3/ Cho các mệnh đề p, q, r

BÀI TẬP

Chương 1. LOGIC

1/ Cho p, q, r, s là các mệnh đề. Lập bảng chân trị cho các dạng mệnh đề sau:

a/ ^p



^qp



b/ r



qp



c/



^pr



^



^q



^pr

 

d/ ^ps

 

^pr



^q



2/ Tìm chân trị của các mệnh đề p, q, r biết rằng:

a/ ^{pq:1,pq:0,pq:1}. b/ ^{pq:1,pq:1,pq:0}.

c/ ^{rp:1, qp:0}.

3/ Cho các mệnh đề p, q, r. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là hằng đúng, mệnh đề nào là hằng sai?

A : ppq

B :

 

pq



r





 

pr

 

 qr

 

C : pr



rq



qr D :



^pq^q



^p

E :

 

^pr



^q

 

^{ pr}



F :

 

^pq



^q

  

^{ qr pq}

G :



p



qr

 



 

pq

 

 pr

 

4/ Xác định chân trị của các mệnh đề sau:

a/ ^{aN, a70} b/ ^{xR, x25x60} c/ ^{xR, x25x60} d/ ^{xRyR, xy15}

e/ ^{xRyR, xy15}

f/ ^{xRyR, xy15} g/ ^{xRyR, xy15} h/ ^{yRxR, xy15} i/ ^{yRxR, xy15} j/ ^{xRyN, xy15} k/ ^{yNxR, xy15} l/ ^{xNyN, xy15}

5/ Viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

A : 2 + 7  11.

B : 4 là số chẵn và 7 là số nguyên tố.

C : 18 là số lẻ hay 3 là số âm.

D : ^{aR,(a3)2 25} E : ^{xR,x2x2 4}

F : ^{A,BR,ABsinAsinB} G : ^{x 0y 0,xy2}

H : xN,x 4x 9 x 6

I : nZ,nlẻ n1chẵn  n2 lẻ J : ^{xN,yR,ynx}

K : ^{xR,yR,xy}

L : ^{xR,yR,xyx4  y4}

6/ Cho các mệnh đề:

r : Trời mưa.

s : Ngày mai tôi thi kết thúc học phần Toán rời rạc.

t : Tôi đi dạo.

Hãy viết các mệnh đề sau dưới dạng ký hiệu logic, sau đó, viết phủ định của chúng:

E : Nếu trời mưa thì tôi không đi dạo.

F : Dù ngày mai tôi thi kết thúc học phần Toán rời rạc và trời mưa nhưng tôi vẫn đi dạo.

G : Nếu trời không mưa hay ngày mai tôi không thi kết thúc học phần Toán rời rạc thì tôi đi dạo.

7/ Gọi F(x,y) là vị từ “x có thể lừa gạt y” với x, y thuộc tập H gồm tất cả mọi người. Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng ký hiệu:

a/ Không ai có thể lừa gạt chính mình.

b/ Có một người có thể lừa gạt tất cả mọi người khác.

c/ Ai cũng có thể bị một người nào đó lừa gạt.

d/ Có một người không thể lừa gạt bất kỳ ai.

e/ Không ai có thể lừa gạt cả Thông lẫn Minh.

f/ Khờ là một người mà bất kỳ ai khác cũng có thể lừa gạt được.

8/ Các lập luận sau đây đúng hay sai? Nếu đúng, hãy cho biết nó đã dùng qui tắc suy diễn nào:

a/ Hoàng biết ngôn ngữ C và Hoàng cũng biết Visual Basic.

Vậy, Hoàng có thể lập trình bằng ngôn ngữ C.

b/ Nếu lãi suất ngân hàng giảm thì giá cổ phiếu tăng. Mà lãi suất ngân hàng không giảm. Vậy, giá cổ phiếu sẽ không tăng.

c/ Tôi luôn cất chìa khóa xe trong túi áo hoặc trong xách tay.

Bây giờ tôi không tìm thấy chìa khóa xe trong túi áo. Vậy chìa khóa xe của tôi phải ở trong xách tay.

d/ Điều kiện đủ để đôi bóng Khoa Tin học vô địch là đôi bóng Khoa Quản trị kinh doanh không thắng trong trận gặp đội bóng Khoa Ngoại ngữ. Cuối cùng thì đội bóng Khoa Tin học đã đoạt chức vô địch. Vậy đội bóng Khoa Quản trị kinh doanh đã không thắng đội bóng Khoa Ngoại ngữ.

e/ Những người quan tâm đến môi trường thì không xả rác xuống sông rạch. Vy không hề quan tâm đến môi trường. Vậy, Vy có xả rác xuống sông rạch.

f/ Mọi sinh viên chăm chỉ đều làm bài tập về nhà. Phong không làm bài tập về nhà. Vậy Phong không là sinh viên chăm chỉ.

g/ Mọi hướng dẫn viên du lịch của công ty APEX đều phải nói được tiếng Anh hay tiếng nhật. Linh Thảo là một hướng dẫn viên du lịch của công ty APEX. Vậy, Linh Thảo nói được tiếng Nhật.

9/ Một buổi sáng chủ nhật, cô Niên quay một con gà để đãi khách vào buổi trưa. Quaay gà xong cô đi ra chợ mua hoa. Về đến nhà thì con gà đã bị ai ăn mất cái đầu. Sáng hôm đó, ở nhà chỉ có 4 đứa con của cô là Xuân, Hạ, Thu và Đông. Khi cô Niên hỏi chúng xem ai đã ăn vụng gà thì cô nhận được các câu trả lời như sau:

Xuân: Con nhìn thấy Thu ăn vụng.

Hạ: Không phải con.

Thu: Đông ăn đấy mẹ.

Đông: Thu nói láo, con đâu có ăn.

Giả sử chỉ có một trong 4 đứa con của cô Niên ăn vụng và trong 4 câu trả lời trên chỉ có 1 câu đúng thì ai là thủ phạm?

10/ Dùng phương pháp qui nạp, hãy chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:

a/ ⁿ 3i 1 ⁿ⁽³ⁿ₂ ¹⁾

1 i

 







b/ ^{n i n2(n}₄ ¹⁾²

1 i

3 







c/ ^{n i(i 1)(i 2) n(n 1)(n}₄ ^{2)(n 3)}

1 i





 









d/ ⁿ _i(i¹_{1) n}ⁿ₁

1

i  







e/ ⁿ _i(i¹_{2) 2n}ⁿ ₁

1

i  







f/ ^{n i.i! (n 1)! 1}

1 i











g/ ^{n (2i 1) n(2n 1}₃^{)(2n 1)}

1 i

2   







h/ ⁿ _(i ⁱ_1)! ¹ _(n¹_1)!

1

i   







i/ ⁿ _{(i 1}¹_{) 1 4}³ _2(n¹ _{1) 2(n}¹ ₂₎

1

i 2  

 

 







j/ ^{n ( 1) i ( 1)n.n(n}₂ ¹⁾

1 i

2

i   







k/ 3ⁿ + 7ⁿ  2 chia hết cho 8.

l/ 6.7ⁿ  2.3ⁿ chia hết cho 4.

m/ ₂³ⁿ _1 chia hết cho 3^n1. Chương 2. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ Tập hợp nào sau đây là tập hợp rỗng:

A = , B = { }, C = { { } }, D = { }.

2/ Cho A = {1, 2, 5, 8, 11, {3} } . Các mệnh đề sau đúng hay sai:

a/ {5, 1}  A b/ {8, 1}  A c/ {1, 6}  A d/ {3}  A

e/ {3}  A f/ 3  A

3/ Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau:

a/    b/    c/   {}

d/   {}

4/ Cho X là một tập hợp khác rỗng. Các mệnh đề sau đúng hay sai:

a/ X  2^X. b/ X  2^X. c/ {X}  2^X. d/   2^X. e/   2^X.

5/ Cho A  B  C. Cho biết a  A, b  B, c  C, d  A, e  B, f  C.

Tù các giả thiết trên, ta có thể suy ra mệnh đề nào trong các mệnh đề sau:

a/ a  C.

b/ b  A.

c/ b  A.

d/ c  A.

e/ d  B.

f/ d  B.

g/ e  A.

h/ e  C.

i/ f  A.

6/ Liệt kê các phần tử của 2^X với X = {1, 2, 3, 4}.

7/ Xét các tập con của Z:

A = {2n  n  Z}, B = {3n  n  Z}, C = {4n  n  Z}, D = {6n  n  Z}, E = {8n  n  Z}.

Mệnh đề nào sau đây đúng:

a/ A  C  A.

b/ A  C  E.

c/ D  B.

d/ D  A.

e/ B  D.

f/ DA.

8/ Với các tập hợp A, B, C, D, E như ở bài 7, hãy xác định các tập hợp sau:

a/ C  E.

b/ B  D.

c/ A  B.

d/ B  D.

e/ A

f/ A  E.

9/ Cho U = {a, b, c, d, e, f, g, h, k} là tập vũ trụ và các tập con của U là:

A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g}, C = {a, c, f}, D = {f, h, k}.

Hãy xác định các tập hợp:

a/ A  B.

b/ B  D.

c/ C \ B.

d/ D. e/ A  C.

f/ A  B  C.

g/ ^AC.

h/ ^CD. i/ DA.

j/ AD.

k/ B².

10/ Cho A, B, C là các tập hợp bất kỳ.

a/ Chứng minh A  B  A  C  B  C.

Chiều  có đúng không?

b/ Chứng minh A  B  A  C  B  C.

Chiều  có đúng không?

c/ Chứng minh















 

 A C B C

C B C

B A

A .

11/ Cho A, B, C, D là các tập hợp. Chứng minh:















 









D C B A

D C B A D B

C

A .

Chiều  đúng hay sai?

12/ Xác định các tập hợp X và Y biết rằng:

X  Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, X  Y = {4, 6, 9},

X  {3, 4, 5} = {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, Y  {2, 4, 8} = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

13/ Cho U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và các tập con A, B, C của U thỏa:

A \ B = {1, 2}, B \ C = {3, 4, 5}, C \ A = 8, 9}, C \ B = {8, 9},

(A  C)  B = {3, 4, 6, 7}.

Hãy xác định các tập hợp A, B, C.

14/ Cho ánh xạ f : R  R với f(x) = x²  2x  3. Tìm các tập hợp:

a/ f({2, 3}).

b/ f^1({0, 20, 3}).

c/ f^1(3).

d/ f^1([3, 0]).

15/ Cho ánh xạ f : Z  R với f(x) = x². Tìm các tập hợp:

a/ f([1, 4]).

b/ f([2, 5]).

c/ f^1([1,9]).

d/ f^1([7, 5]).

16/ Cho ánh xạ f : X  Y và A, B  X. Chứng minh:

a/ A  B  f(A)  f(B). Chiều  đúng hay sai?

b/ f(A  B) = f(A)  f(B).

c/ f(A  B)  f(A)  f(B). Dầu = có thể xảy ra kh6ng?

17/ Cho f : X  Y và E, F  Y. Chứng minh:

a/ E  F  f^1(E)  f^1(F). Chiều  đúng hay sai?

b/ f^1(E  F) = f^1(E)  f^1(F).

c/ f^1(E  F) = f^1(E)  f^1(F).

d/ ^f1

 

^{E f1(E)}.

18/ Cho f : X  Y, A  X, B  Y. Chứng minh:

a/ A  f^1(f(A)). Chiều  đúng hay sai?

b/ f(f^1(B))  B. Chiều  đúng hay sai?

19/ Khảo sát tính đơn ánh, toàn ánh của các ánh xạ sau:

a/ f : R  R, f(x) = sinx.

b/ f : N  N, f(x) = 4x + 1.

c/ f : R\{3}  R\{2}, ^{f(x) 2}_x^x_^₃⁸.

d/ f : Z  Z,











 

lẻ x 2 nếu

1 x

chẵn x

2 nếu x ) x (

f .

20/ Cho f : X  Y đơn ánh và A, B  X. Chứng minh:

a/ x  A  f(x)  f(A).

b/ A  B  f(A)  f(B).

c/ f(A  B) = f(A)  f(B).

d/ f^1(f(A)) = A.

21/ Cho f : X  Y toàn ánh và E, F  Y. Chứng minh:

a/ E  F  f^1(E)  f^1(F).

b/ f(f^1(E)) = E.

22/ Tìm ánh xạ hợp fog và gof với:

a/ f, g : R  R, f(x) = cosx, g(x) = 4x² + 3.

b/ f, g : R  R, f(x) = | x²  2x  3|, g(x) = 3x + 12.

c/ f, g : R  R, f(x) = |x² + 9x + 11|, g(x) = 8.

d/ f, g : R  R, f(x) = x² + 1, g(x) = ^









 2 x nếu 10 x

2 x nếu x 2

2 .

e/ f, g : R  R,

^











 

1 x nếu 5

x

1 x nếu 1

) x x (

f ² , ^









 

2 x nếu 10 x

2 x nếu x ) 2 x (

g ₂ .

23/ Cho f : X  Y và g : Y  Z. Chứng minh:

a/ Nếu gof đơn ánh thì f đơn ánh.

b/ Nếu gof toàn ánh thì g toán ánh.

c/ Nếu f và g là song ánh thì gof là song ánh.

d/ Hãy tìm phản thì dụ mà gof là song ánh nhưng f và g không là song ánh.

24/ Cho E = {1, 2, 3, 4:} và các song ánh f, g từ E vào E:

x 1 2 3 4

f(x) 2 1 4 3

g(x) 3 1 2 4

Xác định các ánh xạ f^1, g^1, fog, gof, (gof)^1, f^1og^1. Chương 3. QUAN HỆ

1/ Xác định các tính chất nếu có của các quan hệ dưới đây:

a/ Trên N: a R¹ b  a + b là số lẻ.

b/ Trên Z: a R² b  ab < 0.

c/ Trên Z: a R³ b  a = b + 1 hay a = b  1.

d/ Trên R: x R⁴ y  xy = 1.

e/ Trên R: x R⁵ y  |x| = |y|.

f/ Trên R: x R⁶ y  sin²x + cos²y = 1.

g/ Trên R²: (x1,y1) R⁷ (x2,y2)  x1  x2.

h/ Trên R²: (x1,y1) R⁸ (x2,y2)  x1 + y1  x2 + y2. i/ Trên tập hợp các chuỗi nhị phân:

s R⁹ t  số bit 1 của s = số bit 1 của t.

j/ Trên tập hợp các chuỗi nhị phân:

s R¹⁰ t  chiều dài của s  chiều dài của t.

2/ Cho các quan hệ trên tập A = {1, 2, 3, 4} như sau:

R¹ = {(2,4), (4,2)}

R² = {(1,2), (2,3), (3,4)}

R³ = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

R⁴ = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}.

Xác định các tính chất nếu có của các quan hệ trên.

3/ Cho A = {1, 2, 3, 4}. Hãy tìm một quan hệ R trên A sao cho R có các tính chất sau:

a/ phản xạ, đối xứng, không bắc cầu.

b/ phản xạ, không đối xứng, bắc cầu.

c/ không phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

d/ phản đối xứng.

e/ không phản xạ, không đối xứng, không phản đối xứng, không bắc cầu.

4/ Cho quan hệ trên Z sau:

a R b  a  b (mod. 5)

a/ Kiểm chứng rằng R là một quan hệ tương đương trên Z.

b/ Xác định tập hợp thương Z/R.

c/ Tìm [487], [198201], [58649], [10⁷], [2002].

5/ Xét quan hệ trên Z sau:

x R y  x + y chẵn.

R có là quan hệ tương đương không? Nếu đúng, hãy tìm các lớp tương đương và tập hợp thương.

6/ Xét quan hệ sau trên mặt phẳng tọa độ R²: M(x1,y1) R N(x2,y2)  x1 = x2.

a/ Chứng minh R là một quan hệ tương đương trên R². b/ Tìm lớp tương đương của điểm A(5,2).

7/ Xét quan hệ sau trên mặt phẳng tọa độ R²: M(x1,y1) R N(x2,y2)  x1 + y1 = x2 + y2.

a/ Chứng minh R là một quan hệ tương đương trên R². b/ Tìm lớp tương đương của điểm A(5,2).

8/ Cho quan hệ R trên tập số thực R:

x R y  x  y = k (k  Z).

Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên R. Xác định lớp tương đương [0].

9/ Cho (X,



) là một tập được sắp thứ tự, A  X. Chứng minh rằng supA và infA nếu tồn tại thì duy nhất.

10/ Cho (X,



) là một tập được sắp thứ tự, A  X. Chứng minh rằng:

a/ Nếu maxA tồn tại thì supA cũng tồn tại và supA = maxA.

b/ Nếu minA tồn tại thì infA cũng tồn tại và infA = minA.

11/ Cho các quan hệ sau:

a/ Trên R²:







 

2 1

2 2 1

2 1 1

1 y y

x ) x

y , x ( ) y , x

( R .

b/ Trên R²:

2 1 2

2 2 1

1,y ) (x ,y ) y y x

( R   .

c/ Trên R²:







 

2 1

2 2 1

2 3 1

1 y y

x ) x

y , x ( ) y , x

( R .

d/ Trên tập X gồm các thí sinh dự thi vào một trường ĐH:

a R⁴ b  số báo danh của a  số báo danh của b.

Quan hệ nào trong số 4 quan hệ trên là quan hệ thứ tự? Quan hệ thứ tự đó là toàn phần hay bộ phận?

12/ Cho E = {1, 2, 3, 4} và xét quan hệ thứ tự  trên 2^E. Hãy tìm supA, infA, maxA, minA, các phần tử tối đại, các phần tử tối tiểu nếu có của tập A sau:

a/ A = {{1}, {2}}.

b/ A = {, {3}, {4}, {3,4}}.

c/ A = {{1}, {2}, {1,2}, {4}}.

d/ A = {{3}, {1,3}, {3,4}, {2,3,4}}.

e/ A = {1,2}, {1,3}, {1,3,4}, {1,2,3,4}}.

f/ A = {{1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}.

13/ Cho X = {2,3,4,5,6,8,9,12,18,36,72} và quan hệ ước số trên X:

x  y  k  Z, y = kx.

a/ Tìm phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất của X nếu có.

b/ Cho A = {2,4,6,18}. Tìm minA, maxA, supA, infA nếu có. Xác định các phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của A.

c/ Vẽ biểu đồ Hasse của tập X.

Chương 4. BÀI TOÁN ĐẾM

1/ Có bao nhiêu bội số của 7 trong các số nguyên từ 1 đến 1001?

2/ Nếu số lớn nhất trong 56 số nguyên liên tiếp là 279 thì số thứ 15 là bao nhiêu?

3/ Một năm không nhuận có 365 ngày. Gioả sử ngày 1/1 là thứ hai.

a/ Có bao nhiêu ngày chủ nhật trong năm này?

b/ Có bao nhiêu ngày thứ hai trong năm này?

4/ Có bao nhiêu chuỗi nhị phân có chiều dài từ 1 đến 10?

5/ Có bao nhiêu số lẻ từ 100 đến 999 có các chữ số đôi một khác nhau?

6/ Có bao nhiêu cách chọn ít nhất một trái từ 6 trái táo và 8 trái cam nếu:

a/ 6 trái táo xem là giống nhau và 8 trái cam xem là giống nhau?

b/ 6 trái táo xem là khác nhau và 8 trái cam xem là khác nhau?

c/ 6 trái táo xem là giống nhau và 8 trái cam xem là khác nhau?

7/ Từ các mẫu tự a, b, c, d, e, f có bao nhiêu cách tạo ra một chuỗi gồm 3 mẫu tự:

a/ tùy ý?

b/ các mẫu tự đôi một khác nhau?

c/ các mẫu tự đôi một khác nhau và phải có mặt mẫu tự f?

8/ Một tàu hỏa có 5 toa ngừng lại ở một ga xép để 3 hành khách lên tàu. Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu của 3 hành khách này nếu:

a/ ai lên toa nào cũng được?

b/ mỗi người lên một toa tàu khác nhau?

c/ cả 3 người lên cùng một toa?

9/ 4 người khách được chủ nhà mời ngồi vào một bộ salon có 6 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn chỗ ngồi của 4 người khách này?

10/ Từ các mẫu tự của từ ALGORITHM , ta có thể sắp xếp được bao nhiêu chuỗi:

a/ tùy ý?

b/ ngay sau A là I?

c/ các phụ âm đứng cạnh nhau và các nguyên âm đứng cạnh nhau?

11/ Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 mẫu tự của từ VISITING:

a/ tùy ý?

b/ Các mẫu tự I xếp cạnh nhau?

12/ Treo 14 đèn lồng màu đỏ, 8 đèn lồng màu xanh và 4 đèn lồng màu vàng thành một hàng dài để trang trí. Các đèn cùng màu xem là giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách treo:

a/ tùy ý?

b/ Các đèn cùng màu treo cạnh nhau?

c/ Các đèn xanh treo cạnh nhau?

13/ Như bài 12 nhưng các đèn xem là đôi một khác nhau.

14/ Một tiệm kem có 10 loại kem khác nhau. Một khách hàng muốn mua 3 hộp kem. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a/ 3 loại kem khác nhau?

b/ cùng một loại kem?

c/ 3 loại kem khác nhau trong đó có kem dừa?

15/ Một hiệu bánh có 30 loại bánh khác nhau trong đó có 18 loại bánh mặn và 12 loại bánh ngọt. Một khách hàng muốn mua 5 cái bánh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a/ 5 loại bánh khác nhau?

b/ 5 loại bánh mặn khác nhau?

c/ 5 loại bánh khác nhau gồm cả 2 loại mặn và ngọt?

16/ Một lớp có 48 sinh viên trong đó có 32 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 nam và 3 nữ ghép thành 3 cặp để dự thi thời trang?

17/ Một tiệm bán hoa có 20 bông hồng, 15 bông cúc và 9 bông cẩm chướng. Một khách hàng muốn chọn mua 10 bông. Hỏi có boa nhiêu cách chọn:

a/ tùy ý?

b/ 10 bông hồng?

c/ 5 bông hồng, 3 bông cúc và 2 bông cẩm chướng?

d/ 10 bông gồm đúng 2 loại khác nhau?

e/ 10 bông gồm đủ 3 loại?

18/ Có bao nhiêu chuỗi nhị phân chiều dài 8? Trong đó có bao nhiêu chuỗi gồm đúng 3 bit 0? gồm ít nhất 3 bit 0?

19/ Có bao nhiêu chuỗi trên tập {a, b, c, d} có chiều dài 5?

Trong đó có bao nhiêu chuỗi có mặt đúng 1 a? có mặt ít nhất 1 a?

20/ 10 người bạn gồm 5 cặp vợ chồng đi dự đám cưới ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi:

a/ tùy ý?

b/ các ông chồng ngồi cạnh nhau và các bà vợ ngồi cạnh nhau?

c/ vợ chồng ngồi cạnh nhau?

21/ Treo 14 áo gồm 3 áo xanh, 4 áo vàng, 2 áo trắng và 5 áo tím vào một tủ áo thành một hàng dài. Hỏi có bao nhiêu cách treo:

a/ tùy ý?

b/ các áo cùng màu treo cạnh nhau?

c/ các áo tím treo cạnh nhau?

d/ không có 2 áo tím nào treo cạnh nhau?

22/ Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong từ

INTERPRETATION thỏa điều kiện không có 2 nguyên âm nào đứng cạnh nhau?

23/ Một tiệm bán sơn có 12 màu sơn khác nhau. Một khách hàng muốn mua 15 hộp sơn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a/ màu nào cũng được?

b/ mỗi màu có ít nhất 1 hộp?

c/ có đúng 5 hộp màu trắng?

d/ gồm đúng 8 màu khác nhau?

24/ Có bao nhiêu vectơ ^a(x,y,z) sao cho x, y, z là 3 số nguyên không âm thỏa x + y + z = 10?

25/ Xếp 10 trái bóng bàn (xem là giống nhau) vào 4 cái hộp khác nhau.

Có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 trái bóng?

6/ Một công ty có 5 phòng ban nhận được 5 giấy mời giống nhau đi tham quan ở nước ngoài. Hỏi có bao nhiêu cách phân phối 5 giấy mời đó cho các phòng ban:

a/ tùy ý?

b/ mỗi phòng ban nhận được 1 giấy mời?

c/ có đúng một phòng ban không nhận được giấy mời?

27/ Chia 8 viên kẹo bạc hà (giống nhau) và 10 viên kẹo dừa (giống nhau) cho 3 em bé. Có bao nhiêu cách chia sao cho mỗi bé nhận được ít nhất 2 viên kẹo dừa?

28/ Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 32

thỏa điều kiện:

a/ ^xi ⁰ ⁱ^1,4. b/ ^xi ⁰ ⁱ^1,4

c/ ^xi ² ⁱ^1,4

d/ ^x1^,x2 ^5,x3^,x4 ⁷

e/ ^xi ⁰ ⁱ^{1,3, 0}^x4 ²⁵

29/ Có bao nhiêu lời giải nguyên không âm của bất phương trình:

a/ x1 + x2 + x3 + x4  9?

b/ x1 + x2 + x3 + x4 < 9?

30/ Biết rằng nước ta có 64 tỉnh thành. Chứng minh rằng trong một lớp gồm 70 sinh viên Việt nam có ít nhất 2 sinh viên đồng hương.

31/ Một khu vườn có tất cả 30 loại hoa. Cần hái ít nhất bao nhiêu bơng trong vườn để cĩ được 12 bông cùng loại?

32/ Chứng minh rằng nếu chọn ra 7 số khác nhau trong 12 số nguyên từ 1 đến 12 thì sẽ được 2 số có tổng bằng 13.

33/ Một lớp có 40 học viên tuổi từ 17 đến 24. Bạn muốn đánh cuộc có x học viên trong lớp có cùng tuổi. Chọn x tối đa là mấy để chắc chắn thắng cuộc?

Chương 5. HỆ THỨC ĐỆ QUI

1/ Giải các phương trình sai phân sau:

1) 









  3 x

) 0 n ( 0 x x

2 0

n 1 n

2) 













 _{ }

1 x , 3 x

) 2 n ( 0 x

3 x

5 x 2

1 0

2 n 1 n n

3) 



















 _{ }



1 x , 2 x , 1 x

) 0 n ( 0 x x

5 x

8 x

4

2 1

0

n 1 n 2 n 3 n

4) 













 _



2 x , 1 x , 0 x

) 2 n ( 0 x 4 x

3 x

2 1

0

n 2 n 3 n

5) 











 _{ }

2 x , 1 x

) 2 n ( 0 x

2 x

2 x

1 0

2 n 1 n n

6) 













 _



1 x , 0 x

) 1 n ( 0 x

x x

1 0

1 n n 1 n

7) 













 _



1 x , 1 x

) 0 n ( 0 x 2 x

2 x

1 0

n 1 n 2 n

8) 

















  

3 2 x , 2 x

) 2 n ( 0 x

4 x

2 x

1 0

2 n 1 n n

2/ Giải các phương trình sai phân sau:

1) 







 _

2 x

) 1 n ( n 6 x

2 x

1

1 n n

2) 















 



2 x 1 , 1 x

) 0 n ( 1 x x

2 x

1 0

n 1 n 2 n

3) 













  0 x

) 2 n ( ) 1 ( 5 x x

0

n n 1 n

4) 











 _{ }

3 x , 1 x

) 2 n ( 1 x

2 x

x

2 1

2 n 1 n n

5) 











  2 x

) 1 n ( n x

x 0

1 3 n n

6) 











 _ ^

1 x

) 1 n ( 2 x

x 2

0

1 n n n

7) 

















 



0 x , 0 x

) 0 n ( ) 1 ( x 16 x

8 x

1 0

n n 1

n 2 n

8) 



















 



2 x 1

, 1 x

) 0 n ( 10 n 6 x 15 x

2 x

1 0

n 1

n 2 n

9) 





















   

2 x , 2 x , 4 x

) 3 n ( 3 x

12 x

4 x

3 x

2 1

0

3 n n 2

n 1 n n

10) 













 _ 2 x , 0 x

) 2 n ( n x

x 2

1 0

2 2 n n

11) 

















  

2 x , 2 x

) 2 n ( 2 x

2 x

2 x

1 0

2 n n 1 n n

12) 























 

1 x , 0 x

) 0 n ( ) 1 ( 3 n x

2 x

1 0

n n 2 n

3/ Tìm công thức tính:

1)







n 1 i

i2

S .

2)







n 1 i

i3

S

3)







n 1 i

i4

S

4)







 ⁿ

1 i

2 2) i ( i S

5)









 ⁿ

0 i

2i

) 2 i )(

1 i ( S

Chương 6. ĐẠI SỐ BOOLE

1/ Cho (B, +, .) là một đại số Boole. Cho x, y, z  B. Dùng định nghĩa, chứng minh:

a/ x là duy nhất.

b/ x x

c/ ^xyxy, ^xyx.y d/ x(x + y) = x, x + xy = x

e/ (x + y)(y + z)(z + x) = xy + yz + zx

2/ Tìm dạng nối rời chính tắc của các hàm Boole sau:

a/ ^{f(xyz)xyxz} b/ ^{f(xyz)xyyzzx} c/ ^{f(xyz)xy(zxy)}

d/ ^{f(xyz)(xyz)(xxz)(zxy)} e/ ^{f(xyzt)xyxzyztxyzt} f/ ^{f(xyzt)xyzyztxztxyzt} g/ ^{f(xyzt)(xzyzxt)xytyzzttx}

3/ Cho f là hàm Boole 4 biến và lấy giá trị 1 khi và chỉ khi số biến có giá trị 1 là một lũy thừa không âm của 2. Hãy vẽ bảng Karnaugh của f.

4/ Một bài thi có 4 câu A, B, C, D với số điểm tương ứng là 8, 5, 4, 3. Trả lới đúng câu nào sinh viên sẽ được trọn số điểm của câu ấy, nếu trả lời sai sẽ được 0 điểm. Để đạt môn thi này, sinh viên phải được tổng cộng từ 10 điểm trở lên. Ta liên kết mỗi câu với 4 biến a, b, c, d và coi hàm Boole f(abcd) lấy giá trị 1 nếu sinh viên đạt và giá trị 0 nếu sinh viên không đạt. Hãy tìm dạng nối rời chính tắc của hàm f, lập bảng Kar(f) và tìm công thức đa thức tối tiểu của f.

5/ Tìm dạng nối rời chính tắc và công thức đa thức tối tiểu của các hàm Boole có biểu đồ Karnaugh sau đây rồi thiết kế mạng các cổng AND, OR, NOT để tổng hợp các hàm Boole này:

a/

x x

z ^t

t

z t

y y ^y

b/

c c

a ^b

a b

b

d d ^d

c/

z ^z

x ^y

x y_y

t t ^t

d/

x x

z u u

z u

y y ^y

e/

x x

z ^t

z t

t

y y ^y

f/

x x

u w

u ww

y y ^y

6/ Lập bảng Karnaugh cho các hàm f dưới đây, liệt kê tất cả các tế bào lớn rồi suy ra công thức đa thức tối tiểu của hàm f:

a/ ^{f(uxyz) uxuxyzxyzuxyzuyzuxz} b/ ^{f(uxyz)xyxyzuyzuxyuxz}

c/ ^{f(abcd)abacdabd}

d/ ^{f(xyzt) xyzyztxztxyzxyzt}

e/ ^{f(xyzt) xyzxztxyzxztxyztxyzt} f/ ^{f(xyzt)xztyztxytxyzxyztxyzt}

g/ ^f(xyzt)yt



^xz



^x



^ztyt



^xyzt

h/ ^f(abcd)b



^dacac



^{b d}



^acac



***