Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

(1)

Bài 3: Hàm số liên tục

A. Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 135 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f(x) = x²và

2

x 2 neu x 1 g(x) 2 neu 1 x 1

x 2 neu x 1

− +  −

= −  

− + 



có đồ thị như hình 55.

a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x→1.

b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.

(Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x = 1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm này).

Lời giải:

a) ²

x 1

f (1) 1 1 limf (x)

= = = →

Vì x = 1 nên g(1) = –1² + 1 = –1 + 1 = 0 Lại có: ^limg(x)_x→₁+ =^lim_x→₁+

(

− +^x² ²

)

=¹ và

x 1 x 1

limg(x)₋ lim(2)₋ 2

→ = → =

nên limg(x)x 1₋ limg(x)x 1₊

→  → và không tồn tại giới hạn

x 1

limg(x)

→

b) Đồ thị hàm số f(x) liên tục tại x = 1

(2)

Đồ thị hàm số g(x) gián đoạn tại x = 1.

Hoạt động 2 trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực ?

Lời giải:

Để hàm số liên tục trên thì nó phải liên tục tại x = 1 hay

x 1

limh(x) h(1) h(1) 2

→ =  =

Vậy cần thay số 5 bằng số 2 để hàm số liên tục trên .

Hoạt động 3 trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] với f(a) và f(b) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a; b) không?

Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a; b)”.

Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng (a; b)”.

Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a; b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58).

Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?

Lời giải:

- Bạn Lan nói đúng vì f(a) và f(b) trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f(x)

= 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.

(3)

- Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho f(x) = 0

- Đường parabol trên h.58 là đồ thị hàm số y² = x suy ra đồ thị hàm số y = f(x) sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành. Khi đó f(a) và f(b) cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện f(a) và f(b) trái dấu. Ví dụ của Tuấn sai.

Hoạt động 4 trang 139 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).

Lời giải:

Ta có: f(x) = x³ + 2x – 5

Chọn 5 7

a , b

4 4

= = thỏa mãn 1 < a < b < 2.

Ta thấy: 5 35 7 247

f 0,f 0

4 64 4 64

 = −   = 

   

    nên 5 7

f f 0

4 4

    

   

    Vậy trong khoảng 5 7

4 4;

 

 

  thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

B. Bài tập

Bài tập 1 trang 140 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 tại x0 = 3.

Lời giải:

Hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 xác định trên R và x₀ = 3 Ta có:

3 x 3

3

limf (x) 3 2.3 1 32 f (3) 3 2.3 1 32

→ = + − =



= + − =

 limf (x)^x ³ f (3)

 → =

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 3.

Bài tập 2 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Xét tính liên tục của hàm số y =

g(x) tại x0 = 2, biết

x3 8

neu x 2 g(x) x 2

5 neu x 2

 − 

= −

 =



.

(4)

b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2.

Lời giải:

a) Ta có:

3

x 2 x 2

x 8

lim g(x) lim x 2

→ →

= −

−

(

²

)

x 2

(x 2) x 2x 4

lim^→ x 2

− + +

= −

(

²

)

x 2

lim x 2x 4

= → + + = 2² + 2.2 + 4 = 12 Lại có: g(2) = 5

x 2

limg(x) g(2)

 → 

Vì limg(x)x 2 g(2)

→  nên hàm số y=g(x) gián đoạn tại x₀ =2. b) Để hàm số y = g(x) liên tục tại x0 = 2

x 2

limg(x) g(2) 12

 → = = Vậy ta cần thay số 5 bởi số 12.

Bài tập 3 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số

2

3x 2 neu x 1 f (x)

x 1 neu x 1

+  −

=  −  − .

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số:

Vẽ đường thẳng y = 3x + 2 với x < −1 đi qua hai điểm (−2; −4) và (−1; −1). Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng x −1 ta được đồ thị của hàm số

y = 3x + 2 với x < −1.

(5)

Vẽ Parabol y = x² − 1 với x −1 có đỉnh là (0; −1) và đi qua hai điểm (−1; 0); (1;

0). Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng x < −1, ta được đồ thị hàm số y = x² − 1 với x −1

Ta có đồ thị như hình sau:

Tập xác định: D =

Từ đồ thị, ta thấy: Đồ thị hàm số y = f(x) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại x0 = −1.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng

(

^{− −}^{; 1}

)

^và

(

^{− +}^1;

)

^.

b) +) Nếu x < −1: f(x) = 3x + 2 liên tục trên (− −; 1) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Nếu x > −1: f(x) = x² – 1 liên tục trên ( 1;− +) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Xét tính liên tục của hàm số tại x = −1;

Ta có:

(6)

xlim f (x)1₋ xlim (3x1₋ 2) 3( 1) 2 1

→− = →− + = − + = −

(

²

)

²

xlim f (x)1₊ xlim x1₊ 1 ( 1) 1 0

→− = →− − = − − = Vì

xlim f (x)1₋ xlim f (x)1₊

→−  →− nên không tồn tại

x 1

limf (x)

→− . Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = −1.

Bài tập 4 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các hàm số ₂x 1 f (x)

x x 6

= +

+ − và g(x) = tan x + sin x.

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.

Lời giải:

+) Hàm số ₂x 1

f (x)

x x 6

= +

+ − xác định khi và chỉ khi:

x2 + − x 6 0 ^x ³

x 2

  −

   ^{ =}^D ^\



⁻^3;2



Hàm số f(x) là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng xác định.

Vậy f(x) liên tục trên các khoảng

(

^{− −}^{, 3}

)

,(−3, 2) và

(

^2,^+

)

^.

+) Hàm số g(x) = tan x + sin x xác định khi và chỉ khi cos x0 x k 2

  +  , (k )

Hàm số g(x) là hàm lượng giác nên liên tục trên các khoảng xác định.

Vậy g(x) liên tục trên các khoảng k ; k

2 2

 

− +  + 

 

  với k .

Bài tập 5 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0”.

Lời giải:

(7)

Ý kiến trên đúng.

Giả sử phản chứng hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại x0. Đặt h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x = x0.

g(x) = h(x) − f(x)

Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0

h(x); −f(x) là các hàm số liên tục tại x0.

Theo giả sử ta có hàm số h(x) + [−f(x)] = h(x) − f(x) = g(x) phải liên tục tại x0. Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0.

Vậy giả sử ban đầu sai. Chứng tỏ y = f(x) + g(x) không liên tục tại x0.

Bài tập 6 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm;

b) cosx = x có nghiệm.

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = 2x³ – 6x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên . Ta có:

f(0) = 2.0³ – 6.0 +1 = 1 f(1) = 2.1³ – 6.1 +1 = –3

f(–2) = 2.(–2)³ – 6.(–2) +1 = –3

f(0).f(1) = 1.(–3) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm x₀(0;1) f(0).f(–2) = 1.(–3) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm x₁ −( 2;0) Mà (0;1) −( 2;0)= x₀ x₁

 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) cosx = x cosx – x = 0

Xét hàm số g(x) = cosx – x xác định trên nên liên tục trên .

(8)

Ta có:

g(0) = cos(0) – 0 = 1 – 0 = 1

g cos

2 2 2 2

   

  = − = −

  

g(0).g 1. 0

2 2 2

  

 = − = − 

   

    nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 0;

2

 

 

 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.