Chuyên đề Giới hạn của Dãy số ôn thi HSG Quốc gia môn Toán Nguyễn Hoàng Vinh

(1)

GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai

1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ

Nguyễn Hoàng Vinh Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai

1 - Nêu vấn đề

Ta xét c{c b|i to{n kh{ kinh điển sau

Bài toán 1: Cho dãy số

 

xn x{c định bởi 1 ⁵ 1

2 , 1

n n 2

x _  x x  . Hãy chứng minh dãy đã cho hội tụ v| tìm giới hạn.

Bài toán 2: Cho dãy số

 

yn x{c định bởi 1 ⁵ 1

1 1

2 ,

2 1 2

n n

y y y

    n 

 . Hãy chứng minh dãy đã cho hội tụ v| tính giới hạn.

Bài toán 3: Cho dãy số

 

zn x{c định bởi 2 ⁵ 1 ⁵ 1 2

2 2 2 , 1

n n n 2

z _  z _  z z z  . Dãy đã cho có hội tụ hay không? Nếu có hãy tính giới hạn.

Để giải quyết b|i to{n 1, có kh{ nhiều hướng đi Hướng 1: Sử dụng định lý Lagrange.

Hướng 2: Chia l|m hai dãy, một dãy tăng v| có giới hạn, một dãy giảm v| có giới hạn để suy ra kết quả.

Tuy nhiên, hai hướng đi n|y kh{ bế tắc trong trường hợp b|i to{n 2 v| 3 khi trong hai b|i to{n n|y có v|i sự thay đổi.

B}y giờ, ta sẽ tổng qu{t hóa 1 lớp h|m cho b|i to{n 1 n|y v| giải được theo hướng 2. Sau đó, sẽ đề xuất c{c mở rộng phù hợp cho hai b|i to{n còn lại.

2 – Dãy số sinh bởi hàm nghịch biến một ẩn

Kh{ nhiều b|i to{n giới hạn có cấu trúc xn_1  f x

 

n với ^{f x}

 

l| h|m số nghịch biến. Ta xét

Bài toán 2.1: Cho h|m số ^f ^:



^{ }^;



^^



^{ }^;



^, l| h|m số liên tục, nghịch biến trên



^{ }^;



v| hệ phương trình

 

x f y y f x

 

 



(2)

2

Có nghiệm duy nhất x y a thì dãy số

 

x_n :x_n_1  f x

 

_n ,x0



 ;



hội tụ về a.

Lời giải:

Giả sử x₀ x₂ thì x1 f x

 

0 x3 f x

 

2 ,x2  f x

 

1 x4  f x

 

3 ....

Qu{ trình n|y tiếp diễn liên tục cho ta

 

x2n l| dãy giảm v|



x2n_1



l| dãy tăng.

Đồng thời hai dãy n|y bị chặn (do thuộc



^{ }^;



) nên hội tụ. Đặt a1 limx2_n,

1 lim 2_n 1

b  x _ v| lấy lim ta có hệ

 

1 2

2 1

a f a a f a

 

 



Hệ n|y có duy nhất nghiệm theo giả thiết nên a1a2 a hay dãy đã cho hội tụ.

Trường hợp x0 x2 l|m tương tự cũng cho ta cùng 1 kết quả.

Nhận xét 2.1: Nếu ^f ^:



^^;^{ }



^



^^;^



^, thì kết quả vẫn đúng do khi đó, giả sử

 

x2n l| dãy giảm v| nó bị chặn dưới bởi ^ nên có giới hạn. Đồng thời từ

2n 2n 1

 

x   x _  f  với mọi n hay dãy



x2n_1



tăng v| bị chặn trên nên cũng có giới hạn. Từ đ}y có kết quả cần tìm.

Ví dụ 2.1: Dãy

 

1 2

: 1

n n 1

n

x x

  x

 thìxn

 

^{0;1 ,} n ⁰và h|m số

 

¹ ₂

f x 1

 x

 nghịch biến trên

 

^0;1 đồng thời ^Im ^f ^

 

^0;1 . Xét hệ phương trình

2

1 1

x y

y x

  



  



Đưa về giải phương trình ₂

2

1 1 1

1 x

x

  

   

, thông qua xét h|m số, ta có phương trình n|y đúng 1 nghiệm nên dãy đã cho hội tụ.

Thật sự, với giả thiết điều kiện của h|m ^f thì khó ứng dụng rộng rãi trong các bài toán khác. Tôi xét bài toán sau

Bài toán 2.2: (Đề thi trường hè to{n học 2016) Cho 1 1 ²

1; 1

2 ⁿ ⁿ ⁿ

x  x _   x x . Tính giới hạn dãy đã cho.

Lời giải: B|i to{n đưa ra vấn đề sau

(3)

3

Cần chặn dãy

 

xn trên khoảng

 

^{a b}^; hợp lý để ^{f x}

 

^{  }¹ ^x ^x² nghịch biến trên đó.

Nếu khởi đầu bằng quy nạp, việc lựa chọn

 

^{a b}^; thích hợp cũng g}y lúng túng cho học sinh.

Ta xét c{ch chặn

 

xn như sau.

- H|m số ^{f x}

 

^{  }¹ ^x ^x² nghịch biến trên ¹; 2

 

 

 .

- Phương trình ^x^{  }¹ ^x ^x² có nghiệm l| 1 v| dự đo{n giới hạn l| 1.

- 1 1 3

1 1,

x  2 x x và suy ra x2 1,x2 x4. Qu{ trình n|y tiếp diễn liên tục tạo ra hai dãy



x2n_1



tăng v|

 

x2n giảm đồng thời x2_n



1;x2



,x2_n_1

 

x1;1 nên hai dãy đã cho hội tụ.

Xét hệ phương trình

2 2

1 1

x y y

y x x

   



  

 cho ta giới hạn của dãy

 

xn là 1.

Nhận xét 1: Chỉ cần 1

1;1 x 2 

    thì dãy cũng hội tụ.

Nhận xét 2: Chỉ cần x1

 

0;1 thì dãy đã cho cũng hội tụ.

Ta có thể mở rộng điều kiện b|i to{n 2.1 từ c{ch giải quyết b|i to{n 2.2 như sau

Bài toán 2.3: Cho h|m số f D: , nghịch biến trên D v| dãy

 

xn x{c định bởi xn_1  f x

 

n v| thỏa điều kiện:

1/ x1x x3, 1 x2 và



x x1; 2



D

2/

 

a f b b f a

 

 

 có nghiệm duy nhất ^a^{ }^b ^ltrên



x x1; 2



. Chứng minh dãy đã cho có giới hạn

Lời giải:

Đầu tiên, ta chứng minh x_n



x x1; 2



D,n. Thật vậy, có thể xét quy nạp không ho|n to|n như sau

(4)

4

 

1 2 2 3 3 1; 2 3 4

x x x x  x x x x x và x1x3 x2 x4  x4



x x1; 2



x3 x5.

Từ đó, ta có x3x x5, 3x x x x4; 3, 4, 5



x x1; 2



. Qu{ trình n|y tiếp diễn liên tục cho ta điều phải chứng minh.

Xét dãy ^x²ⁿ  ^f



^{f x}



²ⁿ²

 

^,^x²ⁿ¹  ^f



^{f x}



²ⁿ¹

 

. Từ chứng minh trên ta có



x2n_1



là dãy tăng v|

 

x2n l| dãy giảm. Đồng thời



x2_n_1

 

 x x1; 2

   

, x2_n  x x1; 2



nên hai dãy đã cho hội tụ.

Đặt alimx2_n,blimx2_n_1. Lấy lim hai vế của xn_1 f x

 

n ta có hệ

 

a f b b f a

 

 



Vậy, theo giả thiết, hệ có nghiệm duy nhất ^a ^b ^l nên ^limxn l.

Nhận xét 2.3: Điều kiện của b|i to{n 2.3 bỏ đi điều kiện cho Imf đồng thời thu hẹp miền có nghiệm duy nhất cho hệ

 

x f y y f x

 

 

 .

Nhận xét 2.4: Điều kiện 1/ có thể thay th|nh x0 x x1, 0 x2. Ví dụ 2.2: Xét dãy

 

1 ³ 0

4 1

, ,

3 2

n

n n

x x _  x x  . Thì khi đó,

 

⁴ ³

3

f x  x l| h|m nghịch

biến, 0 0 2

1 1, 0, 615

x  2 x x  . Mặt kh{c, lại xét hệ

3 3

3 4

a b

b a

  



  

Ta chỉ quan t}m a b, 



x x0; 1



. Thay

4 3

3

b a v|o phương trình đầu để có phương trình



^a^¹



³



â⁶^³â⁵^⁶â⁴^²â³^²¹â²^⁵⁷â^⁴⁴



^⁰

Và do



0 1



; 1 31;

a x x  2 24 nên ^a^¹và suy ra ^b^¹. Vậy, theo b|i to{n 2.2.3, dãy đã cho hội tụ về 1.

(5)

5

Sau đ}y, ta xét thử 1 dãy kh{c với kết cấu h|m thay đổi nhưng c{ch chứng minh vẫn không bị ảnh hưởng.

Ví dụ 2.3:Xét dãy

 

xn x{c định bởi

3

1 1 1 1 1

4 1 1 1

, ; 2 ,

6 2 2 2

n

n n n n

x _ x y _ x y _ y y

      .

Lời giải:

Nhận xét đơn giản ta có:



y2n_1



l| dãy tăng v|

 

y2n l| dãy giảm đồng thời

limy_n 1.

Xét v|i gi{ trị: x10,5;x2 1, 26;x3 0, 75;x4 1,118 v| có bảng dưới.

Khi đó, quy nạp không ho|n to|n ta có hai dãy như sau

1 2 3 4 5 6 7

....

x x x x x x x

y y y y y y y

     

Ta kiểm tra được tính chất xi xi_1 thì x_i_1x_i_2,x_i_2 x_i_3 với mọi gi{ trị i.Và tính được x11,x1x x3, 1x2 nên quy nạp được x2_n_11,



x2_n_1



l| dãy tăng với mọi gi{

trị n nguyên dương. Tương tự, dãy

 

x2n giảm v| bị chặn dưới bởi x1. Vậy hay dãy

  

x2_n , x2_n_1



lần lượt hội tụ về a,b. Khi đó, lấy lim ta có hệ

3 3

3 4

a b

b a

  



   v| hệ n|y đúng 1 nghiệm l| 1 thuộc



x x1; 2



nên dãy

 

xn hội tụ về 1.

(6)

6 Ví dụ 2.4: Xét dãy

 

_n : _n 1 ⁿ , 0 0

n

ax b

x x x

cx d



  

 và ^ad^^bc^^0; ^{a b c d}^{, , ,} ^⁰ thì rõ ràng các phần tử của dãy đều l| số dương đồng thời hệ

x ay b cy d y ax b

cx d

  

 



  

 



cũng chỉ có đúng 1 nghiệm dương. Theo b|i to{n 2.1 ta có dãy đã cho hội tụ.

Ví dụ 2.5: Xét dãy

 

_n : _n 1 ³ 2 , 0 0

n

x x a x

x b

  

 với a,b l| c{c số dương thỏa ^b^a^, b1. Khi đó, dãy đã cho hội tụ theo b|i to{n 1.

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh hệ

3 2

x a

y b y b

x b

  



  



có nghiệm duy nhất thuộc

 

^0;1 , quy đồng rồi trừ theo vế ta có phương trình



^x^^y

 

^{x y}² ² ^^{b x}



²^^xy^^y²

 

^⁰^{. Lại}

chú ý rằng

2 2

2 x y2 1

xy b

x y xy   

  nên có x yđiều cần chứng minh. Thay v|o 1 trong hai phương trình ta có ^x⁵^^bx³ ^^a v| tất nhiên phương trình n|y có nghiệm dương duy nhất.

Ví dụ 2.6: Cho dãy số x0 1,x_n_1cos sin



x_n



thì khi đó, xn

 

^0;1 với mọi n v| lại có h|m số ^{f x}

 

^^{cos sin}



^x



nghịch biến trên (0;1). Xét hệ

 

cos sin cos sin

x y

y x

 

 

 . Thay

phương trình thứ hai v|o phương trình đầu cho ta xcos sin cos sin

  

x

  

, bằng việc khảo s{t h|m số, ta thấy phương trình chỉ có nghiệm duy nhất. Hay hệ có nghiệm duy nhất. Từ đ}y ta có dãy

 

xn hội tụ theo b|i to{n 1.

Ví dụ 2.7: Cho dãy số

2 0 3, _n 1 2^xⁿ

x  x _  . Khi đó, h|m số ^{f x}

 

^²¹^x đi từ



^1,5;^



đến



^1,5;^



do ta chứng minh được theo quy nạp: x_n 1,5 với mọi gi{ trị n.

Xét hệ phương trình

2

2 2

y

x

x y

 



 

, giả sử x < yta có theo định lý Lagrange, tồn tại

x c y để ¹

 

^2. ^{2 ln 2}

ln 2

x y

x y xy c

c xy

     .

Từ đó, ^{2 ln 2}^x ^^xy^^{2 ln 2}^y ^^{2ln 2}^ ^{y x}^, ^^{2ln 2}. Điều n|y m}u thuẫn do ^x^^1,5.

(7)

7

L|m tương tự trường hợp y < x ta cũng dẫn đến m}u thuẫn. Vậy x y, và khi ấy, phương trình

2

2^x

x chỉ có nghiệm duy nhất nên ta có giới hạn dãy đã cho là 2.

Tương tự ý tưởng n|y, ta tổng qu{t hóa 1 b|i to{n như sau Bài toán 2.4: Cho a>1 và ^{f x}

 

nghịch biến trên



^0;^



. Giả sử hệ

 

f x

f y

x a y a

 

 

 có nghiệm dương duy nhất ^x^{ }^y ^l thì khi đó, dãy số x{c định bởi x0 0,x_n_1 a^{f x}^{ }ⁿ

hội tụ.

3 – Dãy số sinh bởi hàm hai biến loại I

Ta xét dãy số 2 1 1 2

2 2 , 1, 1

n n n 2

x _   x x_ x  x  . Bằng c{ch thử bằng m{y tính, ta thấy dãy đã cho hội tụ về 2 v| dãy có kết cấu dạng x_n_2  f x



_n_1,x_n



v| h|m số

 

^,

f x y có tính chất

1/ Đồng biến theo biến y với mọi x dương v| nghịch biến theo biến x với mọi y dương.

2/ Qua tính to{n, ta thấy

 

xn thỏa ¹ ⁵

n 2

x  với mọi gi{ trị n lớn hơn 1 nên hàm số ^{f x y}

 

^, bị chặn.

Từ c{c nhận xét trên, ta thử xét b|i to{n

Bài toán 3.1:Cho h|m số ^{f x y}

 

^, đi từ



^0;^



² đến



^0;^



thỏa điều kiện 1/ v| bị

chặn hay

 

, 0

sup ,

x y

M f x y



  . Đồng thời hệ

 

;

; x f y x y f x y

 

 

 có nghiệm duy nhất l| L thì dãy

 

x_n :x x0, 1 0;x_n_2  f x



_n_1,x_n



hội tụ về L.

Lời giải:Ta sẽ chọn dãy phụ để kẹp dãy

 

xn . Xét hệ dãy

 

0 0

1 1

0,

, 1

,

n n n

u v M

u f v u

v f u v



  

 

 



Khi đó, dễ có u0 x1,...,x x_n, _n_1,x_n_2...v0 với mọi n tự nhiên. Và

   

1 2,..., _n 2 _n 1; _n , _n 3,.... 0; 0 1

u x x_  f x_ x x _  f u v v

đúng với mọi gi{ trị n tự nhiên. Một c{ch tương tự thì

(8)

8

2 4; 5;...; _n;... 2

u x x x v

3 6; 7;...; _n;... 3

u x x x v

<<.<<<<<

2 , 2 1,....

n n n n

u x x _ v

Hay đơn giản hơn: hai dãy

  

x2_n , x2_n_1



bị kẹp giữa hai dãy

   

un ^, vn

Lại có u0 u v1, 0 v1 nên từ định nghĩa hai dãy

   

un ^, vn ta có u2 u v1, 2 v1,... Và quy nạp được

 

un l| dãy tăng,

 

vn l| dãy giảm. Tất nhiên theo tính bị chặn của h|m số ^{f x y}

 

^, cho ta sự hội tụ của hai dãy.

Đặt ^limun u^{, lim}vn v v| lấy lim hai vế của (1) cho ta hệ

 

;

; u f v u v f u v

 

 

 có nghiệm duy nhất l| L hay ^limun ^limvn L.

Áp dụng định lý kẹp, ta có limx2_n limx2_n_1  L limx_n. Nhận xét 3.1:

- Từ c{ch chứng minh trên, ta có thể thay điều kiện h|m số ^{f x y}

 

^, bị chặn bởi dãy

 

xn bị chặn trên *a;b+.

- Ta thay điều kiện 1/ bởi: Đồng biến theo biến y trên *a;b+ với mọi x ^

 

^{a b}^; và nghịch biến theo biến x trên *a;b+ với mọi y ^

 

^{a b}^; .

Áp dụng: Quay lại b|i to{n mở đầu - Do 1 2

; 1;5 u u  2

  nên 3 1 2

5 5

1 2 2 2 2 2 5 1

2 u u u 2

           v| quy nạp được kết quả 1;⁵

n 2

u  

  với mọi n.

- Vậy ta chỉ xét h|m số ^{f x y}



^;



^ ^{2 2}^ ^y^^x trên miền

5 2

1;2

 

 

  v| hệ

2 2

2 2 2 2

x x y

y y x

   



  



chỉ có nghiệm duy nhất l| (2;2) trên vùng 1;⁵ 2

 

 

 . Vậy, dãy đã cho có giới hạn l| 2.

Ví dụ 3.1: Cho dãy 2 1 0 1

2 1

, , 0

1

n n

x x x x

x x



  

  , khi đó, dãy n|y bị chặn bởi 0 v| 2 đồng thời h|m số



^;



² ¹

1 f x y y

x y

 

  đồng thời thỏa cả hai điều kiện:

(9)

9

1/ Đồng biến theo biến y với mọi x dương v| nghịch biến theo biến x với mọi y dương.

2/ Bị chặn v| hệ

 

;

; x f y x y f x y

 

 

 có nghiệm dương duy nhất l| 1.

Vậy, dãy đã cho hội tụ. Ta có limx_n 1.

Bài toán 3.2: Cho h|m số ^{f x y}

 

^, đi từ



^0;



² đến



^0;^



thỏa điều kiện

1/ Đồng biến theo biến x với mọi y dương v| nghịch biến theo biến y với mọi x dương

2/ Bị chặn hay

 

, 0

sup ,

x y

M f x y



  . Đồng thời hệ

 

;

; x f x y y f y x

 

 

 có nghiệm duy nhất l| L thì dãy

 

x_n :x x0, 1 0;x_n_2  f x



_n_1,x_n



hội tụ về L.

Lời giải: Ta nhận xét đ}y l| b|i to{n 3.1 chỉ thay đổi giả thiết của h|m số

 

^;

f x y . Chú ý l| phương ph{p l|m vẫn tương tự như thay đổi c{ch đặt dãy kẹp như sau

 

0 0

1 1

0,

, 1

,

n n n

u v M

u f u v

v f v u



  

 

 



C{c bước còn lại như b|i to{n 2.1 nên ta không viết lại ở đ}y.

Ví dụ 3.2: Cho dãy 2 ¹ 1 0 1

2 1

, , 0

1

n n

x x x x

x x

 



  

  thì dãy này thỏa c{c điều kiện của bài toán 2.2 nên hội tụ về 1.

Ví dụ 3.3: Cho dãy ¹ ² ^1, ² ¹



³ ¹ ¹



n 3 n n

x x  x_  x x _  . Chứng minh dãy đã cho hội tụ.

Lời giải:

- Ta quy nạp được xn

 

^0;1 với mọi gi{ trị n, hay dãy (xⁿ) bị chặn.

- H|m số

 

^; ¹



³ ¹



f x y 3 y  x đồng biến theo x với mọi y thuộc

 

^0;1 v| nghịch biến theo y với mọi x thuộc

 

^0;1 .

(10)

10

- Hệ

 

3

1 1

3

1 1

3

x x y

y y x

   



   



chỉ có nghiệm L duy nhất thuộc *0;1+.

Vậy, dãy đã cho hội tụ.

4 – Dãy số phát sinh bởi hàm hai ẩn loại II

Xét dãy

 

xn x{c định bởi

1 2

2

1

2 3

n 1

n n

x x

x ^ x x _

 



 

  



.

Nhận xét: Dãy đã cho có dạng x_n_2  f x



_n_1,x_n



và



^;



³

f x y 1

x y

   nghịch biến theo từng biến x,y.

Dễ thấy: xn

 

^0;3 với mọi gi{ trị ⁿ^^{1, 2,...}

Đặt

1 1

1

0, 3

3 1 2

n

u v

v u



  



  



 

 

,

Khi ấy ta có: x_n



u v1; 1



với mọi gi{ trị n nên

2 2

1 1

3 3

1 1 2

n

n n

x v

x x u



  

   và 2 2

1 1

3 3

1 1 2 ,

n

n n

x u

x x v



  

  

Điều n|y đúng với mọi gi{ trị ⁿ^⁰. Lập luận tương tự thì

2 3

1 2

3 3

1 1 2

n

n n

x v

x x u



  

   và 2 3

1 2

3 3

1 1 2 ,

n

n n

x u

x x v



  

  

V| điều n|y đúng với mọi gi{ trị ⁿ². Qu{ trình n|y tiếp diễn liên tục thì

   

2 , 2 2 1

m n m

u x_ v  n m

(11)

11

Mặt kh{c, u1u v2, 1 v2 nên 3 2 3 2

2 1 2 1

3 3 3 3

1 2 1 2 , 1 2 1 2

u u v v

v v u u

     

    < qu{

trình n|y l|m tương tự cho ta

 

un l| dãy tăng v|

 

vn l| dãy giảm. Đồng thời hai dãy bị chặn nên tồn tại lim l| a,b thuộc

 

^0;3 . Xét hệ

3 1 2

a b

b a

  

 

 



Thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất trong (0;3). Vậy, lấy lim c{c vế của (1) v| từ định lý kẹp cho ta

limx_n 1

Từ c{ch chứng minh trên v| c{c b|i to{n 2.1, 3.1 ta có b|i to{n tổng qu{t sau Bài toán 4.1: Cho dãy

 

x_n : ,x x1 2,x_n_2  f x



_n_1,x_n



v| bị chặn trên (a;b). Biết

 

^;

f x y thỏa hai điều kiện sau

1/ Nghịch biến theo từng biến trên (a;b).

2/ Hệ

 

;

; x f y y y f x x

 

 

 chỉ có nghiệm (L;L) duy nhất trên (a;b)². Khi ấy, dãy đã cho hội tụ về L.

Phương ph{p chứng minh vẫn tương tự như c{c phần trước v| đã minh họa ở b|i to{n mở đầu nên ta không chứng minh lại nữa.

Ví dụ 4.1: Cho dãy

 

xn x{c định bởi 1 2 2

1

1 1

, 0,

1 1

n

n n

x x x

x x



  

  .

Lời giải:

1. Dãy đã cho bị chặn trên

 

^{0; 2} v| h|m số



^;



¹ ¹

1 1

f x y

x y

 

  nghịch biến theo từng biến trên (0;2).

2. Xét hệ ₂

2 1 2

2 2

2 1

x y x xy x y

y xy x x

y x

       

  

      

  



v| hệ n|y chỉ có nghiệm duy nhất l|

(1;1)

Vậy dãy đã cho có giới hạn l| 1.

(12)

12

Ví dụ 4.2: Cho dãy

 

xn x{c định bởi 2 1 1 2

1 1 1

. 2 ,

1 2 2

n n

n

x x x x

  x     

 . Tính giới

hạn dãy đã cho.

Lời giải: Ta lần lượt kiểm tra c{c điều kiện của b|i to{n 4.1 1/ Ta có x x1, 2

 

0; 2 . Giả sử x x_k, _k_1

 

0; 2 thì

2 1

1 1 1

0 . 2 1 2 2

1 2 2

k k

k

x x

 x 

      



3 2

1

1 1 1

0 . 2 1 2 2

1 2 2

k k

k

x x

 x 



      



Vậy dãy đã cho bị chặn v| giảm theo từng biến.

2/ Xét hệ

1 1

1 2 2

1 1

1 2 2

x y

y

y x

x

   

 



   

 



. Trừ theo vế ta có



^x ^y



¹



¹ ^x



¹¹ ^y



²



² ^x¹ ² ^y



^{0 1}

 

 

 

   

      

 

Mặt kh{c, ta có thể chặn dãy trên chặt hơn: ¹ ¹¹

2xⁿ 10 với mọi gi{ trị n > 2. Từ đó chỉ xét hệ đã cho trên ^{1 11}^;

2 10

 

 

 . Khi đó, do



¹^^x



¹¹^^y



^⁹⁴^và



¹



¹²¹⁰

2 2 x 2 y

    nên

