Ôn tốt nghiệp môn toán:hình cầu-hình trụ-hình nón

(1)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc = 30^.

1/Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

2/Tính Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho.

3/Tính thể tích của khối nón ngoại tiếp khối chóp đã cho.

4/Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp đã cho.

5/Tính thể tích của khối nón nội tiếp trong khối chóp đã cho.

ĐS. 1/ V_S_._ABCD = 36

3 3

a 4/ S_XQ_nón= 72

2 21

a

2/ S_XQ_nón= 9

3 2a²

5/ V_nón= 108

a3

 3/ V_nón=

27 a3



Bài 2: Cho một khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm,bán kính đáy r = 25 cm.

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón đó.

b/ Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Hãy xác định thiết diện của (P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó.

ĐS: a/ S_xq2514,5cm²; V13089,969 cm³; b/ 500cm²

Bài 3: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a 3,bán kính đáy r = a 2. a/ Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón đó.

b/ Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón tạo với đáy một góc 60⁰.Tính diện tích của thiết diện này.

ĐS : a/ S_tp= a²(2 10); V=

2 3 3

3

a

b/ 2a²

Bài 4: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và tính thể tích của khối nón đó.

ĐS. S_XQ_nón=2a²; V_nón= 3

3 3

a

.

Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2.

1/Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón đã cho.

2/Tính thể tích của khối nón đã cho.

3/Cho dây cung MN của đường tròn đáy hình nón sao cho mp(SMN) tạo với mặt đáy của hình nón một góc 60⁰. Tính diện tích tam giác SMN.

ĐS. 1/ S_XQ= 2 2a²

; S_TP_nón=

2 2

2a² _a²

= 2 a2

 ( 21)

2/ V_nón= 12 2a³

3/ S_SMN= 3

2 2 a

(2)

Bài 6: Cho một hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là 2 điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và



SAO= 30⁰;



SAB= 60⁰. Tính diện tích xung quanh của hình nón và tính thể tích của khối nón đó.

ĐS. 1/ S_XQ_nón=.OA.SA=a² 3 2/ V_nón= .OA .SO 3

1 2 =

4

3 2

a

.

Bài 7: Cho một hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60⁰. Một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là 

1/Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.

2/Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đã cho.

ĐS. 1/ S_XQ_nón=



 cos

r2

; V_nón=C  tan 3

1 3

r

2/ S_XQ_chóp=

 

_

1 cos 2 3

3  ² r² ; V_chóp_S_._ABC=



³ ¹



^tan^

6

3 2 3

 r

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); BD vuông góc với góc với BC.Biết AB = AD = a.

a/ Chứng minh rằng các mặt của tứ diện là những tam giác vuông.

b/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo thành khi quay tam giác ABD xung quanh cạnh AB.

ĐS: S_xqhình nón =rl.a.a 2 a² 2 V_{khối nón}=

. 3 3 1 3

1 2 2 a³

a a h

r  

  

Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3.

1/Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

2/Tính thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ đã cho.

3/ Cho 2 điểm A và B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30⁰.

a)Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

b)Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ.

c)Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B ĐS. 1) S_XQ= 2 3r².;S_{T P}=²



³^¹



^^r². 2/ V = 3r³. 3/ a) d(AB, OO’) =

2 3

r = d(OO’, (ABA’)) ,với AA’ là 1 đường sinh của hình trụ.

b) S_td= r² 3.

c) Góc (OA, O’B) = 60⁰.

Bài 10: Một hình trụ có hai đáy là hình tròn (O;r) và (O’; r). Khoàng cách giữa 2 đáy là OO’ = r 3. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;r).

1/Gọi S₁ là diện tích xung quanh của hình trụ và S₂ là diện tích xung quanh

(3)

của hình nón. Hãy tính

S2 = ?

2/Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích của 2 phần đó.

ĐS: 1/ S1=2 3r²; S₂=2r² 

2 1

S S = 3 2/

2 1

V V =

2

1 (với V₁ là thể tích của khối nón và V₂ là thể tích của phần còn lại của khối trụ).

Bài 11: Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bàng 10 cm .Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt nằm trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 30⁰.Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục của khối trụ đó.Hãy tính diện tích của thiết diện.

ĐS: 200 2 3

Bài 12: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.

b/ Tính thể tich của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.

c/ Tính tỉ số giữa thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và thể tích khối trụ.

ĐS a/ 4r² b/ 4r³ c/ ²



Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm và có khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm.

a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên .

b/ Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm.Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

ĐS: a/ S_xq=2rl mà r=5 cm và l=OO’=7cm nên S_xq = 25.770(cm²) V=r²l 5².7175(cm³)

b/ Gỉa sử mặt phẳng (p) song song với trục OO’ cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật EFF’E’.Gọi I là trung điểm của EF thì OIEF và OIEE’ nên OI(EFF’E’).Suy ra OI là khoảng cách từ OO’ đến (P).theo giả thiết OI=3cm.

Ta có:IE= r² OI² = 5² 3² 4EF 8cm Vậy S_EFF’E’=EF.EE’=8.7=56 cm².

Bài 14:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau :

a/ Đi qua 8 đỉnh của của hình lập phương.

b/ Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

c/ Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.

ĐS : a/ S₁(O; ³ 2

a ) với O là trung điểm AC

(4)

b/ S₂(O; ² 2

a ) c/ S₃(O;

2 a)

Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên đều bằng b. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

ĐS : Goi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm SA thì tâm mặt cầu là điểm O nằm trên đường cao SH sao cho OI vuông góc với SA,bán kính mặt cầu r =

2

2 2

3 2 3

b b a

Bài 16: Ba đoạn thẳng SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện SABC với SA =a ,SB = b,SC = c.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

ĐS : Goi M là trung điểm AB và I là trung điểm SC .Từ M dựng Mx vuông góc với mặt phẳng (ABC).Từ I dựng Iy song song với SM. Tâm O của mặt cầu là giao của Mx và Iy,bán kính mặt cầu r = ¹ ² ² ²

2 a b c

Bài 17: Cho hình chóp SABC cao SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính diện tích của mặt cầu đó.

ĐS : R =

2

2 a

h; S =

4 2

a

 h

Bài 18: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

ĐS : R = ⁶ 4 a

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a. Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE.

ĐS : R = ¹¹ 2 a

Bài 20: Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A biết OA = 2r.Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến với mặt cầu tại C và D.Cho biết CD = r 3 a/ Tính độ dài đoạn AB.

b/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.

ĐS : a/ r 3 b/ r/2

Bài 21:Trong mặt phẳng ()cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Trên đường thẳng Ax vuông góc với () ta lấy một điểm S tuỳ ý ,dựng mặt phẳng() đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC.Mặt phẳng () cắt SB, SC,SD lần lượt tại

B’,C’,D’

a/ Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b/Tính diện tích của mặt cầu đó và thể tích khối cầu được tạo thành.

Hướng dẫn giải:

a/Ta có: BCAB BC(SAB)

(5)

BCAB'

Ta lại có: AB’SC AB’  (SBC) Do đó: AB’ B’C.

Chứng minh tương tự ta có:

AD’D’C.Vậy ABC

=ABˆ'C=ACˆ'C ADˆ'C  ADˆC 90⁰

Từ đó 7 điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC b/ Gọi r là bán kính mặt cầu,ta có:r =

2 2 2

a AC 

Vậy S = 4 r²=4 ²

2

2 2

2 a

a 

  









V= 2

3 1 2

2 3

4 3

4 ₃ ³ ₃

a a

r  

  







 

Bài 22:Cho hình cầu tâm O bán kính r.Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi ()là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và

 

 bằng 30⁰

a/Tính diện tích của thiết diện tạo bởi

 

 và hình cầu.

b/Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng

 

 cắt mặt cầu tại B.Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn giải:

a/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng

 

^ .Theo giả thiết ta có OAˆH 30⁰

Do đó:HA = OA cos 30⁰=r 2

3

Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi

 

 và hình cầu là S=

4 . 3

2

2 r

HA 

 

b/ Mặt phẳng



ABO



qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B.Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có OI_AB.Vì AB//OH nên AIOH là hình chữ nhật.

Do đó AI = OH =

2 2

r AO  Vậy AB = 2AI = r

Chú ý: Có thể nhận xét rằng OAB cân tại O



^OA^OB



và góc OAˆB60⁰ nên OAB là tam giác đều và  AB=AO=OB=r.

Bài 23:Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đườngcao h.

a/ Một hình trụ có đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ .Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

b/ Gọi I là trung điểm của cạnh BC.Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng đó.

ĐS :a/ ³ 3

ah

b/

2 2

3 4

3 a  h

Bài 24:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

(6)

a/Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

b/Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.

c/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

a/ Hình trụ có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2

2 a Do đó ta có: S_xq=2rha² 2

b/Gọi I là tâm hình lập phương.Tất cả các đỉnh của hình lập phương đều có khoảng cách đến I bằng

2 3

a nên chúng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính r=

2 3

a .Ta có diện tích mặt cầu đó là S=4r² 3a²

c/Đường tròn đáy của hình nón tròn xoay đình A tạo nên bởi cạnh AB là đường tròn ngoại tiếp đều A’BD,tam giác này có cạnh bằng a 2 và có đường cao bằng

2 6 a

Do đó đường tròn đáy hình nón có bán kính r’=

3 6

a .Vậy hình nón tròn xoay này có đường sinh là l =a và có diện tích xung quanh là

S_xq=  a a l

r 3

'  6

 3

2 6

a

Bài 25:Cho tứ diện ABCD cạnh a.Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD)

a/ Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.Tính độ dài đoạn AH.

b/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp BCD và chiều cao AH.

a/Vì AH_(BCD) và AB=AC=AD nên HB=HC=HD.Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD.Trong tam giác đều BCD cạnh a,ta có BH=

3 3 2

. 3 3

2 a  a . Vậy AH= AB² BH² =

3 6 9

3 ²

2 a a

a  

b/ S_{xq trụ}=2rl Ta có: r =

2 3

a ,l =AH=

3 6

a => S_xq=2.

3 2 2 3 . 6 3

3 a a²

a _ 

V=

9

3 6

2 a

h

r 

 

Bài 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Cmr A, B, C, D, A', B', C', D' cùng thuộc 1 mặt cầu và tính diện tích của mặt cầu đó.

Bài 27: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền AB = 2a.

SA vuông góc với đáy.

a/ Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện S.ABC.

(7)

(ABC) và (SAB) bằng 30⁰. ĐS : R =

6 42 a

Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.

Khối nón có chiều cao bằng a và có bán kính đáy r = 2 a

Sxq =rl trong đó l =

2 2

2



 



a

a =

2 5 a =.

4 . 5 2

a

a =

4

2 5

a

V=3

1Bh = a a

h

r .

2 3 1 3

1 ₂ ²



 



 

 = ³

12 1 a