Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp. 18-25 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG ỨNG VỚI ĐƠN THỨC THUỘC(It :m2)\(It:m)
Hà Thị Thu Hiền
Khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại thương, Hà Nội
Tóm tắt.ChoIlà iđêan cạnh của một đồ thịΓ. Bằng cách sử dụng khái niệm đồ thị có trọng đỉnh và các kết quả trước đó của H.M. Lam và N.V. Trung (Transactions of the American Mathematical Society, 2018) về(It:m)\Ittác giả đã đưa ra một số tính chất của đồ thị có trọngΓaứng với đơn thứcxacủa hiệu(It:m2)\(It:m).
Từ khóa:Đồ thị có trọng, chỉ số ghép cặp, liên thông.
1. Mở đầu
Cho vànhRvàM làR- môđun,ρlà iđêan củaR, đặtΓρ(M) =∪n∈N(0 :M ρn)thìΓρ(M) là một môđun con củaM và được gọi làmôđun con xoắn. Lấy một giải nội xạ củaM, giả sử là
I∗: 0−−→d−1 I0−→d0 I1 −→ · · ·d1 −−−→di−1 Ii d−→i Ii+1−−−→ · · ·di+1 .
Từ giải nội xạ này ta có phức 0 Γρ(d−
1)
−−−−−→Γρ(I0) Γρ(d
0)
−−−−→Γρ(I1) Γρ(d
1)
−−−−→ · · · Γρ(d
i−1)
−−−−−→Γρ(Ii) Γρ(d
i)
−−−−→Γρ(Ii+1) Γρ(d
i+1)
−−−−−→ · · ·. trong đó đồng cấuΓρ(di)được xác định bởi
Γρ(di) : Γρ(Ii)→Γρ(Ii+1) p7→di(p).
MôđunKer(Γρ(di))/Im(Γρ(di−1))không phụ thuộc vào sự lựa chọn giải nội xạI∗củaM và gọi là môđunđối đồng điều địa phương thứicủa M ứng với iđêanρ, ký hiệuHρi(M).
Các vấn đề chi tiết hơn về đối đồng điều địa phương độc giả có thể xem trong [1].
ChoR :=k[x1, .., xn]là vành đa thứcnbiến trên trườngkvàJ,mlần lượt là iđêan thuần nhất, iđêan thuần nhất cực đại của R. Khi đó trong [2], N. Terai và N.V. Trung đã đưa ra kết quả sau:
Mệnh đề 1.1. [2, Lemma 15.2] Cho Je := ∪s∈N(J : ms) là iđêan bão hòa của J. Khi đó Hm0(R/J) =J /Je .
Ngày nhận bài: 12/3/2019. Ngày sửa bài: 22/3/2019. Ngày nhận đặng: 29/3/2019.
Liên hệ: Hà Thị Thu Hiền, địa chỉ e-mail: thuhienha504@gmail.com
Như vậy để biết được sự triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phươngHm0(R/J)củaR/J ứng với mta cần biết iđêan bão hòaJe. Hơn nữa ta biết rằngJ ⊆ J, do đó ta chỉ cần xem xéte hiệuJe\J. NếuJ là iđêan đơn thức thìJecũng vậy, do đó hiệuJe\J gồm các đơn thức. Đặc biệt nếuJ là lũy thừa của iđêan đơn thức không chứa bình phươngImà mọi phần tử sinh tối tiểu của nó đều có bậc 2 thì doI có thể tương ứng với một số đối tượng tổ hợp nên mỗi đơn thức trong Je\J =Iet\Itcũng có tương ứng như vậy. Trong trường hợp ấy tác giả muốn xem xét một số tính chất của các đối tượng tổ hợp đó. Từ định nghĩa củaJeta có
Iet\It= [∪s∈N(It:ms)]\It=∪s∈N[(It:ms)\It].
Trong [3], H.M. Lam và N.V. Trung đã miêu tả tính chất của các đối tượng tổ hợp ứng với các đơn thức thuộc(It :m)\It. Việc hiểu được các lớp(It :ms)\(It :ms−1)còn lại (với số tự nhiên s ≥ 2 tùy ý) là một nhu cầu tất yếu. Hơn nữa, ta có thể xem(It : m)\Itlà đại diện của "lớp lẻ", tức là(It :m2s+1)\(It :m2s), do vậy việc nghiên cứu đại diện của "lớp chẵn" là cần thiết.
Ngoài ra, theo hiểu biết của tác giả, hiện tại chưa có kết quả nào tương tự với các lớp iđêan khác iđêan cạnh. Trong khuôn khổ bài báo này, với hy vọng có thể sử dụng các kết quả của [3], tác giả sẽ nghiên cứu tính chất của đối tượng tổ hợp ứng với mỗi đơn thứcxa∈(It:m2)\(It:m).
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Đồ thị và đồ thị với trọng đỉnh
Đồ thị(vô hướng) là cặpΓ := (V, E) trong đóV là tập đỉnh, E làtập cạnh, mỗi cạnh là tập con hai phần tử củaV (để chỉ rõ tập đỉnh và tập cạnh của đồ thịΓta còn viếtV(Γ)vàE(Γ)).
Ở đây ta chỉ xét đồ thị mà tập đỉnh có hữu hạn phần tử, do đó ta có thể lấyV ={1, . . . , n}. Nếu c={v1, v2}là một cạnh của đồ thị thì ta nói rằng hai đỉnhv1, v2làkề nhauvà cạnhcliên kếtvới các đỉnhv1, v2. Một cạnh {v1, v2}màv1 ≡v2 được gọi làcạnh vòng. Hai cạnhc, c′ gọi làsong songnếu chúng liên kết với cùng một cặp đỉnh. Ta có thể hiểu rằng cạnhcđược tính nhiều hơn 1 lần trong đồ thị đang xét và gọiclàcạnh bội. Một đồ thị được gọi làđơnnếu nó không có cạnh bội và cạnh vòng.
Một đồ thịconcủa đồ thịΓlà đồ thịΩsao choV(Ω)⊆V(Γ), E(Ω)⊆E(Γ). Đồ thị conΩ củaΓđược gọi là đồ thịcảm sinhnếu hai đỉnh củaV(Ω)là kề nhau trongΩkhi và chỉ khi chúng kề nhau trongΓ. Đồ thị cảm sinhΩcủaΓđược gọi là đồ thị cảm sinh thực sự nếuV(Ω)(V(Γ).
Mộtghép cặpcủaΓlà một tập con củaEsao cho hai cạnh khác nhau tùy ý trong đó không có đỉnh nào chung. Số cạnh lớn nhất của một ghép cặp được gọi làchỉ số ghép cặpcủaΓvà được ký hiệu làν(Γ).
Cho số nguyên dươngs. Mộthành trìnhđộ dàistrongΓlà một dãy luân phiên các đỉnh và cạnhP :=v0c0v1c1v2. . . vs−1cs−1vs(vilà đỉnh vàcilà cạnh) trong đồ thị thỏa mãn điều kiệnci liên kết với các đỉnhvi, vi+1với mọii= 0, . . . , s−1. Khi đó ta gọiv0 làđỉnh đầuvàvslàđỉnh cuốicủaP. Nếu các đỉnh của hành trìnhP đôi một khác nhau trừ cặp đỉnh đầu và cuối thìP được gọi là mộtđường dẫn. Nếus≥3và đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối thì đường dẫnP được gọi là một chu trình.
ChoM là một ghép cặp của đồ thịΓ. Một đường dẫnP với hai đỉnh đầu mút không nằm trongM, các đỉnh còn lại thuộc M, bắt đầu với cạnh nối đỉnh đầu mút với một đỉnh nằm trong M và cứ thế các cạnh của nó xen kẽ giữa cạnh thuộcM và không thuộc M được gọi làđường M-mở rộng.
Cho trước đồ thị Γ trên tập đỉnhV = {1, . . . , n}. Nếu ta gán cho mỗi đỉnh icủaV số nguyên dươngwi thì ta gọi cặpΩ := (Γ, w)là đồ thịcó trọng, trong đów := (w1, . . . , wn). Ta gọiΓlàđếcủaΩvàwlàvéc tơ trọng. Hai đỉnh được gọi làkề nhautrongΩnếu chúng kề nhau trong đồ thị đế. Chú ý rằng mỗi đồ thịΓthông thường luôn có thể được xem là đồ thị có trọng bằng cách gán cho mọi đỉnh của nó trọng 1.
Mộtghép cặpcủa đồ thị có trọngΩ là một họM các cạnh củaΩkhông nhất thiết khác nhau sao cho mỗi đỉnh củaΩcó số lần xuất hiện trongM không lớn hơn trọng của nó. Tương tự như với đồ thị thông thường, ta có khái niệm chỉ số ghép cặp củaΩvà cũng kí hiệu làν(Ω). Khái niệm hành trình trong đồ thị có trọng cũng được xác định nếu ta yêu cầu số lần xuất hiện của một đỉnh trong đó không vượt quá trọng của nó.
ChoΩlà đồ thị có trọng trên tập đỉnhV vàΓlà đế củaΩ. Vớia ∈ Nnta ký hiệuVa :=
{i∈ V |ai > 0}. Gán cho mỗi đỉnhi∈ Va trọng mới làai ta thu được đồ thị có trọng trên tập đỉnhVavới đế là đồ thị cảm sinhΓVa. Ta kí hiệu đồ thị này làΓa.
Ví dụ:Các hình vẽ dưới đây lần lượt cho ta một đồ thịΓtrên tập đỉnhV ={1,2,3,4,5}, đồ thị có trọngΩ = (Γ,w)vớiw = (1,1,3,1,2) và đồ thịΓavớia = (1,1,2,4,0) (trọng của mỗi đỉnh nếu lớn hơn 1 thì được viết bên phải kí hiệu đỉnh đó, trọng 1 không được viết).
Hình 1. Đồ thị và đồ thị có trọng
Chi tiết hơn về đồ thị và đồ thị có trọng độc giả có thể xem thêm trong [4] và [5].
2.2. Một số tính chất tổ hợp của Γa
Trong mục này, ta luôn giả thiếtΓlà đồ thị đơn vàIlà idean cạnh củaΓ, tức là I= (xixj| {i, j} ∈Γ).
Trong [5], H.T.T. Hien, H.M. Lam và N.V. Trung đã đưa ra đặc trưng tổ hợp để một đơn thức nằm trong một lũy thừa nào đó củaI.
Bổ đề 2.1. [5, Lemma 15.2] Choalà véc tơ có các tọa độ không âm. Khi đóxa ∈Itkhi và chỉ khiν(Γa)≥t.
Trong [3], H.M. Lam và N.V. Trung đã phân loại các đơn thức của hiệu(It:m)\It. Bổ đề 2.2. [3, Lemma 15.2] Nếuxa ∈(It:m)\ItvàΓaliên thông thì hoặc với mọii∈Vata có xa−ei ∈It−1hoặc tồn tạii∈Vasao choxa−ei ∈(It−1 :m)\It−1.
Tương tự như Bổ đề 2.2 ta cũng phân loại được các đơn thức của hiệu(It:m2)\(It:m).
Hơn nữa khi đồ thị có trọngΓaứng với đơn thứcxatrong hiệu trên liên thông thì ta biết được bậc củaxavà chỉ số ghép cặp củaΓa.
Mệnh đề 2.1. Nếuxa∈(It:m2)\(It:m)thì
1. Hoặc với mọii ∈ Va ta có xa−ei ∈ (It−1 : m)hoặc tồn tạii ∈ Vasao cho xa−ei ∈ (It−1 :m2)\(It−1 :m),
2. Nếu trường hợp đầu tiên của 1 xảy ra vàΓa liên thông thì ta códegxa = 2t−2 và ν(Γa) =t−1.
Chứng minh. 1. Vìxa ∈ (It : m2) nên xaxuxv ∈ Itvới mọi u, v ∈ V. Điều này có nghĩa là ν(Γa+eu+ev)≥tvới mọiu, v∈V. Khi đó với đỉnhitùy ý trongVa, ta có
ν(Γa−ei+eu+ev)≥ν(Γa+eu+ev)−1≥t−1
với mọiu, v ∈ V, do vậy ta nhận đượcxa−ei ∈(It−1 :m2). Vì(It−1 : m2) ⊇(It−1 :m)nên nếuxa−ei ∈/ (It−1 :m)với đỉnhinào đó thìxa−ei ∈(It−1 :m2)\(It−1 :m). Ngược lại với mọi i∈Vata cóxa−ei ∈(It−1 :m).
2. Vìxa ∈/ (It : m)nên tồn tại đỉnh i ∈ V sao choxaxi ∈/ It. Đặtxb = xaxi ta nhận đượcxb ∈(It:m)\(It. Ta sẽ chứng tỏxb−ej ∈It−1với mọij∈Vb.(∗)Thật vậy, ta thấy rằng điều kiệnxa−ej ∈(It−1 :m)với mọij∈Vatương đương với điều kiệnxa−ejm⊆It−1 với mọi j∈Va. Từ đóxb−ej =xa−ejxi ∈It−1với mọij∈Va. Nếui∈VathìVb=Va, do vậy(∗)đúng.
Nếui /∈VathìVb=Va∪ {i}. Ta chỉ cần chứng tỏ(∗)đối với đỉnhi. Vìxa−ei ∈(It−1:m)nên xa = xa−eixi ∈It−1, do đóxb−ei =xa+ei−ei =xa ∈It−1. Ta nhận đượcxb ∈(It :m)\It vàxb−ej ∈It−1với mọij ∈Vb. Hơn nữa, trong trường hợp này, dễ thấy rằngikề với ít nhất một đỉnh củaVa. VìΓa liên thông nênΓb cũng liên thông. Theo H.M. Lam and N.V. Trung (2015), degxb= 2t−1vàν(Γb) =t−1. Do đódegxa = 2t−2và
t−2 =ν(Γb)−1≤ν(Γa)≤ν(Γb) =t−1.
Ở trên ta đã chứng tỏxa ∈ It−1, mà điều này tương đương với ν(Γa) ≥ t−1. Vậy ν(Γa) = t−1.
Bây giờ ta xem xét cấu trúc của Γa khiVa gồm các đỉnh nằm trong các thành phần liên thông khác nhau của đồ thịΓđã cho.
Định lí 2.1. Cho các vành đa thứcA:=k[x1, .., xs], B :=k[xs+1, .., xn], R:=k[x1, .., xn]. Cho Γlà đồ thị đơn trên tập đỉnhV := {1, . . . , n}, không có đỉnh cô lập và có hai thành phần liên thông với hai tập đỉnh làV1 := {1, . . . , s}, V2 := {s+ 1, . . . , n}. Cho các iđeanI := I(Γ)và I1, I2 là các iđean cạnh của hai thành phần liên thông đó xét trong các vành A, B tương ứng, m,m1,m2tương ứng là các iđean thuần nhất cực đại trong các vànhR, A, B. Khi đó
xa ∈(It:m2)\(It:m)vàxa−ei ∈(It−1 :m)với mọii∈Va
khi và chỉ khixa1 ∈(I1t1 :m1)\I1t1, xa1−ei ∈I1t1−1với mọii∈Va1 và
xa2 ∈(I2t2 :m22)\(I2t2 :m2), xa2−ej ∈(I2t2−1 :m2)với mọij∈Va2, t=t1+t2−1, trong đóa1,a2 là các véctơ thu được từabằng cách cho các tọa độ ứng với các tập đỉnhV2, V1 lần lượt bằng 0.
Chứng minh. Giả sửxa ∈ (It :m2)\(It :m)vàxa−ei ∈(It−1 :m)với mọii∈Va. Khi đó vì xa−ei ∈ (It−1 :m)nênxa =xa−eixi ∈It−1, do đóν(Γa) ≥t−1. Nếuν(Γa) ≥tthì ta nhận được mâu thuẫn với giả thiếtxa∈/ (It:m). Vì vậyν(Γa) =t−1. Giả sử
ν(Γa1) =t1−1, ν(Γa2) =t2−1,
ta suy rat1+t2−1 =t. Vìxa ∈/ (It:m)nên tồn tạii∈V sao choxaxi ∈/ It. Do vai trò của các thành phần liên thông là như nhau nên ta có thể giả sửi∈V2. Khi đó
t−1 =ν(Γa) =ν(Γa1) +ν(Γa2)≤ν(Γa1) +ν(Γa2+ei) =ν(Γa+ei)≤t−1.
Ta suy raν(Γa2+ei) =ν(Γa2) =t2−1, do đóxa2xi ∈/ I2t2. Vì vậyxa2 ∈/ (I2t2 :m2). Mặt khác, từ giả thiếtxa ∈(It:m2)vàν(Γa1) =t1−1ta dễ thấy rằngxa2 ∈(I2t2 :m2
2). Ta nhận được xa2 ∈(I2t2 :m2
2)\(I2t2 :m2).
Tương tự, vìν(Γa1) =t1−1nênxa1 ∈/ I1t1. Ta sẽ chứng tỏxa1xj ∈I1t1 với mọij ∈V1. Giả sử ngược lại, tồn tạij∈V1sao choxa1xj ∈/ I1t1. Ta có
t1−1 =ν(Γa1)≤ν(Γa1+ej)≤t1−1,
do đóν(Γa1+ej) =ν(Γa1) =t1−1. Ta nhận được ν(Γa1+e
j) +ν(Γa2+e
i) =t1−1 +t2−1 =t−1.
Điều này có nghĩa làxaxixj ∈/It, mâu thuẫn với giả thiếtxa ∈(It:m2). Vậy xa1 ∈(I1t1 :m1)\I1t1.
Chọni∈V2cố định sao choν(Γa2+ei) =ν(Γa2) =t2−1như kết quả ở trên. Từ giả thiết xa−ei ∈ (It−1 :m)với mọii ∈ Va =Va1 ∪Va2, ta xéti ∈ Va1. Khi đó ta cóxa−eixj ∈It−1. Điều này tương đương với
ν(Γa−ei+ej)≥t−1⇔ν(Γa1−ei) +ν(Γa2+ej)≥t−1⇔ν(Γa1−ei)≥t1−1.
Vì vậy xa1−ei ∈ I1t1−1 với mọi i ∈ Va1. Lại sử dụng giả thiết xa−ei ∈ (It−1 : m) với mọi j∈Va =Va1 ∪Va2, ta chọnj∈Va2 ⊆V2 cố định. Khi đó ta cóxa−ejxi ∈It−1với mọii∈V. Điều này tương đương vớiν(Γa1−ej+ei)≥t−1.
Xéti∈V2thì ta được ν(Γa−e
j+e
i) =ν(Γa1) +ν(Γa2−e
j+e
i)≥t−1⇔ν(Γa2−e
j+e
i)≥t2−1.
Do vậyxa2−ej ∈(I2t2−1 :m2)với mọij∈Va2.
Ngược lại, giả sửxa1 ∈(I1t1 :m1)\I1t1, xa1−ei ∈I1t1−1với mọii∈Va1 và xa2 ∈(I2t2 :m2
2)\(I2t2 :m2), xa2−ej ∈(I2t2−1:m2)với mọij ∈Va2, t=t1+t2−1.
Không mất tổng quát, ta có thể giả sửΓa1,Γa2 liên thông. Khi đó từ [3, Lemma] và Mệnh đề 2.1, ta códegxa1 = 2t1−1,degxa2 = 2t2−2vàν(Γa1) =t1−1, ν(Γa2) =t2−1. Do đó với đỉnh tùy ýi∈Va2 ta có(xa2xi)∈/I1t2. Điều này tương đương với
ν(Γa2+ei)≤t2−1.
VìΓa1 vàΓa2+eithuộc hai thành phần liên thông nên
ν(Γa+ei) =ν(Γa1+a2+ei) =ν(Γa1) +ν(Γa2+ei)≤t1−1 +t2−1 =t−1.
Điều đó chứng tỏ rằngxa ∈/ (It : m). Mặt khác, ta cóν(Γa) = ν(Γa1) +ν(Γa2) = t−1 và ν(Γa1+ei) =t1 với mọii∈ V1,ν(Γa2+ei+ej) =t2 với mọii, j ∈ V2. Vì vậy với hai đỉnh tùy ý i, j∈V, nếu có ít nhất một đỉnh thuộcV1, giả sử lài, thì
ν(Γa+ei+ej)≥ν(Γa1+ei) +ν(Γa2) =t1+t2−1 =t.
Nếui, j∈V2thì
ν(Γa+ei+ej) =ν(Γa1) +ν(Γa2+ei+ej) =t1−1 +t2 =t.
Điều đó chứng tỏ rằngxa ∈ (It : m2). Ta nhận đượcxa ∈ (It : m2)\(It : m). Bây giờ ta sẽ chứng tỏxa−ei ∈(It−1 :m)với mọii∈Va. Nếui∈Va1 thì từ giả thiết ta cóν(Γa1−ei)≥t1−1 nên
ν(Γa−ei) =ν(Γa1−ei) +ν(Γa2 ≥t1−1 +t2−1 =t−1.
Nếui∈Va2 thì từ giả thiết ta cóν(Γa2−ei+ej)≥t2−1với mọij ∈Va2. Ta suy ra ν(Γa−ei+ej) =ν(Γa1) +ν(Γa2−ei+ej)≥t1−1 +t2−1 =t−1 với mọij∈Va2. Vớij ∈Va1 thì
ν(Γa−ei+ej) =ν(Γa1+ej) +ν(Γa2−ei)≥t1+t2−2 =t−1.
Vì vậyxa−eixj ∈It−1với mọij∈Va.
Để chuẩn bị cho việc chứng minh kết quả cuối cùng của bài báo ta sẽ nhắc lại một kết quả của Berge [6].
Bổ đề 2.3. [6, Theorem 1.2.1] Cho ghép cặpM của đồ thịΓ. Khi đó|M |=ν(Γ)khi và chỉ khi Γkhông có đườngM-mở rộng.
Đối với đồ thị có trọng, tương tự với khái niệm đườngM-mở rộng, trong [5] các tác giả H.T.T. Hien, H.M. Lam và N.V. Trung đã định nghĩa hành trìnhM-mở rộng. Họ cũng chứng tỏ rằng với khái niệm đó ta có một phiên bản của Bổ đề 2.3 dành cho đồ thị có trọng. Để cho tiện ta sẽ gọi nó là phiên bản có trọng.
Choxa ∈(It:m2)\(It :m). Từ Mệnh đề 2.1, ta có hai trường hợp đối với các đỉnh của Va. Hơn nữa Mệnh đề 2.1 và Định lí 2.1 đã cho ta các tính chất củaΓa nếuxa−ei ∈ (It−1 : m) với mọii∈Va. Sử dụng Định lý 2.1 và Bổ đề 2.3 (phiên bản có trọng) ta có một kết quả về ghép cặp củaΓađối với trường hợp còn lại.
Định lí 2.2. Cho xa ∈ (It : m2)\ (It : m),Γa liên thông và tồn tại đỉnh i ∈ Va sao cho xa−ei ∈(It−1:m2)\(It−1 :m). Khi đóν(Γa) =t−1.
Chứng minh. Vìxa ∈/(It:m)nên tồn tạij∈V sao choxaxj ∈/ It, do đó ν(Γa)≤ν(Γa+ej)≤t−1.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra một ghép cặp củaΓacót−1cạnh bằng quy nạp theo số đỉnhi∈Vathỏa mãn điều kiệnxa−ei ∈ (It−1 :m2)\(It−1 :m). NếuVa chỉ có duy nhất một đỉnh như vậy thì ta có thể chứng tỏ đượcxa−ei−ej ∈(It−2 :m)với mọij∈Va−ei. NếuΓa−eiliên thông thì theo Mệnh đề 3.3,degxa−ei = 2(t−1)−2 = 2t−4. Khi đódegxa+2ei = 2t−1nênxax2i ∈/It, điều này mâu thuẫn với giả thiếtxa ∈(It:m2). Ta suy raΓa−eikhông liên thông. Theo Định lí 2.1,Γa−ei
gồm hai phần rời nhau, giả sử làΓa1 vàΓa2 trong đóa1,a2là các véctơ nhận được từa−eibằng cách lần lượt cho các tọa độ ứng với các tập đỉnhVa1, Va2 bằng 0 và
xa1 ∈(I1t1 :m1)\I1t1, xa2 ∈(I2t2 :m2
2)\(I2t2 :m2),(t1−1) + (t2−1)−1 =t−1.
VìΓaliên thông nênichính là đỉnh nối hai phần này, do đóiphải kề với một đỉnh củaVa1, giả sử làj. Ta biết rằng một ghép cặp cực đại củaΓa−ei gồm một ghép cặp cực đạiM1 củaΓa1 và một ghép cặp cực đạiM2 củaΓa2. Hơn nữa,ν(Γa1−ej) = ν(Γa1)nên ta có thể lấyM1 là một ghép cặp củaΓa1−ej. VìM =M1∪M2có(t1−2) + (t2−2) =t−2cạnh nênM∪ {{i, j}}là một ghép cặp củaΓacót−1cạnh. Giả sửVacó ít nhất hai đỉnh giảm được. NếuVa−eikhông có đỉnh nào giảm được thì bằng cách lập luận như trên ta cũng có điều tương tự. NếuVa−eicó ít nhất một đỉnh giảm được thì theo giả thiết quy nạp, ta cóν(Γa−ei) = t−2. Từ giả thiếtxa ∈ (It : m2) ta suy raxax2i ∈ It. Điều này tương đương vớiν(Γa+2ei) ≥ t. Mặt khác, vì ν(Γa) ≤ t−1 nên ν(Γa+2ei) ≤ t+ 1. Nếu ν(Γa+2ei) = t+ 1 thì rõ ràngν(Γa) = t−1. Vì vậy ta giả sử ν(Γa+2ei) =tvàMlà một ghép cặp củaΓa+2eicótcạnh. Dễ thấy rằng mọi láng giềng củaiđều thuộcVa−ei. Nếu số lần xuất hiện của đỉnhitrongM nhiều nhất làai+ 1thì bằng cách bỏ đi một cạnh chứai, ta nhận được một ghép cặp củaΓacót−1cạnh. Ngược lại, giả sử số lần xuất hiện của đỉnhitrongM làai+ 2. Vìai≥1nên có ít nhất 3 cạnh trongM chứa đỉnhi, giả sửj1, j2, j3 là các láng giềng củaitrong các cạnh đó. Rõ ràngj1, j2, j3 ∈Va−ei. Khi đó từM ta nhận được ghép cặpM′ =M\ {{i, j1},{i, j2},{i, j3}}củaΓa+2ei cót−3cạnh. Vìν(Γa−ei) =t−2nên theo Bổ đề 3.5 (phiên bản có trọng) tồn tại một hành trìnhP làM′-mở rộng chứa các đỉnh đầu mút là hai trong ba đỉnhj1, j2, j3, giả sử làj1, j2. TừP ta nhận được một ghép cặp mới củaΓa−ei
cót−2cạnh. Ghép cặp này cùng với cạnh{i, j3}cho ta một ghép cặp củaΓacót−1cạnh.
3. Kết luận
Như vậy các kết quả mới của tác giả là đã đưa ra bậc chính xác của mỗi đơn thứcxa ∈(It: m2)\(It :m)khiΓaliên thông và một bất biến tổ hợp rất quan trọng đó là chỉ số ghép cặp của Γatrong cả hai trường hợpΓaliên thông và không liên thông. Những hiểu biết này cho phép tác giả có thể tiêp tục nghiên cứu sâu hơn vềΓavớixa ∈(It :m2)\(It:m), cũng như tiếp tục với các đơn thức của hiệu(It:ms)\(It:ms−1)với một số tự nhiêns >2tùy ý.
Lời cảm ơn:Tác giả trân trọng cảm ơn sự tài trợ của trường Đại học Ngoại thương, thông qua Đề tài cấp trường với mã số NTCS2018-27.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Brodmann and R.Y. Sharp, 1998, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 60, Cambridge University Press, Cambridge.
[2] N. Terai and N.V. Trung, 2014,On the associated primes and the depth of the second power of squarefree monomial ideals, J. Pure Appl. Algebra218, 1117-1129.
[3] H.M. Lam, N.V. Trung, 2018, Associated primes of powers of edge ideals and ear decompositions of graphs, Transactions of the American Mathematical Society.
[4] C. Godsil, G. Royle, 2001,Algebraic graph theory, Springer-Verlag New York.
[5] H.T.T. Hien, H.M. Lam, N.V. Trung, 2015,Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J. Algebra439, 225-244.
[6] L. Lovasz, M.D. Plummer, 2009,Matching Theory, AMS Chelsea Publishing.
ABSTRACT
Some properties of a weighted graph corresponding to a monomial in(It:m2)\(It:m)
Ha Thị Thu Hien Faculty of Basic Sciences, Foreign Trade University, Ha Noi LetI be edge ideal of a graphΓ. By using the notion of vertex weighted graph and H.M.
Lam and N.V. Trung’s results on(It:m)\It(Transactions of the American Mathematical Society, 2018), the author gave some combinatorial properties of a weighted graphΓa corresponding to a monomialxain(It:m2)\(It:m).
