Chuyên đề tìm GTLN - GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

MỤC LỤC

I. LÝ THUYẾT ... 2

II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ... 3

Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ... 3

Dạng 1. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản ... 3

Dạng 2. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản ... 10

Dạng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng ^A B ... 14

Dạng 4. Tìm Min, Max của biểu thức có điều kiện của biến ... 31

Dạng 5. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: ... 41

Dạng 6. Tìm Min, Max bằng cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ... 44

Phương pháp 2. Phương pháp chọn điểm rơi ... 47

Phương pháp 3. Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ... 53

Phương pháp 4. Sử dụng biểu thức phụ ... 56

Phương pháp 5. Phương pháp miền giá trị ... 59

Phương pháp 6. Phương pháp xét từng khoảng giá trị ... 61

Phương pháp 7. Phương pháp hình học ... 64

I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa

 M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :

1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  D 2.  (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M.

Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...)  D

 M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1.f(x,y,...)  M (x,y,..)  D

2. (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M.

Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...)  D 2. Các kiến thức thường dùng

2.1. Luỹ thừa:

a)x²  0 x  R  x^2k  0 x  R, k  z  x^2k  0 Tổng quát : f (x)^2k  0 x  R, k  z   f (x)^2k  0 Từ đó suy ra : f (x)^2k + m  m x  R, k  z

M  f (x)^2k  M

b) x  0 x  0  ( x )^2k  0 x  0 ; k z Tổng quát : ( A)^2k  0  A  0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a) |x|  0  xR

b) |x + y|  |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0

c) |x  y|  |x|  |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 và |x|  |y|

2.3. Bất đẳng thức côsi:

ai  0 ; i = 1,n : ^{n n} a a a_n n

a a

a .... . ...

2 1 2

1     nN, n  2.

dấu "=" xảy ra  a1 = a2 = ... = an

2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có :

(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)²  (a₁²  a₂²....a_n²).(b₁² b₂² ....b_n²) Dấu "=" xảy ra  ^{1 2 n}

1 2 n

a a a

... Const

b  b   b  = Const Nếu bi = 0 xem như ai = 0

2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :

Với a  0 : (1 + a)ⁿ  1 + na n N.

Dấu "=" xảy ra  a = 0.

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó :

1. Để tìm Max f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :

0 0

f (x, y...) M (x , y ....)

 

 

  sao cho f(x0,y0,...) = M 2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền D ta chỉ ra :

0 0

f (x, y...) m (x , y ....)

 

 

  sao cho f(x0,y0,...) = m

 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) 0 { hoặc A(x)  0 }

 Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

 Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:

+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

Dạng 1. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a) A = x² + 4x + 7 b) R = 3x² – 5x + 3 c) M x ² x 1 d) A = x² + 2x + y² + 1 e) A(x) x ²4x 24 f) B(x) 2x ²8x 1 g) C(x) 3x ²  x 1 h) ^A



^{2x 1}

 

^{2 3x 2}



^{2 x 11} i) P 2 x x   ² j) Q4x² 4x 11 k) N  x² 4x 1 l) D 3x ²6x 1 m) K    x² 2x y² 4y 6 ^{n) B = x2 + y2 + 2xy + 4} o) Q 4x ²3x 2 p) M = 5x² – |6x – 1| – 1 q) A 9x ²6x 4 3x 1 6  

 

²

 

²

 

²

B 2 x 1 3

r)    x 2 4 x 3 HD:

q) Đặt 3x 1 t  ½ t² 9x²6x 1 ½ A t    ² 4t 5 (t 2)² 1 1 Dấu “=” xảy ra khi t = 2 

x 1

3x 1 2 1

x 3

 

  

  



º .

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau

a) A = – x² + 6x – 15 b) B = 5x²4x + 1 c) C = – x² + 4x – 5 < 0 d) D = 4x – 10 – x² e) E 2 x x   ² f) F 5x²4x 1

g) G 3x² x 1 h) H  x² 4x 7 i) K 5x² 7x 3 j) L ¹x² x 1

 2   k) M ¹x² 2x 5

 3  

l)

N   x² x 1 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) B 2x ²2y²5y² 5 b) D(x) 2x ²3y² 4z² 2(x y z) 2   c) A x ² 4y²4x 32y 2018  d) A 3x ²y²4x y

e) A x ²2x 3 4y  ² 4y f) B 4x ²y²12x 4y 15  g) C 5x ²y²z²4xy 2xz h) D x ²17 4y ²8x 4y i) E 16x ² 5 8x 4y y  ² j) F x ²y² 2x 6y 2  k) I x ²4xy 5y ²6y 11 l) M x ²2xy 2y ²2y 1 m) R x ² 2y²2xy 2y n) A 4x ²5y²4xy 16y 32  o) B x ²5y²5z²4xy 4yz 4z 12   p) C 5x ²12xy 9y ²4x 4

q) E x ²5y²4xy 2y 3  r) Q x ² 4y² z² 2x 8y 6z 15 0    s) A 2x ²y²2xy 2x 3  t) B 2x ²y² 2xy 8x 2028 

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) B 2 5x  ² y²4xy 2x b) A 4x²5y 8xy 10y 12²   c) A x y z (x    ² 2y²4z )² d) B 3x²16y²8xy 5x 2  e) N  x² 4y²6x 8y 3  f) P 3x²5y²2x 7y 23  g) R  7x²4y² 8xy 18x 9  h) Q = xy + yz + zx  x²y²z² HD:

h) Ta có : Q = xy + yz + zx  x²y²z² =  2

1(2x² + 2y² + 2z²2xy2yz2xz) Q = 

2

1[(xy)² + (yz)² + (zx)²]  0 x,y,z

 MaxQ = 0  x = y = z Vậy: MaxQ = 0  x = y = z

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa về HĐT



a b ; a b c

 

²  



²

a) A x ²2xy 2y ²2x 10y 17  b) B x ²xy y ²2x 2y

c) C x ²xy y ²3x 3y d) D x ²2xy 6y ² 12x 2y 45  e) E x ²xy 3y ²2x 10y 20  f) K x ²y² xy 3x 3y 20   g) N x ²2xy 2y ²x h) A x ²2xy 3y ²2x 1997 i) Q x ²2y²2xy 2x 10y  j) ^{G x 2xy y 23 x y}



^



^3

k) H(x) x ²y² xy x y 1   l) D 2x ²2xy 5y ²8x 22y

m) E 2x ²9y²6xy 6x 12y 2004   n) Q a ²ab b ²3a 3b 3  o) A x ²6y²14z²8yz 6zx 4xy  p) B(x) x ²xy y ²3x 3y

q) C(x) 2x ²3y² 4xy 8x 2y 18   r) E(x) 2x ² 8xy 11y ² 4x 2y 6  s) C = a² + ab + b² – 3x – 3b + 1989 t) A = 3x + 4y² + 4xy + 2x – 4y + 26 u) A = x² + 2y² + 2xy + 2x – 4y + 2013 v) A = 5x² + 9y² – 12xy + 24x – 48y + 82 w) B x ²2y²3z²2xy 2xz 2x 2y 8z 2000    

x) ^G



^{x ay}



²^{6 x ay}







^x2^16y28ay 2x 8y 10   y) F = 2x² + 6y² + 5z² – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2 z) B = 3x² + 3y² + z² + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3 aa) B = 2x² + 2y² + z² + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y HD:

a) A x ²2xy 2y ²2x 10y 17 

 

2 2

A x 2x y 1 2y 10y 17      ^x2^{2x y 1}

   

  ^{y 1} ²2y 10y 17 y 1²  







²

       

   ² ²     ²  ² A x y 1 y 8y 16 x y 1 y 4 b) B x ²xy y ²2x 2y

 

^{2 2}

2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y

B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1

2 4 4

    

            

 

   

       

             

             

 

½

2 2 2 2 2

2 2 2 2

4B x y 2 4y 8y y 4y 4 x y 2 3y 12y 3 x y 2 3 y 4y 3 x y 2 3 y 2 15 15 B 15

4

c) C x ²xy y ²3x 3y

 

^{2 2}

2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9

C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y

2 4 4

      

          

 

 

^{2 2 2}

4C x y 3  4y 12y y  6y 9  d) D x ² 2xy 6y ²12x 2y 45 

     

          

2 2

2 2 2 2

D x 2x(y 6) 6y 2y 45

x 2x.(y 6) (y 6) 6y 2y 45 (y 12y 36)

(x y 6)  ²5y 10y 9 (x y 6)²     ²5(y 1) ²  4 4 e) E x ²xy 3y ²2x 10y 20 

 

2 2

2 2

2 2

E x x y 2 3y 10y 20

y 2 y 4y 4 y 4y 4

x 2x. 3y 10y 20

2 4 4

     

    

      

 

²



²

 

²



4E x y 2   12y 40y 80  y 4y 4 ^



^{x y 2 }



^{2 }



^{11y236y 76}



f) K x ²y²xy 3x 3y 20  

   

²

 

²

2 2 2 2

4K 4x 4y 4xy 12x 12y 80   4x 4x y 3  y 3     4y 12y 80 y 3    

 

^{2 2}

4K 2x y 3  3y 18y 71 g) N x ²2xy 2y ²x

   

²

 

²

2 2 2 2y 1 2y 1 2 2y 1

N x x 2y 1 2y x 2x. 2y

2 4 4

 

         

 

^{2 2}



²



4N x 2y 1  8y  4y 4y 1 h) A x ² 2xy 3y ²2x 1997

     

²

 

2 2 2 2 2

A x 2x y 1 3y 1997 x    2x y 1  y 1 3y 1997 y  2y 1 i) Q x ²2y²2xy 2x 10y 

     

²

 

2 2 2 2 2

Q x 2x y 1 2y 10y x    2x y 1  y 1 2y 10y  y 2y 1 j) ^{G x 2xy y 2 3 x y}



^



^3

2 2

4G 4x 4xy 4y 12x 12y 12 

   

²

   

2 2 2

4G 4x 4x y 3  y 3  4y 12y 12   y 6y 9

 

^{2 2}

 

²

 

²

4G  2x y 3  3y 6y 3  2x y 3  3 y 1 0 k) H(x) x ²y² xy x y 1  

2 2

2 2 2

H(x) x y xy x y 1

4H(x) (2x) 2.2x.y y 3y 4x 4y 4

     

       

2 2 2 2

2 2

(2x y) 2(2x y) 3y 2y 3 1 (2x y 1) 3(y 2y 1) 3

1 8 8

(2x y 1) 3(y )

2 3 3

             

      

8 2 1 2

Min4H(x) x ; y MinH(x)

3 3 3 3

       

l) D 2x ²2xy 5y ²8x 22y

 

2 2 2 2

2D 4x 4xy 10y 16x 44y 4x 4x y 4 10y 44y         

   

²

2 2 2

2D 4x 2.2x y 4  y 4 10y 44y y 8y 16 m) E 2x ²9y²6xy 6x 12y 2004  

2 2

2E 4x 18y 12xy 12x 24y 4008  

   

²

 

2 2 2

2E 4x 12x y 1 9 y 1     18y 24y 4008 9 y  2y 1

 

^{2 2}

2E 2x y 1  9y 42y 3999 n) Q a ab b 3a 3b 3 ²  ²  

 

2 2 2 2

4Q a 2ab b 3 a    b  4 2ab 4a 4b  ^



^{a b}



^{23 a b 2}



^{ }



^{2 0}

o) A x ²6y²14z²8yz 6zx 4xy 

 

2 2 2

A x 2x 2y 3z 6y 14z    

   

²

 

2 2 2 2 2

A x 2x 2y 3z  2y 3z 6y 14z  4y 12yz 9z 

 

^{2 2 2}

A x 2y 3z  2y 12yz 23z  p) B(x) x ²xy y ²3x 3y

2 2 2 2

B(x) (x 2x 1) (y  2y 1) x(y 1) (y 1) 3 (x 1)        (y 1) (x 1)(y 1) 3  

2 2 2 2

2 2

2

1 y 1 y 1

(x 1) 2(x 1). .(y 1) ( ) ( ) (y 1) 3

2 2 2

y 1 y 2y 1

x 1 y 2y 1 3

2 4

 

         

  

 

         q) C(x) 2x ²3y² 4xy 8x 2y 18  

2 2 2 2 2

C(x) 2x 4xy 2y y 8x 2y 18 2 (x y)     2(x y)2 4  (y 6y 9) 1 

2 2

2(x y 2) (y 3) 1 1 min A 1 y 3;x 5

             r) E(x) 2x ²8xy 11y ²4x 2y 6 

2 2 2 2 2

E(x) 2(x 4xy 4y ) 3y  4x 2y 6  2(x 2y) 4(x 2y) 2  3y 6y 4

2 2 x 2y 1 0 x 3

2(x 2y 1) 3(y 1) 1 1

y 1 0 y 1

   

 

             s) C a ²ab b ²3x 3b 1989 

   

²

 

²

2 2 2 b 3 b 3 2 b 3

C a a b 3 b 3b 1989 a 2.a. b 3b 1989

2 4 4

 

             

2 2

4C 4a 4ab 4b 12a 12b 7956 

   

²

 

²

2 2

4a 4a b 3 b 3 4b 12b 7956 b 3

 

         



^{2a b 3}



^{2 3b2 6b 7947}

     

t) ^{A 4y} ²



^{4xy 4y}



^3x2 ^{2x 26}

   

²

 

²

2 2

4y 2.2y. x 1 x 1 3x 2x 26 x 1

 

         

 

^{2 2}

 

²



²



A  2y x 1  2x 4x 25  x 2y 1  2 x 2x 1 23 23 u) A x 2y ² ²2xy 2x 4y 2013  

2 2

2 2 2

A x 2y 2xy 2x 4y 2013

x 2x(y 1) (y 1) (y 3) 2003 2003 x 4; y 3

     

        

   

v) A 5x ²9y 12xy 24x 48y 82²   

2 2

2 2 2 2

A 5x 9y 12xy 24x 48y 82

9y 12y(x 4) 4(x 4) 4(x 4) 5x 24x 82

     

         



^{3y 2(x 4)}



^{2 (x 4)2 2 2 x, y R x 4; y 16}

            3 w) B x ²2y²3z²2xy 2xz 2x 2y 8z 2000    

 

2 2 2

B x 2x y z 1 2y 3z 2y 8z 2000        

   

²

 

2 2 2 2 2

x 2x y z 1 y z 1 2y 3z 2y 2z 2000 y z 1 2yz 2z 2y

                 



^{x y z 1}



²



^{y2 2z2} 4y 2yz 1999



        



^{x y z 1}



^{2 y2 2y z 2}

  

^{z 2}



^{2 2z2}



^{z2 4z 4 1999}



             



^{x y z 1}

 

^{2 y z 2}



²



^{z2 4z 1995}



         

x) ^G



^{x ay}



²^{6 x ay}







^x2^16y28ay 2x 8y 10  

 

²

  

²



²

G x ay 6 x ay 9   x 2x 1 16y 8ay 8y   

  

²



^{2 2}

    

²



²

G x ay 3   x 1 16y 8y a 1  a 1  a 1

  

²

 

²

 

²



²

 

²

G x ay 3   x 1  4y a 1   a 1   a 1 y) F(x) 2x ²6y² 5z²6xy 8yz 2xz 2y 4z 2    

2 2 2

F(x) 2x 6y 5z 6xy 8yz 2xz 2y 4z 2    

2 3y z 2 2 2 3y z 2

F(x) 2x 2x(3y z) 2( ) 6y 5z 8yz ( ) 2y 4z 2

2 2

 

          

2 2 2 2

3y z 3 10 25 1

2(x ) (y yz z ) z 2y 4z 2

2 2 3 9 3

         

2 2 2

3y z 3 5 5 2 1 2 1

2(x ) (y z) 2(y z) ( z z ) 1

2 2 3 3 3 3 3 3

  

          

2 2

x 3y z 0

2 x 1

3 5 2 1 5 2

2(...) (y z ) (x 1) 1 1 y z 0 y 1 min A 1

2 3 3 3 3 3

z 1

z 1 0

   

  

 

               

     



z) B 3x ²3y² z² 5xy 3yz 3xz 2x 2y 3    

2

2 2

3 3 y 4 2

B z (x y) (x ) (y 2) 1 1

2 4 3 3 3

 

           aa) G(x) 2x ²2y²z²2xy 2xz 2yz 2x 4y   

2 2 2

2 2 2

G(x) 2x 2y z 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1) (y 2) (x y z) 5 5

x 1; y 2; z 3

       

         

   

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa về HĐT



a b ; a b c

 

²  



²

a) H  x² xy y ²2x 4y 11  b) D  x² y²xy 2x 2y  c) A 5 2x  ²4y²4xy 8x 12y  d) A 5 2x  ²4y²4xy 8x 12y  e) F = – x² + 2xy – 4y² + 2x + 10y – 3 f) E  x² y²xy 2x 2y 

HD:

a) H  x² xy y ²2x 4y 11 

 

2 2 2 2

H x xy y 2x 4y 11 x x y 2 y 4y 11

            

 

²

2 y 2 y2 4y 4 2 y 2

H x 2x. y 4y 11

2 4 4

   

       

 

^{2 2}



²



4H x y 2 4y 16y 44 y 4y 4

         

½

b) D  x² y²xy 2x 2y 

 

2 2 2 2

D x y xy 2x 2y x x y 2 y 2y

          

 

^{2 2}

2 y 2 y 2 2 y 4y 4

D x 2x. y 2y

2 4 4

   

      

c) A 5 2x  ²4y²4xy 8x 12y 

 

2 2 2 2

A 2x 4y 4xy 8x 12y 5 2x 4x y 2 4y 12y 5

            

   

²

 

²

2 2

2 x 2x y 2 y 2  4y 12y 5 2 y 2

           d) A  x² y²xy 2x 2y 

     

2 2 2 2 2 2

A x y xy 2x 2y x xy 2x y 2y x x y 2 y 2y

               

2 2 2 2

2 y 2 y 4y 4 2 y 4y 4 y 2 3y

A x 2x. y 2y x 3y 1

2 4 4 2 4

             

            

2

2x y 1 3 2 4

A y 4y 4 4

2 4 3

     

         e) F  x² 2xy 4y ²2x 10y 3 

 

2 2 2 2

F x 2xy 4y 2x 10y 3 x 2x y 1 4y 10y 3

            

   

²

 

²

2 2

F x 2x y 1 y 1 4y 10y 3 y 1

           f) E   x² y² xy 2x 2y 

2 2 2 2

E  x y xy 2x 2y  4E 4x 4y 4xy 8x 8y 

2 2 2 2

E 4x 4x(y 2) (y 2)   (y 2) 4y 8y

2 2 2 2

(2x y 2) 3(y 4y) 4 (2x y 2) 3(y 2) 16 16

2x y 2 0 x 2

E 4 y 2 0 y 2

              

   

 

      

Dạng 2. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản Phương pháp:

a) Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.

b)Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.

c) Sử dụng các hằng đẳng thức



a b , a b c^

 

^{2  }



². Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) C(x) x ⁴4x³9x²20x 22 b) D(x) x ⁴6x³11x²12x 20 c) A(x) x ⁴ 6x³10x²6x 9 d) B(x) x ⁴10x³26x² 10x 30 e) C(x) x ⁴2x³3x²4x 2017 f) A(x) a ⁴2a³4a 5

g) D(x) = x⁴ – x² + 2x + 7 HD:

a) Biến đổi biểu thức về dạng



^{a b}



²



^{4 3 2}

 

²



²

 

²

 

²

C(x) x 4x 4x 5 x 4x 4  2 x x 2 5 x 2  2 2 b) ^{D(x) x 46x311x212x 20 x x  2}



^{26x 9 }



^{2x212x 20}

2 2 2 2 2 2

x (x 3) 2(x 6x 9) 2 x (x 3) 2(x 3) 2 2

           

c) A(x) x ⁴6x³10x²6x 9

4 3 2 4 3 2 2

2 2 2

A(x) x 6x 10x 6x 9 (x 6x 9x ) (x 6x 9) (x 3x) (x 3) 0 x

          

     

x2 3x 0

M in A(x) 0 x 3

x 3 0

  

       d) B(x) x ⁴10x³26x²10x 30

2

4 3 2 2 2 2 x 5x 0

B(x) x 10x 26x 10x 30 (x 5x) (x 5) 5 5 x 5

x 5 0

  

                e) C(x) x ⁴2x³3x²4x 2017

2 2 2 2 2 2

C(x) x (x  2) 2x(x  2) (x  2) 2015 (x 2)(x 1) 2015 2015  x 1 f) A a ⁴2a³4a 5

     

2 2 2 2

A a a 2 2a a 2  a 2 3 =



^a22



^{a22a  1}



^{3 3} dấu bằng khi a = 1 g) D(x) x ⁴x²2x 7

4 2 2 2 2 2

D(x) x 2x  1 x 2x 1 5 (x   1) (x 1)     5 5 x 1 Dạng 2.2 Biểu thức có dạng



^{x a}

 

^{4 x b}



^4...

a) ^D



^{x 8}

 

^{4 x 6}



^{4 b) F 2 3 x 1 }



^



^{43 x 5}



^



⁴

c) ^{F 2 3 x 1 }



^



^{43 x 5}



^



^{4 d) G}



^{x 3}

 

^{4 x 7}



⁴

HD:

a) Đặt: ^{x 7 y  ½ D}



^{y 1}

 

^{4  y 1}



^{4 2y4 12y2  2 2}

b) Đặt: x 3 y 

c) ^{F 2 3 x 1 }



^



^{4 3 x 5}



^



⁴

Đặt ^{x 2 t  ½ F 2 3 t 3 }

 

^{ 43 t 3}

 

^{ 4}

     

 F 3 t² 6t 9 ² 3 t² 6t 9 ² 2 6t⁴324t² 484 6 t ⁴54t² 484

 

  ²  ²  F 6 t 27 3890 3890 d) ^G



^{x 3}

 

^{4 x 7}



⁴

Đặt ^{x 2 t  ½ G }

   

^{t 5 4  t 5 4 }



^{t 10t 252 }

 

^{2  t 10t 252  }



²

   

 ⁴  ²  ⁴ ²  ⁴  ² ² ⁴   ⁴ G 2t 300t 1250 2 t 2.75t 5625 10 2 t 75 10 10 Dạng 2.3 Biểu thức có dạng x x a x b x c x d x e























^...

Bài 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau

a) ^B



x 1 x 2 x 3 x 4















b) ^B



^{x 1 x 3 x}



^

 

^{24x 5}



c) A x x 2 x 4 x 6











 



8 d) ^D



^{x 1 x}

 

^{24 x 5}

 

^



^2014

e) ^A



^{x2 x 6 x}



^{2 x 2}



^{f) C}



x 1 x 2 x 3 x 6















g) ^D



2x 1 x 2 x 3 2x 1















h) ^C



x 1 x 2 x 3 x 4















2011 i) G (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006      j) A x x 7 x 3 x 4















HD:

a) ^B



x 1 x 2 x 3 x 4















     

²



²



B x 1 x 4 x 2 x 3     x 5x 4 x 5x 6 Đặt x²5x 5 t  , Khi đó:^{B }

 

^{t 1 t 1    }



^{t2 1 1}

Dấu “ = “ khi ^{2 2} 5 5

t 0 x 5x 5 0 x

2

 º    º    b) ^B



^{x 1 x 3 x}



^

 

^{24x 5}





²



²



B x 4x 5 x 4x 5 , Đặt x²4x 4 0  . Khi đó:

  

²

B t 1 t 1    t 1 1 , Dấu “ = “ khi t²0º x²4x 4 0  º t 2 c) A x x 2 x 4 x 6











 



8

    

²



²



A x x 6 x 2 x 4     8 x 6x x 6x 8 8

Đặt x²6x 4 t  . Khi đó: ^{A }



^{t 4 t 4}



        



^{8 t2 16 8 t2 8 8}

Dấu “ = “ Khi đó: t² 0 x² 6x 4 0 ^{x 3 5} x 3 5

   

    

  

º º 

d) ^D



^{x 1 x}

 

^{24 x 5}

 

^



^2014

     

²



²



D x 1 x 2 x 2 x 5    2014 x 3x 10 x 3x 2 2014 Đặt x²3x 4 t  . Khi đó: ^{D }



^{t 6 t 6}



^{ }



^{2014 t 2 1978}

Dấu “= “ xảy ra khi: ^{2 2} x 1

t 0 x 3x 4 0

x 4

 

 º    º    e) ^A



^{x2 x 6 x}



^{2 x 2}



Đặt x²  x 2 t. Khi đó: ^{A }



^{t 4 t 4}



^{    }



^{t2 16 16}

Dấu “ = “ xảy ra khi: t 0 x² x 2 0 ^{x 1} x 2

 

 º    º    f) ^C



x 1 x 2 x 3 x 6















     

²



²



C x 1 x 6 x 2 x 3     x 5x 6 x 5x 6 Đặt x²5x t . Khi đó: ^{C }



^{t 6 t 6}



^{  }



^{t2 36 36}

Dấu “ = “ khi _{t 0 x}² _{5x 0} ^{x 0} x 5

 

 º   º    g) ^D



2x 1 x 2 x 3 2x 1















     

²



²



D 2x 1 x 3 x 2 2x 1     2x 5x 3 2x 5x 2

Đặt 2x²5x t , Khi đó: ^D



^{t 3 t 2}

 

^{t2 t 6 t 1 2 25 25}

2 4 4

  

          

Dấu “ = “ khi: 1 ² 1 5 29

t 2x 5x x

2 2 4

 º   º    h) ^C



x 1 x 2 x 3 x 4















2011

    

C x 1 x 4 x 2 x 3    2011^



^{x25x 4 x}



^{25x 6}



^2011

Đặt x²5x 5 t  . Khi đó: ^C



^{t 1 t 1}

 

^{2011 x2 5x 5 0 x 5 5}

2

    º    º   i) G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006     

2 2 2 2 x 0 G(x) (x 5x 6)(x 5x 6) 2006 (x 5x) 2042 2042

x 5

 

              

j) A x x 7 x 3 x 4



















x²7x x



²7x 12



, Đặt x²7x 6 t Khi đó: ^{A }

  

^{t 6 t  6 t2 36 36}

Dấu “ = ” khi ^{2 2} x 1

t 0 x 7x 6 0

x 6

 

 º    º   Vậy Min A = 36 khi x = 1 hoặc x = 6

Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức sau ^{E 5}  



1 x x 2 x 3 x 6















HD:

     

²



²



E 5  x 1 x 6 x 2 x 3      x 5x 6 x 5x 6 5 Đặt x²5x t .

Khi đó: ^{E  }



^{t 6 t 6}



^{   }



⁵



^t236



^{   5 t2 41 41}

Dấu “ = “ Khi _t² _{0 x}² _{5x 0} ^{x 0} x 5

 

 º   º    Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau

C = (x1)(x4)(x5)(x8) + 2002 Giải:

Ta có: C = (x1)(x4)(x5)(x8) + 2002 = (x1)(x8)(x4)(x5) + 2002 = (x²  9x + 8) (x²  9x + 20) + 2002

= [(x² 9x + 14) 6].[(x² 9x + 14) + 6] + 2002 = (x²9x + 14)²  36 + 2002

= (x²9x + 14)² + 1966  1966 vì (x²9x + 14)²  0 x

 MinC = 1966  x²9x + 14 = 0 







 7 2 x

x Vậy MinC = 1966 







 7 2 x x

Bài 4. Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:



^{x 1 x 2}



^

 

^{2 x 3}



^m

HD:

   

²



²



²



VT x 1 x 3 x 2    x 4x 3 x 4x 4 Đặt x²4x t , Khi đó:

  

^{2 2 7 49 49 7 2 1 1}

VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t

2 4 4 2 4 4

  

               

Dạng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng ^A B Dạng 3.1 Biểu thức dạng  ₂

  A m

ax bc c với m là hằng số hoặc m đã xác định được âm hoặc dương:

Phương pháp giải:

1. Biểu thức dạng A ₂ ^m ax bc c

   khi đó A_max (ax²bc c) _min hoặc A_min (ax²bc c) _max 2. Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo:

Nếu a b 1 1

½ a b

3. Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt.

4. Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm.

Ta đưa về dạng: A m ^{C C} 0

D D

 

    

 

Bài 1. Tìm Min của các biểu thức sau:

2

a) A 2

6x 5 9x

   ²

b) B 1

x 4x 9

   ²

c) C 3

x 5x 1

 

 

2

d) D 6

x 2x 3

    ²

e) K 2

x 8

  ²

f ) A 1

9x 12x 10

  

2

g) B 2

x x 4

   ²

h) A 5

x 2x 5

   ²

i) B 1

x 4x 11

  

2

2 2

k) A 3y (x 0)

25x 20xy 5y

 

  

2

2 2

l) C y (x 0)

9x 12xy 5y

 

 

HD:

a) Ta có: ^{9x26x  5}



^{9x26x 1 4}



^{ }



^3x1



^{2  4 4}

 

 

   

  ²   ² 

2 2 2 1 A 1

4 2 2

6x 5 9x 3x 1 4

½ ½ , Dấu “ = ” khi x1

3

k) ₂ y² ₂

C (x 0)

9x 12xy 5y

 

  Ta có: y = 0  A = 0

2 2

y 0 A 1

x x

9 12 5

y y

  

 

Đặt t  x y

2 2

1 1 2 2

A 1 t x y

9t 12t 5 (3t 2) 1 3 3

      

   

l) Ta có: y = 0  A = 0

2 2

y 0 A 3

x x

25 20 5

y y

  

  

(Đặt t  x y)

Vì ₂ 3 3₂ 2 2

A 1 A 3 t x y

25t 20t 5 (5t 2) 1 5 5

          

    

Dạng 3.2 Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số dạng ₂²

' ' '

ax bx c a x b x c

 

 

Phương pháp giải:

1. Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức để đưa biểu thức về dạng m ₂ ⁿ a ' x b ' x c '

   hoặc đưa biểu thức về dạng A(x)

B(x)c với A(x)

B(x) 0 với mọi x 2. Biến đổi biểu thức về dạng m ^{n p} ₂

ax b (ax b)

 

  rồi đặt ẩn phụ đối với phân thức có mẫu thức là bình phương của một đa thức bậc nhất

Dạng 3.2.1 Thực hiện phép biến đổi đưa phân thức về dạng ₂

' ' '

m n

a x b x c

  

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số

2 2

3x 6x 10

A(x) x 2x 3

 

  

HD:

Từ

2 2

3x 6x 10

A(x) x 2x 3

 

  

Ta có A(x) =

2 2

2 2 2

3x 6x 9 1 3(x 2x 3) 1 1

A(x) 3

x 2x 3 x 2x 3 (x 1) 2

     

   

     

Vì (x + 1)²  0 với x nên (x + 1)² + 22 với x.

Do đó: 1₂ 1 (x 1) 2 2

  Vậy 1₂ 1 1

A(x) 3 3 3

(x 1) 2 2 2

    

  Max A(x) = 3¹

2 khi (x + 1)² = 0  x = –1 Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a)

2 2

2x 16x 41 B(x) x 8x 22

 

   với x R b)

2 2

3x 6x 17 Q x 2x 5

 

   HD:

a) Từ B(x) = 2x₂² 16x 41 2(x²₂ 8x 22) 3 3₂

B(x) 2

x 8x 22 x 8x 22 (x 4) 6

    

   

     

Vì (x4)²  0 với x nên (x4)² + 6  6.

Nên 3₂ 3 1

(x 4) 6  6 2

 

2

3 1 3

B(x) 2 2

(x 4) 6 2 2

     

  Min B(x) = ³

2 khi (x 4)² = 0 x = 4 b) Ta có :  

 

2

Q 3 2

x 2x 5, mà ^{2  }



^



^{2  } 2 _{ } ^{ }

2 2 1

x 2x 5 x 1 4 4

4 2 x 2x 5

½ Bài 3. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a)

2 2

3x 12x 10

F x 4x 5

 

   b)

2 2

6x 2x 19

A 3x x 7

 

  

HD: a) Ta có:

2

2 2 2

3x 12x 10 5 5

F 3 3 3 5 2

x 4x 5 x 4x 5 (x 2) 1

 

        

     

Do ² 5₂

(x 2) 1 1 5 x 2

(x 2) 1

        

 

b)Ta có: 6x²₂ 2x 19 2(3x²₂ x 7) 5 ₂ 5

A 2

3x x 7 3x x 7 3x x 7

    

   

     

Đặt ² 1 ² 83 83 1

M 3x x 7 3(x ) x

6 12 12 6

         

max min max

5 60 1

A M A 2 2 x

83 83 6

12

       

Bài 4. Tìm min hoặc max của các biểu thức sau:

a)

2 2

2x 16x 71 I x 8x 22

 

   ^b)

2 2

2x 4x 9 N x 2x 4

 

   HD:

a) Hạ phép chia ta được : I 2 ₂ 27 x 8x 22

    , mà ^{x28x 22 }



^{x 4}



^{2 6 6}

b) Hạ phép chia ta được : N 2 ₂ 1 x 2x 4

    , mà ^{x22x 4 }



^{x 1}



^{2 3 3}

Bài 5. Tìm min hoặc max của các biểu thức sau:

a)

2 2

x 6x 23 A x 6x 10

 

   ^b)

2 2

3x 12x 10 C x 4x 5

 

  

b)

2 2

4x 6x 3 G 2x 3x 2

 

   ^c)

2

4 2

D x

x x 1

   HD:

a) Ta có : A 1 ₂ 13 1 13₂ x 6x 10 (x 3) 1

   

   

b) Ta có : C 3 ₂ 5 3 5₂ x 4x 5 (x 2) 1

 

   

   

c) Ta có : G 2 ₂ 1 2x 3x 2

  

  d) Ta có :

2

2

4 2 2

x 1 1

D x 1 3

x x 1 D x

    

  ½ (Áp dụng Côsi )

Dạng 3.2.2 Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức Bài 1. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a)

2 2

2x 6x 5 Q x 2x 1

 

   ^b)

2 2

2x 10x 1

M (x 1)

x 2x 1

 

 

 

HD:

a) Ta có:   ^{ }   ^{ }   ^{  }   



    

2 2 2 2

2x 3 2x 3 2(x 1) 1 2 1

Q 2 2 2 2

x 2x 1 (x 1) (x 1) x 1 (x 1) Đặt 

 1 t

x 1 , khi đó ta có: Q t ² 2t 2 (t 1) 1 1   ² 

b) Ta có: M= 2x₂² 10x 1 2(x² 2x 1) 6(x 1) 9₂ 6 9 ₂

x 2x 1 (x 1) 2 x 1 (x 1)

          

    

Đặt 

 1 t

x 1 , khi đó ta có: M  9t²6t 2  (3t 1) ² 3 3 Bài 2. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a)

2 2

2x 4x 4

A x

 

 b)

2 2

x 4x 1

B x

 

 c)

 

4 2 2

x 1

H x 1

 

 HD:

a) Ta có : A 2  4 4₂

x x , Đặt 1 t A 4t 4t 2 (2t 1) 1 1  ²    ² 

x ½

b) Ta có: K 1 4 1₂

  x x , đặt 1 t K t 4t 1 t 2 3 3²

 

²

x  ½        

c) Đặt x 1 t²  ½ x²  t 1½ x⁴   t² 2t 1 , khi đó Ht²  2t 1 1₂   1 2 2₂ t

t t

Đặt 1 ²

a H 2a 2a 1

t  ½   

Bài 3. Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:

a)

 

2 2

4x 6x 1

A 2x 1

 

  b)

 

²

B x

 x 10

 c)

 

²

C x

x 2016

 

d)

2 2

x 2x 2000

D x

 

 e)

2

2

x 2x 2015 E 2015x

 

 f)

 

²

F x

x 2000

  HD:

a) Đặt

2 2

t 1 t 2t 1

2x 1 t x x

2 4

  

  ½  ½  , Khi đó :

 

2 2

2 2 2

t 2t 1 3 t 1 1 t 5t 5 5 5

A 1

t t t t

      

     , Đặt 1 ²

a A 1 5a 5a

t  ½   

b) Đặt t 10 1 10_{2 2}

x 10 t x t 10 B

t t t

  ½   ½     , Đặt 1 ²

a B 10a a

t  ½   

c) Đặt t 2016 1 2016_{2 2}

x 2016 t x t 2016 C

t t t

  ½   ½     ,

Đặt 1 ²

a C a 2016a

t  ½  

d) Ta có : 2 2000₂

D 1  x x , Đặt 1 ² a D 1 2a 2000a

x  ½   

e) Ta có :

2

2 2

x 2x 2015 2 2015

2015E 1

x x x

 

    ,

Đặt 1 ²

a 2015E 1 2a 2015a

x  ½    ² 2 1

E a .a

2015 2015

  

½

f) Đặt t 2000 1 2000_{2 2}

x 2000 t F

t t t

  ½     , Đặt 1 ²

a F a 2000a t  �