GIÁO ÁN ĐS & GT11 - HK2 - ĐS & GT11.C4 - Bài 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC - file word

Trường:………….

Tổ: TOÁN

Ngày soạn: 01/2021 Tiết:

Họ và tên giáo viên: ………

Ngày dạy đầu tiên:………..

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 11 Thời gian thực hiện: ... tiết

I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức:

- Nắm được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn; tính liên tục của hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng.

- Biết định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này.

- Biết đặc trưng hình học của hàm số liên tục trên một khoảng.

- Học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.

- Áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản.

2. Năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của giáo viên.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Kiến thức về giới hạn của hàm số, hàm số liên tục.

- Máy chiếu - Bảng phụ - Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới và tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “liên tục”.

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm hiểu và trả lời các câu hỏi.

H1- Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt?

Hình 1 Hình 2

Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Hình 3 Hình 4

Hố tử thần xuất hiện ở thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản H2- Cho hai đồ thị hàm số. Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền?

Hình 5 Hình 6

H3- Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những hàm số đã học có đồ thị là một đường liền nét trên tập xác định của nó? Đồ thị là một đường không liền nét trên tập xác định của nó?

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS

Đ1- Hình 2 và Hình 4 các phương tiện đường bộ có thể chạy thông suốt; ở Hình 1 và Hình 3 vì

“đường đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ không lưu thông được.

Đ2- Đồ thị ở Hình 5 là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x⁰; đồ thị ở Hình 6 là một đường liền nét.

Đ3- Đồ thị hàm số y x , y x ² ysin ,x ycosx là một đường liền nét trên  ; Đồ thị hàm số tan , cot

 

y x y x có đồ thị không liền nét trên tập xác định của nó.

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu và trình chiếu câu hỏi, yêu cầu HS làm việc cá nhân để hoàn thành hệ thống câu hỏi.

*) Thực hiện: HS suy nghĩ độc lập.

*) Báo cáo, thảo luận:

- GV gọi lần lượt 3 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình.

- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI NỘI DUNG 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm hàm số liên tục tại điểm hay gián đoạn tại một điểm.

b)Nội dung: Thông qua bài toán

Cho hàm số

 

^{2 4} 3 khi x 2 1 khi 2

   

   

x x

y g x

x có đồ thị như hình vẽ

a) Tính ^g

 

² _,

   

2 2

lim_ , lim_

 

x g x x g x

.

b) So sánh các giá trị trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm x⁰ 2 .

c) Nếu thay đề bài

 

^{2 4} 3 khi x 2 2 khi 2

   

   

x x

y g x

x em hãy nhận xét về đồ thị khi đó?

Học sinh tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x x ⁰ từ đó nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

c) Sản phẩm:

 

^{2 1.}

g

2

 

2

lim_ lim1 1_

   

x g x x

 

²

2 2

lim_ lim(_ 4 3 )=1

     

x g x x x x

   

2 2

lim_ lim_ (2) 1

    

x g x x g x g

, đồ thị là đường liền (liên tục).

- Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x x ⁰. - Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰.

+ Tính f x( )⁰ và lim ( )⁰

x x f x + So sánh f x( )⁰ và lim ( )⁰

 x x f x

+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.

-Vận dụng vào bài toán cụ thể.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ:

Giải bài toán theo hướng dẫn, tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

 0

x x trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS: các nhóm đưa ra cách giải và tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại

điểm x x ⁰ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận

GV: HD hàm số liên tục tại một điểm.

- HS: Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x x ⁰. - Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰.

+ Tính f x( )⁰ và lim ( )⁰

 x x f x + So sánh f x( )⁰ và lim ( )⁰

 x x f x

+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.

- Áp dụng làm ví dụ.

1. Xét tính liên tục của hàm số:

( ) 2

 3

 f x x

x tại x⁰ 2 + Tính ^f(2) và lim ( )²



x f x

+ So sánh ^f(2) và lim ( )²

x f x

+ Kết luận: ^{f x( )} liên tục tại x⁰ 2

2. Cho hàm số f(x) =

2 1

1 1

1

  

 

 



x khi x x

a khi x . Xét tính liên tục của hàm số tại

0 1 x

+ Tính ^f(1) và lim ( )¹



x f x

+ ^{a 2 f x( )}liên tục tại x⁰ 1 + ^{a 2 f x( )}gián đoạn tại x⁰ 1

3. Cho hàm số f(x) =

2 1 0

0

  

 



x khi x

x khi x . Xét tính liên tục của hàm số tại

0 x

+ Tính (0) 0, lim ( ), lim ( )⁰_ ⁰_

 

 x x

f f x f x

+ So sánh lim ( ) và lim ( )⁰_ ⁰

 

x x

f x f x

+ Kết luận: ^{f x( )}gián đoạn tại x0 Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

NỘI DUNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

a) Mục tiêu: Hs hiểu và biết được tính chất của những hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó.

b) Nội dung: Học sinh đọc định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

c) Sản phẩm:

1.Định nghĩa :

 Hàm số ^{y f x}

 

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

 Hàm số ^{y f x}

 

được gọi là liên tục trên

 

^{a b;} nếu nó liên tục trên



^{a b;}



_và

lim ( )_ ( ), lim ( )_ ( )

   

x a f x f a x b f x f b

. 2. Chú ý:

Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng là 1 “đường liền” trên khoảng đó.

3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ: tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS: các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận 1. Định nghĩa:

 Hàm số ^{y f x}

 

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

 hàm số ^{y f x}

 

được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên



^{a b;}



_và ^{lim ( )}_ ( ), lim ( )_ ( )

   

x a f x f a x b f x f b

. 2. Chú ý:

Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.

VD1. Cho hàm số

 

3 9

, 0 9

, 0 3 , 9

  

  

 

 



x x

x

f x m x

x x

. Giá trị của m để

 

f x liên tục trên



^0;



_là

A.

1.

3 B.

1.

2 C.

1.

6 D. 1.

Đáp án : C.

Cách 1 : (Tự luận)

Với ^x

 

^0;9 _: ^{f x}

 

^3 _x^9x liên tục trên

 

^0;9 _.

Với ^{x }



^9;



_: ^{f x}

 

^{ 3}_x liên tục trên



^9;



_.

Với x0 ta có ^f

 

^{0 m}_.

Ta có

 

0 0

3 9

lim_ lim_

 

 

x x

f x x

x ⁰

lim 1

3 9

 

^x  x 1

 6 .

Vậy để hàm số liên tục trên



^0;



khi nó phải liên tục tại x0 

0

 

lim  

x f x m 1

 m 6 .

Cách 2: Sử dụng MTCT. Dễ dàng thấy hàm số liên tục trên



^0;



_nên

ta chỉ cần tìm điều kiện để nó liên tục phải tại x0 .

Tính

 

0 0

3 9

lim_ lim_

 

 

x x

f x x

x bằng cách tính giá trị hàm số

3 9x x tại ^{0 10 10} (sử dụng chức năng CALC) được kết quả gần bằng 0.1667 và ^f

 

^{0 m} _{. Vậy m0.1667.}

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

NỘI DUNG 3: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN.

a) Mục tiêu: Hs hiểu và biết được tính chất của những hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó, chứng minh phương trình có k nghiệm trong

 

^{a b;}

.

b)Nội dung: Học sinh tìm hiểu tính chất của những hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó từ đó nêu chứng minh phương trình có k nghiệm trong

 

^{a b;} _.

c) Sản phẩm:

Định lí 1:

a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực  .

b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2: Giả sử ^{y f x( ) và yg x( )} là hai hàm số liên tục tại điểm x⁰. Khi đó:

a. Các hàm số ^{y f x( )g x y( ),  f x( )g x( )} và ^{y f x g x( ). ( )} liên tục tại điểm x⁰.

b. Hàm số

( )

 f x( )

y g x liên tục tại điểm x⁰ nếu ^{g x( ) 0} .

Định lí 3: Nếu hàm số ^{y f x( )} liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và f a f b( ). ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm ^c

 

^{a b;} _{sao cho} f c( ) 0 .

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ: tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

 0

x x trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS: các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x x ⁰ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm x x ⁰ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận GV: HD nêu các định lý HS: nêu các định lý

Định lí 1:

a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực  .

b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2: Giả sử ^{y f x( ) và yg x( )} là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a. Các hàm số ^{y f x( )g x y( ),  f x( )g x( )} và ^{y f x g x( ). ( )} liên tục tại điểm x⁰.

b. Hàm số

( )

 f x( )

y g x liên tục tại điểm x⁰ nếu ^{g x( ) 0} .

Định lí 3: Nếu hàm số ^{y f x( )} liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và

( ). ( ) 0

f a f b thì tồn tại ít nhất một điểm ^c

 

^{a b;} _{sao cho} f c( ) 0 .

*Phương pháp chứng minh phương trình có knghiệm trong

 

^{a b;}

Cho phương trình ^{f x}

 

^{0 *}

 

Để chứng minh phương trình

 

^* _{có k} nghiệm trong

 

^{a b;} , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số a T ¹ T² ... T_k¹b chia đoạn

 

^{a b;} _{thành k}

đoạn thỏa mãn :

   

   

1

1

. 0

...

. 0



 



 

 ^k f a f T

f T f b

Hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên

 

^{a b;} nên liện tục trên k đoạn



a T; 1

 

; ;T T1 2

 

;...; T_k1;b



.

Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình

 

^* _trên

 

^{a b;} _.

VD2. Số nghiệm thực của phương trình : ^{2x36x 1 0} thuộc khoảng



^2;2



_{là :}

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Đáp án : D

Hướng dẫn giải :

Cách 1: Xét hàm số ^{f x}

 

^{2x36x1} liên tục trên



^2;2



_.

Ta có : ^f

 

^{  2 3;f}

 

^{0 1;f}

 

^{1  3;f}

 

^{2 5}_.

Suy ra : ^f

   

^{2 .f 0 0} _; ^f

   

^{0 . 1f 0} _và ^f

   

^{1 .f 2 0} _.

Do đó phương trình : ^{2x36x 1 0}có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng



^2;2



_.

Cách 2 : Sử dụng MTCT.

+ Bấm máy tính giải phương trình bậc 3 (Mode + 5 + 4).

+ Sử dụng chức năng Table (Mode + 7) với hàm số : ^{f x}

 

^{2x36x1}_.

Start: 2 End : 2 Step : 1.

VD3. Cho phương trình

 

^{4 3 2 1 0}

    8

f x x x x

.Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình

 

¹ có đúng một nghiệm trên khoảng



^1;3



_.

B. Phương trình

 

¹ có đúng hai nghiệm trên khoảng



^1;3



_.

C. Phương trình

 

¹ có đúng ba nghiệm trên khoảng



^1;3



_.

D. Phương trình

 

¹ có đúng bốn nghiệm trên khoảng



^1;3



_.

Đáp án : D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số

 

^{4 3 3 1 0}

    8

f x x x x

liên tục trên



^1;3



_.

Ta có :

 

^{1 23;}

 

^{0 1; 1 1 ;}

 

^{1 9;}

 

^{3 23}

8 8 2 16 8 8

          

f f f f f

.

Suy ra : ^f

   

^{1 .f 0 0} _; f

 

^{0 .}f    ¹2 ⁰

; ^{1 . 1}

 

⁰

2

  

  

f f

   

^{1 . 3 0} và

f f

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng



^1;3



_.

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng



^1;3



_.

Cách 2: Sử dụng chức năng Table trên MTCT:

 

^{4 3. 3 1}

   8

f X X X X

Start: 1 , End: 3 , Step: ^{0, 2} ta được kết quả như sau:

Quan sát kết quả ta thấy giá trị của ^{f x}

 

tại các điểm trong khoảng



^1;3



đổi dấu 4 lần. Mà phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực.

Vậy phương trình

 

¹ có đúng bốn nghiệm trên khoảng



^1;3



_{. Do đó D}

là đáp án đúng.

Cách 3: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng



^1;3



. Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên.

VD4. Cho phương trình ^{x3ax2bx c 0 1}

 

trong đó ^{a b c, ,} là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. Phương trình

 

¹ vô nghiệm với mọi ^{a b c, ,} .

B. Phương trình

 

¹ có ít nhất một nghiệm với mọi ^{a b c, ,} . C. Phương trình

 

¹ có ít nhất hai nghiệm với mọi ^{a b c, ,} . D. Phương trình

 

¹ có ít nhất ba nghiệm với mọi ^{a b c, ,} . Đáp án : B.

Hướng dẫn giải.

Cách 1: Dễ thấy a b c  0 thì phương trình

 

¹ trở thành

3   0 0

x x

Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.

Cách 2 :

Đặt ^{f x}

 

^{x3ax2bx c} _{Ta có:}

+ _x^lim_



^{x3ax2bx c}



^{ } với mọi ^{a b c, ,} nên tồn tại một giá trị

 1

x x sao cho f x

 

1 0.

+ _x^lim_



^{x3ax2bx c}



^{ } với mọi ^{a b c, ,} nên tồn tại một giá trị

 2

x x sao cho f x

 

2 0.

Vậy f x f x

   

1 . 2 0 mà ^{f x}

 

liên tục trên  nên suy ra ^{f x}

 

^0 _có

ít nhất một nghiệm trên khoảng



x x1; 2



. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức

Phương trình đa thức bậc lẻ trong đó hệ số bậc cao nhất khác 0 luôn có ít nhất một nghiệm.

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng và ứng dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.

b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục tại x a . B. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên



^{a b;}



_.

C. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

trên khoảng



^{a b;}



là “đường liền”.

D. Phương trình ^{f x}

 

^0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

 

^{a b;} _.

Câu 2: Cho đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ sau:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm tại điểm x0 nhưng không liên tục tại điểm x0. B. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục tại điểm x0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x0. C. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục và có đạo hàm tại điểm x0.

D. Hàm số ^{y f x}

 

không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x0. Câu 3: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x2?

A.

3 4

2

 

 y x

x . B. ^ysinx. C. y x ⁴2x²1 D. ytanx.

Câu 4: Cho hàm số

1 2x 1 ( ) 0

1 3 0

   

 

  



khi x

f x x

x khi x . Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số gián đoạn tại x3.

C. Hàm số gián đoạn tại x0. D. Hàm số gián đoạn tại x1.

Câu 5: Tìm a để hàm số

 

2 1

1 1

1

  

 

 



x khi x

f x x

a khi x liên tục tại điểm x⁰ 1.

A. a1. B. a0. C. a2. D. a 1.

Câu 6: Cho hàm số

 

2

2

2 3 2

2

2

8 2

    

 

    



x x

khi x

f x x

m mx khi x

Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x 2

A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 5 .

Câu 7: Cho biết hàm số

 

³



^{3 2}



^{2 khi}



²



⁰

2

khi 0 khi 2

    

 

 

 

 



x x x

x x x x

f x a x

b x liên tục trên  .

Tính ^{T a2b2}.

A. T 2. B. T 122. C. T 101. D. T 145. Câu 8: Cho hàm số ²

( ) 5

3 2

 

  f x x

x x . Khi đó hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A.



^{ 2; 1}



_{. B.}



^;0



_{. C.}



^{ 2;}



_{. D.}



^2;0



_.

Câu 9: Cho bốn hàm số f x1

 

x⁵ x 2, 2

 

1 1

 

 f x x

x , f x3

 

2sinx3cosx4 và f x4

 

 x

. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập  ?

A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Câu 10: Cho hàm số

 

2 5 6

khi 1 1 .

1 khi 1

  

 

 

  



x x

f x x x

ax x Xác định a để hàm số liên tục trên  . A. a3. B. a6. C. a 5. D. a 6.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực msao cho hàm số

 

^{2 khi 0}

4 khi 0

  

 

 



x m x

f x mx x

liên tục trên  .

A. m2. B. m 2. C. m 2. D. m0. Câu 12: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. ^{f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^{. 0} thì phương trình ^{f x}

 

^0 _có

nghiệm.

II. ^{f x}

 

không liên tục trên

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^{. 0} thì phương trình ^{f x}

 

^0 _vô

nghiệm.

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.

Câu 13: Cho phương trình ^{x33x 1 0}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng



^1;1



_.

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng

 

^1;2 _.

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng



^{ 2; 1}



_.

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng

 

^1;2 _.

Câu 14: Cho phương trình ^{x32x2  x 1 0}. Số nghiệm của phương trình là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 15: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^1;5



_{sao cho} ^f

 

^{  1 3}_; ^f

 

^{5  6}_.

Hỏi phương trình ^{f x}

 

^{ 5} có bao nhiêu nghiệm trên đoạn



^1;5



_.

A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có ít nhất hai nghiệm. D. Có ít nhất ba nghiệm.

c) Sản phẩm: học sinh thể hiện trên bảng nhóm kết quả bài làm của mình ĐÁP ÁN

1A 2B 3A 4A 5C 6A 7A 8A 9D 10D

11C 12A 13C 14D 15B

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục tại x a . B. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên



^{a b;}



_.

C. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

trên khoảng



^{a b;}



là “đường liền”.

D. Phương trình ^{f x}

 

^0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

 

^{a b;} _.

Lời giải Chọn A

Hàm số liên ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} thì mới chỉ có ^lim_{ }

 

^{ ( )}

x a f x f a

. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục tại x a  ^lim 

 

^lim 

 

 ^{( )}

x a f x x a f x f a

. Câu 2: Cho đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ sau:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm tại điểm x0 nhưng không liên tục tại điểm x0.

B. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục tại điểm x0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x0. C. Hàm số ^{y f x}

 

liên tục và có đạo hàm tại điểm x0.

D. Hàm số ^{y f x}

 

không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x0. Lời giải

Chọn B

Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x0 nên nó liên tục tại điểm

0

x nhưng không có đạo hàm tại điểm x0. Câu 3: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x2?

A.

3 4

2

 

 y x

x . B. ^ysinx. C. y x ⁴2x²1 D. ytanx. Lời giải

Chọn A

Ta có:

3 4

2

 

 y x

x có tập xác định: D^ ^{\ 2}

 

, do đó gián đoạn tại x2.

Câu 4: Cho hàm số

1 2x 1 ( ) 0

1 3x 0

   

 

  



khi x

f x x

khi x . Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. Hàm số liên tục trên  . B. Hàm số gián đoạn tại x3. C. Hàm số gián đoạn tại x0. D. Hàm số gián đoạn tại x1.

Lời giải Chọn A

Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên R.

Với x0 ta có hàm số ^{f x}

 

^{ 1 2x 1 }

x liên tục trên khoảng



^0;



_.

Với x0 ta có ^{f x}

 

^{ 1 3x} liên tục trên khoảng



^;0



_.

Với x0ta có: ^f

 

^{0 1}

0

 

0

lim_ lim(1 3 ) 1_

    

x f x x x

.

     

0 0 0 0

1 2 1 2 2

lim lim lim lim 1

1 2 1 1 2 1

   

   

   

       

          

x x x x

x x

f x x x x x

.

Vì

   

0 0

lim_ lim_ (0)

   

x f x x f x f

, nên hàm số liên tục tại x0. Vậy hàm số liên tục trên

 .

Câu 5: Tìm a để hàm số

 

2 1

1 1

1

  

 

 



x khi x

f x x

a khi x liên tục tại điểm x⁰ 1.

A. a1. B. a0. C. a2. D. a 1.

Lời giải Chọn C

TXĐ: D  x⁰  1 D. Ta có : ^f

 

^{1 a}_.

     

2

1 1 1

1 1

lim 1 lim lim 1 2

1 1

  

 

    

 

x x x

x x

x x

x x .

Hàm số ^{f x}

 

liên tục tại điểm x⁰ 1 khi và chỉ khi ^lim_x1 ^{f x}

 

^{ f}

 

^{1  a 2}

.

Câu 6: Cho hàm số

 

2

2

2 3 2

2

2

8 2

    

 

    



x x

khi x

f x x

m mx khi x

Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x 2

A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 5 .

Lời giải Chọn A

Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên R.

 

^{ 2 22 8}

f m m

;

 

²

     

2 2 2 2

2 1 2

2 3 2

lim lim lim lim 2 1 5

2 2

   

 

 

     

 

x x x x

x x

x x

f x x

x x .

Để hàm số liên tục tại x 2thì

   

^{2 2}

2

lim 2 2 8 5 2 3 0 1

3



  

             

x

f x f m m m m m

m

Vây, tổng các giá trị của tham số m bằng 2.

Câu 7: Cho biết hàm số

 

³



^{3 2}



^{2 khi}



²



⁰

2

khi 0 khi 2

    

 

 

 

 



x x x

x x x x

f x a x

b x liên tục trên  .

Tính ^{T a2b2}.

A. T 2. B. T 122. C. T 101. D. T 145. Lời giải

Chọn A

Ta có

     

 

3 3 2 2 1 2

2 2 1

 

 

  

 

x x x

x x x

x x x x x với ^{x x}



^{ 2}



^0.

Ta có hàm số

   

3 2

3 2

2

 

 

x x x

f x x x với ^{x x}



^2



^0 liên tục trên  ^{\ 0;2}

 

nên để hàm

số ^{y f x}

 

liên tục trên  thì hàm số ^{y f x}

 

phải liên tục tại x0 và x2 + Tại x0, ta có ^f

 

^{0 a}_; ^lim_x0 ^{f x}

 

^lim_x0



^{x  1}



¹

. Hàm số liên tục tại ^{x 0 lim}_x0 ^{f x}

 

^{ f}

 

^{0   a 1}

.

+ Tại x2, ta có ^f

 

^{2 b}_; ^lim_x2 ^{f x}

 

^lim_x2



^{x 1}



¹

. Hàm số liên tục tại ^{x 2 lim}_x2 ^{f x}

 

^{ f}

 

^{2  b 1}

. Khi đó T   1² 1² 2.

Câu 8: Cho hàm số ² ( ) 5

3 2

 

  f x x

x x . Khi đó hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A.



^{ 2; 1}



_{. B.}



^;0



_{. C.}



^{ 2;}



_{. D.}



^2;0



_.

Lời giải Chọn A

Hàm số có nghĩa khi

2 2

3 2 0

1

  

       x x x

x .

Vậy theo định lí ta có hàm số ² ( ) 5

3 2

 

  f x x

x x liên tục trên khoảng



^{ ; 2}



_;



^{ 2; 1}



và



^{ 1;}



_.

Câu 9: Cho bốn hàm số f x1

 

x⁵ x 2, 2

 

1 1

 

 f x x

x , f x3

 

2sinx3cosx4 và

4

 



f x x. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập  ?

A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Lời giải Chọn D

 Ta có hai hàm số 2

 

1 1

 

 f x x

x và f x4

 

 x có tập xác định không phải là tập  nên không thỏa yêu cầu.

 Cả hai hàm số f x1

 

x⁵ x 2

và f x3

 

2sinx3cosx4

đều có tập xác định là

 đồng thời liên tục trên  .

Câu 10: Cho hàm số

 

2 5 6

khi 1 1 .

1 khi 1

   

 

  



x x

f x x x

ax x Xác định a để hàm số liên tục trên  . A. a3. B. a6. C. a 5. D. a 6.

Lời giải Chọn D

Tập xác định DR.

 Với x1 ta có

2 5 6

( ) 1

 

 

x x

f x x xác định và liên tục.

 Với x1 ta có ^{f x( )  ax 1} là hàm đa thức nên liên tục.

 Vậy để hàm số liên tục trên  thì ^{f x( )} phải liên tục tại x1. Ta có ^f

 

^{1  1 a}

và

     

²

 

1 1 1 1 1

5 6

lim lim 1 1 ; lim lim lim 6 7.

1

    

    

 

        



x x x x x

x x

f x ax a f x x

x

Hàm số đã cho liên tục tại

     

1 1

1 1 lim_ lim_ 1 7 6.

 

         

x x

x f f x f x a a

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực msao cho hàm số

 

^{2 khi 0}

4 khi 0

  

 

 



x m x

f x mx x

liên tục trên  .

A. m2. B. m 2. C. m 2. D. m0. Lời giải

Chọn C

Trên khoảng



^0;



_{hàm số} ^{f x}

 

^{ x2m} là hàm số liên tục.

Trên khoảng



^;0



_{hàm số} ^{f x}

 

^mx1 là hàm số liên tục.

Ta có _x^lim_0^{ f x}

 

^lim_x0^



^x2m



^{ 2m f}

 

⁰ _và ^lim_x0^{ f x}

 

^_x^lim_0^



^mx4



^4_.

Hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  khi và chỉ khi

     

0 0

lim lim 0

 

   

x f x x f x f

2 4 2

  m   m . Câu 12: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. ^{f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^{. 0} thì phương trình ^{f x}

 

^0 _có

nghiệm.

II. ^{f x}

 

không liên tục trên

 

^{a b;} _và ^{f a f b}

   

^{. 0} thì phương trình ^{f x}

 

^0 _vô

nghiệm.

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.

Lời giải Chọn A

Câu 13: Cho phương trình ^{x33x 1 0}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng



^1;1



_.

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng

 

^1;2 _.

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng



^{ 2; 1}



_.

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng

 

^1;2 _.

Lời giải Chọn C

Hàm số ^{f x}

 

^{x33x1} là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Ta có:

(1)

 

 

^{2 1}

   

^{2 . 1 0}

 

⁰

1 3

  

      

  



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x1  



2; 1



.

(2)

 

 

^{1 1}

   

^{1 . 1 0}

 

⁰

1 3

       

  



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x2 



1;1



.

(3)

 

 

^{1 1}

   

^{1 . 2 0}

 

⁰

2 3

      

 



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x2

 

1;2 .

Vậy phương trình ^{f x}

 

^0có các nghiệm x x x¹, ,^{2 3} thỏa mãn     2 x¹ 1 x² 1 x³2. Suy ra phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng



^{ 2; 1}



_.

Câu 14: Cho phương trình ^{x32x2  x 1 0}. Số nghiệm của phương trình là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn D

Hàm số ^{f x}

 

^{x32x2  x 1 0} là hàm đa thức có tập xác định là  nên liên tục trên  . Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng



1;0 , 0;1 , 1;3

    

. Ta có

+)

 

 

^{1 1}

   

^{1 . 0 0}

 

⁰

0 1

  

     

 



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x1 



1;0



.

+)

 

 

^{0 1}

   

^{0 . 1 0}

 

⁰

1 1

     

  



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x2

 

0;1 .

+)

 

 

^{1 1}

   

^{1 . 3 0}

 

⁰

3 7

      

 



f f f f x

f có ít nhất một nghiệm x3

 

1;3

.

Vậy phương trình trên có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng



^1;3



. Vì phương trình trên là phương trình bậc ba nên có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình trên có đúng 3 nghiệm.

Câu 15: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^1;5



_{sao cho} ^f

 

^{  1 3}_; ^f

 

^{5  6}_{. Hỏi}

phương trình ^{f x}

 

^{ 5} có bao nhiêu nghiệm trên đoạn



^1;5



_.

A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có ít nhất hai nghiệm. D. Có ít nhất ba nghiệm.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{f x}

 

^{ 5  f x}

 

^{ 5 0}_{. Đặt} ^{g x}

 

^{ f x}

 

^5_.

Khi đó

   

 

¹

 

^{1 5 2}

   

^{1 . 5 2.( 1) 2 0}

5 5 5 1

    

       

    



g f

g g

g f

Vậy phương trình ^{g x}

 

^0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng



^1;5



. Do đó phương trình ^{f x}

 

^{ 5} có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng



^1;5



_.

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo 4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu:

- Giải quyết một số bài toán ứng dụng hàm số liên tục trong thực tế .

- Sử dụng định lí giá trị trung gian nhiều lần có thể khoanh vùng các nghiệm của một phương trình và trong một số trường hợp, tìm ra số nghiệm của phương trình đó.

b) Nội dung

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài toán 1: Trong một nhà máy X , dây chuyền sản xuất được hoạt động qua hai công đoạn:

Công đoạn 1: Thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ A đến B được cho bởi phương trình ( ) 2 2

f t t với 0 t 2.

Công đoạn 2: Thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ B đến C được cho bởi phương trình

 

^{  2}

f t t a với t2 và a là độ trễ thời gian của công đoạn 2.

Xác định hệ số a cần cài vào máy ở công đoạn 2 để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục.

Bài toán 2: Chứng minh các phương trình sau có đúng một nghiệm:

a) ^{x53x 1 0}

b) x³2x 4 3 3 2 x.

c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài HS: