Vận dụng cao - 138 câu hỏi Tính đơn điệu của hàm hợp có lời giải chi tiết

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ bên. Hàm số

 

²

  

¹



²

g x  f x  x đồng biến trên khoảng nào?

A.



^3;1



^{. B.}

 

^{1;3 . C.}



^;3



^{. D.}



^3;



^.

Lời giải Chọn B

Ta có ^y2f

 

^{x 2x  2 0 f}

 

^{x   x 1.}

Kẻ đường thẳng y  x 1 qua các điểm



^{3; 2 ,}

 

^{2;1 ; 3; 4}

 

^



Ta có ^f

 

^{x   x 1 3}

1 3

x x

  

    .

138 BÀI TOÁN CHỌN LỌC

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP

Xét khoảng mà đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x nằm bên trên đường thẳng y  x 1 suy ra hàm số ^{yg x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^1;3 .

Câu 2: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Hàm số ^{y f}

 

^x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số



²



y f x đồng biến trên khoảng

A.

 

^1;3 . B.



^2;



. C.



^2;1



. D.



^{ ; 2}



. Lời giải

Chọn C

Ta có



²



⁰



²



^{0 2 1}

1 2 4

y f x f x x

x

  

             

3

2 1

x x

 

    . Do đó, hàm số ^{y f}



^2x



đồng biến trên khoảng



^2;1



.

Câu 3: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Hàm số ^{y f}

 

^x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số



^{2 2}



y f x  đồng biến trên khoảng

A.



^{0; 6}



^{. B.}

 

^{0;1 . C.}



^{ 3;0}



^{. D.}

 

^{1; 3 .}

Lời giải Chọn D

Ta có ^{y2 .x f}



^x22



^0

* Nếu x0 thì ^f



^x22



^0 ₂^{1 2 2 1 1}₂ ^{2 3 1 3}

2 4 6 6

x x x

x x x

         

   

    

   .

* Nếu x0 thì ^f



^{x2 2}



^{0 1}₂ ^{2 2 4 3}₂ ^{2 6 1 0}

6 3

2 1 1

x x x

x

x x

  

       

  

   

    

  .

Do đó, trong các đáp án đã cho thì hàm số ^{y f x}



^22



đồng biến trên khoảng

 

^{1; 3 .}

Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^yx2



^x1

 

^x24



^{. Hàm số y f}



^2x



đồng biến trên khoảng

A.



^{; 0}



^{. B.}

 

^{0;1 . C.}



^2;



^{. D.}

 

^{1; 4 .}

Lời giải Chọn B

Ta có ^{y f}



^2x



^{2 .x f}



^2x



^{2 . 2x}



^x

 

^{2 2 x 1}

  

^2x



^24



Do đó ^{y   }



^{2 x}

 

^{2 1x}

 

^x24x



^.

Suy ra ⁰



¹



²



²



^{2 4}



^{0 0 1}

4

y x x x x x

x

  

         

Vậy, từ các đáp án đã cho ta có hàm số đồng biến trên khoảng

 

^0;1 . Câu 5: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau

Hàm số ^{y f x}



^22



nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

A.



^{2; 0}



^{. B.}



^2;



^{. C.}

 

^{0; 2 . D.}



^{; 0}



^.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{y f}



^2x



^{2 .x f}



^{x2 2}



^{2 .x f}



^{x2 2}



⁰

* Nếu x0 thì y 0 ^{ f}



^{x2 2}



⁰ ₂^{2 2 2 0 2}

0 2

2 2 x x

x x

     

 

    

 .

* Nếu ^x⁰ thì y 0 ^{ f}



^x22



^{0 2 2}₂ ^{2 2 2}

0 2 2

x x

x

   

     

  

 .

Do đó, đáp án đúng trong các đáp án đã cho hàm khoảng



^2;



.

Câu 6: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

  

^{x x x1}

 

^{2 x2}



. Hỏi hàm số ₂5 4 y f x

x

 

    đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 2}



. B.

 

^{0; 2 . C.}

 

^{2; 4 . D.}



^2;1



^.

Lời giải Chọn C

Ta có:

 

 

2 2

2

2 2

2 2 2 2

5x 5

4 . 4

5 4 5 5 5

1 2

4 4 4

4

x x x x

x x x

y f x

x x

x

            



   

      .

Do đó:



^{4 2}



^{5 2 4}

 

^{2 5 2 2 8}



^{0 2 4 4}

2 0

0 x

x x x x x x

y

x

 

        

  



   .

Đối chiếu các phương án ta chọn C.

Câu 7: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm trên và có đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ.

Đặt ^{g x}

 

^{ f x}



^22



. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng



^2;



. B. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng

 

^{0; 2} . C. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^1;0



. D. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{ ; 2}



^.

Lời giải Chọn C

Ta có:

   

 

2 2

2

2 2

0 0

2 0 2 2 2

( ) 2 2 0

2 0

0 0

2 2

2 0

x x

f x x x

g x xf x

x x x

f x x

   

    

     

               .

Đối chiếu các phương án ta chọn ^C.

Câu 8: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hàm số ^{y f}



^3x



đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^;0



. B.

 

^{4; 6} . C.



^1;5



. D.

 

^{0; 4} . Lời giải

Chọn D

Ta có ^{y f}



^3x



^{ 0 f}



^3x



        ^{0 1 3 x 3 0 x 4}. Vậy hàm số ^{y f}



^3x



đồng biến trên khoảng

 

^{0; 4} .

Câu 9: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^{x x2}



^x1



^x4

  

^{g x} , trong đó ^{g x}

 

^{ 0, x.}

Hàm số ^{y f x}

 

² đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 2}



. B.



^1;1



. C.



^{ 2; 1}



. D.

 

^{1; 2} . Lời giải

Chọn C

Ta có ^{y2xf}

 

^{x2 2x x}

  

^{2 2 x21}



^{x2 4}

  

^{g x2}

      

5 2

2x x 1 x 2 x 1 x 2 g x

    

Ta có

2

' 0 2 1

0 1

x

y x

x

 

     

  



.

Vậy hàm số ^{y f x}

 

² đồng biến trên mỗi khoảng



 2; 1 , 0;1 , 2;

   

 



. Câu 10: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị ^f

 

^x như hình vẽ bên

Hàm số ^{y f x}

 

³ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 1}



^{. B.}



^{1; }



^{. C.}



^1;1



^{. D.}

 

^{0;1 .}

Lời giải

x  1 3 

y _ 0  0 _

y  4

2 ^

Chọn B

Ta có ^{y3x f2 }

 

^{x3 .}

Do 3x²   0, x nên y  0

 

^{3 0 3 1}₃ ¹

1 0

1 0

x x

f x

x x

   

        .

Suy ra hàm số ^{y f x}

 

³ đồng biến trên khoảng



^{1; }



^.

Câu 11: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^{x x x}



^21

 

^x4



^{. Hàm số y f}



^3x



^đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

^2;3 . B.



^1;3



. C.



^4;



. D.

 

^3;4 . Lời giải

Chọn D

Ta có



³

 

³

 

³



^{2 1 3}



⁴



^{0 1 2}

3 4

y f x x x x x

x

  

  

                  .

Câu 12: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^{x xx2}



^x1

 

^x2mx5



. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số ^{y f x}

 

² đồng biến trên khoảng



^1;



^.

A. 4. B. 5. C. 7. D. 3.

Lời giải Chọn A

Ta có ^{y2xf}

 

^{x2 2x x}

  

^{2 2 x21}



^{x4mx2 5}



^2x5



^x21



^x4mx25



^.

Yêu cầu bài toán y0,  x 1^2x5



^x21



^x4mx25



^,

1

 x ^{4 2 4} ₂ 5

x 5 0, 1 x , 1

x m x m x

x

            . Đặt ^{g x}

 

^x4 ₂ ^{5 x2 5}₂

x x

  

     

Ta có ² 5₂ 2 5

x x  ^{g x}

 

^{ 2 5},  x 1

 

 

Max1; g x 2 5

    khi x⁴5.

4

 

2

5

m x g x

x

    , x 1

 

 

Max1; 2 5 4,4

m g x

      . Vậy có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn bài toán.

2 4 3

1 3 1

f x x x x mx  . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm m để hàm số ^{y f x}

 

² đồng biến trên khoảng



^0;



^.

A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.

Câu 13: Cho hàm số y f



^x



có đạo hàm

     

Lời giải Chọn D

Ta có ^{y2xf}

 

^{x2 2x x}

 

^{2 x21}

 

^{2 3x8mx61}



^.

Yêu cầu bài toán  y0,  x 03x⁸mx⁶ 1 0,  x 0 ^{m 3x8}₆ ^{1 g x}

 

x

     .

Ta có ² 1₆ ^{2 2 2} 1₆

3x x x x 4

x x

      ^{g x}

 

^{ 4,  x 0} _{ }

 

0;

Maxg x 4

    khi x1.

8

 

6

3x 1

m g x

x

    , x 0

 

 

0;

Max 4

m g x

     . Vậy có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn bài toán.

Câu 14: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^f

  

^{x x x1}



²



^x2mx9



. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ^{y f}



^3x



đồng biến trên khoảng



^3;



^?

A. 6. B. 8. C. 5. D. 7.

Lời giải Chọn A

Đặt ^{g x}

 

^{ f}



^3x



^.

Ta có ^{g x}

 

^{ f}



^3x



^{  }



^{3 x}



^{3 x 1}

 

^2_ ^3x



^2m



^{3 x}



^9_^0

Yêu cầu bài toán tương đương ^{g x}

 

^0,  x 3 ^



^x3



^{2m x}



^{  3}



^{9 0,}

3

 x



³



^{2 9}

 

3

m x h x

x

 

  

 ,  x 3

  

³



^{2 9} 9

3 6

3 3

h x x x

x x

 

    

  

 

 

Min3; h x 6

  khi x6.



³



^{2 9}

 

3

m x h x

x

 

  

 ,  x 3

 

 

Min3; 6

m h x

    . Vậy có 6 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Câu 15: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị ^f

 

^x như hình vẽ

Hàm số ^{f x}

 

² đồng biến khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 1}



^{. B.}



^{1; 0}



^{. C.}

 

^{0;1 . D.}



^{ 1;}



^.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{2 .}

 

²

 

²

g x  xf x

 

²₂

2

0 1 0

0 1

0 1

1 x x x

g x x

x x

x

 

 

   

 

     

   

 

.

Bảng biến thiên của ^{g x}

 

.

0

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trong khoảng



^1;0



^.

Câu 16: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ bên. Hàm số

 3

²



y  f  x

đồng biến trên khoảng

A.

 

^{2;3 . B.}



^{ 2; 1}



^{. C.}

 

^{0;1 . D.}



^1;0



^.

Lời giải Chọn D

Ta có

y    2 xf   3  x

²

   0 xf   3  x

²

  0

^.

Với



²



² 2

3 6

0 3 0

1 3 2

x f x x

x

   

         

0 3

1 2

x x

x

  

   ^.

Với ⁰



^{3 2}



^{0 6} ₂^{3 2 1}

3 2

x f x x

x

    

        

0 1 0

3 2

x x

x

   

    ^. Đối chiếu Chọn D

Câu 17: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ bên. Đặt

 

²

( ) 2

h x  f x  x

. Hàm số ^{yh x}

 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 2}



^{. B.}

 

^{2; 4 . C.}



^{2; 2}



^{. D.}



^2;



^.

Lời giải Chọn C

Ta có h x( )2f x( ) 2 x 0 f x( )x.

Kẻ đường thẳng

y  x

đi qua các điểm

( 2 ; 2) ;(2 ; 2) ;(4 ; 4)  

ta thấy đường thẳng này cắt đồ thị hàm số

y  f x  ( )

tại ba điểm có hoành độ x 2;x2,x4.

Nhìn đồ thị ta có 2 2

( ) 4

f x x x

x

  

     ^.

Đối chiếu đáp án Chọn C

Câu 18: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ bên. Hàm số

 

²

y  f x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;0



. B.

 

^{1; 2} . C.



^{ ; 2}



. D.



^{ 2; 1}



. Lời giải

Chọn D

Ta đi giải bất phương trình

 

²

2 0

y

^

 xf  x 

Với

 

^{2 0} ₂^{1 2}

4

0 x 1

x f x

x

  

  

   



0 0 1

2

x x

x

   

  ^.

Với

 

^{2 2} 2

0 0 1

1 4

x f x x

x

 



 

     

0

2 1

x^

x

    

. Đối chiếu với Chọn D

Câu 19: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm cấp

3

xác định và liên tục trên thỏa mãn

( ) ( ) ( 1)( 2),

f x f  x  x x  x    x

. Hàm số

g x ( )   f x  ( ) 

²

 2 ( ) f x f  ( ) x

^đồng

biến trên khoảng nào?

A.

 

^{0;1 . B.}



^1;0



^{. C.}



^4;



^{. D.}



^{ ; 1}



^.

Lời giải Chọn B

Ta có

 

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) g x  f x f  x  f x f  x  f x f x



²



2 ( ) f x f  ( ) x 2 x x 1 ( x 4)

     

.

Vậy ^{( ) 0 2}



^{2 1 (}



^{4) 0 1 0}

1 4

g x x x x x

x

  

           ^.

Đối chiếu Chọn B

Câu 20: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm cấp 2 xác định và liên tục trên thỏa mãn

 f x  ( ) 

²

 f x f ( )  ( ) x  x x (  1)( x  2),   x

. Hàm số

g x ( )  f x f x ( ) ( ) 

đồng biến trên khoảng nào?

A.

 

^{0; 2 . B.}



^{; 0}



^{. C.}



^2;



^{. D.}

 

^{1; 2 .}

Lời giải Chọn C

Ta có

 

^{2 2}

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( 2) 0

0 1

g x f x f x f x x x x x

x

 

             ^.

Đối chiếu đáp án Chọn C

Câu 21: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Hàm số ^{y f}

 

^x có đồ thị như hình bên. Hàm số ^{y f x}

 

²

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 2}



. B.



^{ 2;0}



^{. C.}



^1;



^{. D.}



^{2; 2}



^.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{y2xf}

 

^{x2 0 2x x} ^{2 }

 

^{2 }



^{x2 2}



^{0 x x}



^22



^{0 2}

2 0

x

x

  

  

 .

Đối chiếu các đáp án. Chọn B

Câu 22: Cho hàm số ^{f x}

 

^{x3mx2}



^m6



^x1. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số ^{y f x}



^{ x21}



đồng biến trên khoảng



^{ ;}



.

A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có yêu cầu bài toán



²

 

²

  

1 2 1 0, 1 0, 1

1

y x f x x x f x x x

x

 

  

            

   .

Đặt ^{t x x2 1}



^{0; }



^{, x} và ^f

 

^{x 3x22mx 6 m}.

Do vậy:

 

^{1  f}

 

^{t   0, t}



^{0; }



^{3t22mt    6 m 0, t}



^0;



 

3 2 6

, 0;

2 1

m t t

t

     

 ^{  2}

   

0;

3 6

min 1 3 1, 2,3

2 1

m y t y m

 t

  

        . Chọn B

Câu 23: Cho hàm số ^{f x}

 

^{x3mx2}



^m6



^x1. Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số ^{y f}



^{x2 1 x}



nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



A. 6. B. 3. C. 5. D. 4.

x y

4 -2 O 2

Lời giải Chọn D

Ta có, yêu cầu bài toán



²



2 1 . 1 0,

1

y x f x x x

x

 

 

       

   ^{ f}



^{x2   1 1}



^{0, x}

 

^{1 .}

Đặt ^{t x2 1 x t; }



^{0;  }



^{, x}và ^f

 

^{x 3x22mx 6 m}. Do vậy

       

   

 

   

2

2 2

2 0;

1 ' 0, 0; 3 2 6 0, 0;

3 6 3 6

, 0; , 0;

2 1 2 1

3 6

min 1 3 0,1, 2,3

2 1

f t t t mt m t

t t

m t m t

t t

m y t y m

 t

            

 

         

 

  

       

Câu 24: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f '}

 

^x có đồ thị như hình bên. Hàm số ^{y f}



^{5 2 ex}



đồng biến trên khoảng

 

^{a b,} . Giá trị lớn nhất của ba bằng

A. ln¹⁰

3 . B. ln⁷

3. C. ln⁵

2. D. ln⁷

2. Lời giải

Chọn B

Ta có:

   

^{3 7 3 7}

' 2 ' 5 2 0 ' 5 2 0 2 5 2 2 ln ln

2 2 2 2

x x x x x

y   e f  e   f  e      e   e    x

Vậy

 

_max ^{ln7 ln3 ln7}

2 2 3

b a   

Câu 25: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f '}

 

^x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ^{y f}



^3x2



đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x y

4 -2 O 2

A.

 

^{2;3 . B.}

 

^{0;1 . C.}



^{ 2; 1}



^{. D.}



^1;0



^.

Lời giải Chọn D



²

 

²



' 2 ' 3 0 ' 3 0

y   xf x  xf x 



^{3 2}

 

⁶

 

^{3 2}

 

¹



^{3 2 2}



⁰

x x x x

         

3

3 2

1 0

1 2

x x x x

 

   

   

  



Câu 26: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ bên. Hàm số 1 2 tan

3

  

  

y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ; arc tan¹¹

2 2

  

 

 . B. ; arc tan 2

4

 

 

 . C. arc tan¹¹;

2 4

  

 

 . D. ; arc tan¹

4 2

 

 

 .

Lời giải Chọn C

Ta có hàm số ^{1 2 tan} 3

  

  

y f x tuần hoàn với chu kỳ T  nên ta chỉ cần xét trên

khoảng ; 2 2

 

 

  có

x y

-6 O

-1 2

2

2 1 1 2 tan 1 2 tan

. 0 0

3 cos 2 3

 

   

      

x x

y f f

x 1 2 tan

3 1 1 2 tan

1 4

3

   

 

   



x x

tan 2

11 tan 1

2

 



   

 x

x

arc tan 2

2 arc tan11

2 4





  

 

   



x x

.

Câu 27: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax4bx3cx2dx e với a b c d e, , , ,} là các số nguyên không âm nhỏ hơn 6 và ^f

 

^{6 2019}. Hàm số



¹



²

   x2 

y f x x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ^{5 7}; 4 4

 

 

 . B. 2;⁹ 4

 

 

 . C. ;⁹ 4

 

 

 . D. ^{3 5}; 4 4

 

 

 . Lời giải

Chọn A

Ta có

 

^{6 2019 .64 .63 .62 .6 2019}

f a b c d e

4 3 2 4 3 2 1 0

.6  .6  .6  .6 6 3.6 2.6 0.6 3.6

a b c d e

 ⁶ 13203 ⁶ 1, 3, 2, 0, 3

abcde   a b c d  e

Suy ra ^{f x}

 

^{x43x32x23.}

Khi đó



¹



¹



^{4 1}

 

^{3 9 1}

 

^{2 4 1}

  

¹

              

y f x x x x x x



¹



^{2 4}



⁹



^{0 9}

 4

 y  x x x   x hoặc 1 x 2.

Câu 28: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2 cx d với a b c d, , ,} là các số nguyên không âm nhỏ hơn 9 và ^f

 

^{9 2019. Hàm số}

 

²



²



 3 

y f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ; ⁶ 5

  

 

 . B. ¹; 2

 

 

 . C. ¹¹; 1 9

  

 

 . D. ⁵; 0 6

 

 

 . Lời giải

Chọn C

Ta có ^f

 

^{9 2019a.93b.92c.91 d 2019 a.93b.92c.91 d 2.936.928.911}

  

9 26819 2, 6, 8, 1

abcd   a b c d 

Suy ra ^{f x}

 

^{2x36x28x1.}

Khi đó

 

²



^{1 2}



^{6 2 12 8 2}



^{1 2}



^{0 11 1}

3 3 9

              

y f x x x x x x .

Câu 29: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến tiên như hình vẽ bên dưới đây. Hàm số

 

^{2 6}

 

  

y f x f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;1



^{. B.}



^6;



^{. C.}

 

^{1; 6 . D.}



^{ ; 2}



^.

Lời giải Chọn D

Ta có ²

   

⁶

 

²

 

^{3 .}

 

⁰

 

^{0 1}

1 4

  

               

y f x f x f x f x f x f x x

x Vì dựa vào bảng biến thiên ta có ^{f x}

 

^{   3, x f x}

 

^{   3 0, x} . Câu 30: Cho hàm số ^{y f x}

 

. Hàm số 3 ¹

2

 

   

y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số



^{2 1}



 

y f x nghịch biến trên khoảng

A. ^{5 11}; 4 4

 

 

 . B. 1;⁵ 2

 

 

 . C. ^{1 3}; 2 2

 

 

 . D. ^{9 15}; 4 4

 

 

 . Lời giải

Chọn D

Ta có ^y2f



^{2x 1}

  

^{0 *} .

Đặt 2 1 3 ^{1 2 1}

2 3 3

     

x t t x

Khi đó

 

^* trỏ thành 1 1

3 0

1 4

2

  

 

      f t t

t

2 1

1 1

3 3

2 1 2 13

1 4 2

3 3

      

 

 

  

    



x x x x

.

Câu 31: Cho hàm số f x( ) x³ 3x 1. Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng có độ dài không vượt quá 4.

A. 11. B. 2. C. 10. D. 3.

Lời giải Chọn A

Ta có

2 2 2

( ) 1 3( ) 3 1 3 6 3 2

y f m x m m x m x mx m m

Ta có y' luôn có hai nghiệm phân biệt vì

1 2

x x 9m² 3 3m² m 2 3(m 2) 0, m 0

Do đó hàm đồng biến trên khoảng x x₁; ₂ theo yêu cầu bài toán ta có

2 2

2 1 4 2 1 16 1 2 4 1 2 16 0

x x x x x x x x

2

2 3 2

4 4 16 0 10

3

m m

m m .

Vậy m 0;2;....;10 . Có ¹¹ số nguyên không âm m thỏa mãn.

Câu 32: Cho hàm số f x( ) x³ 3x 1. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng 8;9 .

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn D

Ta có

2 2 2

( ) 1 3( ) 3 1 ( ) 3 6 3 2

y f m x m m x m g x x mx m m

Với 9m² 3 3m² m 2 3(m 2)

TH1: 0 m 2 y 0, x.

TH2: ^{0 m 2}.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ x₂và hàm số đồng bến trên x x₁; ₂ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

2 2

1 2 1 2

3 (8) 0 3 49 190 0

(8;9) ; 8 9

3 (9) 0 3 55 241 0

55 133 6 10

g m m

x x x x

g m m

m

Vậy^{m {8,9,10}}.Có ³ số nguyên ^m thỏa mãn.

Câu 33: Cho hàm số f x( ) x³ 3x 1. Số thực mnhỏ nhất để hàm số y = f(m - x)+(m - 1)x đồng biến trên khoảng 8;9 là a b

c , với a b c, , là các số nguyên dương và ^a

c tối giản. Giá trị của biểu thức a b c bằng:

A. 194. B. 72. C. 193. D. 75.

Lời giải Chọn A

Ta có

2 2 2

( ) 1 3( ) 3 1 ( ) 3 6 3 2

y f m x m m x m g x x mx m m

Với 9m² 3 3m² m 2 3(m 2)

TH1: 0 m 2 y 0, x.

TH2: ^{0 m 2}.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ x₂và hàm số đồng bến trên x x₁; ₂ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

2 2

1 2 1 2

3 (8) 0 3 49 190 0

(8;9) ; 8 9

3 (9) 0 3 55 241 0

55 133 6 10

g m m

x x x x

g m m

m

a=55, b=133, c=6 và a+b+c=194.

Câu 34: Cho hàm số ^{y f x( )}có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số nguyên m 40;40 để hàm số y = f(x )² đồng biến trên khoảng 2; .

A. 37. B. 39. C. 36. D. 76.

Lời giải Chọn A

2 2

2 2

2 0, 2 6 , 2

4

6, 2 4 6 2

x m

ycbt y xf x x x

x m

x m x m m

Vì số nguyên m 40;40 nên m { 39, 38,..., 2}.Có 38 số nguyên m thỏa mãn.

Câu 35: Cho hàm số ^{y f x y( ), g x( )}có đồ thị ^{y f x y'( ), g x'( )}như hình vẽ dưới.

4

m m6

0 0

0

1

x  

y   

y





Hàm số y f x( ) g x( )đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. 1 1

2 2;

 

 

 . B. 9

2; 6

 

 

 . C. 3 2; 4

 

 

 . D. 11 2;

 

 

 . Lời giải

Chọn C

Ta có

1 4

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 6

0,25 x

y f x g x f x g x x

x a

. Đối chiếu Chọn C

Câu 36: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x² 1 4x² , x . Hàm số y f cosx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ;²

3 3 . B. ² ;

3 . C. ; 0

3 . D. ;

6 6 . Lời giải

Chọn B

Hàm số y f cosx tuàn hoàn chu kỳ T 2 . Do vậy ta chỉ xét trên đoạn ; .

2 2

sin .x f cosx sin cox s x 1 4cos x 0 y

2 2

3 0 3

0 sin 2 2

sin 1 sin 4sin 3 0

3 3

1 sin 2 2

3 x x

x x x x

x

x

.

Chú ý: Chúng ta có thể tính đạo hàm tại một điểm trong khoảng trong các đáp án để chọn được đáp án đúng.

Câu 37: Cho hàm số y f x y, g x có đồ thị của hàm số y f x y, g x như hình vẽ

bên. Hàm số 2 ¹ 3 6 18

y f x 2 g x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1

; 4 . B. 11

4 ; . C. 5

2;4 . D. 1 11

4 4; . Lời giải

Chọn D

Có 0 2 2 ¹ 3 3 6 18 0 2 2 ¹ 3 3 6 18

2 2

f x g f x g

y x x

Quan sát đồ thị đã cho có

0;6

max f x 6 và ming x 2

Do vậy ta chỉ cần chọn 0 2 ¹ 6 2

1 11

4 4

x x thì

2 2 1 1 3 6 1

2 2 3 8

f x g x

Vậy hàm số 2 ¹ 3 6 18

y f x 2 g x x nghịch biến trên khoảng ^{1 11}; 4 4 .

Câu 38: Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số

2 2

2 3 2 2

y f x x x x đồng biến trên khoảng nào dưới dây?

A. ; 1 . B. 1

;2 . C. 1

2; . D. 1; .

Lời giải Chọn A

Ta cần giải

2 2

2 2

1 1

2 3 2

0 2 0

2 3 2 2

x x

f x x x x

x x

y

x x

2 2 2 2

1 2 2 2 3 2 3 2 2 0

x x x x x f x x x x

2 2

1 2 3 2 2 0

x f x x x x

2 2 2 2

1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 0 1

x x x x x x x x x x .

Câu 39: Cho hàm số f x x⁴ ax⁴ bx² cx d thỏa mãn f 1 100,f 2 200,f 3 300.

Hàm số ¹⁰⁰

6

f x x

f x d nghịch biến trên một khoảng có đồ dài lớn nhất bằng?

A. 4. B. ^{2 3}

3 . C. 2. D. ³

3 . Lời giải

Chọn B

Có g x f x 100x x⁴ ax³ bx² c 100 x d và theo giả thiết ta có:

1 2 3 0

g g g do đó

1 2 3 100

1 2 3

g x x m x x x f x x m x x x x

Đồng nhất hệ số tự do của f x ta có

1 2 3 00

6 6 1

6

d d

m f x x x x x

d x

m

Vậy ^{100 1} 1 2 3 ²

6 6

1 3 12 11 0

6

f x x

y x x x x

x y x

d

1 1

2 2

3 x 3.

Câu 40: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số

3 2 12

y f x x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ¹; 2

2 . B. ¹;5

2 . C. ³; ¹

2 2 . D. ¹; 0

2 . Lời giải

Chọn D

Có 3 3 2 2 1 2

0 1

3 2

y f x x x3

f x

Đặt ²

3x 2 t 3

t x , bất phương trình trở thành ² 5

f t 9 t

Kẻ trên đồ thị đường thẳng ² 5

y 9 x qua hai điểm ¹; 1

2 và 5; 0 .

Suy ra ¹ 5 ¹ 3 2 5 ¹ 1

2 2

2 5

9 t x 2 x

f t t .

Câu 41: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị của hàm số y f '(x) như hình vẽ bên

Hàm số y39 ( ) 8f x  x³45x²276x1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1;¹¹ . 2

 

 

  B. ; ³ .

2

  

 

  C. ^{3 9};

2 2

 

 

  D. ⁹;

2

 

 

 

Lời giải Chọn A

Ta có:

' 39 '( ) 24 2 90 276 y  f x  x  x Hàm số đã cho đồng biến

24 2 90 276 ' 0 '( )

39

x x

y f x  

   

Gọi

 

^P là đồ thị hàm số

24 2 90 276 39

x x

y   . Ta có đồ thị hàm số f '( )x và

 

^P được thể hiện trong hình sau:

Từ đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số f '( )x nằm phía trên parabol

 

^P trên khoảng 1;11

2

 

 

 . Vậy

24 2 90 276 11

'( ) 1;

39 2

x x

f x      x  

Vậy Chọn A

Câu 42: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số y3 (f x  2) x³ 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;



^{. B.}



^{ ; 1 .}



^C.



^{1; 0 .}



^D.

 

^{0; 2 .}

Lời giải Chọn C

Ta có: y' 3 '( f x 2) 3x²3

Đặt t    x 2 x t 2 khi đó ta có:

 

^{2 2}

' 3 '(t) 3 2 3 3 '( ) ( 4 3) y  f  t   f t  t  t  Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy ta thấy ^{y'  0 t}

 

^{1;3   x}



^1;1



nên hàm số đã cho đồng biến trên



^1;0



^.

Câu 43: Cho hàm số f x( ). Hàm số y f x( ) có bảng xét dấu:

Hàm số y f x( ²2 )x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{ }