thẳng trùng nhau d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi

a a ' b b '

 

 

3. Hai đường thẳng cắt nhau d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi a a '

Trường hợp đặc biệt a.a ' 1thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Phương pháp giải: Sử dụng đến các điều kiện của vị trí tương đối hai đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song + Hai đường thẳng cắt nhau + Hai đường thẳng vuông góc + Hai đường thẳng trùng nhau.

(2)

Ví dụ 1: Cho các đường thẳng d₁: y = 3x – 1; d₂: y = 5x + 6; d₃: y = 3x + 2; d₄: y

= ¹ 3

 x + 1.

Xét vị trí tương đối của d₁với các đường thẳng d₂; d₃; d₄. Lời giải:

+ Xét vị trí tương đối của d : y = 3x – 1 và ₁ d : y = 5x + 6 ₂ Ta có: ^a ³

a ' 5

 

  ^{ }^a ^{a ' 3}



^⁵



1 2

d ;d là hai đường thẳng cắt nhau

+ Xét vị trí tương đối của d₁: y = 3x – 1 và d₃: y = 3x +2 Ta có: ^a ³

a ' 3

 

  ^{ }^a ^{a '}

 

^³

Lại có ^b ¹ b ' 2

  

  ^{ }^b ^b'



^{ }^{1 2}



1 3

d ;d là hai đường thẳng song song

+ Xét vị trí tương đối của d : y = 3x – 1 và ₁ d : y = ₄ ¹ 3

 x + 1.

Ta có:

a 3 a ' 1

3

 

  



a a ' 3 1 3

  

    

Lại có a.a ' 3. ¹ 1 3

   

1 4

d ;d là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng y = (2m – 2)x + 3 Tìm m để:

a) song song vớid : y = 2x – 1 ₁

(3)

b) vuông góc với d₂: y = x – 1.

Lời giải:

a) // d₁ 2m 2 2

3 1

  

   

Vì 3 1 luôn đúng nên để // d thì 2m – 2 =2 ₁

2m = 4

m = 4:2

m = 2

Vậy m = 2 thì // d₁

b)  d₂



^{2m 2 .1}^



^{ }¹

2m – 2 = -1

2m = -1 + 2

2m = 1

m = 1 2 Vậy m = 1

2thì vuông góc với d ₂

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Vận dụng công thức về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.

Cho đường thẳng d: y = ax + b



^a^⁰



và đường thẳng d’: y = a’x + b’



^{a '}^⁰



+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi a a '

b b '

 

 

(4)

+ Hai đường thẳng vuông góc

a.a ' 1thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x +2 và đi qua A(1; 2).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a0) Vì d // d’ nên

a = a’ = 3; b 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào (*) ta được 2 = 3.1 + b

2 = 3 + b

b = 2 – 3

b = -1

y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đii qua M(2; -3) và vuông góc với đường thẳng d: y = 2x - 5

Lời giải:

Gọi đường thẳng  cần tìm là y = ax + b (**) (a0) Vì  d nên ta có a.a’ = -1

a.2 = -1

a = 1 2



Vì đi qua M(2; -3) nên ta thay x = 2; y = -3; a = 1 2

 vào (**) ta được

-3 = 1 2

 .2 + b

(5)

 -1 + b = -3

b = -2

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1 2

 x – 2.

Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng d : y = 2x + 3; ₁ d : y = x + 3; ₂ d : y = 3x – 1. ₃

a) Viết phương trình đường thẳng song song với d₁và đi qua giao điểm của d₂và d3.

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và đi qua giao điểm của ₂ d và ₁ d3.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của d₂và d₃

Phương trình hoành độ giao điểm của d và ₂ d là ₃ x + 3 = 3x – 1

2x = 4

x = 2 y = 5

Vậy tọa độ giao điểm của d₂và d₃là A(2; 5) Gọi đường thẳng cần tìm là ₁: y = ax + b (a0) Vì ₁// d₁nên a = a’ = 2; b3

Vì ₁đi qua A(2; 5) thay x = 2; y = 5; a = 2 vào ₁ ta được:

5 = 2.2 + b

b = 5 – 4

b = 1

Vậy đường thẳng ₁: y = 2x + 1.

b) Tìm tọa độ giao điểm d₁và d₃

Phương trình hoành độ giao điểm của d và ₁ d ₃

(6)

2x + 3 = 3x – 1

3x – 2x = 3 + 1

x = 4y = 11

Vậy giao điểm của d và ₁ d là B(4; 11) ₃

Gọi ₂: y = ax + b (a0) là đường thẳng cần tìm Vì ₂ d₂a.a’ = -1

1.a = -1

a = -1

Vì ₂đi qua B(4; 11) thay x = 4; y = 11 và a = -1 vào ₂ta được:

11 = -1.4 + b

b = 11 + 4

b = 15

Vậy đường thẳng ₂cần tìm là y = -x + 15.

Dạng 3: Tìm m để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên quan đến hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng cắt nhau.

Bước 1: Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a0) Bước 2: Cho a, b thỏa mãn điều kiện đề bài

Bước 3: Giải a, b để tìm m.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1) x + 3. Tìm m để d song song song với đường thẳng d’ : y = 3x – 5

Lời giải:

Vì d // d’a = a’

2m + 1 = 3

2m = 3 – 1

(7)

2m = 2

m = 2:2

m = 1

Lại có b = 3 và b’ = -5

bb’

Vậy m = 1 thì d và d’ song song.

Ví dụ 2: Tìm m để d: y = 3mx + m và d’: y = 5mx + 1 (m0) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’

3mx + m = 5mx + 1

Vì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình ta có:

3m.1 + m = 5m. 1 + 1

4m = 5m + 1

m = -1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳngd₁: ^y^



^m² ^^{2m x}



^³+ m song với đường thẳng d2: y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Lời giải:

Vì d // d’

2

m 2m 3

3 m 1

m 2m 0

  

  

  



 

m2 2m 3 0

m 2

m m 2 0

   

  

  



(8)



^m ^{3 m 1}

 

⁰

m 2

m 0

m 2

   

  

 

 

 

m 3 0

m 1 0

m 2

m 0

m 2

  

  

  

 

 

m 3 (tm) m 1 (tm)

m 2

m 0

 

  

 

  

 



m 3

m 1

 

    (1)

Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên ta có x = -2; y = 0 thay vào d 0 = (m²2m).(-2) + 3 + m

2m2 4m 3 m 0

      2m2 5m 3 0

    

2m2 m 6m 3 0

     

   

m 2m 1 3 2m 1 0

     



^{2m 1 3 m}

 

⁰

   

2m 1 0 3 m 0

  

    2m 1 m 3

  

  

(9)

m 1 2

m 3

  



 



(2)

Từ (1) và (2) m = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) d: y = 3x + 5 và d’: y = 2x + 6

b) d: y = 2x + 1 và d’: y = 2x + 3 c) d: y = x + 5 và d’: y = -x - 3 d) d: y = 3x + 5 và y = 3x – 5.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = 3x +5 và d’: y = (m+2)x – 3 + m a) Tìm m để d // d’

b) Tìm m để d cắt d’

c) Tìm m để dd’

d) Tìm m để dd’

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3; d’: y = 4x – 5 a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua tọa độ giao điểm của d và d’ và song song với đường thẳng y = 3x + 1.

Bài 4: Cho ba đường thẳng d₁: y = 5x – 3; d₂: y = 1 2

 x + 6 và d₃: y = (m - 3)x +5 a) Tìm m để d₁;d₂;d₃đòng quy

b) Tìm m để d₁//d₃

c) Tìm m để d và ₃ d cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1. ₂

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau a) d đi qua A(1; -3) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1

(10)

b) d đi qua điểm B(1; -2) và song song với đường thẳng y = 2x – 3.

Bài 6: Cho các đường thẳng

d1: y = (2m + 1) x – (2m + 3) d : y = (m – 1) x + m 2

a) Tìm m để d₁d₂ b) Tìm m để d₁d₂ c) Tìm m để d₁// d₂.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 3x – 2 và y = 2x + 1. Biết d song song với đường thẳng y = 4x – 3.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4.

Bài 10: Cho đường thẳng:

d : y = 2mx – (m + 5) 1

d2: y = (1 – 3n)x + n

a) Tìm điểm cố định mà d₁luôn đi qua.

b) Gọi I là điểm cố định d₁luôn đi qua. Tìm m để d₂đi qua I c) Tìm m,n để d₁ d₂.