Bài tập hình toạ độ trong không gian

1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. Vector trong không gian

1. Định nghĩa và phép toán

Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vector trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có ABBCAC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có AB AD AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có AB AD AA'AC ' + Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho M là trung điểm của đoạn AB, C là điểm tùy ý.

Ta có: MAMB0 và CACB2CM

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D là điểm tùy ý.

Ta có: GAGB GC 0 và DADB DC 3DG

+ Hệ thức trọng tâm của tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, E là điểm tùy ý.

Ta có: GAGB GC GD0 và EAEB EC ED4EG

+ Điều kiện cùng phương của hai vector: Hai vector a và b khác vector không cùng phương khi và chỉ khi  !k R : bka

2. Sự đồng phẳng của ba vector

Ba vector trong đó không có hai vector nào cùng phương được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng có thể cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện đồng phẳng của ba vector a, b, c trong đó không có hai vector nào cùng phương là !m,n R : c ma nb    .

Nếu ba vector a, b, c không đồng phẳng, một vector d tùy ý có thể biểu diễn được qua ba vector đó.

Nói cách khác, tồn tại duy nhất bộ ba số (m; n; p) sao cho d ma nb pc   . Đây là cơ sở thiết lập hệ tọa độ vector trong không gian ba chiều.

3. Tích vô hướng của hai vector

Góc giữa hai vector trong không gian: Cho hai vector a, b tùy ý khác không; lấy điểm A, B, C sao cho ABa, ACb thì (a, b)BACˆ

Tích vô hướng của hai vector trong không gian: a.b a b cos(a, b). Khi đó, a b a.b0 II. Hệ tọa độ trong không gian

1. Hệ tọa độ vuông góc Oxyz – tọa độ vector

Nếu chọn i , j, k là ba vector đơn vị lần lượt hướng theo chiều dương ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz thì bộ ba số duy nhất (x, y, z) thỏa mãn vector a bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng a xi yj zk   là tọa độ của vector a . Khi đó ta viết a = (x; y; z)

2. Phép toán vector trong không gian Cho a = (a1; a₂; a₃) và b = (b₁; b₂; b₃)

(i) a b (a₁b ; a_{1 2}b ; a_{2 3}b ); a₃  b (a₁b ; a_{1 2}b ; a_{2 3}b )₃ (ii) ka = (ka1; ka2; ka3)

(iii)

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 

  

 

(iv) a, b cùng phương khi và chỉ khi

1 1

2 2

3 3

a kb

!k R : a kb a kb a kb

 

    

  Nếu b1b2b3 ≠ 0 thì điều kiện trên trở thành ^{1 2 3}

1 2 3

a a a b b  b

(v) a, b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ và ab <=> a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

2 (vi) a² a₁²a²₂a ;₃² a  a₁²a²₂a₃²

(vii) ^{1 1 2 2 3 3}

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a b a b a b cos(a, b)

a a a b b b

 

    

3. Tọa độ điểm trong không gian

Định nghĩa: M(x; y; z) <=> OM = (x; y; z) Tính chất:

Cho A(xA; yA; zA), B(xB, yB, zB)

(i) AB(x_Bx , y_{A B}y , z_{A B}z )_A và AB = (x_Bx )_A ²(y_By )_A ²(z_Bz )_A ² (ii) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M(^{xA xB};^{yA yB};^{zA zB})

2 2 2

  

(iii) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(^{xA xB xC};^{yA yB yC};^{zA zB zC})

3 3 3

     

4. Tích có hướng hai vector:

Tích có hướng hai vector a, b là một vector c vuông góc với cả hai vector đó sao cho ba vector đó khi đặt chung gốc tạo thành tam diện thuận và c  a b sin(a, b)

Kí hiệu: c [a, b] a b  

Cho a = (a1; a₂; a₃) và b = (b₁; b₂; b₃)

Khi đó: ^{2 3 3 1 1 2}

2 3 3 1 1 2

a a

a a a a

[a, b] ( ; ; )

b b b b b b

 = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) Tính chất và ứng dụng:

(i) [i, j]k; [ j, k]i; [k, i] j (ii) [a, b]0 ↔ a, b cùng phương.

(iii) Điều kiện đồng phẳng của ba vector a, b, c là [a, b].c0 (iv) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB, AD] | (v) Diện tích tam giác ABC: S_ABCD ¹[AB, AD]

2

(vi) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V = |[AB, AD].AA ' | (vii) Thể tích của tứ diện ABCD: V_ABCD ¹[AB, AC].AD

6 5. Phương trình mặt cầu

Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

Phương trình tổng quát: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0.

Bán kính R = a²b² c² d Bài 1. Viết tọa độ các vector sau đây

a  2i j b i 2 j c3i 4 j k

Bài 2. Cho a = (2; –3; 3), b = (0; 2; –1), c = (1; 3; 2). Tìm tọa độ vector u với a. u2a3b4c b. u a 2bc

Bài 3. Tìm tọa độ vector u , biết

a. a u 0 với a = (–1; 2; 1) b. a2ub với a = (3; 2; –1) và b = (1; 4; 1) Bài 4. Cho a = (2; –1; 2), b = (2; 0; 1)

a. Tìm y, z sao cho c = (–2; y; z) cùng phương với a b. Tìm x, y sao cho u = (x; y; 3) cùng phương với b

c. Tìm vector c vuông góc với a và b, đồng thời có độ lớn là 6

3 d. Tính cos( a, b )

Bài 5. Cho a = (1; –1; 1), b = (3; 0; –1), c = (2; 2; –1). Tìm u(a.b).c Bài 6. Tính góc giữa hai vector sau

a. a = (2; 1; 2) và b = (–1; 2; 0) b. a(1; 3; 2 3) và b = (0; 4; 3) c. a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)

Bài 7. Cho a = (3; 3; 2), b = (4; 3; –5), b = (1; 1; –1). Tìm vector u thỏa mãn điều kiện sau:

a. a.u2; b.u0; c.u 1 b. ua, ub, u.c 5

Bài 8. Cho hai vector a = (3; –2; 1) và b = (2; 1; –1). Tìm m để ma3b và 3a2mb cùng phương.

Bài 9. Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 6; 4), c = (m; n; 1). Tìm m, n sao cho c [a, b]

Bài 10. Cho a = (1; –3; 2), b = (m + 1, m – 2, 1 – m), c = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vector đồng phẳng.

Bài 11. Cho a = (1; 0; 1), b = (0; –1; 1), c = (1; 1; 0), u = (8; 9; –1).

a. Chứng minh rằng a, b, c không đồng phẳng.

b. Biểu diễn u theo ba vector a, b, c

Bài 12. Cho M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx.

Bài 13. Cho M(3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz và qua trục Oy.

Bài 14. Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).

a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC.

c. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

d. Tìm tọa độ trực tâm của ΔABC.

e. Tính chu vi và diện tích ΔABC.

f. Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A của ΔABC.

Bài 15. Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:

a. A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0), C(3; 1; –1) b. A(1; 0; 2), B(–2; 1; 1), C(1; –3; –2) Bài 16. Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1).

a. Chứng minh A, B, C, D lập thành tứ diện.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện.

c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

d. Tính diện tích ΔBCD và suy ra đường cao của tứ diện ABCD hạ từ A.

Bài 17. Cho 4 điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).

a. Chứng minh SA vuông góc với (SBC), SB vuông góc với SC.

b. Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.

c. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC). Từ đó tính chiều cao SH.

Bài 18. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).

a. Chứng minh SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau.

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.

c. Vẽ SH vuông góc với (ABC) tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh H’ABC là tứ diện đều.

Cách lập phương trình mặt cầu:

Cách 1: Tìm tâm và bán kính rồi viết theo phương trình chính tắc: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Cách 2: Viết phương trình dạng tổng quát mặt cầu: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 rồi sử dụng các điều kiện hay điểm cho trước tìm a, b, c, d.

Bài 19. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:

a. x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 b. x² + y² + z² + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 c. x² + y² + z² – 6x + 2y – 2z + 10 = 0 d. 2x² + 2y² + 2z² + 12x – 6y + 30z – 5 = 0 Bài 20. Viết phương trình mặt cầu có

a. Tâm I(1; –3; 5) và bán kính R = 3

b. Tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3) c. Đường kính AB với A(3; –2; 1) và B(1; 2; –3).

Bài 21. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nếu

4

a. A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b. A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Bài 22. Viết phương trình mặt cầu có

a. Tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1).

b. Có tâm I(–5; 1; 1) và tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.

Bài 23. Xét vị trí tương đối hai mặt cầu sau

a. (S₁): x² + y² + z² – 8x + 4y – 2z – 4 = 0 và (S₂): x² + y² + z² + 4x – 2y – 4z + 5 = 0 b. (S1): x² + y² + z² – 2x + 4y – 10z + 5 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 4x – 6y + 2z – 2 = 0 c. (S1): x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z – 3 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – 2 = 0 Bài 24. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:

a. (S1): x² + y² + z² – 4x – 2y + 6z – 50 = 0 và (S2): x² + y² + z² – 8x + 4y – 6z – m² – 4m + 25 = 0 b. (S1): (x + 2)² + (y – 2)² + (z – 1)² = 25 và (S2): (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = (m – 1)².

Bài 25. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –1). Tìm tập hợp điểm M sao cho a. MA² + MB² = 3 b. MA = 2MB

Bài 26. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu sau đây

a. (S): x² + y² + z² + 2x – 2y + 2(m + 1)z + m² + m + 6 = 0 b. (S): x² + y² + z² + 2(m – 1)x + 4(m – 2)y – 2mz + 17 = 0 III. Phương trình mặt phẳng

1. Vector pháp tuyến – vector chỉ phương

Vector khác không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng (α). Vectơ khác không là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α) nếu giá của u song song với mặt phẳng (α).

Nếu cặp vectơ chỉ phương của (α) là a, b thì một vectơ pháp tuyến của (α) là n[a,b]

2. Phương trình của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0.

Khi đó: n = (A, B, C) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(xo; yo; zo) và nhận n = (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là (P): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0.

Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) sao cho abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng là ^{x y z} 1

a   b c . Đây là phương trình theo đoạn chắn.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α): A1x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (α), (β) cắt nhau khi và chỉ khi [n , n ]_{1 2} 0

(α), (β) song song khi và chỉ khi [n , n ]_{1 2} 0 và D n_{1 2} D n_{2 1} (α), (β) trùng nhau khi và chỉ khi [n , n ]_{1 2} 0 và D n_{1 2} D n_{2 1} 4. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là

d(M, α) = ^{o o o}

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

  

  5. Góc tạo bởi hai mặt phẳng

Góc tạo bởi hai mặt phẳng là góc nhọn bằng hoặc bù với góc tạo bởi hai pháp tuyến.

Cho hai mặt phẳng (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Góc tạo bởi (α), (β) là góc φ thỏa mãn

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

A A B B C C

cos φ

A B C . A B C

 

    

6. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng

Một điểm nằm trong mặt phẳng sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng.

Hai điểm A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂) nằm về hai phía của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 nếu (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0.

7. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

5

mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn nếu d(I, α) < R. Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến bằng r = R²d (I, α)²

mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) khi và chỉ khi d(I, α) = R.

mặt phẳng (α) và (S) không giao nhau khi và chỉ khi d(I, α) > R.

8. Phương trình tiếp diện của mặt cầu

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² tại điểm M(xo; y_o; z_o) nhận IM = (xo – a; y_o – b; z_o – c) làm vectơ pháp tuyến.

(α): (x_o – a)(x – x_o) + (y_o – b)(y – y_o) + (z_o – c)(z – z_o) = R² hay (α): (xo – a)(x – a) + (yo – b)(y – b) + (zo – c)(z – c) = 0.

Bài 27. Viết phương trình mặt phẳng (P) nếu

a. (P) đi qua điểm M(3; 1; 1) và có một vectơ pháp tuyến là n = (1; –1; 2) b. (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(2; 1; 1) và B(2; –1; 3)

c. (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và có cặp vectơ chỉ phương a = (2; 1; 2), b = (3; 2; –1) d. (P) đi qua M(–1; 1; 0) và song song với mặt phẳng (β): x – 2y + z – 10 = 0

e. (P) đi qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + 3z – 1 = 0.

f. (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).

g. (P) đi qua điểm A(2; –4; 0) và vuông góc với đoạn thẳng BC, có B(5; 1; 7) và C(3; 1; 5).

h. (P) đi qua M(1; 0; –2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α): 2x + y – z – 2 = 0, (β): x – y – z – 3 = 0.

i. (P) đi qua điểm M(1; 2; –3), chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x – 3y + z – 3 = 0, (β): x – 2y + z – 1

= 0.

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P): y + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z – 3 = 0 và vuông góc với mặt phẳng (R): x + y + z – 2 = 0.

Bài 29. Định m, n để hai mặt phẳng sau song song a. (P): x + my – 2z + 2 = 0 và (Q): 2x + 4y + 4nz – 3 = 0.

b. (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 và (Q): 4mx – 3y – 3nz – 2 = 0.

Bài 30. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau

a. (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0 b. (P): x + my – z + 2 = 0 và (Q): mx + 2y – mz – 12 = 0.

Bài 31. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5).

a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).

b. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên (P).

c. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P).

Bài 32. Cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0 và (Q): 2x – 4y + 6z + 7 = 0.

a. Chứng minh (P), (Q) song song.

b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q).

Bài 33. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 7 = 0 một đoạn d = 3.

Bài 34. Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và (Q): x + 2y – z + 1 = 0.

a. Chứng minh (P)//(Q)

b. Tìm tập hợp các điểm cách đều (P) và (Q).

c. Tìm tập hợp các điểm M sao cho d[M, (P)] = 2d[M, (Q)]

Bài 35. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm A(2; –1; 4) một đoạn bằng 4.

Bài 36. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (Q): y – z = 0.

Bài 37. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) biết a. I(1; 5; 2) và (P): 2x + y + 3z + 1 = 0

b. I(1; 1; 2) và (P): x + 2y + 2z + 5 = 0

Bài 38. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm M biết a. (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và M(4; –3; 1).

b. (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và M(1; 2; –4).

Bài 39. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) biết a. (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = 0 và (Q): 4x + 3z – 17 = 0

b. (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 5 = 0 Bài 40. Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

6 a. Viết phương trình các mặt của tứ diện ABCD.

b. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).

d. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của cạnh AB.

e. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

f. Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 41. Cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).

a. Chứng minh ABCD là tứ diện đều.

b. Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).

c. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).

IV. Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:

Phương trình tham số đường thẳng đi qua M(xo; yo; zo) và có vectơ chỉ phương u = (a, b, c) có dạng (d):

o o o

x x at

y y bt (t R) z z ct

 

   

  



Nếu abc ≠ 0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng trên là (d): ^{x xo y yo z zo}

a b c

     2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình lần lượt là d1:

1 1

1 1

1 1

x x a t

y y b t (t R) z z c t

 

   

  



d2:

2 2

2 2

2 2

x x a s

y y b s (s R) z z c s

 

   

  



Ta có u₁ = (a₁; b₁; c₁), u₂ = (a₂; b₂; c₂) lần lượt là vectơ chỉ phương của (d₁), (d₂). Trên (d₁) lấy điểm M₁(x₁; y₁; z₁), trên (d₂) lấy điểm M2(x₂; y₂; z₂).

d1 // d2 khi và chỉ khi [u , u ]_{1 2} 0 và [M M , u ]_{1 2 1} 0 d1 cắt d2 khi và chỉ khi ^{1 2}

1 2 1 2

[u , u ] 0 [u , u ].M M 0

 



 

d1 trùng d2 khi và chỉ khi ^{1 2}

1 2 1

[u , u ] 0 [M M , u ] 0

 



 

d1 và d2 chéo nhau khi và chỉ khi [u , u ].M M_{1 2 1 2} 0 3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng (d):

o o o

x x at

y y bt (t R) z z ct

 

   

  

 Giả sử (d) ∩ (α) = M. M thuộc (d) nên M(xo + at; yo + bt; zo + ct) Mặt khác M thuộc (α) nên ta có phương trình

A(x_o + at) + B(y_o + bt) + C(z_o + ct) + D = 0 (theo ẩn t) (*) (d) // (α) khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm

(d) cắt (α) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

(d) thuộc (α) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm với mọi t.

4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Xét đường thẳng (Δ) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

(Δ) và (S) không có điểm chung khi và chỉ khi d(I, Δ) > R.

(Δ) và (S) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi d(I, Δ) = R.

(Δ) và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi d(I, Δ) < R.

Để tìm giao điểm (Δ) và (S) có thể lập phương trình tham số của Δ sau đó thay (x; y; z) theo t vào phương trình mặt cầu và giải được giá trị của t. Sau đó suy ra tọa độ giao điểm.

7 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng (Δ) đi qua M_o và có vectơ chỉ phương a và điểm M ngoài đường thẳng Δ.

d(M, Δ) = | [MM , a] |^o

| a | 6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d₂ có các vectơ chỉ phương lần lượt là a , a ._{1 2}

Góc giữa d1, d2 là góc nhọn bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương.

1 2 1 2

1 2

cos(a , a ) a .a

 a a

Cách lập phương trình đường thẳng: cần tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và xác định vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương có thể tạo thành từ hai điểm đường thẳng đi qua hoặc từ tích có hướng hai vectơ pháp tuyến, tìm được từ các quan hệ vuông góc hoặc song song.

Bài 42. Viết phương trình đường thẳng d biết

a. (d) đi qua M(1; 2; –3) và có vectơ chỉ phương a = (1; –3; 2).

b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).

c. (d) đi qua điểm A(3; 2; –4) và song song với Ox.

d. (d) đi qua điểm A(4; –2; 2) và song song với đường thẳng Δ: ^{x 2 y 5 z 2}

4 2 3

     . e. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4 = 0.

f. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.

g. (d) đi qua điểm A(1; 0; 5), vuông góc với (d1): ^{x 1 y 3 z 1}

2 2 1

  

 

 và (d₂): ^{x 1 y 2 z 3}

1 1 3

  

 

  .

h. (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: ^{x y 1 z}

1 1 2

   i. (d) đi qua điểm A(2; 1; –1) và cắt các đường thẳng Δ1: ^{x 1 y 2 z 3}

3 4 5

  

  , Δ2: ^{x y z} 1 1 2

 Bài 43. Viết phương trình đường thẳng d biết

a. (d) nằm trong mặt phẳng (P): x + 2z = 0; cắt đường thẳng d1: ^{x 1 y z}

1 1 4

  

 và d2:

x 2 t y 4 2t z 1

  

  

 

 b. (d) song song với Δ: ^{x y 1 z 1}

2 1 2

 

 

 , cắt 2 đường thẳng d1: ^{x 1 y z 1}

1 2 1

   

 và d2: ^{x 2 y 1 z 1}

3 2 1

    

 c. (d) là đường thẳng vuông góc chung của d₁: ^{x 2 y 1 z 3}

2 1 1

    

 và d₂: ^{x 1 y 3 z 1}

1 1 2

     d. (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ: ^{x 2 y 2 z 1}

3 4 1

     lên mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + 4 = 0.

e. (d) đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1: ^{x 1 y 2 z}

3 1 1

    và cắt d2:

x 1

y t z 1 t

  

 

  

 Bài 44. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).

a. Viết phương trình đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD).

b. Viết phương trình đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD.

Bài 45. Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình của hai đường trung tuyến lần lượt là d1: x 3 y 6 z 3

2 2 1

    

 và d2: ^{x 4 y 2 z 2}.

1 4 1

    



a. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC.

b. Viết phương trình đường phân giác trong của góc BAC.

Bài 46. Cho tam giác ABC có A(3; –1; –1), B(1; 2; –7), C(–5; 14; –3).

8 a. Viết phương trình đường trung tuyến AM.

b. Viết phương trình đường cao BH.

c. Viết phương trình đường phân giác trong của góc ABC.

d. Viết phương trình đường trung trực của cạnh BC trong ΔABC.

Bài 47. Cho bốn điểm S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).

a. Chứng minh S.ABC là một tứ diện đều.

b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của SA, SB lên mặt phẳng (ABC).

Bài 48. Cho 4 điểm S(1; 2; –1), A(3; 4; –1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1).

a. Chứng minh SABC là một tứ diện.

b. Viết phương trình đường vuông góc chung của SA, BC.

c. Viết phương trình đường cao hạ từ S của tứ diện SABC.

Bài 49. Cho điểm A(1; 0; 1) và đường thẳng d: x/2 = y/1 = z/1 a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.

b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d.

Bài 50. Cho đường thẳng d: ^{x 3 y 4 z 1}

2 3 1

     và mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 6 = 0.

a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

b. Viết phương trình d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Bài 51. Cho đường thẳng d: ^{x 2 y 1 z 1}

2 1 2

     và điểm I(4; 2; –1). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (d).

Bài 52. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (S) biết (d) đi qua A(0; 0; 5) thuộc (S) và (d) song song với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 3 = 0.

Bài 53. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với các cạnh của tứ diện ABCD.

Bài 54. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): ^{x 2 y 1 z}

1 2 1

    . Tính khoảng cách từ A đến (d).

Bài 55. Cho hai đường thẳng d₁: ^{x 2 y 1 z}

3 2 2

   

 và d₂: ^{x y 1 z 1}

1 2 4

 

 

a. Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Bài 56. Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 3 = 0 và (Q): 4x – 3y + 4z + 2 = 0. Chứng minh rằng (d) song song với mặt phẳng (α): 2x – y – 2z – 2 = 0. Tính khoảng cách giữa (d) và (P).

Bài 57. Tính góc giữa hai đường thẳng sau a. d1: ^{x 1 y 2 z 4}

2 1 2

    

 và d2: ^{x 2 y 3 z 4}

3 6 2

    

 Bài 58. Cho đường thẳng d: ^{x 1 y 1 x 3}

1 2 3

  

 

 và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = 0. Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

Bài 59. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).

a. Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).

b. Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.

c. Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.

Bài 60. Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).

a. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC).

b. Tính góc tạo bởi SC và AB.

c. Tính khoảng cách từ C đến (SAB).

d. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB và khoảng cách giữa SA, BC.

Bài 61. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) và đường thẳng d: ^{x 2 y 1 z 1}

1 2 3

    

  .

9

Bài 62. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cả hai đường thẳng song song d1: ^{x 1 y 3 z 2}

2 3 4

     và d2: x 2 y 1 z 4

2 3 4

  

  .

Bài 63. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1: ^{x y 1 z 3}

3 2 1

 

 

 và d2: ^{x 1 y z 4}

1 1 1

   

 Bài 64. Cho hai đường thẳng d₁: ^{x 2 y 1 z}

3 2 2

 

 

 và d₂: ^{x y 1 z 1}

1 2 4

 

  . Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2.

Bài 65. Cho điểm M(2; 3; 1) và đường thẳng d: ^{x 1 y 2 z 1}

2 1 2

    

 .

a. Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M lên (d).

b. Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua (d).

Bài 66. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P) và điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P) biết

a. (P): 2x – y + 2z – 6 = 0, M(2; –3; 5).

b. (P): x – y + z – 4 = 0, M(2; 1; –1).

Bài 67. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d: ^{x 1 y 2 z 2}

3 2 2

  

 

 .

a. Chứng minh đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.

b. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA + IB nhỏ nhất.

Bài 68. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3).

a. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.

b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng 2x + 3y – z = 0.

c. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại K, M, N sao cho thể tích OKMN nhỏ nhất.

d. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.

e. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (α1): 2x – 3y – z + 2 = 0 sao cho EA + EB nhỏ nhất.

f. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (α2): x + 3y – z = 0.

g. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

h. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A, B, C.

i. Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng (α₃): x + 2y – 3z = 0.