Tính đơn điệu của hàm số

(1)

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Các kiến thức cần nhớ :

1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

* Hàm số y = f x( ) đồng biến trên K nếu x x₁, ₂K x: ₁x₂ f x( )₁  f x( )₂

* Hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K nếu x x₁, ₂K x: ₁x₂ f x( )₁  f x( )₂ Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

2. Định lý : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K

a) Nếu f x'( )0,  x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K b) Nếu f x'( )0,  x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K 3. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x'( )0,  x K và f x'( )0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

b) Nếu f x'( )0,  x K và f x'( )0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

c) Nếu f x'( )  0, x K thì f x( ) không đổi trên K

Các dạng toán thường gặp Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Quy tắc :

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính đạo hàm f '( )x . Tìm các điểm x i_i( 1, 2,..., )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+ Lập bảng biến thiên

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Hàm số yx⁴2x²2016 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. B. C. D.

Giải:

Ta có: . Khi đó . Bảng biến thiên

x 0 1 y' 0 + 0 0 + y



^{ }^{; 1}

 

^^1;1

 

^^{1; 0}

 

^^;1



4 2 3

yx 2x 2016 y ' 4x 4x x 0

y ' 0

x 1

 

    

 1 

 

(2)

2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng . Suy ra đáp án A đúng.

Ví dụ 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào ?

A. B. C. D.

Giải:

Ta có

Bảng biến thiên

x 1 y’ + 0 - 0 - 0 y

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng Bài tập:

Câu 1. Hàm số y  x³ 3x²1 đồng biến trên các khoảng:

A.



^^;1



^B.

 

^{0; 2} ^C.



^2;^



^{D. R.}

Câu 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số yx³3x1 là:

A.



^{ }^{; 1}



^B.



^1;^



^C.



^^1;1



^D.

 

^{0;1 .}

Câu 3. Hàm số ² 1 y x

x

 

 nghịch biến trên các khoảng:

A.



^^{;1 ; 1;}

 

^



^B.



^1;^



^C.



^{ }^1;



D. R\ {1}.

Câu 4. Các khoảng đồng biến của hàm số y2x³6x là:

A.



^{ }^{; 1 ; 1;}

 

^



^B.



^^1;1



^C.



^^1;1



^D.

 

^{0;1 .}

Câu 5. Các khoảng nghịch biến của hàm số y2x³6x20 là:

A.



^{ }^{; 1 ; 1;}

 

^



^B.



^^1;1



^C.



^^1;1



^D.

 

^{0;1 .}

Câu 6. Các khoảng nghịch biến của hàm số yx³x²2 là:

A.



^{; 0 ;}



²^;

3

 

   B. 0;² 3

 

 

  C.



^^{; 0}



^D.



^3;^



^.

Câu 7: Cho hàm số: f x( )= -2x³+3x²+12x- 5. Trong các m nh đề sau, tìm m nh đề sai:



^{ }^{; 1 , 0;1}

  

4 3

y  x 2x 2x 1

; 1 2

  

 

 

1; 2

 

 

 



^^;1

 

^{ }^;



3 2

x 1

y ' 4x 6x 2 0 2

x 1

  

     

 



 1

2 

5

16

 

1; 2

 

 

 

(3)

3

A. x giảm trên khoảng ( 3 ; 1)- - B. x t ng trên khoảng ( 1;1)- C. x giảm trên khoảng ; 0 D. x giảm trên khoảng ( 1; 3)- Câu 8: Cho hàm số f x( )=x⁴- 2x²+2. Trong các m nh đề sau, tìm m nh đề đúng:

A. x giảm trên khoảng ( 2 ;0)- B. x t ng trên khoảng ( 1;1)- C. x t ng trên khoảng 2 ; 5) D. x giảm trên khoảng 0 ; Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số yx³12x12 là:

A.



^{ }^{; 2 ; 2;}

 

^



^B.



^^{2; 2}



^C.



^{ }^{; 2}



^D.



^2;^



^.

Câu 10. Các khoảng nghịch biến của hàm số yx³6x²9x là:

A.



^^{;1 ; 3;}

 

^



^B.

 

^1;3 ^C.



^^;1



^D.



^3;^



^.

Câu 11. Hàm số yx⁴2x²3 nghịch biến trên khoảng nào ?

A.



^{ }^{; 1}



^B.



^^1;0



^C.



^1;^



^D.

Câu 12.Khoảng đồng biến của là: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất A. (-∞; -1) B.(3;4) C.(0;1) D. (-∞; -1); (0; 1).

Câu 13. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? Hãy chọn câu trả lời đúng nhất.

A. (-∞; B. ; +∞ ;

C.Nghịch biến trên từng khoảng xác định D. Đáp án khác Câu 14. Chọn câu trả lời đúng nhất . Hàm sô nghịch biến trên:

A. (-∞; 0 B.(0; 9) C. 9; + ∞ D.( -∞; 9 Câu 15.Khoảng nghịch biến của hàm số là

A.(0;3) B.(2;4) C.(0; 2) D. Đáp án khác

Dạng 2 : Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên K cho trước Phương pháp : Xét hàm số y f x( ) trên K

 Tính f '( )x

 Nêu điều ki n của bài toán :

+ Hàm số đồng biến trên K  f x'( )  0, x K + Hàm số nghịch biến trên K  f x'( )  0, x K

 Từ điều ki n trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m

 CHÚ Ý : Cho hàm số ^{f x}^{( )}^^ax²^^{bx c}^



^a^⁰



 0

( ) 0,

0 f x x a

     

 0

( ) 0,

0 f x x a

     

Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:

B . Tính đạo hàm ’ x,m .

4 2

y x 2x 4

  y x

x 2

4 3

12 yx  x

3 2

yx 3x 4

(4)

4 B . Lý luận:

Hàm số đồng biến trên K

B3. Lập BBT của hàm số g x trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m, hàm số

f (x)

^

mx

³^

3x

² ^

 m

^

2 x 

^

3

nghịch biến trên R

?

Giải:

TXĐ: R Ta có:

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

 m = 0, khi đó ’ x = : không thỏa .

 , khi đó

Vậy, với thì thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2: Định m để hàm số

mx 1 y x m

 



luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Giải:

TXĐ:

Đạo hàm: . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số

y 1 mx

³

 m 1 x 

²

3 m  2 x  1

3 3

     

đồng biến trên

 2;  

.

Giải:

Ta có:

Hàm số đồng trên

(vì x² – 2x + 3 > 0) Bài toán trở thành:

Tìm m để hàm số

f '(x,m) 0, x K

   

 

m g(x), x K m g(x)

    

f '(x)  3mx

2

 6x   m 2

f '(x)  3mx

2

 6x      m 2 0, x R 6x 2 0 x 1

      3

 

x R

m



0 m 0

f '(x) 0, x R

9 3m(m 2) 0

 

          

2

m 0 m 0

m 1

m 1 v m 3 3m 6m 9 0

 

 

                m

 

1

 

D  R \  m

 

2 2

m 1 y ' x m

 



y'      0, x m m

2

     1 0 m 1 v m 1 

   

y'



mx

2

2 m 1 x

 

3 m



2

 2;

     

 y' 0, x 2 mx

² 

2 m 1 x 







3 m 



2 

  

0, x 2



²



2

6 2x

m x 2x 3 2x 6 0, x 2 m , x 2

x 2x 3

            

 

 

₂

6 2x

f x m, x 2

x 2x 3

    

 

(5)

5 Ta cụ

BBT:

x 2 ’ x 0

f(x) 0

Ta cần cụ: . Đụ lỏ cõc giõ trị cần tớm của tham số m.

Vợ dụ 4: Định m để hỏm số y= x³+ 3x²+

(

m+1

)

x+ 4m. Nghịch biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

Giải:

TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ= 3x²+ 6x+ m+1

Hỏm số nghịch biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

í yđê 0," ẽ -x

(

1;1

)

í 3x²+ 6x+ m+ ê1 0," ẽ -x

(

1;1

)

(1) Xờt BPT (1): (1)í mê - 3x²- 6x- =1 g x( )

Xờt hỏm số g x( ),xẽ -

(

1;1

)

Cụ: ^{g x}^đ^{( )}^{= -} ⁶^x^- ⁶^ê ^0,^{" ẽ -}^x

(

^1;1

)

BBT:

Từ BBT suy ra ^m^ê ^{g x}^{( ),}^{" ẽ -}^x

(

^1;1

)

^í ^m^{ê -} ¹⁰

Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

í mê - 10 Bỏi tập:

Cóu 1. Cho hỏm số

2

1 3

2 2016

3 2

y x mx  x . Với giõ trị nỏo của m, hỏm luừn đồng biến trởn tập xõc định

A . m2 2 B . m 2 2 C . m 2 2 m 2 2 D. Một kết quả khõc Cóu 2: Giõ trị của m để hỏm số y ^mx ⁴

x m

 

 nghịch biến trởn mỗi khoảng xõc định lỏ:

     

2

2 2 2

2x 12x 6

f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6

x 2x 3

 

        

 

3  6 

2 3

2; 

max f (x) m m 2 3



  

(6)

6

A.   2 m 2 . B. 2   m 1 C. 2  m 2 D. 2  m 1 Câu 3. Hàm số ¹ ³



¹



²



¹



²

y3x  m x  m x đồng biến trên tập xác định của nó khi:

A. B. C. D.

Câu 4. Với giá trị nào của m thì hàm số ¹ ³ 2 ² 2

y 3x  x mx nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. m4 B. m4 C. m4 D. m4

Câu 5. Hàm số đồng biến trên ; thì m thuộc tập nào sau đây:

A. B. C. D.

Câu 6. Giá trị của m để hàm số y ^mx ⁴ x m

 

 nghịch biến trên (;1)là:

A.  2 m2B.  2 m 1 C.  2 m2D.  2 m1

Câu 7. Cho hàm số . Với giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

A.m<1/9 B. C.Không có m D.Đáp án khác

Câu 8. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định A.m<1 B.m>-2 C.m<-2 D.đáp án khác Câu 9. Hàm số luôn đồng biến khi

A. B. C. D.cả a,b,c đều đúng

Câu 10. Hàm số luôn t ng khi

A.Không có m B. C. D.cả a,b,c đều đúng Câu 11. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi

A.-1<m<1 B. C.Không có m D.Đáp án khác 4

m    2 m 1 m2 m4

3 2

y  x mx m

3^; ;3 ^_ _; ^_

 

3 3

2 ; 

3 2

3 1999

yx  x mx 1/ 9 m

x m

y x 1

 



3 2

3 1

yx mx  x

3 m 3

     2 m 2   3 m 3

3 2

1 ( 1) 2( 1) 2

y3x  m x  m x

1 m 3 0 m 3

x m

y mx 1

 



1 m 1

  

(7)

7