Các Bài Toán Thực Tiễn Phần 2 Luyện Thi THPT QG

(1)

TRẮC NGHIỆM NHỮNG BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ 2 GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

Câu 1 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 1) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm  240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) :

 Cách1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số k =

2 1

V V . A. k =

2

1 B. k = 1 C. k = 2 D. k = 4

Câu 2 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 1)

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đạy để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp có thể tích lớn nhất.

A. x = 6 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 4

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và có độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1 m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (số tiền làm tròn đến hàng nghìn)

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Câu 4 : Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

3 500 m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng/m². Khi đó kích thước của hồ nước để chi phí thuê nhân công thấp nhất là :

(2)

A. Chiều dài 20 m, chiều rộng 10 m, chiều cao 6 5 m.

B. Chiều dài 30 m, chiều rộng 15 m, chiều cao 27 10 m.

C. Chiều dài 10 m, chiều rộng 5 m, chiều cao 3 10 m.

D. Chiều dài 8 m, chiều rộng 4 m, chiều cao 6 25 m.

Câu 5 : Người ta bỏ 3 trái bóng bàn cùng kích thước vào trong một cái hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của trái bóng bàn và có chiều cao bằng ba lần đường kính trái bóng bàn. Gọi Sb là tổng diện tích ba trái bóng bàn, St là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số

t b

S S .

A. 2 B. 1 C. 1,5 D. 1,2

Câu 6 : Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Chiều cao x của khối nón này là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h ?

A. 3

x h B.

2 x  h

C. 3

h

x 2 D.

3 3 x  h

Câu 7 : Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150m³ (như hình vẽ). Đáy làm bằng bê-tông, thành làm bằng tôn và nắp đậy bồn làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê-tông 100 nghìn đồng một m³, tôn 90 nghìn đồng một m² và nhôm 120 nghìn đồng một m².

A. 15037000 đồng B. 15038000 đồng

C. 15039000 đồng D. 15040000 đồng

Câu 8 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 1) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. m =

 

3 01 , 1 .

100 ³ (triệu đồng) B. m =

 

¹^,⁰¹¹^,⁰¹³ ¹

3

 (triệu đồng) C. m =

3 03 , 1 .

100 (triệu đồng) D. m =

 

1,12 1 12 , 1 . 120

3 3

 (triệu đồng)

Câu 9 : Ông B muốn mua một ngôi nhà trị giá 500 triệu đồng sau 3 năm nữa. Biết rằng lãi suất hàng năm không đổi là 8% một năm. Vậy ngay từ bây giờ số tiền ít nhất ông B phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép để có đủ tiền mua nhà (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu ?

A. 397 triệu đồng B. 396 riệu đồng C. 395 triệu đồng D. 394 triệu đồng

Câu 10 : Anh A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng B. Lãi suất hàng năm không thay đổi là 7,5%/năm. Nếu anh A hằng năm không rút lãi thì sau 5 năm số tiền anh A nhận được cả vốn lẫn tiền lãi (kết quả làm tròn đến hàng ngàn) là :

A. 143563000 đồng B. 2373047000 đồng C. 137500000 đồng D. 133547000 đồng

(3)

Câu 11 : Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

A. 81,412 triệu B. 115,892 triệu C. 119 triệu D. 78 triệu

Câu 12 : Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức ^S^^A



¹^^r



ⁿ, trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và N là số kỳ hạn gửi. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 10 năm B. 11 năm C. 12 năm D. 9 năm

Câu 13 : Ông A gửi vào ngân hàng 100 triệu, lãi suất ngân hàng là 6,25% một năm với kì hạn là 6 tháng, nhận lãi cuối kì, lãi không kỳ hạn là 1% một năm. Hỏi sau 8 tháng ông rút ra số tiền là bao nhiêu?

A. 103.296.800 (đồng) B. 103.296.578 (đồng) C. 103.296.758 (đồng) D. 103.296.875 (đồng) Câu 14 : Một số tiền 58000000 đồng gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61329000 đồng. Tìm lãi suất hàng tháng?

A. 0,6% B. 0,65% C. 0,7% D. 0,75%

Câu 15 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 2) Một vật chuyển động theo quy luật t³ 9t²

2

s1  , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 216 (m/s) B. 30 (m/s) C. 400 (m/s) D. 54 (m/s)

Câu 16 : Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

A. 0,2 m B. 2 m C. 10 m D. 20 m

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s(0).2^t, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?

A. 48 phút B. 19 phút C. 7 phút D. 12 phút

Câu 18 : Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức f(x) = A.e^rx, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), x (giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Số lượng vi khuẩn tăng gấp 25 lần sau khoảng thời gian là :

A. 50 giờ B. 25 giờ C. 15 giờ. D. 20 giờ

Câu 19 : Tỉ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030, dân số của Việt Nam là :

A. 107232573 người B. 107232574 người C. 198049810 người D. 106118331 người

Câu 20 : Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức S = A.e^r.t, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn ?

A. 900 con B. 800 con C. 700 con D. 1000 con

Câu 21 : Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutôni P_u²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng P_u²³⁹ sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức SA.e^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam P_u²³⁹ sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Câu 22 : Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (R.Clausius) và Cla-pay-rông (E.Clapeyron) đã thấy rằng áp suất p của hợi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra

(4)

khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kính được tính theo công thức

273 t

k

10 . a

p ^ trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k  –2258,624. Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100C thì áp suất của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).

A. a  863188841,4 B. a  863188814,4 C. a  863188840,4 D. a  863188839,4

Câu 23 : Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức P(t) 100.(0,5)⁵⁷⁵⁰(%)

t



Phân tích một mẩu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẩu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Câu 24 : Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10⁵ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ ?

A. 4,8666.10⁵(m³) B. 4,8661.10⁵ (m³) C. 4,8662.10⁵ (m³) D. 4,8668.10⁵ (m³)

Câu 25 : Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam lần lượt là 78685800 người và tỉ lệ tăng trưởng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được ước tính theo công thức SA.e^Nr. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người ? (giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi)

A. 2015 B. 2017 C. 2014 D. 2016

Câu 26 : Biết rằng năm 2001 và năm 2006, dân số Việt Nam lần lượt là 78685800 người và 84155800 người.

Hỏi đến năm 2015 dân số Việt Nam là bao nhiêu người biết rằng tỉ lệ tăng trưởng r cho công thức S = A.e^r.N? (giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi).

A.  95.627.717 người B.  95.627.707 người C.  95.627.727 người D.  95.627.737 người Câu 27 : Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m² để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20 con/m² và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/m² thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

Câu 28 : Một người nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

A. n = 6 B. n = 8 C. n = 10 D. n = 12

Câu 29 : Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng là bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi.

Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín 3

1 cái hồ ?

A. 3 B.

3

10⁹ C. 9 – log3 D.

3 log

9

Câu 30 : Một lon nước soda 80ôF được đưa vào máy làm lạnh chứa đá tại 32ôF. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T(t) = 32 + 48.(0,9)^t. Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50ôF ?

A. 4 B. 1,56 C. 2 D. 9,3

---- HẾT ----

(5)

ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN THỰC TIỄN 2

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C C B C B A B B A A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A B D C D C C D B A

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án A A A A A C D D C D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 1) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm  240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) :

 Cách1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số k =

2 1

V V . A. k =

2

1 B. k = 1 C. k = 2 D. k = 4

 Hướng dẫn : chọn C

Một đường tròn có bán kính r thì có chu vi và diện tích lần lượt là C = 2r ; S = r² 

  4 S C² Gọi chiều dài tấm tôn là a thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là :

  4 S₁ a² ;

 





 







 8

a 4

2 a 2

S ²

2

2  2

V 2 V S S

2 1 2

1    . Chọn đáp án C.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đạy để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp có thể tích lớn nhất.

A. x = 6 B. x = 3 C. x = 2 D. x = 4

Thể tích của hộp là :

     

₁₂₈

27

x 2 12 x 2 12 x 4 4 x 1 2 12 x 4 4 x 1 . x 2

12 ²    ²       ³ 

Dấu bằng xảy ra khi : 4x = 12 – 2x  x = 2. Vậy x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất. Chọn đáp án C.

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và có độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1 m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (số tiền làm tròn đến hàng nghìn)

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng

(6)

 Hướng dẫn : chọn B

Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là 1 25 y 64

x²  ²  .

Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có

64 1 x 5

y   ²

Diện tích S của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = 4, đường thẳng x = 4  0dx 7653.89182

64 1 x 5 2 S

4

2  









Câu 4 : Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 500 m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng/m². Khi đó kích thước của hồ nước để chi phí thuê nhân công thấp nhất là :

A. Chiều dài 20 m, chiều rộng 10 m, chiều cao 6 5 m.

B. Chiều dài 30 m, chiều rộng 15 m, chiều cao 27 10 m.

C. Chiều dài 10 m, chiều rộng 5 m, chiều cao 3 10 m.

D. Chiều dài 8 m, chiều rộng 4 m, chiều cao 6 25 m.

Gọi chiều rộng của hồ chứa là: a ; chiều dài là: 2a và chiều cao hồ là:

 

^m

a a

h a ₂

3 250 2

. . 3

500 

 Chi phí thuê nhân công tương ứng với diện tích xung quanh và đáy của hồ:

a a a a

S 500

3 2 2 250 . 3 2 . 250 2 2

.   ₂   ₂  ² 



Aùp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: ² ² ²⁵⁰ ²⁵⁰ ³³ ²^.²⁵⁰^.²⁵⁰ ¹⁵⁰

 

^m²

a a a

S     

Dấu “=” có khi và chỉ khi a

 

m

a 250a 5

2 ²   

Vậy chiều rộng là 5 (m) ; chiều dài là 10 (m) ; chiều cao là 3 10 (m)

Câu 5 : Người ta bỏ 3 trái bóng bàn cùng kích thước vào trong một cái hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của trái bóng bàn và có chiều cao bằng ba lần đường kính trái bóng bàn. Gọi Sb là tổng diện tích ba trái bóng bàn, St là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số

t b

S S .

A. 2 B. 1 C. 1,5 D. 1,2

Gỉa sử bán kính của quả bóng bàn là: r

Tổng diện tích của 3 quả bóng bàn là: S_b3.4r²12r²

Diện tích xung quanh của hình trụ là: St2rh2r.6r12r². Do đó ta có: 1 12

12

2 2 

 r r S

S

t b



 Câu 6 : Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Chiều cao x của khối nón này là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h ?

A. 3

x h B.

2 x  h

(7)

C. 3 h

x 2 D.

3 3 x  h

 Hướng dẫn : chọn A

Cách 1: Gọi O là tâm đáy của hình nón S và I là tâm của đường tròn thiết diện song song với đáy nón đã cho. Gọi R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy hình nón O và đường tròn thiết diện.

(0 < r < R)

Ta có:



^h ^r



h r R R

r h

r h R

r SO

SI       

Ta có: ² ₂²

 

² ₂²

 

²

3 3

1 3

1 x h x

h x R h h

x R r

x

V_non          ; với f(x) = x(h – x)² Ta thấy maxV_nonmax f(x) với 0 < x < h

Khi đó

      

0 3 ) ( ' , 3 2

) (

' ² h

x x

f x h x h x h x x h x

f          

Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán

  81

4 ) 3

( max

2

; 0

h R f h

x f

h x

 



 



 

 

Cách 2

      

27 4 27

2 2 2 2 2 1

2 ) 1

(

3 3

2 x h x h

x h x h x x

h x x

f          

Dấu “=” xảy ra khi 2x = h – x

3 xh

  Chọn đáp án A

Câu 7 : Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150m³ (như hình vẽ). Đáy làm bằng bê-tông, thành làm bằng tôn và nắp đậy bồn làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê-tông 100 nghìn đồng một m³, tôn 90 nghìn đồng một m² và nhôm 120 nghìn đồng một m².

Gọi r, h (m²) (r > 0, h > 0) lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của hình trụ.

Theo đề, ta có: r²h = 150  h = ₂ r 150



Khi đó, chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số:

f(r) =

r 27000 r

220 r

r 120 r150 2 . 90 r

100 ) r (

f ² ₂  ² ²

 





 (nghìn đồng)

f ’(r) = ₂

r 27000 r

440  ; f ’(r) = 0  a

11 r ³ 675 

 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra chi phí thấp nhất là

f(a) = 









3  11

f 675 15038,38797 nghìn đồng. Chọn đáp án B.

Câu 8 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 1) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. m =

 

3 01 , 1 .

100 ³ (triệu đồng) B. m =

 

¹^,⁰¹¹^,⁰¹³ ¹

3

 (triệu đồng) C. m =

3 03 , 1 .

100 (triệu đồng) D. m =

 

1,12 1 12 , 1 . 120

3 3

 (triệu đồng)

r 0 a 

f ’(r)  0 

f(r)

f(a)

(8)

Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng (do vay ngắn hạn) Sau tháng 1, ông A còn nợ 100 . 1,01 – m (triệu)

Sau 2 tháng, ông còn nợ (100 . 1,01 – m) . 1,01 – m = 100 . 1,01² – 2, 01m (triệu)

Sau 3 tháng, ông hết nợ do đó : (100 . 1,01² – 2,01m) . 1,01 – m = 100 . 1,01³– 3,0101m = 0

 1,01 1

01 , 1 0101 , 3

01 , 1 .

m 100 ³ ₃ ³

 

 (triệu đồng). Chọn đáp án B.

Câu 9 : Ông B muốn mua một ngôi nhà trị giá 500 triệu đồng sau 3 năm nữa. Biết rằng lãi suất hàng năm không đổi là 8% một năm. Vậy ngay từ bây giờ số tiền ít nhất ông B phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép để có đủ tiền mua nhà (kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu ?

A. 397 triệu đồng B. 396 riệu đồng C. 395 triệu đồng D. 394 triệu đồng

Gọi số tiền ông B cần gửi là X (triệu đồng) suy ra số tiền sau 3 năm nữa là:

500 = X . 1,08³  X = 397 triệu đồng. Chọn đáp án A

Câu 10 : Anh A gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng B. Lãi suất hàng năm không thay đổi là 7,5%/năm. Nếu anh A hằng năm không rút lãi thì sau 5 năm số tiền anh A nhận được cả vốn lẫn tiền lãi (kết quả làm tròn đến hàng ngàn) là :

Aùp dụng công thức: P_n P



1x



ⁿ . Trong đó: n là số năm ; x là lãi suất hằng năm Số tiền anh A thu được năm 5: 100 000 000.1,075⁵ = 143.562.933 đồng. Chọn đáp án A

Câu 11 : Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

A. 81,412 triệu B. 115,892 triệu C. 119 triệu D. 78 triệu

Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số tiền là : 100(1 + 8%)⁵ = 146,932 triệu Suy ra số tiền lãi là : 100(1 + 8%)⁵ – 100 = L1

Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng.

Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là : 73,466(1 + 8%)⁵ = 107,946 triệu Suy ra số tiền lãi là : 107,946 – 73,466 = L2

Vậy số tiền bà Hoa thu được sau 10 năm là : LL₁L₂81,412 triệu

Câu 12 : Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức SA



1r



ⁿ, trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và N là số kỳ hạn gửi. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Sau n năm số tiền thu được là SA



10.068



^N

Để S = 2A thì phải có ^A



¹ ⁰^.⁰⁶⁸



²^.^A



¹^.⁰⁶⁸



² ^N ^log1.068² ¹⁰^.⁵⁴ N

N      



Vậy muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 11 năm.

Câu 13 : Ông A gửi vào ngân hàng 100 triệu, lãi suất ngân hàng là 6,25% một năm với kì hạn là 6 tháng, nhận lãi cuối kì, lãi không kỳ hạn là 1% một năm. Hỏi sau 8 tháng ông rút ra số tiền là bao nhiêu?

A. 103.296.800 (đồng) B. 103.296.578 (đồng) C. 103.296.758 (đồng) D. 103.296.875 (đồng)

 Hướng dẫn : chọn D

Số tiền lãi của ông A có được sau khi gửi 6 tháng là:

100.000.000x(6,25%:12)x6 =3.125.000 (đồng)

Số tiền lãi của ông A gửi thêm 2 tháng: 103.125.000x(1%:12).2 = 171.875 (đồng) Tổng : 100.000.000 + 3.125.000 + 171.875= 103.296.875 (đồng)

(9)

Câu 14 : Một số tiền 58000000 đồng gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61329000 đồng. Tìm lãi suất hàng tháng?

A. 0,6% B. 0,65% C. 0,7% D. 0,75%

   

1

A r S A r S 1 r A 1

r S 1 A

S  ^N    ^N   ^N  ^N  . Lãi suất hàng tháng: 1

58000000 61329000

r⁸  = 0,7%.

Câu 15 : (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017 – LẦN 2) Một vật chuyển động theo quy luật t³ 9t²

2

s1  , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 216 (m/s) B. 30 (m/s) C. 400 (m/s) D. 54 (m/s)

Gọi hàm số của vận tốc là v = v(t). Quãng đường vật đi được tính theo công thức ^



¹

 

0

t

dt t v

s .

Hay ta hiểu

     

^t ¹⁸^t

2 t 3 v t v t

's    ² 

Bài toán lúc này trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

 

^t ¹⁸^t

2 t 3

v  ² trên miền giá trị thời gian từ 0 đến 10 giây nghĩa là tìm GTLN của hàm số này trên đoạn [0 ; 10]. Ta có v’(t) = –3t + 18

v’(t) = 0  t = 6.

So sánh các giá trị v(0) = 0 ; v(10) = 30 ; v(6) = 54. T được giá trị cần tìm là 54.

Câu 16 : Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

A. 0,2 m B. 2 m C. 10 m D. 20 m

Lúc dừng thì v = 0  – 5t + 10 = 0  t = 2

Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được thêm một quãng đường ( giải theo công thức vật

lý): ₀ ²

2 1at t v

s  với s m

v t a

10 10

2 5

0



 













Hoặc dùng công thức

 

t t m

dt t

dt t v

s 10 10

5 2 10

5 )

(

2

0 2 2

0 2

0

 



 



 









 

^.

Chọn đáp án C

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t) = s(0).2^t, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?

A. 48 phút B. 19 phút C. 7 phút D. 12 phút

Ta có s(3) = s(0).3³  625.000 = 8.s(0)  s(0) = 78125 Gọi thời gian cần tìm là t phút.

Ta có : s(t) = s(0).2^t 

 

78125 ¹²⁸

1000000 0

s t

2^t  s    2^t – 128 = 0  t = 7  Đáp án chính xác là C

(10)

Câu 18 : Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức f(x) = A.e^rx, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), x (giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Số lượng vi khuẩn tăng gấp 25 lần sau khoảng thời gian là :

A. 50 giờ B. 25 giờ C. 15 giờ. D. 20 giờ

 Hướng dẫn : chọn D Ta có: 1000.e^10r = 5000

10 5

ln

r

Suy ra để đạt 25000 con cần x(h) thì: 1000. ¹⁰^ 25000

5 ln x

e x =20. Chọn đáp án D

Câu 19 : Tỉ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030, dân số của Việt Nam là :

A. 107232573 người B. 107232574 người C. 198049810 người D. 106118331 người

Dân số Việt Nam vào năm 2030 là: 90728900 . 1,0105^30–14= 107.232.574 người. Chọn đáp án B

Câu 20 : Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức S = A.e^r.t, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn ?

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này.

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con, nên tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ được xác định bởi : 300 = 100.e^5r. (1)

Lấy logarit cơ số e hai vế của (1) ta được : ln300 = ln(100.e^5r).

Từ đó suy ra : 0,2197 5

3

r ln  tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ.

Sau 10 giờ, số con vi khuẩn là : S = 100.e^10.0,2197  900 (con)

Câu 21 : Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutôni P_u²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng P_u²³⁹ sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức SA.e^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam P_u²³⁹ sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Trước hết ta tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm của P_u²³⁹. P_u²³⁹ có chu kỳ bán hủy là 24360 năm.

do đó ta có : 510.e^r^.²⁴³⁶⁰ 2,84543.10 0,000028 24360

10 ln 5

r ln   ⁵ 

 ^

Vậy sự phân hủy của P_u²³⁹ được tính theo công thức SA.e^⁰^,⁰⁰⁰⁰²⁸^t trong đó S và A tính bằng gam, t tính bằng năm.

Theo giả thiết, ta có : 82235(năm)

000028 ,

0 10 t ln

e . 10

1 ⁰^,⁰⁰⁰⁰²⁸^t 



 



 ^

Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam chất P_u²³⁹ sẽ phân hủy còn 1 gam.

Câu 22 : Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (R.Clausius) và Cla-pay-rông (E.Clapeyron) đã thấy rằng áp suất p của hợi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kính được tính theo công thức

273 t

k

10 . a

p ^ trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết k  –2258,624. Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 100C thì áp suất của hơi nước là 760 mmHg (tính chính xác đến hàng phần chục).

(11)

A. a  863188841,4 B. a  863188814,4 C. a  863188840,4 D. a  863188839,4

Ta có : pa.10^t^^k²⁷³  760 a.10^t ^k²⁷³ a.10¹⁰⁰²²⁵⁸^²⁷³^,⁶²⁴



 

 a 760.10 863188841,4

10

a 760 ³⁷³

624 , 2258

373 624 ,

2258   



 _

Câu 23 : Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức P(t) 100.(0,5)⁵⁷⁵⁰(%)

t



Phân tích một mẩu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẩu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Theo giả thiết, ta có : P(t) = 65. Vậy ta có phương trình : ⁵⁷⁵⁰

t

2 . 1 100

65 



 



 

2 log

65 log 2 2

log 65 log 100 log 2

log 65 log100

65 log 100 5750

t 65

2 100 2 65

. 1

100 ⁵⁷⁵⁰ ₂

5750 t

t          



 





2 3574 log

65 log 5750 2

t 



 



  

 năm

Câu 24 : Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10⁵ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ ?

A. 4,8666.10⁵(m³) B. 4,8661.10⁵ (m³) C. 4,8662.10⁵ (m³) D. 4,8668.10⁵ (m³)

Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hàng năm của rừng là i phần trăm. Ta có : Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là : V₁ V₀i.V₀ V₀

 

1i

Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là : V2 V1i.V1V1

 

1i V0

 

1i ²

…

Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là : V₅ V₀

 

1i⁵

Thay V0 = 4.10⁵(m³), i = 4% = 0,04, ta có : V₅ 4.10⁵



10,04



⁵ 4,8666.10⁵ (m³)

Câu 25 : Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam lần lượt là 78685800 người và tỉ lệ tăng trưởng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được ước tính theo công thức SA.e^Nr. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người ? (giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi)

A. 2015 B. 2017 C. 2014 D. 2016

Theo giả thiết, ta có : ¹⁰⁰^⁷⁸^,⁶⁸⁵⁸^.^e⁰^,⁰¹⁷^N^^ln¹⁰⁰^^ln



⁷⁸^,⁶⁸⁵⁸^.^e⁰^,⁰¹⁷^N



¹⁴

017 , 0

6858 , 78 ln 100

Nln  



Vậy cứ nếu tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là 1,7% thì đến năm 2015 dân số nước ta sẽ ở mức 100 triệu người.

Câu 26 : Biết rằng năm 2001 và năm 2006, dân số Việt Nam lần lượt là 78685800 người và 84155800 người.

Hỏi đến năm 2015 dân số Việt Nam là bao nhiêu người biết rằng tỉ lệ tăng trưởng r cho công thức S = A.e^r.N? (giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi).

A.  95.627.717 người B.  95.627.707 người C.  95.627.727 người D.  95.627.737 người

(12)

Tính tỉ lệ tăng trưởng r cho công thức S = A.e^r.N Tỉ lệ tăng dân số hàng năm được tính theo công thức :

013 , 0 5 r

78685800 ln

84155800 r ln

e . 78685800

84155800 ⁵^r   







Năm 2015 dân số Việt Nam là : 78685800.e^14r = 78685800.e^14.0,013  94392602.54 (người)

Câu 27 : Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m² để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20 con/m² và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/m² thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

Số cá anh P thả trong vụ vừa qua là: 50.20 = 1000 (con) Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phẩm là:

1000

1500 = 1,5 (kg/con) Gọi x > 0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0,0625x (kg/con)

Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được: T = f(x) = (1000 – x)(1,5 + 0,0625x)



 



 

















125 , 0 x

"

f

488 x 0 61 x 125 , 0 x

'f  maxf(x) = 16384  x = 488

Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả: 1000 – 488 = 512 con cá giống

Câu 28 : Một người nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

A. n = 6 B. n = 8 C. n = 10 D. n = 12

Cân nặng của cả bầy cá là: P = (480 – 20n)n

Aùp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có: P = (480 – 20n)n = 20n(24 – n)  5(n + 24 – n)² = 2880 (g) Dấu “=” có khi và chỉ khi n = 24 – n  n = 12. Chọn đáp án D

Câu 29 : Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng là bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi.

Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín 3

1 cái hồ ?

A. 3 B.

3

10⁹ C. 9 – log3 D.

3 log

9

Gọi t là số giờ lá bèo phủ kín 3

1 mặt hồ. Lượng lá bèo đầy mặt hồ là: 10⁹.

 Lượng lá bèo 3

1 mặt hồ là:

3

10⁹ . Ta có : 10^t= 3 10⁹

3 log 3 9

log 10

9

10  



t . Chọn đáp án C

Câu 30 : Một lon nước soda 80ôF được đưa vào máy làm lạnh chứa đá tại 32ôF. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T(t) = 32 + 48.(0,9)^t. Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50ôF ?

A. 4 B. 1,56 C. 2 D. 9,3

Nhiệt độ soda còn lại là 50⁰F nên ta có: T(t) = 50  32 + 48.(0,9)^t= 50

 

8 9 3 ,

0 

 ^t

log cơ số 0,9 hai vế ta được:

 

⁹^,³

8 log 3 8

log 3 9

, 0

log₀_,₉ ^t  ₀_,₉ t  ₀_,₉  . Chọn đáp án D.