Phương pháp tính điện trở của mạch cầu

Tính điện trở mạch cầu khi biết các giá trị điện trở con

Mạch cầu tổng quát

I, mạch cầu cân bằng:

- Khi đặt một hiệu điện thế UAB khác 0 thì ta nhận thấy I5 = 0.

- Đặc điểm của mạch cầu cân bằng.

+ Ta có thể vẽ lại mạch gồm: (R1 // R3) nt (R2 // R4) hoặc (R1 nt R2) // (R3 nt R4) + Về điện trở.

4 2 3 1 4

3 2 1

R R R R R

R R

R   

+ Về dòng điện: I1 = I2 ; I3 = I4 Hoặc

2 4 4 2 1

3 3

1 ;

R R I I R

R I

I  

+ Về hiệu điện thế : U1 = U3 ; U2 = U4 Hoặc

4 3 4 3 2

1 2

1 ;

R R U U R

R U

U  

Bài 1: Cho mạch điện như HV. Với R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4= 6Ω, R5 = 5Ω. UAB=6V. Tính I qua các điện trở?

Giải:

Ta có :

2 1

4 3 2

1  

R R R

R => Mạch AB là mạch cầu cân bằng => I5 = 0. (Bỏ qua R5).

Mạch điện tương đương: (R₁ nt R₂) // (R₃ nt R₄) - Cường độ dòng điện qua các điện trở

I1 = I2 = A

R R

U_AB

2 2 1

6

2 1

 

  ; I3 = I4 = A

R R

U_AB

67 . 6 0 3

6

4 3

 

 

Bài 2: Cho mạch điện mắc như hình vẽ bên:

Chứng minh rằng nếu có:

4 2 3 1 4

3 2 1

R R R R R

R R

R   

Thì khi K đóng hay K mở, điện trở tương đương của bộ tụ đều không thay đổi.

Bài 3: Cho 12 điện trở được ghép thành mạch như hình vẽ.

Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch.

Với R1 = R5 = R9 = R4 = 1 ,

R₃ = R₆ = R₁₀ = R₁₂ = 2 , R₂ = 3 , R₈ = 4 , R₇ = 6 , R₁₁ = 2 .

R3 1

R2 1

R1 1

R5 1

R4

R6 1 1

R8 1

R7 1

R9

1 R12

R11

R10 1

A B

Bài 4: Tính điện trở tương đương của mạch:

II, Mạch cầu không cân bằng: - Khi đặt một hiệu điện thế U_AB khác 0 thì ta nhận thấy I₅ khác 0.

(Sau đây là một số cách giải bài toán do mình sưu tầm được.)

Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ:

Với R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4= 4Ω, R5 = 5Ω.

Tính điện trở tương đương của mạch điện.

Lưu ý:

*Cách 1, 2, 3 có sử dụng 2 định luật Kirchhoff như sau:

(có thể tìm được tư liệu về định luật này ở nhiều sách nâng cao. Các công thức này có thể tự chứng minh theo ý hiểu cá nhân, nhưng mình sẽ lấy cái tổng quát nhất là dựa vào định luật Kirchhoff)

+ Nếu dòng điện đi từ M đến N:

Tại nút M ta có: I1 = I2 + I5

Tại nút N ta có: I₄ = I₅ + I₃

Tại mắt mạng AMN: U1 + U5 = U3

Tại mắt mạng MNB: U4 + U5 = U2 U5 = VM - VN

+ Nếu dòng điện đi từ N đến M:

Tại nút M ta có: I1 = I2 - I5

Tại nút N ta có: I4 = I3 - I5

Tại mắt mạng AMN: U₁ - U₅ = U₃ Tại mắt mạng MNB: U4 - U5 = U2

U5 = VN - VM

*Bình thường một số bài toán không cho dấu của 2 cực của nguồn (điều này không ảnh hưởng đến đáp án) ta vẫn phải làm thao tác “giả sử chiều dòng điện như hình vẽ”. Thao tác này vừa để chọn chiều dòng điện qua MN vừa để chọn dấu của 2 cực của nguồn. Các công thức trên mình đều chọn cực dương ở A, cực âm ở B và khi giải bài toán này mình vẫn chọn như thế. (Nếu chọn cực âm ở A, cực dương ở B thì chỉ việc đảo chỗ các công thức ở 2 trường hợp cho nhau)

Hình α

Hình β

Giải:

Cách 1. đặt ẩn là hiệu điện thế -Phương pháp chung.

+ Giả sử chiều dòng điện từ M đến N.

+ Chọn 2 hiệu điện thế bất kì làm 2 ẩn.

+ Sau đó qui các hiệu điện thế còn lại theo ẩn đã chọn.

+ Giải bài theo ẩn đó.

VD ta chọn 2 ẩn là U₁ và U₃.

Giả sử chiều dòng điện như hình vẽ (hình α) Ta có: I₁= U₁

R1

, I₃= U₃ R3

,

U₁+U₅ = U₃ => U₅ = U₃-U₁ => I₅ = U5

R5

= U3-U1

R5

=> I₂ = I₁-I₅ => I₂ = U1

R1

- U3-U1

R5

=> U₂ = I₂.R₂ = (U1

R1

-U3-U1

R5

).R₂ I₄ = I₃+I₅ => I₄ = U3

R₃ ⁺ U3-U1

R₅ => U₄ = I₄.R₄ = (U3

R₃^.+U3-U1

R₅ ).R₄ Lại có: U_C=U₁+U₂=U₃+U₄ <=> U₁.(1+ R2

R₂+ R2

R₅)-U₃. R2

R₅ = U₃.(1+ R4

R₃+R4

R₅)-U₁. R4

R₅

<=> U₁(1+ R2

R₂+ R2

R₅+R4

R₅) = U₃.(1+ R4

R₃+R4

R₅+R2

R₅)

<=> U1 = 1+R2

R₂+R2

R₅+R4

R₅ 1+R4

R₃+R4

R₅+R2

R₅

U3 => UC = U1 + U2 = .... => PHỨC TẠP

*VD ta chọn 2 ẩn là U₁ và U₂. Ta có: I1= U1

R₁, I2= U2

R₂ => I5 = I1 - I2 => I5 = U1

R₁- U2

R₂ => U5 = I5.R5 = (U1

R₁- U2

R₂).R5 Lại có: U₁+U₅ = U₃ => U₃ = U₁+U₅ = U₁ + (U₁

R1

- U₂ R2

).R₅ => I₃ = U₃ R3

= 1 3U₁+ 5

3U₁- 5

6U₂ = 2U₁- 5 6U₂ U₅+U₄ = U₂ => U₄ = U₂ -U₅ = U₂ - (U1

R₁- U2

R₂).R₅ => I₄ = U4

R₄ = 1 4U₂- 5

4U₁+5

8U₂ = 7 8U₂- 5

4U₁ Mà: IC = I1 + I3 = I2 + I4 <=> U1 + 2U1 - 5

6U2 = 1 2U2 + 7

8U2 - 5 4U1

<=> 17

4U1 = 53

24U2 <=> U1 = 53 102 U2

 U_C = U₁ + U₂ = 155

102 U₂ , I_C = I₁ + I₃ = 3U₁ - 5

6U₂ = 37 51U₂

 RTĐ = U_C IC

= 155 74 Ω

NHẬN XÉT: ĐIỀU NÀY CHO THẤY VIỆC ĐẶT ẨN SAO CHO PHÙ HỢP SẼ GIÚP RÚT NGẮN THỜI GIAN LÀM BÀI.

Cách 2. Đặt ẩn là dòng -Phương pháp chung.

+ Giả sử chiều dòng điện từ M đến N.

+ Chọn 2 dòng bất kì làm ẩn.

+ Sau đó qui các dòng còn lại theo ẩn đã chọn.

+ Giải bài theo ẩn đó.

VD: ta chọn 2 ẩn là I1, I3.

Giả sử chiều dòng điện như hình vẽ (hình α) Ta có: U1 = I1.R1, U3 = I3.R3

Lại có: U₁+U₅=U₃ => U₅ = U₃ - U₁ = I₃.R₃ - I₁.R₁ => I₅ = U₅ R5

= I₃.R₃-I₁.R₁ R5

= 3I₃-I₁ 5

 I₂ = I₁ - I₅ = I₁ - 3I3-I1

5 = 6 5I₁ - 3

5I₃ => U₂ = I₂.R₂ = 12 5I₁ - 6

5I₃ I4 = I3 + I5 = I3 + 3I₃-I₁

5 = 8 5I3 - 1

5I1 => U4 = I4.R4 = 32 5I3 - 4

5I1 Mà: U_C = U₁ + U₂ = U₃ + U₄ <=> I₁ + 12

5I₁ - 6

5I₃ = 3I₃ + 32 5I₃ - 4

5I₁ <=> 21

5I1 = 53

5I3 <=> I1 = 53 21 I3

 IC = I1 + I3 = 74

21I3, UC = U1 + U2 = I1 + 12 5I1 - 6

5I3 = 155 21I3

 RTĐ = UC

I_C = 155 74 Ω Cách 3. Đặt ẩn là điện thế tại các nút -Phương pháp chung.

+ Với cách này tốt nhất là chọn V_M, V_N, V_A làm ẩn, chọn gốc điện thế tạo B => V_B = 0.

+ Giả sử chiều dòng điện từ M đến N.

+ Tính VM, VN theo VA. Sau đó giải bài toán theo ẩn VA.

VD: Chọn VM, VN, VA làm ẩn Chọn gốc điện thế tạo B => VB = 0.

=> U_AB = V_A, U₁ = V_A - V_M, U₃ = V_A - V_N, U₂ = V_M, U₄ = V_N, U₅ = V_M - V_N => I1 = U₁

R1

= VA-VM, I3 = U₃ R3

= V_A-V_N

3 , I5 = U₅ R5

= V_M-V_N 5 I2 = U₂

R2

= V_M R2

= V_M

2 , I4 = U₄ R4

= V_N 4 Ta có:

I1 = I2 + I5  VA-VM = VM

2 + VM-VN

5  17 10VM - 1

5VN = VA

I4 = I5 + I3  V_N

4 = V_M-V_N

5 + V_A-V_N 3  47

60VN - 1

5VM = V_A 3 => 47

60V_N - 1

5V_M = 1 3 ( 17

10V_M - 1

5V_N )  17

20 V_N = 23

30 V_M  V_N = 46 51 V_M => UAB = VA = 17

10VM - 1

5VN = 155 102 VM

IC = I1 + I3 = VA-VM + VA-VN

3 = 37 51 VM

=> RTĐ = U_C IC

= 155 74 Ω

*Cách 4*. Dùng phương pháp chuyển mạch:

-Phương pháp chung:

+ Chuyển mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại.

+ Vẽ lại mạch điện tương đương, rồi dùng định luật Ohm, tính điện trở toàn mạch.

Để hiểu phương pháp chuyển mạch ta sẽ chứng minh bổ đề, qua bài toán sau:

Đề bài: Cho hai sơ đồ mạch điện sau đây gồm 3 điện trở mắc vào 3 điểm A, B, C.

y x

z A

B C

(mạch tam giác) (mạch hình sao) (hình vẽ trên bài làm) Với các giá trị thích hợp của các điện trở, có thể thay thế mạch này thành mạch kia. Khi đó hai mạch tương đương nhau. Hãy thiết lập công thức tính điện trở của mạch này theo điện trở của mạch kia khi chúng tương đương nhau. (biến đổi ∆ <=> : định lí kennơli).

(Khi hai mạch tương đương, chúng không làm thay đổi các cường độ dòng điện và các hiệu điện thế ở ngoài mạch. Để đảm bảo điều này, điện trở tương đương ở hai mạch phải như nhau bất kể xét hiệu điện điện thế được mắc vào 2 điểm nào)

a/ Phương pháp chuyển mạch ∆ => .

Ta có:

RAB =

 

Y R X

R R

R R

R  







3 2 1

3 2 .

1 (1), RBC =

 

Z R Y

R R

R R

R  







3 2 1

3 1 .

2 (2), RAC =

 

Z R X

R R

R R

R  







3 2 1

2 1 .

3 (3)

Cộng 3 phương trình theo vế rồi chia cho 2 ta được.

X Y Z

R R R

R R R R R

R   









3 2 1

1 3 3 2 2

1 (4)

Trừ (4) cho (1), (2), (3) ta được:

Z =

3 2 1

3 2.

R R R

R R



 (5); X =

3 2 1

3 1.

R R R

R R



 (6); Y =

3 2 1

2 1.

R R R

R R



 (7)

Tích 2 điện trở kề Ta có biểu thức chuyển đổi sau X, Y, Z =

Tổng 3 điện trở

b/ Phương pháp chuyển mạch  => ∆ .

Từ (5), (6), (7) ta có: X.Y + X.Z + Y.Z = R₁R₂R₃(R₁+R₂+R₃)

(R1+R2+R3)² = R1R2R3

(R₁+R₂+R₃) (8) Thế (5) vào (8) ta có: X.Y + X.Z + Y.Z = R1.Z => R1 = X.Y+X.Z+Y.Z

Z

Thế (6) vào (8) ta có: X.Y + X.Z + Y.Z = R₂.X => R₂ = X.Y+X.Z+Y.Z

X

Thế (7) vào (8) ta có: X.Y + X.Z + Y.Z = R₃.Y => R₃ = X.Y+X.Z+Y.Z

Y

Tổng các tích luân phiên Ta có biểu thức chuyển đổi sau R₁,R₂,R₃ =

Điện trở vuông góc Áp dụng giải bài toán a, áp dụng chuyển từ mạch tam giác thành mạch sao:

- Nhận thấy lúc này từ mạch cầu phức tạp ta chuyển thành mạch điện cơ bản gồm [(R₁ntX)//(R₃ntZ)]ntY.(hv) - Áp dụng công thức đã chứng minh để tính x,y,z.

- Lúc này bài toán đã trở về dạng tính điện trở tương đương của mạch cơ bản.

Ta có: X = R2.R5

R2+R5+R4 = 10

11 Ω, Y = R2.R4

R2+R4+R5 = 8

11 Ω, Z = R5.R4

R2+R5+R4 = 20

11 Ω => RTĐ = (R1+X).(R3+Z)

R1+X+R3+Z + Y = 155 74 Ω

b, áp dụng chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác:

- Tương tự ta chuyển mạch cầu về mạch cơ bản gồm {(Y// R3) nt (Z // R4)}// X (hv).

- Áp dụng công thức đã chứng minh để tính X, Y, Z.

- Lúc này bài toán đã trở về dạng tính điện trở tương đương của mạch cơ bản.

Ta có: X = R1.R2+R1.R5+R2.R5

R₅ = 17

5 Ω, Y = R1.R2+R1.R5+R2.R5

R₂ = 17

2 Ω, Z = R1.R2+R1.R5+R2.R5

R₁ = 17 Ω

 RY3 = Y.R₃ Y+R3

= 51

23 Ω, RZ4 = Z.R₄ Z+R4

= 68

21 Ω => RY3+Z4 = RY3 + RZ4 = 2635 483 Ω

 RTĐ = RY3+Z4.X

R_Y3+Z4+X = 155 74 Ω

D C

A B

R4

R2

R₅

R3

R1

Bài 2: Cho mạch cầu như hình vẽ. Tính điện trở tương đương của mạch. Biết R₁ =10, R₂ = 15, R₃ = 20, R₄ =17.5, R₅ = 25.

Bài 3: Cho mạch cầu như hình vẽ.

Tính điện trở tương đương của đoạn mạch trong các trường hợp sau:

a)R₁ = R₃ = R₄ = R₆ = 1 ;R₇ = R₈ = 2 ; R₂ = 3,5 ; R₅ = 3 .

b) R₁ = R₂ = R₅ = R₇ = R₈ = 1 ; R₃ = R₄ = R₆ = 2 .

c) R₁ = 6 ; R₂ = 4 ; R₄ = 3 ; R₅ = 2 ; R₆ = 5 ; R₃ = 10 ; R₇ = 8 , R₈ = 12 Bài 4: Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho: R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 2 ; R₅ = R₆ = 1 ; R₇ = 4 . Điện trở của vôn kế rất lớn và của ampe kế nhỏ không đáng kể. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch.

Bài 5: Cho mạch điện như hình vẽ

r = 1, R₁ = 2, R₂ = 5, R₃ = 2,4,

R₄ = 4,5, R₅ = 3. Tính điện trở tương đương của mạch.

End

R6

R5

R₈

R₃ R₂

R₁

R7

R₄

A₂ A₁

R₁ R₇

R₂

R6

R₅ R₄

R₃

V D F C

B A