Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 7. KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

(1)

Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

Chuyên đề 7. KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x thuộc tập số D. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực ℝthì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập D là tập xác định của hàm số.

2. Cho các hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:

+ Hàm số cho bằng bảng;

+ Hàm số cho bằng biểu đồ;

+ Hàm số cho bằng công thức.

3. Đồ thị hàm số

Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên tập D. Đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

trên tập D là tập hợp tất cả các điểm ^{M x f x}



^;

   trên mặt phẳng tọa độ Oxy với mọi x thuộc D.

4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên tập D.

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên tập D nếu

   

1 2 : 1 2 1 2 ;

x x D x x f x f x

    

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên tập D nếu

   

1 2 : 1 2 1 2 .

x x D x x f x f x

    

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho bảng tiêu thụ điện năng của một hộ gia đình trong 12 tháng như sau:

Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Điện năng tiêu thụ (kw.h)

112 90 87 78 99 120 150 90 67 89 87 100

Bảng trên thể hiện sự phụ thuộc giữa điện năng tiêu thụ (kí hiệu là y) và thời gian x (tính theo tháng)

(2)

Với mỗi giá trị x D



1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12



có duy nhất một giá trị y. Vậy ta có một hàm số.

Tập hợp D là tập xác định của hàm số này.

Các giá trị y112, 90,87,... được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng tại x1, 2, 3,....

Nhận xét:

Một hàm số có thể được cho bởi bảng. Tuy nhiên không phải mọi bảng đều là hàm số. Chẳng hạn:

Bảng ghi lại lượng các loại áo sơ mi của một cửa hàng

Màu áo Trắng Xanh Đỏ Vàng Tím

Số lượng 2 14 3 0 6

Trong bảng trên rõ ràng mỗi màu áo

 

^x đều được đặt tương ứng với một và chỉ một con số y. Tuy nhiên dó màu áo

 

^x không phải là số nên quy tắc cho bởi bảng trên không phải là một hàm số.

Ví dụ 2. Cho hai số thực x, y sao cho: Mỗi giá trị ^x



^{  }¹ ^x ¹



tương ứng với y thỏa mãn x²y² 1 . Hỏi quy tắc đặt tương ứng x với y nêu trên có phải là một hàm số không?

Giải

Ta có: Với x 0 y²   1 y 1 . Như vậy với một giá trị x0 được đặt tương ứng với 2 giá trị y phân biệt nên quy tắc đã cho không phải là một hàm số.

Nhận xét:

Một hàm số thường được cho bởi công thức. Tuy nhiên qua ví dụ trên ta thấy không phải mọi công thức đều biểu diễn một hàm số. Một công thức đảm bảo là một hàm số khi mỗi giá trị x thuộc tập xác định D đều đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị y.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^x³^³^x^¹ đồng biến trên ℝ . Giải

Với mọi x1x2



x x1, 2ℝ



ta có:

 

2

 

1



2³ 1³



3



2 1

 

2 1

  12 1 2 22 3

f x  f x  x x  x x  x x x x x x 

Do

2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1

3 3 3 0

2 4

x x

x x x x  x     

  với mọi x x₁, ₂ và x₂x₁0 nên ta có:

 

2

 

1 0

f x  f x  x x₁, ₂ℝ,x₁x₂. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

(3)

Nhận xét :

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập D.

Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm như sau : Với x x₁, ₂D bất kỳ, x₁x₂ . Ta xét thương :

 

2

 

1

2 1

f x f x x x



 + Nếu

 

2

 

1

2 1

f x f x 0 x x

 

 thì ta có hàm số đồng biến trên D.

+ Nếu

 

2

 

1

2 1

f x f x 0 x x

 

 thì ta có hàm số nghịch biến trên D.

Ví dụ 4: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^{ax b a}^



^⁰



(a, b là các tham số, x là số thực). Chứng minh rằng : Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến khi và chỉ khi a0 ; hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến khi và chỉ khi a0 .

Giải

Với mọi x x₁, ₂ phân biệt thuộc ℝ ta có:

 

2

 

1



2 1



2 1 2 1

f x f x a x x

x x x x a

 

 

  .

Hàm số đã cho đồng biến

 

2

 

1

2 1

0 0

f x f x x x a

    

 .

Hàm số đã cho nghịch biến

 

2

 

1

2 1

0 0

f x f x x x a

    

 .

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

C. Bài tập vận dụng

7.1. Tìm điều kiện xác định của các hàm số:

) 2

2 1

a y x x

 

 ₂ 1

) 3 4

b y x

x x

 

 

) 3 4 2

c y x   x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hàm số 2

2 1

y x x

 

 xác định 1

2 1 0 2 1

x x x 2

        

b) Hàm số ₂ 1

3 4

y x

x x

 

  xác định x²3x   4 0 x 1 và x 4 c) Hàm số y x 3 4 2 x xác định

(4)

3 0 3

3 2

4 2 0 2

x x

x x x

   

 

        

7.2. Chứng minh rằng hàm số 1

2 1

y x x

 

 nghịch biến khi 1 x2 Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt

 

¹

2 1

y f x x x

  



Với mọi x₁x₂ và ₁ ₂ 1

, 2

x x  . Xét hiệu:

   

     

    

  

2 1

2 1 1 2 1 2

2 1 2 1

1 1

2 1 2 1

1 2 1 1 2 1 3

2 1 2 1 2 1 2 1

x x

f x f x

x x

x x x x x x

x x x x

 

  

 

     

 

   

Do x₁x₂ và ₁ ₂ 1

, 2

x x  nên ta có x₁x₂0 và 2x₁ 1 0 và 2x₂ 1 0 .

Từ đó dẫn đến f x

 

2  f x

 

1 0 hay f x

 

2  f x

 

1 . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến khi 1 x 2 7.3. Chứng minh rằng hàm số y2x³ x 1 đồng biến

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt ^y^ ^{f x}

 

^²^x³^{ }^x ¹

Với mọi x₁x₂. Xét hiệu:

 

2

 

1 2



2³ 1³

  2 1  2 1 2 12 22 1 2 1 f x  f x  x x  x x  x x  x x x x  





x2x1



x1²x2²



x1x2



²1 Do x₁x₂ nên ta có x₂x₁0.

Từ đó dẫn đến f x

 

2  f x

 

1 0 hay f x

 

2  f x

 

1 . Suy ra hàm số đã cho đồng biến.

7.4. Cho hàm số y2x²1 . Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không?

 

) 1;1

a A ^{b B}⁾



^{0; 1}^



 

) 1;3

c C  ^{d D}⁾



^{2; 2}



Hướng dẫn giải – đáp số Đặt ^y^ ^{f x}

 

^²^x²^¹

(5)

a) Do ¹^ ^f

 

¹ nên suy ra điểm A thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

b) Do ^{ }¹ ^f

 

⁰ nên suy ra điểm B thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

c) Do ^{3 1}^{ } ^f

 

^¹ nên suy ra điểm C không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

d) Do ²^{ }⁷ ^f

 

² nên suy ra điểm D không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.