HÀM SỐ LIÊN TỤC

HÀM SỐ LIÊN TỤC

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Loại 1: Hàm số cĩ dạng:

( ) ( ) ( )

 

= 

 =

1 0

2 0

f x , khi x x f x f x , khi x x

Bước 1: Kiểm tra x₀D . Bước 2: Tính f(x0) và _→

( )

x x0

lim f x . Bước 3: + Nếu _→

( )

⁼

0 0

x x

lim f x f(x ) thì hàm số f(x) liên tục tại x₀.

+ Nếu _→

( )

^

0 0

x x

lim f x f(x ) thì hàm số f(x) khơng liên tục tại x₀.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số: ²

3x 1 2 nếu x 1

f(x) x 1

1 nếu x 1

 + − 

=  −

− =



tại điểm x = 1.

Giải:

f(1)= −1

( )

→ → →

= + − + = =

− + + +

x 1 x 1 2 x 1

3x 1 2 3 3

lim f(x) lim ( ) lim

x 1 (x 1) 3x 1 2 8

→   =

Ta có: lim f(x) f(1)x 1 Hàmsố không liên tục tại điểm x 1.

Bài tập :

1) Xét tính liên tục của hàm số

( )

=  −^{ − }

 =

 x2 1

khi x 1 f x x 1

2 khi x 1

tại điểm x₀ =1.

2) Xét tính liên tục của hàm số

( )

^{=− +} − ^{− }

 − =



x2 4x 3

khi x 3

f x x 3

2 khi x 3

tại điểm x₀ =3

3) Tìm giá trị của tham số m để hàm số

 − − 

=  −

 =



x2 x 2

khi x 2 f(x) x 2

m khi x 2

liên tục tại x=2

Loại 2: Hàm số cĩ dạng:

( ) ( ) ( )

 

=  

1 0

2 0

f x khi x x f x f x khi x x

Bước 1: Kiểm tra x₀D . Bước 2: ^Tính → +

( )

=

0

xlim f xx L1 , → −

( )

=

0

xlim f xx L2 và f x

( )

0 ⁼L . Bước 3: Nếu L L= ₁ =L₂thì hàm số liên tục tại x₀.

Ví dụ: Định m để hàm số:

x2 4x 5 nếu x 1 f(x) x 2 1

mx 1 nếu x 1

 − −  −

=  + −

 +  −



liên tục tại điểm x = –1.

Giải:

f( 1)− = − +m 1

xlim f(x)1 xlim (mx 1)1 m 1

− −

→− = →− + = − +

2

x 1 x 1

x 4x 5

lim f(x) lim ( ) ...

x 2 1

+ +

→− →−

− −

= + = =

+ − –12

+ −

→− →−

= −  = = −  =

x 1 x 1

Hslt tạiđiểm x 1 lim f(x) lim f(x) f( 1) m 13

Bài tập :

1) Xét tính liên tục của hàm số

( )

= ^{ − + }

+ 



x3 x 1 khi x 1

f x 3x 2 khi x 1 tại điểm x₀ =1.

2) Xét tính liên tục của hàm số

( )

^{= − −− }

 − 



x 1 khi x 1

f x 2 x 1

2x khi x 1

tại x₀ =1.

3) Tìm các giá trị của m ^{để hàm số}

( )

 − − + 

= 

 + − 

 +



1 x 1 x

khi x 0 f x x

m 1 x khi x 0

1 x

liên tục tại

x 0=

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên miền d

+) Hàm số y f(x)= liên tục trên một khoảng

( )

^{a; b} nếu nĩ liên tục tại mọi điểm x₀ của khoảng đĩ.

+) Hàm số y f(x)= liên tục trên a; bnếu nĩ liên tục trên

( )

^{a; b và} →+ =

x alim f(x) f(a),

→ − =

x b

lim f(x) f(b) Chú ý:

a. Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

b. Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại x₀thì cũng liên tục tại x₀.

c. Nếu hàm số y f(x)= và y g(x)= liên tục tại x₀ và g(x ) 0₀  thì hàm số = f(x) y g(x) liên tục tại x₀.

Bài tập :

1) Xét tính liên tục của hàm số

( )

= ^{ + + }

+ 



x3 x 1 khi x 1

f x 2x 4 khi x 1 trên TXĐ của nĩ.

2) Xét tính liên tục của hàm số

( )

^{= −} − ^{− }

 =



x2 2x 3

khi x 3

f x x 3

4 khi x 3

trên TXĐ của nĩ.

3) Tìm giá trị của tham số a để hàm số

( )

= ^{ + + }

+ 



x2 2x 1 khi x 0

f x x a khi x 0 liên tục trên .

Dạng 3: Chứng minh phương trình cĩ nghiệm.

Cho hàm số y f(x)= liên tục trên a; bvà f(a).f(b) 0 . Khi đĩ phương trình f(x) 0= cĩ ít nhất một nghiệm trên

( )

^{a; b .}

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình: 2x³−6x 1 0+ = cĩ ít nhất hai nghiệm.

Giải:

Ta có hàm số : f(x) 2x= 3−6x 1 liên tục trên+

1 1

f(0) 1

f(0).f(1) 3 0 c (0;1) : f(c ) 0 (a) f(1) 3

 =

 = −     =

 = −



2 2

f(1) 3

f(1).f(2) 15 0 c (1;2): f(c ) 0 (b) f(2) 5

 = −

 = −     =

 =



(a) & (b) Pt f(x) 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2) Vậy pt đã cho có ít nhất hai nghiệm.

 =

Bài tập :

1) Chứng minh rằng phương trình x³+ − =x 1 0 cĩ ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

2) Chứng minh rằng phương trình x³+1000x² +0,1 0= cĩ ít nhất một nghiệm âm.

3) Chứng minh rằng phương trình

(

^{1 m x− 2}

)

^{5−3x 1 0− =} luôn có nghiệm.