Tổng hợp những bài toán Số học hay ôn thi học sinh giỏi quốc gia VMO 2020 - phần 1

(1)

Bài 1.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q sao cho 11^p17^p chia hết cho 3p^q^¹1?

Bài 2.

Tìm tất cả các hàm số f :^*^*, thỏa mãn: n f m( ) | ( )f n nf m( ) với mọi m n, ^*. Bài 3.

Cho dãy số

 

an được xác định như sau:

1 2

2 1 2

2 2 2 1

1 2

2

n n n

n n

a a

a a a

a a



 

 



  



 



với mọi n^*.

Chứng minh rằng với mọi n3 và n3 chia hết cho 8 thì a_n chia hết cho 5.

Bài 4.

Cho dãy số

 

an được xác định như sau: ⁰ ¹

1 1

1, 6

4 2

n n n

a a

a_ a a_

 



  



với mọi n1.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thì a₂k_₁ có ít nhất ba ước nguyên tố.

Bài 5.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



^{x y p}^{; ;}



^{trong đó}^p là số nguyên tố thỏa mãn:

2

2 2

2 1

x p

y p

  



 

 Bài 6.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q thỏa mãn: p^qq^p  pq²19.

Bài 7.

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên n thỏa mãn 2ⁿ3ⁿ chia hết cho n? Bài 8.

Tìm tất cả các số hữu tỉ dương m n p, , sao cho m ¹ , n ¹ , p ¹

np pm mn

   là các số nguyên?

CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC HƯỚNG TỚI VMO 2020 – Phần 1

(2)

Bài 9.

Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

a) 3^x5^y z².

b) x⁵4^y 2013 .^z Bài 10.

Số nguyên dương n được gọi là hoàn hảo nếu tồn tại các số nguyên dương a b c d, , , sao cho:

3 3

2

a b

n c d

 

 a) Chứng minh rằng có vô hạn số hoàn hảo.

b) Số 2019 có là số hoàn hảo không?

Bài 11.

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n với tính chất hai bất kì ,a b của n ( , ) 1a b  thì a b 1 cũng là ước của n.

Bài 12.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q thỏa mãn p²15pqq² là a) Một số lũy thừa của 17.

b) Một số chính phương.

Bài 13.

Số tự nhiên n được gọi là đẹp nếu thỏa mãn các tính chất sau:

i) n là số chính phương không chia hết cho 3.

ii) Với mỗi ước m15 của n thì m15 là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó.

a) Chứng minh rằng nếu n là số lẽ và có ước nguyên tố là p thì p7.

b) Tìm tất cả các số đẹp.

Bài 14.

Tìm tất cả các nguyên dương n sao cho (n n2)(n4) có nhiều nhất 15 ước dương?

Bài 15.

Gọi ( )d n là số ước dương n. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn:

( 1) ( ) ( 1) 8

d n d n d n  Bài 16.

Tìm tất cả các số tự nhiên , ,m n k thỏa mãn: 5^m7ⁿ k³.

(3)

Bài 17.

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



^{m n}^;



^{sao cho}^m^!^ ⁿ^!^^mⁿ^.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



^{a b}^;



^{sao cho}â^^b^{và (}^{a b}^ ⁾âb ^^{a b}^b â^.

Bài 18.

Tìm số nguyên dương a n, sao cho aⁿ²^²ⁿ^¹99 là một số chính phương.

Bài 19.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, đều tồn tại duy nhất một cặp số ( ; )a b sao cho:

  

1 1 2

n 2 a b  a b  a Bài 20.

a) Tìm số nguyên dương x và số nguyên tố p sao cho ^p^x^{ }¹



^p^^{1 !.}



b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương ,m n sao cho 5^m3^m và 5ⁿ 3ⁿ cùng chia hết chomn.