123 bài toán hàm số bậc nhất và đường thẳng - Lương Tuấn Đức - THCS.TOANMATH.com

(1)

TÀ T ÀI I L LI IỆ ỆU U T TH HA AM M K KH HẢ ẢO O T TO OÁ ÁN N H HỌ Ọ C C P PH H Ổ Ổ T TH H ÔN Ô NG G

____________________________________________________________________________________________________________________________

-

---

CH C HU UY YÊ ÊN N ĐỀ Đ Ề HÀ H ÀM M SỐ S Ố V VÀ À ĐỒ Đ Ồ T TH HỊ Ị (H ( HỆ Ệ T TR RU UN NG G H HỌ ỌC C CƠ C Ơ S SỞ Ở ) )

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG)

T

TRRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN CCHHII LLĂĂNNGG –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN HHẢẢII QQUUÂÂNN

[T[TÀÀII LLIIỆỆUU PPHHỤỤCC VVỤỤ KKỲỲ TTHHII TTUUYYỂỂNN SSIINNHH LLỚỚPP 1100 TTHHPPTT,, LLỚỚPP 1100 HHỆỆ TTHHPPTT CCHHUUYYÊÊNN]] C

CHHỦỦ ĐĐẠẠOO:: ĐĐƯƯỜỜNNGG TTHHẲẲNNGG VVÀÀ CCÁÁCC VVẤẤNN ĐỀĐỀ LLIIÊÊNN QQUUAANN..

  HHÀÀMM SSỐỐ HHẰẰNNGG..

  SSỰỰ BBIIẾẾNN TTHHIIÊÊNN CCỦỦAA HHÀÀMM SSỐỐ BẬBẬCC NNHHẤẤTT..

  VVẼẼ ĐĐỒỒ TTHHỊỊ HHÀÀMM SSỐỐ BBẬẬCC NNHHẤẤTT ((ĐĐƯƯỜỜNNGG TTHHẲẲNNGG))..

  BBIIỆỆNN LULUẬẬNN VỊVỊ TTRRÍÍ TTƯƯƠƠNNGG ĐĐỐỐII GGIIỮỮAA HHAAII ĐĐƯƯỜỜNNGG TTHHẲẲNNGG..



 MMỘỘTT SỐSỐ BBÀÀII TOTOÁÁNN GGẮẮNN KKẾẾTT YYẾẾUU TTỐỐ HHÌÌNNHH HỌHỌCC GGIIẢẢII TTÍÍCCHH..

  BBÀÀII TTOOÁÁNN NNHHIIỀỀUU CÁCÁCCHH GIGIẢẢII..

CCRREEAATTEEDD BBYY GGIIAANNGG SSƠƠNN ((FFAACCEEBBOOOOKK));; 0011663333227755332200;; GAGACCMMAA11443311998888@@GGMMAAIILL..CCOOMM ((GGMMAAIILL)) THTHÀÀNNHH PPHHỐỐ TTHHÁÁII BBÌÌNNHH –– MMÙÙAA TTHHUU 22001166

(2)

---

““NoNon n sôsônngg ViViệệtt NaNamm cócó trtrởở nênênn tưtươơii đẹđẹpp hhayay khkhôônngg,, dâdânn tộtộcc ViViệệtt NNaamm cócó bưbướớcc tớtớii đàđàii vivinnh h qquauanng g đđểể ssáánnh h vvaaii vớvớii ccáácc ccưườờnngg qquuốốcc nnăămm cchâhâuu đđưượợcc hahayy kkhhônôngg,, cchhíínnhh llàà nhnhờờ mmộộtt pphhầnần lớlớnn ởở ccônôngg hhọcọc ttậậpp củcủaa ccáácc eemm””

(T(Trríícchh tthhư ư CChhủủ ttịịcchh HHồồ CChhíí MMiinnhh))..

“ “ C Cá ác c b bạ ạn n V Vi i ệt ệ t N Na am m k kh hô ôn ng g n nê ên n b bậ ận n t t âm â m. .

T Tô ôi i b bi i ết ế t c c ác á c b bạ ạn n c cò òn n k kh h ó ó k kh hă ăn n, , t ta a x xe em m n nh hư ư s số ố n nợ ợ n nà ày y đ đã ã t t rả r ả… … ” ”

^[1^[^1]^]

[

[11]].. LưLượợc cddịịcchh lờlờii SaSaddddaamm HuHusssseeiinn ((11993377 –– 22000066)),, CốCố CChhủủ tịtịcchh ĐảĐảnngg BaBa’’aatthh,, CCốố ThThủủ tưtướnớngg,, CốCố TổTổnngg ththốốnngg C

Cộộnngg hòhòaa IIrraaqq tthhờờii kkỳỳ 19197799 –– 20200033.. DẫDẫnn tthheeoo HHồồii kýký GiGiaa đìđìnnhh,, bạbạnn bèbè vàvà đấđấtt nưnướớcc củcủaa ĐồĐồnngg cchhíí NNgguuyyễễnn TThhịị BìBìnnhh,, NNgguuyyêênn PPhhóó cchhủủ ttịịcchh nnưướcớc CCộộnngg hhòòaa XXãã hhộộii cchhủủ ngnghhĩĩaa VViiệệtt NNaamm tthhờờii kkỳỳ 11999922 –– 22000022..

(3)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3 C

CHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ HHÀÀMM SSỐỐ VVÀÀ ĐĐỒỒ TTHHỊỊ ((HHỆỆ TTRRUUNNGG HHỌỌCC CCƠƠ SSỞỞ)) BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT (ĐƯỜNG THẲNG)

TRTRUUNNGG ĐĐOOÀÀNN CCHHII LLĂĂNNGG –– QQUUÂÂNN ĐĐOOÀÀNN HHẢẢII QQUUÂÂNN

---

TTrroongng kkhhuuôôn n kkhổhổ TTooáánn hhọọcc ssơ ơ ccấấpp nnóiói cchhuunngg vvàà ĐĐạạii ssố ố pphổhổ tthhôônng g nnóiói rriêiênng,g, HHààmm ssốố vvàà ĐĐồồ tthhịị llà à ddạạnngg t

toáoánn cơcơ bảbản nnnhưhưngng ththúú vịvị,, cócó phphạmạm vivi trtrảải irộrộnng,g, phphonong gpphúhú,, liliêên nhhệ ệcchặhặt tchchẽẽ vớvớii nnhhiiềuều bộbộ phphậnận khkhácác củcủa a ttoáoánn hhọọcc ssơơ ccấấpp ccũũngng nnhhư ư ttooáánn hhọcọc hhiệiện n đđạại.i.

TTạạii VViiệtệt NNaam,m, nnộiội dudungng hhààm m ssố ố vvà à đđồồ tthhị ị llà à mmộộtt bbộộ phphậnận hhữuữu ccơơ,, qquauann ttrrọnọng,g, đđưượcợc pphổhổ bbiiếếnn ggiảiảngng ddạạyy cchíhínnhh tthứhứcc ttrroongng cchhưươnơngg ttrrììnnhh ssáácch h ggiiáoáo kkhohoa a TTooáánn bbưướớcc đđầuầu llà à llớớpp 77,, ttiiếếpp ssaau u llàà ccáácc llớớpp 99,, 110,0, 1111, , 112 2 ssoongng ssonong gvớvớii cácác c kkhốhốii llưượợnng g kkiiếến n tthhứứcc lliêiênn qquauan.n. CCáácc kkỹ ỹ nnănăng gđốđối i vvớiới hàhàmm ssốố,, đđồồ tthhị ị đđưượợcc lluuyyệện ntậtậpp mmộộtt ccácáchh đđềuều đđặặn,n, bbàài i bbảnản vvàà hệhệ tthốhốnngg ssẽẽ rrấấtt hhữữuu íícchh,, kkhhônông g cchhỉỉ ttrroonng g bbộộ mômôn n TTooáán n mmàà ccòònn pphhụcục vvụụ đđắắcc llựựcc cchoho ccáác c mômônn khkhoaoa hhọcọc ttự ự nhnhiêiên n khkhácác nnhưhư hhóaóa hhọcọc, ,vvậtật llý,ý, đđịaịa lýlý,, sisinnh h họhọcc,,...ĐĐốốii vvớiới chchưươơnngg trtrììnhnh ĐạĐạii sốsố lớlớpp 99 THTHCCSS hihiệệnn hhànành,h, hàhàm msốsố vvà àđđồ ồththị ịgigiữ ữvavaii trtròò cchhíínhnh yếyếuu trtroongng ĐềĐề ththi ikikiểểmm trtraa chchấtất lưlượnợngg họhọc ckkỳ,ỳ, ĐềĐề ththi i ttuyuyểểnn ssiinnhh llớớpp 110 0 TTHHPPTT hhệ ệ đđạại i ttrràà vvàà hhệ ệ TTHHPPTT CChhuuyêyênn.. ĐĐốối i vvớớii ccáácc llớớpp ccaoao hhơnơn,, nnộội i dduungng nnàày y ssẽẽ đđượượcc mmởở rrộnộng gttrởrở tthhàànnhh kikiếếnn ththứcức chchínínhh yếyếuu trtroongng cchưhươơnngg trtrììnnhh ĐạĐạii sốsố - -GiGiảảii ttíícchh xxuyuyêênn susuốtốt cácácc llớpớp 1010,, 1212,, bbaaoo ggồmồm hhààm m ssố ố bbậcậc ccaoao vvàà bbààii ttooáán n hhìnìnhh hhọọc c ggiiảiải ttícíchh, , mmộột t bbààii ttooánán mmaangng ttíínnhh pphhânân llooạại i ccaao o ttrronong g kkỳ ỳ tthhi i ttuuyểyểnn ssininhh đđạạii hhọcọc –– ccaoao đđẳẳngng, , kkỳỳ tthhii TTHHPPTT QQuuốốcc ggiiaa hhààngng nnăăm,m, mmộột t kkỳ ỳ tthhi i đđầyầy ccaam m ggo,o, kkịcịchh ttíínnhh vvàà bbấấtt nnggờ,ờ, nnóó llạiại làlà mmộộtt ccâuâu rrấấtt đưđượợcc ququanan ttâmâm củcủaa ccácác bbạnạn hhọọcc ssiinnh,h, phphụụ huhuynynh,h, ccácác tthầhầy y ccôô,, gigiớớii chchuyuyêênn mmôônn vvà à đđôôngng đđảoảo bbạnạn đđọcọc yyêêu u TTooánán. .

TTrroongng pphạhạm m vvii hhàmàm ssốố vvàà đđồ ồththịị,, ttàài ililiệệuu nànày y ttácác ggiiảả tậtậpp trtruunngg ttrrììnnhh bbààyy mmộộtt llớpớp cácácc bbààii ttoáoánn kkhhảảo osását t ssự ự bbiếiếnn tthhiêiên,n, vvẽ ẽ đđồồ ththịị hhààmm ssốố bbậcậc nhnhấtất (t(tứức c llà à ddạnạng g đđườườnng gththẳẳngng),), vvấnấn đđềề vvịị ttrrí í ttưươnơngg đđốiối ggiiữữaa hahaii đđưườnờngg tthẳhẳnngg,, hohoặặcc vịvị ttrírí tưtươnơngg đđốốii gigiữữaa đưđườnờngg tthhẳẳngng vàvà đđườườnngg cocongng, , mmộột tsốsố bbààii totoáán ngắgắnn kkếtết yyếếuu tốtố lưlượnợngg ggiiáác,c, hhìnìnhh hhọọc c ggiiảảii ttííchch. . NNhhưư đđãã nnóiói ởở ttrrêênn, , mmụụcc đđíícchh kkhohoa a hhọọc c cchhíínnh h ccủủaa ttàiài lliiệuệu nnhằhằm m pphụhục c vvụụ cchho o qquuá á ttrrììnnhh ddạạy y vvà à hhọọc,c, kkiiểểmm ttrara, , kkỳ ỳ tthhi i ttuuyểyểnn ssiinnh h llớớpp 99 TTHHPPTT,, nnggoàoài i rraa ttáácc ggiảiả đđã ã ccốố ggắắngng nnâânng g ccaao,o, mmởở rrộộnng g vvàà pphhátát ttrriiểểnn ttừnừngg bbààii ttooáánn tthheoeo đđúúnngg nnộội i dduunngg cchhủủ đạđạoo hhààm m ssốố bbậậc c TTHHPPTT,, cchủhủ qquuanan cchho o rrằằnngg đđiiềềuu nnàày y ssẽ ẽ ggópóp pphhầnần gigiớới i tthihiệệu,u, đđịịnnhh hhưướớnngg,, pphháá bbỏỏ bbỡ ỡ nnggỡ,ỡ, ttạạoo rraa ccáiái nnhìhìnn đđa a cchhiềiềuu đđốốii vvớiới bbààii ttooáánn đđồồ tthhịị vvàà hhààmm ssốố,, vvớớii nnhhữữnngg nnộội i ddunung g nnhhưư cựcựcc trtrịị,, ttưươơnngg ggiaiaoo, ,titiếếp p ttuuyyếếnn,, gigiáá trtrịị llớnớn nnhhấất tnnhỏhỏ nhnhấấtt hàhàm msốsố mamaii sasauu,, ththiếiếtt ngnghhĩĩ yếyếu u tốtố nànày y ggópóp pphhầnần llààmm ttiiềềnn đđề ề ttư ư dduuy y hhàmàm ssốố, , ttưư dduuy y hhììnnh h hhọcọc ggiiảải i ttíícchh ởở ccấpấp TTHHPPTT ttrronong g ttưươơnngg llaaii ccáác c eemm hhọọcc ssininhh T

THHCCSS,, ngngooààii rara còcòn nmamangng títínnh hmởmở rộrộnngg, ,đàđào ossâuâu, ,hhướướnngg đđếếnn momonng gmumuốnốn bạbạnn đọđọc c ngnghihiêên n ccứứuu đầđầy yđđủ ủvvề ề đđườườnng g ththẳnẳngg,, ttănăngg ccưườờnngg sựsự ssánángg tạtạoo, ,đđộtột ppháhá, ,ppháhátt hhuyuy hhơơnn nnữaữa trtronongg totoáán n họhọc c vàvà ccácác ứứngng ddụnụng g trtroongng hhànàng g llooạạtt ccáác c mmôônn kkhhooaa hhọcọc ttự ự nnhhiêiênn. .

II. . KKIIẾẾNN TTHHỨỨCC CCHHUUẨẨNN BBỊỊ

1.1. KỹKỹ tthhuuậậtt nnhâhân,n, cchhiaia đđơnơn tthhứcức,, đđaa tthhứức,c, hhằằnngg đđẳnẳng g tthhứcức.. 2.2. NắNắmm vvữữnng g ccáác c pphhưươơnngg pphháápp pphhânân ttíícchh đđa a tthhứứcc tthàhànnhh nnhâhân n ttửử..

3.3. NắNắmm vữvữngng cácácc phphưươơnngg pphhááp p ggiiảải,i, bibiệện n lluuậận npphưhươơnngg trtrììnnhh bậbậc cnnhấhấtt,, bậbậcc hahaii,, bậbậcc ccaaoo, ,phphưươơnng gtrtrìnìnhh chchứaứa ẩẩn n ởở mmẫẫu.u.

4.4. SửSử ddụụnng g tthhànành h tthhạoạo ccácác kkýý hhiệiệuu ttooáán n hhọọc,c, lloogigicc ((kkýý hhiiệệu u hhộộii,, ttuuyểyển,n, kkééoo tthheeo,o, ttưươơnngg đđưươơnngg)).. 5.5. KiKiếếnn tthhứứcc nnềềnn ttảảngng vvề ề mmặặtt pphhẳẳnngg ttọọaa đđộộ,, hhààm m ssốố bbậậc c nnhhấtất,, đđưườnờngg tthhẳẳngng. .

6.6. KỹKỹ nnăăngng vvẽ ẽ đđồồ tthhịị hhààm m ssốố.. 7

7.. KiKiếếnn tthhứức cnềnền ntảtảngng vvềề hhệ ệsốsố gógóc ccủcủa ađưđườờnngg ththẳẳnngg,, ccôônng gththứcức đđộ ộddàiài, ,hhệ ệththứức clưlượợnngg ttroronngg ttamam ggiiáác c vuvuôônng,g, ccôôngng tthứhứcc llưượợnng g ggiiácác,, đđưườnờngg ttrròòn,n, hhààmm ssốố bbậậcc hhaai i ppaarraabbolol,, pphưhươơnngg ttrìrìnnhh nngghihiệệm m nnguguyyêên.n. 8.8. KiKiếếnn ththứứcc nnềnền tảtảnngg vềvề gigiá átrtrịị tutuyệyệt tđđốiối,, ccănăn ththứcức,, ướướcc llượượnngg – – đáđánnh h ggiiáá,, hhààmm ssố ố- - đồđồ ththịị,, bấbất tđẳđẳnngg

ththứcức –– ccựcực ttrrị,ị, ggiáiá ttrịrị llớớnn nnhhấấtt,, ggiiáá ttrrịị nnhỏhỏ nnhhấấtt..

(4)

---

III.I. KKIIẾNẾN TTHHỨỨCC CCƠƠ SSỞỞ VVỀỀ HHÀÀMM SSỐỐ,, MMẶẶTT PPHHẲẲNNGG TTỌỌAA ĐĐỘỘ VVÀÀ ĐĐỒỒ TTHHỊỊ HHÀÀMM SSỐỐ BBẬẬCC NNHHẤẤTT.. 1.1. ĐịĐịnnhh nngghĩhĩa a hhàmàm ssốố:: ĐĐạại i llưượnợngg yy pphụhụ tthhuộuộc c đđạiại llưượợnngg tthhaay y đđổổii xx ssaoao cchho o vvớớii 11 ggiiáá ttrịrị ccủaủa xx tthuhu đđưượcợc

1 1 gigiáá trtrịị củcủa ay y tưtươơnngg ứnứng,g, ththưườờnng g đđưượợcc kýký hihiệuệu ^y^ ^{f x}

 

^^..., ,hahay ycòcòn nggọiọi làlà mộmột tqquyuy tắtắcc gágán n mmỗỗi i g

giiáá ttrrịị ccủaủa AA cchho o đđúúngng mmộột t pphhầnần ttử ử ccủủa a BB ((A A vvàà BB llàà hhaiai ttaaaapph h hhợợpp ccáác c ssốố,, AA,, BB kkhhácác ttậậpp rrỗnỗng)g).. TThhíí ddụụ

  HHààm m ssốố đđaa tthứhứcc y3 ;x y4x1; y5x²3; yx³5x2;..

  HHààm m ssốố pphhânân tthhứứcc

2 3

4 7 2 4 1

; ;

10 1 2

x x x x x

y y y

x x x

    

  

   . .

  HHààm m ssốố ccăănn tthhứức c

2 2

2

2 2

4 5 4 5

9 8; ;

1 1

x x x x

y x x y x y

x x

   

     

  . .

  HHààm m ssốố llưượợnng g ggiiácác ((cchhươươnng g ttrrììnnhh GGiiảải i ttíícch h llớớpp 1111 TTHHPPTT))..

sin3 sin ; sin 4 cos 4 ; tan 3 tan

y x x y x x y x x

  HHààm m ssốố mmũũ, , hhàmàm ssốố llogogarariit t ((cchhưươơnng g ttrrìnìnhh GGiiảảii ttíícchh llớpớp 1122 TTHHPPTT))

 

³

3 3

2^x 3^x 5 ;^x log 2 log 2 1 ; ln 3 log 8

y   y x x y x x . .

2.2. ViViếếtt ^y^ ^{f x}

 

^^...tthhìì xx đđượượcc ggọọii llà à bbiiếếnn ssố ố ((đđốiối ssố)ố),, ssốố ^{f x}

 

^cụ^c^ụ^t^th^hể^ể^đ^đư^ượ^ợc^c^g^gọ^ọiⁱ^l^là^à^g^gi^iá^á^t^tr^rị^ị^c^củ^ủa^a^hà^h^àm^m^s^số^ố^f^f^t^tạ^ạiⁱ^x^x.^.

ThThíí dụdụ vvớớii ^y^ ^{f x}

 

^³^x^⁴ththìì ^f

 

² ^^{3.2 4}^{ }²,, ttứứcc làlà:: GGiiáá ttrrịị ccủủaa hhààmm ssốố ttạạii x2bằbằnngg 22.. 3.3. CáCácc ccáácchh cchhoo hhààm m ssố ố

  BảBảnngg ggiiáá ttrrịị ttưươơnngg ứứnngg ((bbiiểuểu đđồ)ồ)..

  CôCônngg ththứức,c, cchúhú ý ý cócó nnhhữữnngg hhàmàm sốsố đđượượcc cchoho bbởiởi nhnhiềiềuu ccôônngg ththứứcc kkhháácc nhnhauau ttrêrênn nhnhữnữngg tậtậpp xáxácc địđịnnhh kkháhác c nnhhaauu. .

TThhíí ddụụ

 

³₃ ^7; ²

5; 2

x x

f x x x

 

 

 



 ĐồĐồ tthhịị..

4.4. TậTập p xxáácc đđịnịnhh DD ccủủa a hhàmàm ssốố xxuấuấtt pphhátát ttừừ đđiềiều u kkiiệệnn xxácác đđịnịnh h ccủủa a bbiiểuểu tthhứức,c, tthhíí ddụ ụ

  HHààm m ssốố yx⁴5x²2xáxácc đđịịnnh h ttrrênên . .

  HHààm m ssốố ⁹ 2 y x

x

 

 xxácác đđịnịnhh kkhhi i x2. .

 HHààm m ssốố y x³8xxácác đđịnịnhh kkhhi i x2. .

KhKhii đđượượcc ttiiếếp p ccậnận cchhươươnngg ttrrìnìnhh ĐĐạạii ssố ố llớớpp 1100 TTHHPPTT,, ccácác bbạạnn đđộộcc ggiiảả ssẽẽ đđưượợcc hhọcọc ccáácc nnggônôn nnggữ,ữ, kkýý hihiệệuu totoánán họhọc cnnhưhư (d(dưươơnngg vvô ô ccùùnng)g), , ((âmâm vvô ôccùnùng)g), ,(…(…)) kkhohoảnảng,g, [[……]] đđoạoạn,n,……pphhụụcc vụvụ vviệiệc c viviếếtt cchhíínnh h xxáác c ttậập p xxáác c đđịnịnhh hhààm m ssốố ((bbiiểuểu ddiiễễn n ttrrêênn mmộộtt mmiiềền)n). .

5.5. TậTập p ggiiáá trtrịị củcủa ahàhàmm sốsố xuxuấtất phpháátt ttừừ ggiáiá ttrịrị lớlớnn nnhấhấtt (G(GTTLLNN)),, gigiáá trtrị ịnnhỏhỏ nhnhấtất ((GTGTNNNN)) củcủa ahhàmàm sốsố trtrêên n ttậập p xxáác c đđịịnnhh DD ttưươnơngg ứứnngg, , tthhưườờnng g đđưượợcc kký ý hhiiệệuu WW,, tthíhí ddụ ụ

  HHààm m ssốố yx²2x8ccó ó ttậập p ggiiáá ttrrịị ^W ^



^7;^



^.^.

  HHààm m ssốố y 4 9x² cócó ttậậpp ggiiáá ttrrị ị^W ^



^{4; 7}



^.^.

  HHààm m ssốố y 2x xccóó ttậập p ggiiá á ttrrị ịW  2; 2. .

  ĐĐểể ttììmm đđưượợcc ttậậpp ggiáiá ttrrịị ccủủaa hhààm m ssố,ố, ccácác bbạạnn ccầần n ttììmm đđượượcc GGTTLLNN ((nếnếuu ccó)ó) vvàà GGTTNNNN ((nnếếuu ccóó) ) c

củủaa hhààm m ssốố đđó ó ttrrêênn mmiiềềnn xxáácc đđịnịnhh.. VVấấnn đđềề đđặtặt rraa đđó ó llà à pphảhảii ttììmm cchhínính h xxácác GGTTLLNN,, GGTTNNNN nnếếuu ttồồnn tạtạii, ,nếnếuu tồtồn nttạiại màmà khkhônôngg ththể ểtìtìmm đưđượợcc cocoii nnhưhư viviệệcc ttìmìm ttậậpp gigiá átrtrị ịđưđượợcc ggọọii làlà nnửửaa vờvờii,, tthhấấtt bạbại.i. ĐâĐâyy làlà vấvấn n đềđề cơcơ bbảảnn trtronongg cchưhươnơngg trtrììnnhh GiGiảiải títícch hlớlớpp 112 2 THTHPPTT kkhihi đđãã nắnắm mđưđượợcc ccôônng gcụcụ đạđạo ohàhàm m –– khkhảoảo ssáátt hhàmàm sốsố ttrroongng ttayay.. CòCònn đđốối ivớvớii ccácác llớớpp nnhỏhỏ hhơnơn,, cácác cbạbạn nccầnần ttư ư

(5)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5 dduuy y cchhiềiều u ssâuâu, , áápp ddụụngng lliinnhh hohoạtạt ccáácc kkiiếnến tthhứcức,, kkỹ ỹ nnănăng g vvề ề bbấấtt đđẳẳngng tthhứcức, , hhằằnngg đẳđẳnng g tthhứức c đđể ể ttììmm đđượượcc ttrrọọn n vvẹẹn.n.

6.6. HàHàmm ssốố ^y^ ^{f x}

 

^^...đđồnồng g bbiiếếnn ((hàhàm m ttăănngg) ) ttứứcc llàà

   

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

, , ,

0, ,

, , ,

f x f x x x D x x f x f x

x x D x x

f x f x x x D x x

   

 

   

     



. .

ĐĐồồ tthhị ị hhààm m ssốố kkhhi i đđóó ccóó hhướướnngg đđii llêên.n. TThhí í ddụ ụ

  HHààm m ssốố yx³4xluluônôn đđồnồng g bbiiếếnn ttrrêên n . .

 HHààm m ssốố ² 3 y x

x

 

 lluuônôn đđồồnngg bbiếiếnn ttrrêên n ttậập p xxáác c đđịịnnhh ^^/

 

^³ ^.^.

  HHààm m ssốố yx²2x5đđồnồng g bbiiếếnn ttrêrênn kkhhoảoảnng g



^1;



. . TTổổnng g hhaai i hhààmm ssố ố đđồồnngg bbiiếến n llàà mmộột t hhààm m ssố ố đđồồngng bbiiếến.n. C

Cáácc bbạạn n llưuưu ýý hhààmm ssốố ccóó tthhể ể đđồnồng g bbiếiếnn ttrrênên mmộột t kkhohoảnảng g nnàoào đđóó,, ttuuyy nnhihiêên n nnếuếu nnóói i ““KhKhoảoảngng đđồồngng bbiiếếnn ccủủaa hhàmàm ssố”ố” đưđượợcc hhiểiểuu llàà ttấấtt ccảả ccácác khkhoảoảnng gmàmà hhààm msốsố ccóó tthhểể đđồnồng g bbiếiếnn.. ĐĐểể ttìmìm kkhhoảoảngng đđồồngng bbiiếnến đđầầy y đđủủ củcủaa hhàmàm ssốố, , ccầần n ccó ó ttroronng g ttaayy ccôôngng ccụụ đđạạo o hhààmm –– kkhhảoảo ssáát t hhàmàm ssốố ccủủa a llớớpp 112 2 TTHHPPTT.. VViiệệcc cchhứnứngg mmiinnh h ttíínnhh đđơơnn đđiệiệuu đđốốii vvớớii ccácác llớớpp nnhhỏ ỏ hhơơnn bbắắt t bbuuộcộc ssửử ddụụngng đđịịnnh h nngghĩhĩa a nnhhư ư đđãã nnêêuu, , ttứứcc llà à

   

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

, , ,

0, ,

, , ,

f x f x x x D x x f x f x

x x D x x

f x f x x x D x x

   

 

   

     



. .

ThThíí ddụ ụ cchhứnứng g mmiinnhh hhààm m ssốố đđồồngng bbiiếến n ttrrêên n . .

 NNếếu u ssửử ddụnụng g đđịịnhnh nnghghĩaĩa cchhúúngng tta a ssẽẽ ggặặpp kkhhó ó kkhhănăn bbởởii vvìì ssốố mmũũ ccaoao ccủaủa 55. .

 TThhựcực hhiiệệnn ttácáchh hhààm m ssốố

     

 

5

3 2

; 2 5 1

f x x y f x g x

g x x x x

 

  

   



 XXửử llýý hhààm m ^{f x}

 

^^x⁵: :

   

5 5

1 2 1 2 1 2

5 5

1 2 1 2 1 2

x x x x f x f x

     



    





 XXửử llýý hhààm m ^{g x}

 

^^x³^²^x²^⁵^x^¹: :

           

        

   

     

3 2 3 2 3 3 2 2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 1 1 2

2 1

2 5 1 2 5 1 2 5

2 5

2 3 4 16

2 2 5 2

4 4

2

x x x x x x x x x x x x

g x g x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x x x x x x x

x x

           

  

  

       

      



  

          

  

2 2

2 1 2

3 2 11

0, ,

2 4 x 3 3 x x

   

      

 

 

 SSửử ddụnụngg ttổổnng g hhaiai hhààmm ssốố đđồnồng g bbiiếnến ttaa tthhu u đđưượcợc hhààm m ssố ố yy đđồnồngg bbiiếnến.. 7.7. HàHàmm ssốố ^y^ ^{f x}

 

^^...nnghghịcịchh bbiiếến n ((hhàmàm ggiiảmảm)) ttứứcc llàà

   

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

, , ,

0, ,

, , ,

f x f x x x D x x f x f x

x x D x x

f x f x x x D x x

   

 

   

     



. .

ĐĐồồ tthhị ị hhààm m ssốố kkhhi i đđóó ccóó hhướướnngg đđii xxuốuốngng. . TThhíí ddụ ụ

  HHààm m ssốố ³ 2 y x

x

 

 lluôuônn nngghịhịchch bbiếiếnn ttrrêên n ttậậpp xxáác c đđịịnnhh ^^/

 

^² . .

(6)

---

  HHààm m ssốố y x²2x6nnghghịcịchh bbiiếến n ttrrênên kkhhooảnảng g



^^;1



. .

  HHààm m ssốố yx²ngnghịhịchch bbiếiếnn ttrrêên n kkhhoảoảngng



^^;0



. .

8.8. HàHàmm sốsố ^y^ ^{f x}

 

^đ^đ^ơn^ơⁿ^đi^đ^iệ^ệu^u^tr^t^rê^êⁿⁿ ^t^tậ^ập^p ^xá^x^á^c^c ^đ^đị^ịnⁿ^h^h^D^D^t^t^ức^ứ^c^là^l^à^hà^h^à^m^m^s^số^ố^y^ ^{f x}

 

^^...^xá^x^á^c^c ^đ^đị^ịnⁿ^h,^h^,^li^lîê^ênⁿ ^tụ^t^ụ^c,^c^,^h^hôặô^ặc^c

đồđồnngg bbiiếến,n, hhooặcặc nnghghịcịchh bbiiếếnn ttrrênên ttậpập xxácác đđịnịnh.h. TThhí í ddụụ ccáácc hhààm m ssốố ssaauu llàà đđơnơn đđiiệuệu

  HHààm m ssốố yx³4xluluônôn đđồnồng g bbiiếếnn ttrrêên n . .

 HHààm m ssốố ² 3 y x

x

 

 lluuônôn đđồồnngg bbiếiếnn ttrrêên n ttậập p xxáác c đđịịnnhh ^^/

 

^³ ^.^.

  HHààm m ssốố ³ 2 y x

x

 

 lluôuônn nngghịhịchch bbiếiếnn ttrrêên n ttậậpp xxáác c đđịịnnhh ^^/

 

^² ^.^.

  HHààm m ssốố yx⁷4x³x²7x2 lluuônôn đđồồnng g bbiiếếnn ttrrêên n . .

9.9. HàHàmm sốsố cchẵhẵn n llà àhàhàm m ssốố ^y^ ^{f x}

 

^th^t^hỏ^ỏ^a^a^mã^m^ãnⁿ ^f



^^x



^ ^{f x}

 

^,^{ }^x ^D^,^,^h^hà^àm^m^số^s^ố ^ch^c^hẵ^ẵnⁿ ^có^c^ó ^đồ^đ^ồ^t^t^hị^h^ịⁿ^nh^hậ^ậⁿⁿ^t^t^rụ^r^ụ^c^c

tutungng OOyy llàà ttrụrục c đđốối i xxứứngng. . 1

100. . HHààmm ssố ố llẻẻ làlà hhàmàm ssố ố ^y^ ^{f x}

 

^th^t^h^ỏa^ỏ^a^mã^m^ãnⁿ ^f



^^x



^ ^{f x}

 

^,^{ }^x ^D^,^, ^đồ^đ^ồ^th^t^h^ị^ị ^hà^h^à^m^m ^số^s^ố ^lẻ^l^ẻ^t^t^ồn^ồⁿ^tạ^t^ạⁱⁱ ^tâ^t^â^m^m ^đố^đ^ốⁱⁱ

xứxứnngg. .

1111. . HHààmm ssốố đđơơnn ggiiảản n ykconstđưđượcợc ggọiọi llà à hhààm m ssốố hhằằnng,g, đđồồ tthhị ị ccủủa a hhàmàm ssốố ssoonngg ssoonngg vvớiới ttrrụcục hhoàoànnhh OxOx.. MMiinhnh hhọaọa qquaua đđưườờngng tthhẳnẳng g y3.

1212. . GGốốcc ttọọaa đđộ ộ llàà OO ((00;;00)), , pphưhươơngng ttrrììnnh h hhaai i ttrrụục c ttọọaa đđộộ

  TTrrụục c ddọọc c –– TTrrụục c ttuunngg –– OOyy :: x0. .

  TTrrụục c nngganang g –– TTrrụục c hhooànànhh –– OOxx:: y0. .

NhNhưư vvậyậy, , ccóó tthhể ể nnóóii ccááchch kkháhác:c: TTrrụụcc ttunungg llàà ttậậpp hhợợpp ccáác c đđiểiểmm ccóó hhooànành h đđộ ộ bbằnằngg 00,, ttrrụụcc hhooàànnhh llàà ttậậpp hợhợpp ccáácc đđiiểểm m ccó ó ttuungng đđộộ bbằnằng g 00..

1313. . TTrronong g mmặặtt pphẳhẳnngg ttọọaa đđộ ộ OOxxyy, , đđiểiểm m MM ((aa;;bb)) đđượượcc hhiiểểu u nnhhư ư ssaauu:: MM ccóó hhooànànhh đđộộ bbằằnng g aa, , MM ccóó ttuunng g đđộộ bằbằnngg bb,, xxácác đđịịnnh h đđiiểmểm MM bbằnằng g ccááchch ttìmìm ggiiaao o ccủaủa ccáácc đđưườờnng g xa y; b. .

ThThí í ddụụ đđiiểểm m MM ((33;4;4)). .

1414. . ĐĐiiểểmm MM ((x;x;yy) ) tthhỏỏaa mmããnn pphhươươnng g ttrrììnhnh ^y^ ^{f x}

 

ththìì MM tthhuuộộc c đđồồ tthịhị hhàmàm ssốố ^y^ ^{f x}

 

,, vvàà nnggượượcc llạạii..

(7)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7 1515.. HHààmm ssốố đđơơnn ggiiảảnn ^y^^ax



^a^⁰



^c^c^ó^ó^đ^đồ^ồ^t^th^hị^ị^l^l^à^à^m^mộ^ột^t^đ^đư^ườ^ờn^ng^g^t^th^hẳ^ẳ^ngⁿ^g^đ^điⁱ^q^quûaâ^g^g^ốc^ố^c^t^t^ọa^ọâ^đ^đ^ộ.^ộ^.

ThThí í ddụụ đđồồ tthịhị hhàmàm ssốố ⁴

y3xđiđi qquaua ggốcốc OO vvàà MM ((33;;44).).

1616. . HHààmm ssốố bbậậcc nnhấhấtt ^y^^{ax b}^



^a^⁰



^x^x^ác^á^c^đ^đ^ịn^ịⁿ^h^h^v^vớ^ớiⁱ^m^mọ^ọⁱⁱ^x^x^t^th^hự^ự^c,^c^,^t^tứ^ức^c^l^l^à^à^t^tậ^ập^p^x^xá^á^c^c^đ^đị^ịn^nh^h ^D^^^.^.

1717. . ĐĐồồ tthhịị ((dd)) ccủủaa hhàmàm ssốố bbậậcc nnhhấấtt llàà mmộột t đđưườnờngg tthẳhẳngng ccó ó ccáác c đđặặcc đđiiểểmm:: CCắắtt ttrrụụcc ttunung g ttạạii đđiiểmểm ((0;0;bb)),, ccắắt t trtrụục c hhooàànnhh ttạạii đđiiểmểm b; 0

a

 

 

 . . KKhhii đđóó bb đđưượợcc ggọọii llàà ttuunng g đđộộ ggốốc c ccủủa a đđưườờnngg tthhẳẳngng ((dd)).. 1818. . CCáácchh vvẽẽ đđồồ tthhị ị hhààm m ssố ố bbậậc c nnhhấtất

 TTậậpp xxáácc đđịịnnh h D. .

  SSựự bbiếiếnn tthihiêên:n: HHààm m ssốố đđồồngng bbiếiếnn ttrrêênn (h(hoặoặc c nngghhịịcchh bbiếiếnn ttrrêên n ),), ttùùy y tthheeoo ddấuấu ccủaủa hhệ ệ ssốố aa..

  BBảảngng ggiáiá ttrrị,ị, ccóó hhaaii kkiểiểuu bbảảnngg ttùùy y tthheeoo ggiiaao o đđiiểểmm nngguyuyênên hhayay ggiiaao o đđiiểểmm hhữữuu ttỷỷ.. TThhí í ddụ ụ đđốiối vvớiới hhààm m ssốố ¹ 1

y3x ccóó hhaaii kkiiểểuu bbảảnngg x

x 0 0 1

3

3 1

y x 1 1 00

ĐĐồồ tthhịị hhààm m ssốố đđii qquuaa hhaiai đđiểiểmm ((00;0;0)) vvà à ((–– 11//33;;00) ) HHooặặcc

x x 0 0 11

3 1

y x 1 1 44

ĐĐồồ tthhịị hhààm m ssốố đđii qquuaa hhaiai đđiểiểmm ((00;0;0)) vvà à ((11;;44).).

  ĐĐồồ tthịhị..

(8)

---

ĐĐồồ tthhị ị hhààm m ssốố kkhôhôngng đđưượợcc vvưượợtt qquáuá hhaiai ttrrụục c ttọọa a đđộộ.. CCáác c kkýý hhiiệệuu xx vvà à yy vviếiết t bbêên n ttrrêênn hhooặặcc bbêênn ddưướiới ccáácc ttiaia,, ttuyuyệệtt đốđối ikkhôhôngng vưvượợtt trtrưướcớc mmũũi iccủaủa titiaa.. ThThựựcc tếtế,, trtronong g qquuy ytrtrììnnh h sựsự bibiếến n ththiiêênn còcònn cầcần n cócó bảbảngng bbiếiếnn tthihiêên,n, vấvấnn đđềề nnyyyy, ,khkhi ititiếếpp cậcận nchchươươnng gtrtrììnnhh ĐĐạạii ssốố 1010,, cácác cbạbạnn sẽsẽ llààmm qqueuen nvàvà vvậnận ddụụnng gtốtốt thơhơnn đđếế xửxử llýý nnhihiềềuu bbààii ttooáánn ggiiáá ttrịrị llớớnn nnhhấtất,, ggiiáá ttrrịị nnhỏhỏ nnhhấấtt..

1

199. . HHààmm ssốố bbậcậc nnhấhất t ^y^^{ax b}^



^a^⁰



^có^c^ó^đ^đ^ồ^ồ ^th^t^h^ị^ị ^là^l^à^đ^đ^ườ^ư^ờnⁿ^g^g ^th^t^h^ẳn^ẳⁿ^g^g ^(d⁽^d⁾⁾ ^th^t^h^ì^ì ââ ^đ^đ^ượ^ư^ợc^c^g^g^ọi^ọⁱ ^l^l^à^à ^hệ^h^ệ^số^s^ố^g^g^óc^ó^c ^củ^c^ủaâ

đ

đưườờnngg ththẳẳngng ((d)d),, hhơnơn nnữaữa atan, , vvớiới  llàà gógóc ctạtạoo bbởiởi đưđườnờngg tthhẳẳngng ((d)d) vvàà titiaa OxOx – – cchhiiềềuu ddươươnng g củcủa a ttrrụụcc OOxx,, ggóóc c llấấy y tthheoeo qquyuy ưướớcc llưượnợngg ggiiáác c ttứứcc llàà nnggưượợcc cchhiiềuều kkimim đđồồnngg hhồ ồ ttíínnhh ttừừ ttiaia OOxx..

  ĐĐưườờngng tthhẳẳnngg ((dd) ) ttạạo o vvớới i ttiiaa OOxx ggóóc c  nhnhọọnn kkhihi tan 0a0. .

  ĐĐưườờngng tthhẳẳnngg ((dd) ) ttạạo o vvớới i ttiiaa OOxx ggóóc c  tùtù kkhihi tan0a0. .

2020. . HHaaii đđưườờnngg tthhẳẳngng ¹

2

: :

d y ax b d y cx d

 



 



ssoonng g ssoonngg kkhhii vvà à cchỉhỉ kkhihi ^a ^c b d

 

 



CáCácc bạbạnn lưlưu u ý ý đưđưa a đưđườnờngg tthẳhẳngng từtừ ddạnạng g mxnyp0vvềề dạdạnngg yax b đểđể xáxácc đđịịnnh h đúđúngng hhệệ sốsố gógócc..

2

: :

d y ax b d y cx d

 



 



vvuuôôngng ggóóc c kkhhi i vvàà cchỉhỉ kkhihi ac 1..

CáCácchh ggọiọi qqueuen nththuuộộc clàlà TTÍÍCCHH HỆHỆ SỐSỐ GÓGÓCC BBẰẰNNGG – –1.1. CáCác cbạbạn nđọđọc cgigiảả lưlưuu ýý đđưưaa đđườườnng gththẳẳngng ttừ ừ dạdạnngg nngguuyêyên n tthhủyủy mxnyp0vềvề ddạạngng yax b đểđể xxáácc đđịịnnh h đđúúnng g hhệệ ssốố ggócóc..

2

: :

d y ax b d y cx d

 



 



c

cắắtt nnhahau u kkhhi i ac. .

2

: :

d y ax b d y cx d

 



 



ttrrùùnngg nnhahau u kkhhi i ^a ^c b d

 

 



CáCácc bạbạnn lưlưu u ý ý đưđưa a đưđườnờngg tthẳhẳngng từtừ ddạnạng g mxnyp0vvềề dạdạnngg yax b đểđể xáxácc đđịịnnh h đúđúngng hhệệ sốsố g

góócc..

2424.. BBaa đưđườờnng g tthhẳnẳng gđồđồngng ququy ykhkhi ichchúúnngg cùcùnngg đđi iququa amộmộtt đđiểiểmm,, mởmở rộrộngng cchoho nn đđưườờnngg ththẳnẳng gđồđồnngg qquyuy khkhii cchúhúngng cùcùngng đđi iqquaua mộmộtt điđiểểmm M.M. CáCácc bạbạn n nênên nttìmìm gigiaaoo điđiểmểm M Mccủaủa hahai iđđườườnng g ththẳẳngng đơđơnn ggiiảảnn trtrưướcớc rrồồi i ssaau u đđóó cchhoo đđưườờnngg tthẳhẳnng g pphhứứcc ttạpạp hhơnơn đđi i qquua a MM đđãã ttììm m đđượượcc. .

2

255. . ĐĐưườờnngg tthhẳẳnngg ((dd)) bbấtất kkỳ ỳ đđi i qquuaa đđiiểểm m M x y



0; 0



vàvà ccóó hhệ ệ ssốố ggóócc bbằằngng kk

(9)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9



0



0

:

d y  k x  x  y

2626. . BBààii totoáán nđiđiểểm m ccốố đđịnịnh hM M(x(x;y;y)) ccủaủa mộmộtt hhọọ đđườườnng gththẳẳnngg cchứhứaa tthhaamm ssốố mm.. KhKhii đóđó ttaa ccònòn nnóóii đđiiểểmm MM (x(x;y;y)) làlà đđiểiểmm cốcố địđịnnh h mmàà đđườườnng gththẳnẳng gluluôônn điđi qquaua vớvớii mmọọi igigiáá trtrịị củcủaa m,m, hohoặặcc gọgọi ilàlà đđiiểểm mmmàà mmọọi i đưđườờnngg tthẳhẳngng luluôônn xxooayay qquauannhh vvớiới mọmọii gigiá á trtrịị m.m. CChhúnúng g tata pphảhải i đưđưa a phphươươnng g trtrììnhnh đđườườnngg ththẳẳngng ngnguuyyêênn ththủủy y vvề ề ddạnạng g ^{mf x y}



^;



^^{g x y}



^;



^⁰^,^, ^rõ^r^õ ^rà^r^àn^ng^g ^đi^đîề^ềûû ^k^kîệⁱ^ệnⁿ ^ti^tîê^êⁿⁿ ^q^qûyû^yế^ết^t ^ch^c^hí^í^nhⁿ^h^l^là^à^mọ^m^ọiⁱ^vị^v^ị ^tr^t^rí^í ^c^ch^hứ^ứaâ

ththamam ssốố mm đđềều u ccùùngng ssố ố mmũũ,, nnếếu u kkhhônông g tthhì ì kkhhônôngg ttồồn n ttạại i đđiiểmểm ccốố đđịnịnhh. .

  ymx2m4x5, , mm ccùùngng ssố ố mmũũ 11,, ttồồn n ttạại i đđiiểểmm ccố ố đđịnịnhh. .

  ^{m y}² ^



^m²^³



^x^²^m²^⁶^,^,^m^m^c^cù^ùn^ng^g^s^s^ố^ố^m^mũ^ũ²^2,^,^t^tồ^ồⁿⁿ^t^tạ^ạⁱⁱ^đ^đi^iể^ể^m^m^c^c^ố^ố^đ^đị^ịn^nh^h^.^.

  mym x² 2m7x6, , mm kkhhácác ssố ố mmũũ ((22 vvàà 11)),, kkhhôôngng ttồồnn ttạạii đđiểiểm m ccốố đđịịnhnh..

  m y³ m x² 2m7mx12,, mm kkháhác c ssốố mmũũ ((33,, 22 vvà à 11)), , kkhhôôngng ttồnồn ttạiại đđiiểểmm ccốố đđịnịnh.h. ThThíí ddụ:ụ: TTììmm đđiiểểm m ccốố đđịịnnhh mmàà đđườườnngg tthhẳnẳng g dm^:y²



m¹



x m ¹luluônôn đđii qquua a vvớớii mmọọi i ggiiáá ttrrịị ccủủaa mm..

GiGiảả ssử ử M x y



0; 0



làlà đđiiểểm m ccốố đđịịnnhh mmàà đđưườờnngg tthhẳẳnng g dm^:y²



m¹



xm¹luluônôn đđii qquaua vvớiới mmọọii ggiiá á ttrrị ị mm.. KhKhii đđóó

 

0 0

0 0 0

0 0

0

2 1 1,

2 2 1 0,

2 1 2 1 0,

2 1 0 1 1

2 ; 2

2 1 0 2

2

y m x m m

mx x m y m

m x x y m

x x

x y M

y

     

       

    

   

          



VậVậy y ¹; 2 M 2 

 

 

 làlà đđiểiểmm ccốố đđịnịnh h mmàà hhọọ đđưườờnngg tthhẳẳnng g đđãã cchho o lluuônôn lluuôôn n đđii qquaua. .

LưLưuu ýý ccáác c bbạạnn đđộcộc ggiiảả ccóó tthhểể ggọọii đđơơnn ggiiảản n đđiểiểmm MM ((xx;y;y)) đđể ể ttrráánnh h ttrrùnùng g vvớiới ggốốc c ttọọaa đđộ ộ OO ccũũnngg đđượượcc bbiiểểuu tthhịị



0; 0



O x y , , hhơơnn nữnữaa tạtạii cácácc vịvị trtríí  m cócó ththể ể titiểuểu titiếếtt hơhơnn nữnữa a bằbằngng lờlờii ddẫnẫn ““lluuônôn đúđúnngg vvớớii  m ”.”. ĐiĐiểểm mcốcố địđịnhnh nànày y làlà mộmột t đđiiểểm mgigiữữ vavaii trtròò ququaann ttrọrọnng,g, làlà bbướướcc đệđệm mứnứng gddụnụngg trtroongng cácác c bàbài ittoáoánn kkhohoảảnngg ccácách hllớnớn nhnhấất t từtừ mộmột tđđiểiểm mđếđến n mộmột t đđưườờnng g ththẳẳngng bấbấtt kỳkỳ (d(dĩ ĩ nnhhiiênên làlà pphảhảii tồtồn n ttạạii điđiểmểm ccố ố địđịnnh)h), ,bàbài itotoáánn bbiệiệnn lluuậận nsốsố ngnghhiệiệm mccủaủa pphưhươơnngg ttrrìnìnhh bbằằnngg đđồ ồththị,ị, bbàiài ttooáánn đưđườờngng tthhẳnẳng gchchiaia mmặặtt pphẳhẳngng ttọaọa đđộ ộththàànnhh hahai i nnửaửa mmặặtt pphẳhẳngng tthheeo o yyêêu u ccầầuu cchhoo ttrrướướcc. .

2727. . ĐĐốốii vvớớii ccáácc đđiiểểm m nnằmằm ttrrêên n hhaaii ttrrụụcc ttọọa a đđộộ,, cchúhúnng g ttaa ccóó kkhhoảoảngng ccácách h đđượượcc ttínínhh nnhưhư ssauau

M M

M Ox OM x

M Oy OM y

   

   



2828.. VVịị ttrríí ccácác ggóócc pphầhần n ttưư llưượợnng g ggiiáác c vvàà đđưườờnngg pphâhânn ggiiáácc ccáác c ggócóc pphầhầnn ttưư ttrroonng g mmặặtt pphẳhẳngng ttọọaa đđộ.ộ.

(10)

---

CáCácc gógóc c pphầhần n ttưư đđượượcc đđánánhh ssố ốLaLa MMãã II, , IIII, ,IIIIII, , IIVV ttíínhnh tthheoeo cchhiềiều u nngưgượcợc chchiiềuều kkiim mđồđồnngg hhồồ vvà à ttíínnhh từtừ pphảhải i ssaanng g ttrrááii,, ddấấu u ccủủaa hhoàoànnh h đđộ,ộ, ttuunng g đđộ ộ ccủủa a ccáácc đđiiểmểm tthhuuộộcc ttừừnng g ggóóc c tthhể ể hhiiệệnn ttrêrênn hhììnnhh vvẽ.ẽ.

 M M ((x;x;yy) ) tthhuộuộc c ggóóc c pphhầnần ttưư tthhứ ứ nnhhấtất ((kkhôhôngng ttíínnh h bbiiêênn) ) kkhhii ⁰ 0 x y

 

 



  M M ((x;x;yy) ) tthhuộuộc c ggóóc c pphhầnần ttưư tthhứ ứ IIII ((kkhhôôngng ttíínnh h bbiêiênn) ) kkhhii ⁰ 0 x y

 

 



 M M ((x;x;yy) ) tthhuộuộc c ggóóc c pphhầnần ttưư tthhứ ứ IIIIII ((kkhhônôngg ttíínhnh bbiêiênn)) kkhhi i ⁰ 0 x y

 

 



  M M ((x;x;yy) ) tthhuộuộc c ggóóc c pphhầnần ttưư tthhứ ứ IIVV ((kkhhônông g ttíínnhh bbiêiênn) ) kkhhii ⁰ 0 x y

 

 



  ChChúú ýý nnếuếu mmộột t đđiiểểmm nnằằm m ttrroonngg ggóóc c pphhầnần ttưư mmàà yyêêu u ccầầu u ccảả bbiiêên n ccầnần ccó ó ddấấuu bbằằnngg ttrroongng ccáácc hhệệ tthhứứcc phphííaa ttrrêênn. .

  PhPhươươnng g ttrrììnnhh đđưườờnngg pphhâân n ggiiáácc ccủủaa ggócóc pphầhần n ttưư tthhứứ nnhấhất t ((ttrrùùnngg vvớớii ggócóc pphhầần n ttưư tthhứứ IIIIII)) llàà yx.

  PhPhươươnng g ttrrììnnhh đđưườờnngg pphhâân n ggiiáácc ccủủaa ggócóc pphầhần n ttưư tthhứứ IIII ((ttrrùùnngg vvớớii ggócóc pphhầầnn ttưư tthhứứ IIVV)) llàà y x.

2929. . BBààii ttooáánn ddiiệnện ttíícch h ttaamm ggiiáácc ttạạoo bbởởi i đđồồ tthhị ị hhààmm ssốố bbậậc c nnhấhấtt ((dd) ) vvớiới hhaiai ttrrụục c ttọọa a đđộ ộ ((didiệệnn ttícíchh ttaam m ggiiáác c tạtạo o bbởởii ((d)d) cchắhắnn hhaaii ttrrụục c ttọọa a đđộộ).).

(11)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) đđi i qquua a ggốốc c ttọọa a đđộ,ộ, ttììmm tthhaam m ssố,ố, llooạại.i.

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục hhoàoànhnh, , ttììmm tthhaam m ssốố, , llooạạii. .

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục ttuunng,g, ttììmm tthaham m ssốố,, llooạại.i.

 NgNgooààii bbaa kkhhả ả nnăăngng ttrrêênn,, xxéétt đđiềiềuu kkiiệệnn tthhamam ssốố vvàà tthhựựcc hhiiệệnn qquuy y ttrrìnìnhh ::

  GGọọii AA llàà ggiaiao o đđiiểểmm ccủaủa ((dd)) vvớớii ttrrụcục OOyy,, AA tthỏhỏaa mmããn n



^0;



0 ^A

y ax b

A b OA y b

x

 

    

 



..

  GGọọii BB llàà ggiaiao o đđiiểểmm ccủaủa ((dd)) vvớớii ttrrụcục OOxx,, BB tthỏhỏaa mmããn n

0 ; 0 ^B

y ax b b b b

B OB x

y a a a

 

  

      

   



..

  DDiiệện n ttíícchh ttaam m ggiiáácc OOAABB ((VVuuôônngg ttạạii OO)) đđưượợcc ttíínnhh bbởởii

1 1 2

. . .

2 2 2

OAB

b b

S OA OB b

a a

   . .

  LLưưuu ýý llààm m ccẩẩn n tthhậnận bbàiài ttooáánn đđưườờnngg tthẳhẳnng g ccắắtt hhaiai ttrrụụcc ttọọaa đđộ ộ ttạạo o tthhànành h mmộộtt ttaam m ggiáiácc tthhỏỏa a mmããnn

 CóCó ddiiệnện ttííchch cchoho ttrrưướớcc..

 CóCó ddiiệnện ttííchch llớnớn hhơơnn,, nnhhỏỏ hhơơnn mmộột t ssốố cchoho ttrưrướớcc..

  CóCó ddiiệnện ttííchch tthuhuộcộc mmộộtt kkhhoảoảnngg ggiáiá ttrrịị nnàào o đđóó..



 CóCó ddiiệnện ttííchch ggấpấp kk llầầnn ddiiệnện ttíícchh mmộộtt hhììnnh h pphẳhẳngng nnàoào đđóó..

3030. . BBààii ttoáoán n vvề ề đđộ ộdàdàii ccạạnnhh ttaam m ggiiáácc tạtạoo bbởởi i đđồồ tthhịị hhààm m ssố ố bbậcậc nnhhấtất ((dd)) vvớiới hhaiai ttrrụục c ttọaọa đđộộ ((đđộộ dàdàii ccạạnhnh tatam m ggiiáácc ttạoạo bbởiởi ((dd) ) cchhắnắn hhaiai ttrrụụcc ttọaọa đđộộ)). .

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) đđi i qquua a ggốốc c ttọọa a đđộ,ộ, ttììmm tthhaam m ssố,ố, llooạại.i.

  XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục hhoàoànhnh, , ttììmm tthhaam m ssốố, , llooạạii. .



^0;



0 ^A

y ax b

A b OA y b

x

 

    

 



..

  GGọọii BB llàà ggiaiao o đđiiểểmm ccủaủa ((dd)) vvớớii ttrrụcục OOxx,, BB tthỏhỏaa mmããn n

0 ; 0 ^B

y ax b b b b

B OB x

y a a a

 

  

      

  

  

 ..

  YYêêu u ccầầu u OA kOB b k ^b ^b ⁰ a k a k

a

 

      

 

..

(12)

---

  YYêêu u ccầầu u bbàài i ttooáánn ccóó ttỷỷ llệệ ccáác c ccạạnhnh llà à m n: : m²n² , , tthhựcực ttế ế pphhù ù hhợpợp vvớớii đđịịnnh h llýý PPyytthhaaggooreress. .



 ĐặĐặtt đđộ ộ ddàài i hhaai i ccạạnnh h ggócóc vvuuôônngg llàà mm vvàà nn tta a ccóó ccạạnnhh ddàiài nnhhấấtt ((cạcạnhnh hhuyuyềềnn) ) llàà

2 2

m n . .

 TỷTỷ llệệ hhaiai ccạạnnhh ggóóc c vvuuôônngg llàà

. :

OA m b m b a m

OB n n a n

m n OB m b m n

b a

ON n a n m

     

 

  

     

 

  

  LưLưuu ýý bbàiài ttooánán ttỷỷ llệệ hhaaii ccạạnnh h ggóócc vvuôuôngng bbằnằng g mmộộtt ssố ố cchho o ttrrướướcc..



 LưLưuu ýý bbàiài ttooánán ttỷỷ llệệ hhaaii ccạạnnh h ggóócc vvuôuôngng tthhuuộcộc mmộộtt kkhhooảảnng g cchhoo ttrrưướớcc. .

3131. . BBààii ttooáánn vvềề ggóócc ccủủaa ttaam mgigiáác c ttạoạo bởbởii đđồồ tthhịị ((dd) ) ccủủaa hhàmàm ssốố bbậcậc nnhấhấtt vớvớii hhaiai ttrrụục c ttọọaa đđộ ộ ((ccáác c ggócóc ccủủa a tatam m ggiiáácc ttạoạo bbởiởi ((dd) ) cchhắnắn hhaiai ttrrụụcc ttọaọa đđộộ)). .



 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) đđi i qquua a ggốốc c ttọọa a đđộ,ộ, ttììmm tthhaam m ssố,ố, kkếếtt lluuậận n ggóócc..

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục hhoàoànhnh, , ttììmm tthhaam m ssốố, , llooạạii. .

  ^ tan^ tan OA tan tan

ABO ABO a

  OB  

       . .

  ^ tan^ tan OA tan tan

ABO ABO a

  OB  

       . .

  ^ tan tan^ tan tan OA tan tan tan

ABO ABO a

          OB        ..

  GóGócc OAB^ththựcực hhiệiệnn ttưươơnng g ttựự, , ttrránánhh xxaa vviệiệc c ssửử ddụnụngg hhệệ ssốố ggóócc đđể ể kkhhônông g bbị ị tthhiiếuếu ttrưrườờnng g hhợợpp.. 3232.. BBààii ttooánán vvề ề kkhohoảảngng ccáácch h ttừừ ggốốcc ttọọaa đđộộ OO đđếếnn đđồ ồ tthhịị ((dd)) ccủaủa hhàmàm ssốố bbậậcc nnhhấấtt

TrTrướướcc titiêênn tata phphảiải xéxétt trtrườườnng ghhợpợp đưđườờnngg ththẳẳnngg (d(d)) sosonng g sosongng vớvớii hhaiai trtrụục c ttọọaa độđộ, ,vìvì lúlúc c nànày ycchưhưa a chchắcắc cchhắắnn 11000%0% đđồ ồththị ịhàhàmm sốsố đđã ãcắcắt t hhaaii ttrrụụcc ttọọaa đđộ ộhahay y kkhhôônng,g, hhơnơn nnữaữa dùdù kkhhôônngg ccắtắt hhaiai trtrụcục tọtọa a độđộ ttaa vvẫẫn n ccóó kkhhoảoảngng ccácách h bbììnnhh tthưhườờngng.. NNếếuu bbỏỏ qquaua ssẽ ẽ bbịị mmấất t đđếếnn hhaai i ttrrưườnờngg hhợợpp, , nngguuy y hhiểiểm m  . .

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) đđi i qquua a ggốốc c ttọọa a đđộ,ộ, ttíínnhh kkhhoảoảnngg ccáácch h ttừừ OO đđếến n dd..

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục hhoàoànhnh, , ttíínnhh kkhhooảnảng g ccááchch ttừ ừ OO đđếếnn dd..

 XéXétt ttrrưườờnng g hhợợpp ((dd)) ssonong g ssoongng vvớiới ttrrụcục ttuunng,g, ttíínnh h kkhhoảoảngng ccácách h ttừừ OO đđếến n dd..

(13)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 13



^0;



0 ^A

y ax b

A b OA y b

x

 

    

 



..

  GGọọii BB llàà ggiaiao o đđiiểểmm ccủaủa ((dd)) vvớớii ttrrụcục OOxx,, BB tthỏhỏaa m

mããnn ; 0

0 ^B

y ax b b b b

B OB x

y a a a

 

  

      

  

  



. .

 KKẻẻ OOHH vvuôuôngng ggóócc vvớớii AABB ((HH tthhuộuộc c AABB))..

  ÁÁpp ddụnụng g hhệ ệ tthhứứcc llưượợnngg ttroronng g ttaam m ggiáiácc vvuuôôngng AAOOBB ((vvớớii OH  AB) ) ttaa ccóó

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1

a a b b

OH OH

OH OA OB b b b a a

         

  ..

  YYêêu u ccầầu u kkhhoảoảngng ccáácch h ttừừ ggốcốc ttọọaa đđộ ộ OO đđếếnn ((dd)) bbằằnngg mmộộtt kkhohoảnảng g ss cchoho ttrưrướớcc cchhẳnẳngg hhạạnn

2

2 2 2

2 1

OH s OH s b s

    a 



  YYêêu u ccầầu u kkhhoảoảngng ccáácch h ttừừ ggốcốc ttọọaa đđộ ộ OO đđếếnn ((dd)) tthhuuộộcc mmộột t kkhhoảoảngng ggiáiá ttrịrị cchho o ttrrướướcc

 

2

2 2 2 2 2

; 2

1

OH m n m OH n m b n

     a 

 . .

3333. . BBààii ttooánán vvề ề kkhohoảảngng ccáácch h llớớnn nnhhấtất ttừừ ggốốcc ttọọaa đđộộ OO đđếến n đđồồ tthhịị ((d)d) ccủaủa hhààm m ssốố bbậcậc nnhhấấtt

ĐốĐối i vvớớii bbàiài ttooáánn nnàày,y, cchúhúnngg ttaa ccó ó hhaiai pphhưươnơngg áánn llựựaa cchhọnọn: : XXââyy ddựựnngg ccôônngg tthhứức c kkhhooảảnngg ccááchch ttừừ ggốcốc ttọọa a độđộ OO đếđến nđưđườnờngg ththẳẳngng (d(d)) hhoặoặc csửsử ddụụnng gđiđiểmểm cốcố địđịnnh hkếkếtt hhợpợp ququaann hệhệ đđườườnng gxixiênên –– hhììnnh hcchihiếếu utrtroongng tatamm ggiiáácc vvuuôôngng..

TrTrưướớcc ttiiêên n ttaa pphảhải i xxétét ttrrưườnờngg hhợợpp đđườườnngg tthhẳnẳng g ((dd)) ssoongng ss