Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4 Phương pháp:

Dùng máy tính nhẩm nghiệm

hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1

Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = - 1 1 số HĐT đáng nhớ:

1,

(

^a⁺^b

)

² ⁼^a²⁺^b²⁺²^ab⁼

(

^a⁻^b

)

²⁺⁴^ab

2,

(

a−b

)

² =a²+b²−2ab=

(

a+b

)

²−4ab 3, ^a²⁺^b² ⁼

(

^a⁺^b

)

²⁻²^ab⁼

(

^a⁻^b

)

²⁺²^ab

4, ^a³⁺^b³ ⁼

(

^a⁺^{b a}

) (

²⁻^ab⁺^b²

)

⁼

(

^a⁺^b

)

³⁻³^{ab a}

(

⁺^b

)

5, ^a³⁻^b³⁼

(

^a⁻^{b a}

) (

²⁺^{ab b}⁺ ²

)

⁼

(

^a⁻^b

)

³⁺³^{ab a}

(

⁻^b

)

6, ²

(

^a²⁺^b²

)

⁼

(

^a⁺^b

) (

²⁺ ^a⁻^b

)

²

7,

(

^a⁺^b

) (

²⁻ ^a⁻^b

)

² ⁼⁴^ab

8, ^a⁴⁺^b⁴⁼

(

^{a b a b}⁺

)(

⁻

) (

^_ ^{a b}⁺

)

²⁻²^ab^_

9, ^a⁴⁺^b⁴ ⁼^_

(

^a⁺^b

)

²⁻²^ab^_²⁻²

( )

^ab ²

10, ^a³^{+ + −}^b³ ^c³ ³^abc⁼

(

^a^{+ +}^{b c a}

) (

²⁺^b² ^{+ −}^c² ^{ab bc ca}⁻ ⁻

)

11, ^a⁴⁺^{a b}^{2 2}⁺^b⁴ ⁼

(

^a² ⁺^{ab b}⁺ ²

)(

^a²⁻^{ab b}⁺ ²

)

12, ^a⁴⁺^a²^{+ =}¹

(

^a²^{+ +}^a ¹

)(

^a²^{− +}^a ¹

)

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a³+4a²−29a+24 HD:

Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3) và (a + 8),

Ta có: â³⁺⁴â² ⁻²⁹â⁺²⁴⁼

(

^a³⁻^a²

) (

⁺ ⁵^a²⁻⁵^a

)

^{+ −}

(

²⁴^a⁺²⁴

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 5 1 24 1 1 5 24

a a− + a a− − a− = a− a + a− =

(

^a⁻¹

)(

^a⁻³

)(

^a⁺⁸

)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+6x³+7x²−6x+1 HD:

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

Nên ta làm như sau:

4 3 2 2 2 2 2

2 2

6 1 1 1

6 7 6 1 6 7 6 7

x x x x x x x x x x

x x x x

−  

   

+ + − + =  + + + + =  + +  − +  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

− = = + = +

Đa thức trở thành : ^x²

(

^t²^{+ + +}^{2 6}^t ⁷

)

⁼^x²

(

^t²^{+ +}⁶^t ⁹

)

⁼^x²

(

^t⁺³

)

²

Thay t trở lại ta được :

2 2 2

2 1 2 1 3 2 2

3 x x ( 3 1)

x x x x x

x x

 − + 

 − +  =   = + −

 

   

( )

²

4+ 3+ 2− + = 2+ −

(2)

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³+6x²+11x+6 HD :

Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :

( )( )( )

3 2

6 11 6 1 2 3

x + x + x+ = +x x+ x+

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

(

^x⁺¹

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁵

)(

^x^{+ +}⁷

)

¹⁵

HD :

Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau :

(

^x⁺¹

)(

^x⁺⁷

)(

^x⁺³

)(

^x^{+ +}⁵

)

¹⁵⁼

(

^x²⁺⁸^x⁺⁷

)(

^x²⁺⁸^x⁺¹⁵

)

⁺¹⁵

Đặt ^x²⁺⁸^x^{= = +}^t

(

^t ⁷

)(

^t⁺¹⁵

)

^{+ = +}¹⁵ ^t² ²²^t⁺^{105 15}^{+ = +}^t² ²²^t⁺¹²⁰

(

^t ¹⁰

)(

^t ¹²

) (

^x² ⁸^x ¹⁰

)(

^x² ⁸^x ¹²

)

= + + = + + + + =

(

^x²⁺⁸^x⁺¹⁰

) (

^x⁺⁶

)(

^x⁺²

)

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+2x² +1 HD :

Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :

( )

²

4 2 2

2 1 1

x + x + = x +

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x³−7x²+17x−5 HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là ¹

x=3, nên có nhân tử là : (3x - 1) nên ta có :3x³−7x²+17x− =5 3x³−x²−6x²+2x+15x−5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 5

x x x x x x x x

= − − − + − = − − +

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x³−5x²+8x−3 HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là ¹

x= 2, nên có nhân tử là : (2x - 1) Nên ta có : 2x³−5x²+8x− =3 2x³−x²−4x²+2x+6x−3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 2 3

x x x x x x x x

= − − − + − = − − +

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x³−14x²+4x+3 HD :

Bấm máy tính cho ta nghiệm là : ¹

x= −3 nên có 1 nhân tử là : (3x + 1) Ta có : 3x³−14x²+4x+ =3 3x³+x²−15x²−5x+9x+3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 1 5 3 1 3 3 1 3 1 5 3

x x+ − x x+ + x+ = x+ x − x+ Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x³+5x²+8x+4 HD :

bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2 Như vậy ta có : ^x³⁺⁵^x²⁺⁸^x^{+ =}⁴

(

^x⁺¹

)(

^x⁺²

)

²

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+1997x²+1996x+1997 HD:

Ta có:

(

^x⁴⁺^x²^{+ +}¹

) (

¹⁹⁹⁶^x²⁺¹⁹⁹⁶^x⁺¹⁹⁹⁶

) (

⁼ ^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x²^{− + +}^x ¹

)

¹⁹⁹⁶

(

^x²^{+ +}^x ¹

) (

^x² ^x ¹

)(

^x² ^x ¹⁹⁹⁷

)

= + + − +

(3)

Bài 11: Phân tích thành nhân tử: x⁴+2004x²+2003x+2004 HD:

4 2004 2 2004 2004

x x x x

= + + − + ⁼

(

^x⁴⁻^x

)

⁺²⁰⁰⁴

(

^x² ^{+ +}^x ¹

)

(

³ ^{1 2004}

) (

² ¹

) ( 1) (

² ^{1 2004}

) (

² ¹

)

x x x x x x x x x x

= − + + + = − + + + + +

(

^x² ^x ¹

)(

^x² ^x ²⁰⁰⁴

)

= + + − +

Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x²− −x 2001.2002 HD :

Ta có: x²− −x 2001 2001 1

(

+ =

)

x²− +x 2001²−2001=

(

x²−2001²

)

− +

(

x 2001

)

(

^x⁻²⁰¹¹

)(

^x⁺²⁰¹¹

) (

^{− +}^x ²⁰¹¹

) (

^{= +}^x ²⁰¹¹

)(

^x⁻²⁰¹²

)

Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: ^{x x}

(

⁺⁴

)(

^x⁺⁶

)(

^x⁺¹⁰

)

⁺¹²⁸

HD :

(

¹⁰

)(

⁴

)(

⁶

)

¹²⁸

(

² ¹⁰

)(

² ¹⁰ ²⁴

)

¹²⁸

x x+ x+ x+ + = x + x x + x+ +

Đặt : x² +10x=t, Khi đó đa thức trở thành : ^{t t}

(

⁺²⁴

)

⁺¹²⁸^{= +}^t² ²⁴^t⁺¹²⁸^{= +}

(

^t ⁸

)(

^t⁺¹⁶

)

Thay t trở lại đa thức ta đươc :

(

^x²⁺¹⁰^x⁺⁸

)(

^x²⁺¹⁰^x⁺¹⁶

) (

⁼ ^x²⁺¹⁰^x⁺⁸

) (

^x⁺²

)(

^x⁺⁸

)

Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+6x³+7x²−6x+1 HD :

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

nên ta làm như sau:

4 3 2 2 2 2 2

2 2

6 1 1 1

6 7 6 1 6 7 6 7

x x x x x x x x x x

x x x x

−  

   

+ + − + =  + + + + =  + +  − +  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

− = = + = + Đa thức trở thành :^x²

(

^t²^{+ + +}^{2 6}^t ⁷

)

⁼^x²

(

^t²^{+ +}⁶^t ⁹

)

⁼^x²

(

^t⁺³

)

²

2 2 2

2 1 2 1 3 2 2

3 x x ( 3 1)

x x x x x

x x

 − + 

 − +  =   = + −

 

   

Vậy ^x⁴⁺⁶^x³⁺⁷^x²⁻⁶^x^{+ =}¹

(

^x²⁺³^x⁻¹

)

²

(

^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x²^{+ + −}^x ²

)

¹²

HD :

Đặt x²+ =x t khi đó đa thức trở thành :

( )(

^t⁺¹ ^t+ − = + − = −²

)

¹² ^t² ³^t ¹⁰

(

^t ²

)(

^t+⁵

)

Thay t trở lại đa thức ta được :

(

^x²^{+ −}^x ²

)(

^x²^{+ +}^x ⁵

)

⁼

(

^x⁻¹

)(

^x⁺²

) (

^x²^{+ +}^x ⁵

)

(

^x²⁻⁴

)(

^x²⁻¹⁰

)

⁻⁷²

HD :

Đặt x²− =4 t khi đó đa thức trở thành :

(

⁶

)

⁷² ² ⁶ ⁷²

(

¹²

)(

⁶

) (

² ¹⁶

)(

² ²

) (

⁴

)(

⁴

) (

² ²

)

t t− − = − −t t = −t t+ = x − x + = x− x+ x + Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+6x³−11x²+6x+1

HD :

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

nên ta làm như sau:

(4)

4 3 2 2 2 2 2

2 2

6 1 1 1

6 7 6 1 6 7 6 7

x x x x x x x x x x

x x x x

 

   

+ + + + =  + + + + =  + +  + +  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

+ = = + = − . Đa thức trở thành :

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 6 7 6 5 1 5

x t − + +t =x t + +t =x t+ t+ Thay t trở lại ta được :

( )( )

2 2

2 1 1 2 1 1 5 2 2

1 5 x x x x 1 5 1

x x x x x x x x

x x x x

 + +  + + 

 + +  + + =   = + + + +

  

     

Vậy ^x⁴⁺⁶^x³⁺⁷^x²⁻⁶^x^{+ =}¹

(

^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x²⁺⁵^x⁺¹

)

(

^a⁺¹

)(

^a⁺²

)(

^a⁺³

)(

^a^{+ +}⁴

)

¹

HD :

Ta có :

(

^a⁺¹

)(

^a⁺⁴

)(

^a⁺²

)(

^a^{+ + =}³

)

¹

(

^a²⁺⁵^a⁺⁴

)(

^a²⁺⁵^a^{+ +}⁶

)

¹

Đặt a²+5a+ =5 t, Khi đó đa thức trở thành :

(

^t⁻¹

)(

^t^{+ + = =}¹

)

¹ ^t²

(

^a²⁺⁵^a⁺⁵

)

²

(

^x⁺²

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁴

)(

^x^{+ −}⁵

)

²⁴

HD :

Ta có :

(

^x⁺²

)(

^x⁺⁵

)(

^x⁺³

)(

^x⁺⁴

)

⁻²⁴⁼

(

^x²⁺⁷^x⁺¹⁰

)(

^x²⁺⁷^x⁺¹²

)

⁻²⁴

Đặt : x²+7x+ =11 t, Khi đó đa thức trở thành

(

^t⁻¹

)(

^t^{+ −}¹

)

²⁴^{= −}^t² ²⁵^{= −}

(

^t ⁵

)(

^t⁺⁵

)

⁼

(

^x²⁺⁷^x⁺⁶

)(

^x²⁺⁷^x⁺¹⁶

)

⁼

(

^x⁺¹

)(

^x⁺⁶

) (

^x²⁺⁷^x⁺¹⁶

)

(

⁴^x⁺^{1 12}

)(

^x⁻^{1 3}

)(

^x⁺²

)(

^x^{+ −}¹

)

⁴

HD :

(

⁴^x⁺^{1 3}

)(

^x⁺^{2 12}

)(

^x⁻¹

)(

^x^{+ − =}¹

)

⁴

(

¹²^x²⁺¹¹^x⁺^{2 12}

)(

^x²⁺¹¹^x^{− −}¹

)

⁴

Đặt 12x²+11x=t, Khi đó đa thức trở thành :

(

^t⁺²

)( )

^t− − = + − = −¹ ⁴ ^t² ^t ⁶

(

^t ²

)(

^t+³

)

(

¹²^x²⁺¹¹^x⁻^{2 12}

)(

^x²⁺¹¹^x⁺³

)

Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: ⁴

(

^x⁺⁵

)(

^x⁺⁶

)(

^x⁺¹⁰

)(

^x⁺¹²

)

⁻³^x²

HD :

Ta có : ⁴

(

^x⁺⁵

)(

^x⁺¹²

)(

^x⁺⁶

)(

^x⁺¹⁰

)

⁻³^x² ⁼⁴

(

^x²⁺¹⁷^x⁺⁶⁰

)(

^x²⁺¹⁶^x⁺⁶⁰

)

⁻³^x²

2 60 60

4 17 16 3

x x x

x x

  + +  + + − 

    

 , Đặt : x ⁶⁰ t

+ x = , Khi đó đa thức trở thành :

( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

4 17 16 3 4 132 1085 2 31 2 35

x  t+ t+ − =x t + t+ =x t+ t+

( )( )

2 120 120 2 2

2 31 2 35 2 31 120 2 35 120

x x x x x x x

x x

  

=  + +  + + = + + + + Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử:

(

^x²⁺³^x⁺¹

)(

^x²⁺³^x^{− −}³

)

⁵

HD :

Đặt : x²+3x=t , Khi đó đa thức trở thành :

(

^t⁺¹

)(

^t− − = − − = +³

)

⁵ ^t² ²^t ⁸

(

^t ²

)(

^t−⁴

)

=

(

^x²+³^x+²

)(

^x²+³^x−⁴

)

(

^x⁺¹

)(

^x⁺²

)(

^x⁻¹

)(

^x⁺⁴

)

Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+x³+2x²+ +x 1 HD :

4 3 2 2 2 2 2 2 2

(x + +x x ) (+ x + + =x 1) x x( + + +x 1) (x + + =x 1) (x + +x 1)(x +1)

(5)

Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a⁴+7a³−37a²−8a+12 HD :

Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x - 2 Ta có :

( ) ( )

4 3 2 4 3 3 2 2

6a +7a −37a −8a+12=(6a −12a ) (19 a+ −38a )+ a −2a − 6a−12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

6a a− +2 19a a− +2 a a− −2 6 a−2 = a−2 6a +19a + −a 6

=

(

^a⁻²

)(

^a⁺^{3 2}

)(

^a⁻^{1 3}

)(

^a⁺²

)

Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴+6x³+13x²+12x+4 HD :

Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1 Ta có : ^x⁴⁺⁶^x³⁺¹³^x²⁺¹²^x^{+ =}⁴

(

^x⁴⁺^x³

) (

⁺ ⁵^x³⁺⁵^x²

) (

⁺ ⁸^x²⁺⁸^x

)

⁺

(

⁴^x⁺⁴

)

= ^x³

(

^x^{+ +}¹

)

⁵^x²

(

^x^{+ +}¹

)

⁸^{x x}

(

^{+ +}¹

) (

⁴ ^x^{+ =}¹

) (

^x⁺¹

) (

^x³⁺⁵^x²⁺⁸^x⁺⁴

)

=

(

^x+¹

) (

² ^x+²

)

²

(

^x²⁺⁴^x⁺⁸

)

²⁺³^x³⁺¹⁴^x²⁺²⁴^x

HD :

(

^x²⁺⁴^x⁺⁸

)

²⁺³^{x x}

(

²⁺⁴^x^{+ +}⁸

)

²^x²^,

Đặt:

(

^x²⁺⁴^x^{+ = =}⁸

)

^y ^y² ⁺³^xy⁺²^x² ^=>

(

^{y x}⁺

)(

^y⁺²^x

)

Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử:x⁴+2010x²+2009x+2010 HD :

( )( ) ( )

4 2 2 2 2 2

1 2009 2009 2009 1 1 2009 1

x +x + + x + x+ = x + +x x − + +x x + +x

(

^x² ^x ¹

)(

^x² ^x ²⁰¹⁰

)

= + + − +

(

^x²⁺³^x⁻⁴

)(

^x²^{+ − −}^x ⁶

)

²⁴

HD :

Ta có :

(

^x²⁺³^x⁻⁴

)(

^x²^{+ − −}^x ⁶

)

²⁴⁼

(

^x⁻¹

)(

^x⁺⁴

)(

^x⁻²

)(

^x^{+ −}³

)

²⁴

(

^x⁻²

)(

^x⁺⁴

)(

^x⁻¹

)(

^x^{+ −}³

)

²⁴⁼

(

^x²⁺²^x⁻⁸

)(

^x²⁺²^x^{− −}³

)

²⁴

Đặt : x² +2x=t, khi đó đa thức trở thành :

(

^t⁻⁸

)(

^t^{− −}³

)

²⁴^{= −}^t² ¹¹^t⁼^{t t}

(

⁻¹¹

)

(

^x²⁺²^x

)(

^x²⁺²^x⁻¹¹

)

⁼^{x x}

(

⁺²

) (

^x²⁺²^x⁻¹¹

)

(

^x²⁺²^x⁺⁷

) (

⁻ ^x²⁺²^x⁺⁴

)(

^x²⁺²^x⁺³

)

HD :

Đặt : x² +2x=t, khi đó đa thức trở thành :

(

^t^{+ − +}⁷

) (

^t ⁴

)(

^t+ = + − − − = − − − = − +³

)

^t ⁷ ^t² ⁷^t ¹² ^t² ⁶^t ⁵

( )(

^t ¹ ^t+⁵

)

, Thay t trở lại ta được :

(

^x² ²^x ¹

)(

^x² ²^x ⁵

) (

^x ¹

)

²

(

^x² ²^x ⁵

)

− + + + + = − + + +

Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử:x⁴+10x³+26x²+10x+1 HD :

4 3 2 2 2 2 2

2 2

10 1 1 1

10 26 10 1 10 26 10 26

x x x x x x x x x x

x x x x

 

   

+ + + + =  + + + + =  + +  − +  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

+ = = + = − Đa thức trở thành :

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 10 26 10 24 4 6

x t − + t+ =x t + t+ =x t+ t+

(6)

( )( )

2 2

2 1 1 2 4 1 6 1 2 2

4 6 x x x x 4 1 6 1

x x x x x x x x

x x x x

 + +  + + 

 + +  + + =   = + + + +

  

     

Vậy ^x⁴⁺¹⁰^x³⁺²⁶^x²⁺¹⁰^x^{+ =}¹

(

^x²⁺⁴^x⁺¹

)(

^x²⁺⁶^x⁺¹

)

(

^x⁻⁴

)(

^x⁻⁵

)(

^x⁻⁶

)(

^x^{− −}⁷

)

¹⁶⁸⁰

HD :

(

^x⁻⁴

)(

^x⁻⁷

)(

^x⁻⁵

)(

^x^{− −}⁶

)

¹⁶⁸⁹⁼

(

^x² ⁻¹¹^x⁺²⁸

)(

^x²⁻¹¹^x⁺³⁰

)

⁻¹⁶⁸⁰

Đặt x²−11x+29=t, Khi đó đa thức trở thành :

( )( )

^t⁻¹ ^t^{+ −}¹ ¹⁶⁸⁰^{= −}^t² ¹⁶⁸¹^{= −}

(

^t ⁴¹

)(

^t⁺⁴¹

)

Thay t trở lại đa thức ta được :

(

^x²⁻¹¹^x⁻¹²

)(

^x²⁻¹¹^x⁺⁷⁰

)

⁼

(

^x⁻¹²

)(

^x⁺¹

) (

^x²⁻¹¹^x⁺⁷⁰

)

Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử:x⁴+x³−4x²+ +x 1 HD :

4 3 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

4 1 4 4

x x x x x x x x x x

x x x x

 

   

+ − + + =  + − + + =  + + + −  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 4 6 2 3

x t − + −t =x t + −t =x t− t+ Thay t trở lại ta được :

( ) ( )

2 2

2 1 1 2 2 1 3 1 2 2

2 3 x x x x 1 . 3 1

x x x x x x x

x x x x

 − +  + + 

 + −  + + =   = − + +

  

     

Vậy ^x⁴^{+ −}^x³ ⁴^x²^{+ + =}^x ¹

(

^x⁻¹

)

²

(

^x²⁺³^x⁺¹

)

Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử:x⁴−7x³+14x²−7x+1 HD :

4 3 2 2 2 2 2

2 2

7 1 1 1

7 14 7 1 7 14 7 14

x x x x x x x x x x

x x x x

−  

   

− + − + =  − + + + =  + −  + +  Đặt x ¹ t x² ¹₂ t² 2

x x

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 7 14 7 12 3 4

x t − − +t =x t − +t =x t− t− Thay t trở lại ta được :

( ) ( )

2 2

2 1 1 2 3 1 4 1 2 2

3 4 x x x x 3 1 . 4 1

x x x x x x x x

x x x x

 − +  − + 

 + −  + − =   = − + − +

  

     

Vậy ^x⁴⁻⁷^x³⁺¹⁴^x²⁻⁷^x^{+ =}¹

(

^x²⁻³^x⁺¹

)(

^x²⁻⁴^x⁺¹

)

Bài 34: Cho biểu thức: ^A⁼

(

^b²^{+ −}^c² ^a²

)

²⁻⁴^{b c}^{2 2}

a, Phân tích A thành nhân tử

b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0 HD:

a) Ta có: ^A⁼

(

^b²^{+ −}^c² ^a²

)

²⁻⁴^{b c}^{2 2} ⁼

(

^b²^{+ −}^c² ^a²

)

²⁻

( )

²^bc ²

(

^b² ^c² ^a² ²^{bc b}

)(

² ^c² ^a² ²^bc

) (b c a b c a b c a b c a)( )( )( )

= + − − + − + = + − + + − − − +

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:

0, 0, 0, 0 0

b c a+ −  b c a+ +  b c a− −  b c a− +  = A

(7)

DẠNG 2: THÊM BỚT HẠNG TỬ Phương pháp :

Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,

Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3 : ^a²^{− = −}^b²

(

^{a b a b}

)(

⁺

)

a, 4x⁴+81 b, 64x⁴+y⁴

HD :

a, Ta có :⁴^x⁴⁺⁸¹⁼

( )

²^x² ²⁺⁹²⁺^2.2^x²^{.9 2.2}⁻ ^x²^.9⁼

(

²^x²⁺⁹

)

²⁻³⁶^x²

(

²^x² ⁹

)

²

( )

⁶^x ²

(

²^x² ⁶^x ^{9 2}

)(

^x² ⁶^x ⁹

)

= + − = + + − +

b, Ta có : ⁶⁴^x⁴⁺^y⁴ ⁼

( ) ( )

⁸^x² ²⁺ ^y² ²⁺^{2.8 .}^{x y}² ² ⁻^{2.8 .}^{x y}² ² ⁼

(

⁸^x²⁺^y²

)

²⁻¹⁶^{x y}² ²

(

⁸^x² ^y²

)

²

(

⁴^xy

)

²

(

⁸^x² ⁴^xy ^y²

)(

⁸^x² ⁴^xy ^y²

)

= + − = + + − +

a, 4x⁴+y⁴ b, 4x⁸+1 c,x y⁴ ⁴+4

HD :

a, Ta có : ⁴^x⁴⁺^y⁴ ⁼

( ) ( ) ( ) ( )

²^x² ²⁺ ^y² ² ⁼ ²^x² ²⁺ ^y² ²⁺^2.2^{x y}²^. ²⁻⁴^{x y}² ²

(

²^x² ^y²

)

²

(

²^xy

)

²

= + − ⁼

(

²^x²⁺^y²⁺²^xy

)(

²^x²⁺^y²⁻²^xy

)

b, Ta có : ⁴^x⁸^{+ =}¹

( )

²^x⁴ ²^{+ +}^{1 2.2}^x⁴^{.1 4}⁻ ^x⁴

(

²^x⁴ ¹

) ( ) (

² ²^x² ² ²^x⁴ ²^x² ^{1 2}

)(

^x⁴ ²^x² ¹

)

= + − = + + − +

c, Ta có : ^{x y}⁴ ⁴^{+ =}⁴

(

^{x y}² ²

)

²⁺²² ⁼

(

^{x y}² ²

)

²⁺²² ⁺^{2. .}^{x y}² ²^{.2 4}⁻ ^{x y}² ²

(

^{x y}² ²⁺²

)

²⁻

(

²^xy

)

² ⁼

(

^{x y}² ²⁻²^xy⁺²

)(

^{x y}² ²⁺²^xy⁺²

)

a, x⁸+x⁴+1 b, x⁷ +x⁵+1 HD :

a, Ta có: x⁸+x⁴+ =1 x⁸+x⁴+x⁴+ −1 x⁴ =x⁸+2x⁴+ −1 x⁴

(

^x⁴⁺¹

) ( ) (

²⁻ ^x² ² ⁼ ^x⁴⁺^x²⁺¹

)(

^x⁴⁻^x²⁺¹

)

b, Ta có: ^x⁷⁺^x⁵^{+ =}¹ ^x⁷⁺^x⁵⁺⁽^x²^{+ + −}^x^{) 1} ^x²^{− =}^x

(

^x⁷^{− +}^x

) (

^x⁵⁻^x²

) (

⁺ ^x²^{+ +}^x ¹

) (

⁶ ¹

)

²

(

³ ¹

) (

² ¹

) (

³ ¹

)(

³ ¹

)

²

(

³ ¹

) (

² ¹

)

x x x x x x x x x x x x x

= − + − + + + = + − + − + + +

= ^{x x}

(

³⁺¹

) (

^x⁻¹

) (

^x²^{+ + +}^x ¹

)

^x²

(

^x³^{− +}¹

) (

^x²^{+ +}^x ¹

)

(

^x² ^x ¹

)(

^x⁵ ^x⁴ ^x² ^x

) (

^x³ ^x²

)(

^x² ^x ¹

) (

^x² ^x ¹

)

= + + − + − + − + + + + +

=

(

^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x⁵⁻^x⁴⁺^x²^{− +}^x ^x³⁻^x²⁺¹

)

⁼

(

^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x⁵⁻^x⁴⁺^x³⁻²^x²^{− +}^x ¹

)

a, x⁷ +x²+1 b, x⁵+ −x 1 c,x⁸+ +x 1 HD:

a, Ta có: ^x⁷⁺^x²^{+ =}¹

(

^x⁷^{− +}^x

) (

^x²^{+ + =}^x ¹

) (

^{x x}⁶^{− +}¹

) (

^x²^{+ +}^x ¹

) (

³ ¹

)(

³ ¹

) (

² ¹

) (

¹

) (

² ¹

)(

³ ¹

) (

² ¹

)

x x x x x x x x x x x x

= − + + + + = − + + + + + +

(8)

(

^x²^{+ +}^x ¹

)(

^x⁵⁻^x⁴⁺^x²^{− +}^x ¹

)

b, Ta có: ^x⁵^{+ − =}^x ¹

(

^x⁵⁺^x²

) (

^{+ − + − =}^x² ^x ¹

)

^x²

(

^x³^{+ −}¹

) (

^x²^{− +}^x ¹

)

= ^x²

(

^x⁺¹

) (

^x²^{− + −}^x ¹

) (

^x²^{− + =}^x ¹

) (

^x²^{− +}^x ¹

)(

^x³⁺^x²⁻¹

)

c, Ta có: ^x⁸^{+ + =}^x ¹

(

^x⁸⁻^x²

) (

⁺ ^x²^{+ + =}^x ¹

)

^x²

(

^x⁶^{− +}¹

) (

^x²^{+ +}^x ¹

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 3 2 2 2 6 5 3 2

1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x x x

= + − + + + + + = + + − + − +

a, 64x⁴+y⁴ b, 4x⁴+y⁴ c, x⁴+324 HD:

a, Ta có: ⁶⁴^x⁴⁺^y⁴ ⁼

( ) ( )

⁸^x² ²⁺ ^y² ²⁺^2.8^{x y}² ²⁻¹⁶^{x y}²^. ² ⁼

(

⁸^x²⁺^y²

)

²⁻

(

⁴^xy

)

²

(

⁸^x² ^y² ⁴^xy

)(

⁸^x² ^y² ⁴^xy

)

= + − + +

b, Ta có: ⁴^x⁴⁺^y⁴ ⁼

( ) ( ) ( ) ( )

²^x² ²⁺ ^y² ² ⁼ ²^x² ²⁺ ^y² ²⁺^2.2^{x y}²^. ²⁻⁴^{x y}² ²

(

²^x²⁺^y²

)

²⁻

(

²^xy

)

² ⁼

(

²^x²⁺^y²⁻²^xy

)(

²^x²⁺^y²⁺²^xy

)

c, Ta có:^x⁴⁺³²⁴⁼

( )

^x² ²⁺

( )

¹⁸ ² ⁼

( )

^x² ²⁺

( )

¹⁸ ²⁺^{2. .18 36}^x² ⁻ ^x²

(

^x² ¹⁸

)

²

( )

⁶^x ²

(

^x² ^{18 6}^x

)(

^x² ^{18 6}^x

)

= + − = + + + −

a,x⁴+64 b, 81x⁴+4y⁴ c, x⁴+4y⁴ HD:

a, Ta có: ^x⁴⁺⁶⁴⁼

( )

^x² ²⁺⁸² ⁼

( )

^x² ²^{+ +}⁸² ^{2. .8 16}^x² ⁻ ^x²

(

^x² ⁸

)

²

( )

⁴^x ²

(

^x² ^{8 4}^x

)(

^x² ^{8 4}^x

)

= + − = + − + +

b, Ta có: ⁸¹^x⁴⁺⁴^y⁴ ⁼

( ) ( ) ( ) ( )

⁹^x² ²⁺ ²^y² ² ⁼ ⁹^x² ²⁺ ²^y² ²⁺^2.9^x²^.2^y²⁻³⁶^{x y}² ²

(

⁹^x²⁺²^y²

)

⁻

( )

⁶^xy ² ⁼

(

⁹^x²⁺²^y²⁻⁶^xy

)(

⁹^x²⁺²^y²⁺⁶^xy

)

c, Ta có: ^x⁴⁺⁴^y⁴ ⁼

( ) ( ) ( ) ( )

^x² ²⁺ ²^y² ² ⁼ ^x² ²⁺ ²^y² ²⁺^{2. .2}^x² ^y²⁻⁴^{x y}² ²

(

^x² ²^y²

)

²

(

²^xy

)

²

(

^x² ²^y² ²^xy

)(

^x² ²^y² ²^xy

)

= + − = + + + −

a, x y⁴ ⁴+4 b, 4x y⁴ ⁴+1 c, 4x⁴+81 HD:

a, Ta có:^{x y}⁴ ⁴^{+ =}⁴

(

^{x y}² ²

)

²⁺²² ⁼

(

^{x y}² ²

)

²⁺²² ⁺^2.^{x y}² ²^{.2 4}⁻ ^{x y}²^. ²

(

^{x y}² ²⁺²

)

²⁻

(

²^xy

)

² ⁼

(

^{x y}² ²⁻²^xy⁺²

)(

^{x y}² ²⁺²^xy⁺²

)

b, Ta có:⁴^{x y}⁴ ⁴^{+ =}¹

(

²^{x y}² ²

)

²^{+ =}¹

(

²^{x y}² ²

)

²^{+ +}^{1 2.2}^{x y}² ²⁻⁴^{x y}² ²

(

²^{x y}² ²⁺¹

)

²⁻

(

²^xy

)

² ⁼

(

²^{x y}² ²^{+ +}^{1 2}^xy

)(

²^{x y}² ²^{+ −}^{1 2}^xy

)

c, Ta có: ⁴^x⁴⁺⁸¹⁼

( )

²^x² ²⁺⁹² ⁼

( )

²^x² ²⁺⁹²⁺^2.2^x²^{.9 36}⁻ ^x²

(

²^x² ⁺⁹

)

²⁻

( )

⁶^x ² ⁼

(

²