Toán 7 Ôn tập chương 3 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 7

Ôn tập chương III

Câu hỏi ôn tập

Bài 1 trang 86 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

Bài toán 1 Bài toán 2 Giả thiết AB > AC BC Kết luận

Lời giải:

Bài toán 1 Bài toán 2 Giả thiết AB > AC BC Kết luận CB AC < AB

Bài 2 trang 86 Toán lớp 7 Tập 2: Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <) vào các chỗ trống (...) dưới đây cho đúng:

a) AB ... AH; AC ... AH.

b) Nếu HB ... HC thì AB ... AC.

c) Nếu AB ... AC thì HB ... HC.

Lời giải:

a) AB > AH; AC > AH.

b) Nếu HB > HC thì AB > AC.

hoặc có thể HB < HC thì AB < AC.

c) Nếu AB > AC thì HB > HC.

hoặc có thể AB < AC thì HB < HC.

Bài 3 trang 86 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác DEF. Hãy viết các bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.

Lời giải:

Với ΔDEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:

DE < EF + DF DF < EF + DE EF < DE + DF

DF - EF < DE < DF + EF (với DF > EF)

Bài 4 trang 86 Toán lớp 7 Tập 2: Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng:

Trong tam giác ABC

B H C

d

A

a) đường phân giác xuất phát từ đỉnh A b) đường trung trực ứng với cạnh BC c) đường cao xuất phát từ đỉnh A d) đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A

a’) là đường thẳng vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó.

b’) là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.

c’) là đoạn thắng nối A với trung điểm của cạnh BC.

d’) là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác góc A.

Lời giải:

Ghép a - d' ; b – a', c - b', d - c'.

Bài 5 trang 86 Toán lớp 7 Tập 2: Cũng với yêu cầu như ở câu 4.

Trong một tam giác a) trọng tâm

b) trực tâm

c) điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh

d) điểm cách đều ba đỉnh

a’) là điểm chung của ba đường cao.

b’) là điểm chung của ba đường trung tuyến.

c’) là điểm chung của ba đường trung trực.

d’) là điểm chung của ba đường phân giác.

Lời giải:

Ghép a - b', b - a', c - d', d - c'

Bài 6 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: a) Hãy nêu tính chất trọng tâm của một tam giác;

các cách xác định trọng tâm.

b) Bạn Nam nói: "Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác".

Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?

Lời giải:

a) Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:

"Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng ²

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó."

- Các cách xác định trọng tâm:

+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.

+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.

b) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến luôn nằm bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác. Do đó trọng tâm của một tam giác luôn nằm ở bên trong tam giác đó.

Bài 7 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Những tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao?

Lời giải:

Những tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.

Bài 8 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh?

Lời giải:

Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.

Bài tập:

Bài 63 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE.

a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Lời giải:

a)

Vì ACABABCACB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác). (1)

ΔACE có AC = CE (giả thiết) nên suy ra tam giác ACE là tam giác cân. Do đó CAE=CEA.

ACB là góc ngoài tại đỉnh C của ΔACE nên ta có:

ACB CAE= +CEA=2AEC. (2)

ΔABD có AB = BD (giả thiết) nên suy ra tam giác ABD là tam giác cân. Do đó BAD=BDA.

ABC là góc ngoài tại đỉnh B của ΔABD nên ta có:

ABC=BAD BDA+ =2BDA. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ADB AEC hay ADCAEB.

b) Xét ΔAED có:

Vì ADCAEB hay ADEAEDAEAD. (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).

Bài 64 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Gọi MH là đường cao của tam giác MNP.

Chứng minh rằng: Nếu MNMP thì HNHP và NMHPMH (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).

Lời giải:

+ So sánh NH và PH.

MH là đường cao của ΔMNP nên H là hình chiếu của M trên đường thẳng NP.

⇒ HN là hình chiếu của đường xiên MN trên đường thẳng NP; HP là hình chiếu của đường xiên MP trên đường thẳng NP.

Mà MN < MP ⇒ HN < HP (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

+ So sánh NMH và PMH

TH1: Xét ΔMNP có góc N nhọn.

Vì ΔMNP có góc N nhọn nên suy ra góc P nhọn (vì MN < MP nên P N ) (1) ΔMNH vuông tại H có HNM NMH 90+ =  (2)

ΔMPH vuông tại H có HMP HPM 90+ =  (3) Góc N tù Góc N nhọn

H N P

M

H P

N

M

Từ (1), (2) và (3) suy ra NMH PMH TH2: Xét ΔMNP có góc N tù.

Vì ΔMNP có góc N tù nên suy ra H nằm ngoài cạnh NP.

Lại có HN < HP nên N nằm giữa H và P

⇒ Tia MN ở giữa hai tia MH và MP nên suy ra NMHPMH.

Bài 65 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?

Lời giải:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại.

Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm ta dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là:

+ Bộ ba 2cm, 3cm, 4cm (3 - 2 < 4 < 3 + 2)

+ Bộ ba 3cm, 4cm, 5cm (4 - 3 < 5 < 4 + 3)

+ Bộ ba 2cm, 4cm, 5cm (4 - 2 < 5 < 4 + 2) 2cm 3cm

4cm

5cm 3cm 4cm

Vậy ta dựng được tất cả 3 tam giác.

Bài 66 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi O là địa điểm đặt nhà máy (O tùy ý)

A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư (A,B, C, D cố định).

Ta luôn có:

OA + OC ≥ AC OB + OD ≥ BD

2cm

5cm 4cm

B C

D O

A

⇒ OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD (AC + BD là hằng số)

Vậy để OA + OB + OC + OD nhỏ nhất thì OA + OC = AC và OB + OD = BD.

OA + OC = AC khi O thuộc đoạn AC.

OB + OD = BD khi O thuộc đoạn BD.

Vậy OA + OB + OC + OD nhỏ nhất khi O là giao điểm của hai đoạn AC và BD.

Bài 67 trang 87 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.

c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.

Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Lời giải:

a) Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ P đến MR là h. Khi đó ΔMPQ và ΔRPQ có cùng đường cao.

Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên MQ QR =2.

MPQ

MPQ RPQ

RPQ

1.h.MQ

S 2 MQ 2 S 2S

S 1.h.QR QR 2

= = =  = (1)

b) Gọi k là độ dài đường vuông góc kẻ từ N đến MR. Khi đó ΔMNQ và ΔRNQ có cùng đường cao.

Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên MQ QR =2.

MNQ

MNQ RNQ

RNQ

1.k.MQ

S 2 MQ 2 S 2S

S 1.k.QR QR 2

= = =  = (2)

c) Gọi m là độ dài đường vuông góc kẻ từ Q đến NP. Khi đó ΔRPQ và ΔRNQ có cùng đường cao.

PQR

PQR QNR QNR

1.m.PR

S 2 PR 1 S S

S 1.k.NR NR 2

= = =  = (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra S_MNQ =S_MPQ (4)

Ta có: ^{MPQ MNQ MPQ MNQ MPQ MNQ MPQ}

RPQ RNQ RPQ RNQ NPQ NPQ

S S S S S S 2S

2 S S S S S S

+ +

= = = = =

+ .

MPQ

MPQ NPQ NPQ

S 1 S S

 S =  = (5)

Từ (4) và (5) suy ra S_MNQ =S_MPQ =S_NPQ.

Bài 68 trang 88 Toán lớp 7 Tập 2: Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.

a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.

b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?

Lời giải:

a) Tìm M khi độ dài đoạn OA, OB là bất kì

Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1).

Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2).

Từ (1) và (2) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.

b) Tìm M khi OA = OB

Nếu OA = OB thì ∆AOB cân tại O nên tia phân giác góc xOy cũng là trung trực của AB.

Do đó mọi điểm trên tia phân giác góc xOy sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.

Vậy khi OA = OB thì có vô số điểm M thỏa mãn các điều kiện ở câu a.

M

z x

y

O B

A

Bài 69 trang 88 Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.

Lời giải:

Gọi A là giao điểm của a và b.

Theo giả thiết d ⟘ b hay SR ⟘ AQ hay SR là đường cao của ΔASQ.

c ⟘ a hay PQ ⟘ AS hay QP là đường cao của ΔASQ.

M

z x

y

O B

A

d A

S R

Q

P

b

a c

M

SR cắt QP tại M nên M là trực tâm của ΔASQ.

⇒ AM ⟘ SQ.

Vậy đường thẳng đi qua M và vuông góc với SQ cũng đi qua A (đpcm).

Bài 70 trang 88 Toán lớp 7 Tập 2: Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d).

Gọi là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.

b) Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm của PB. Chứng minh N'B < N'A.

c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d?

Lời giải:

a) Vì M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB (1)

Vì N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d nên M nằm giữa N và B. Suy ra NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) suy ra NB = NM + MA.

Trong ∆NMA ta có : NM + MA > NA (bất đẳng thức tam giác).

⇒ NB > NA.

b) Gọi K là giao điểm của AN’ và đường thẳng d.

Vì K thuộc đường trung trực của AB nên KA = KB.

Trong tam giác N’KB ta có: N’B < KN’ + KB (bất đẳng thức tam giác).

⇒ N’B < KN’ + KA (vì KA = KB) hay N’B < N’A.

c) Vì LA < LB nên L không thuộc d

Theo chứng minh câu b suy ra L không thuộc PB (vì nếu L thuộc PB thì LA > LB).

Vậy L thuộc PA.