Bài toán GTLN - GTNN biểu thức mũ - lôgarit nhiều biến số - TOANMATH.com

BÀI TOÁN GTLN - GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Đánh giá, áp dụng BDT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki.

Cách 2: Áp dụng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng.

Thông thường ta thực hiện theo các bước sau :

Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau.

Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.

Xét hàm số f t

( )

theo biến t. Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t

( )

với t D∈ .

Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t

( )

với .

t D∈

Chú ý : Ta chứng minh được:

• Nếu hàm số y f x=

( )

luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D mà phương trình f x

( )

=k có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D_.

• Nếu hàm số y f x=

( )

luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y g x=

( )

luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D mà phương trình ^{f x}

( )

^{=g x}

( )

có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D.

• Nếu hàm số y f x= ( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

( ) ( )

f x > f y nếu x y> (hoặc x y< ). Cách 3: Áp dụng hình học giải tích.

Câu 1. Xét các số thực dương x và y thỏa mãn ln 1 2x 3x y 1.

x y

 − = + −

 + 

  Giá

trị nhỏ nhất của biểu thức g x( ) ^{1 2} x x y

= + + bằng

A. 1

8. B. 8. C. 1

4. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Điều kiện 0 1. x 2

< <

Ta có từ giả thiết: ln ^{1 2}x 3x y 1 ln 1 2

(

x

) (

1 2x

)

ln

(

x y

) (

x y

)

(1) x y

 − = + − ⇔ − + − = + + +

 + 

  .

Xét hàm số f t

( )

=lnt t+ trên khoảng

(

0;+∞

)

. Ta có f t

( )

1 1 0

′ = + >t với mọi t>0 Do đó hàm số f t

( )

luôn đồng biến trên khoảng

(

0;+∞

)

.

Vậy (1) ⇔ −1 2x x y= + ⇔ = −y 1 3x

Ta có

( )

( )

²

( )

2 2

1 2 1 4 1 1

( ) 0

1 2 2 2 4

g x g x x g x x

x x x x x x

′ − ′

= + = ⇒ = ⇒ = ⇔ =

− − − .

Khi đó ta có BBT

Vậy GTNN của g x( ) là 8 khi 1, 1

4 4

x= y= . Câu 2. Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn hệ thức:

2log2a−log2b≤log2

(

a+6b

)

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ₂ ² ₂

2 2

P ab b

a ab b

= −

− + .

A. 2

Max 3

P = . B. P_Max =0. C. 1

Max 2

P = . D. 2

Max 5 P = . Lời giải

Chọn C

Ta có: 2log2a−log2b≤log2

(

a+6b

)

⇔log2a² ≤log2

(

ab+6b²

)

⇔a² ≤ab+6b²

2

6 0 3 2

a a a

b b b

⇔   − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

  . Do a b, dương nên 0 a 2

< ≤b . Đặt t a,0 t 2

=b < ≤ . Khi đó: ₂ ² _{2 2} 1

2 2 2 2

ab b t

P a ab b t t

− −

= =

− + − +

Xét hàm số

( )

₂ ¹

2 2 f t t

t t

= −

− + với 0< ≤t 2. Ta có:

( )

( ) ( ]

2 2 2

2 0, 0;2

2 2 t t

f t t

t t

′ = − + ≥ ∀ ∈

− + .

Suy ra

( ) ( )

2 ¹

f t ≤ f =2 với ∀ ∈t

(

0;2

]

. Do đó _{( ]}

( )

0;2

1

Max f t =2 khi t =2. Vậy 1

Max 2 P = .

Câu 3. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2^x+2^y =4. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức

(

^{2 2}

)(

^{2 2}

)

⁹

P= x +y y + +x xy. A. _max 27

P = 2 . B.P_max =18. C.P_max =27. D.P_max =12. Lời giải

Chọn B

Ta có 4 2= ^x+2^y ≥2 2^{x y+} ⇔ ≥4 2^{x y+} ⇔ + ≤x y 2. Suy ra

2

2 1 xy≤x y+  =

  . Khi đó ^P=

(

^2x2+y

)(

^{2y2+ +x}

)

^9xy=2

(

^x3+y3

)

^{+4x y2 2+10xy.}

( ) ( )

²

( )

²

2 3 2 10

P= x y+  x y+ − xy+ xy + xy

( )

^{2 2 2 2}

( )

4 4 3xy 4x y 10xy 16 2x y 2xy xy 1 18

≤ − + + = + + − ≤ . VậyP_max =18khi x y= =1.

Câu 4. Cho hai số thực a b, >0 thỏa mãn log 22

(

a+ +1 log 3 1 6 0

)

2

(

b+ − ≥

)

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a+3b là.

A. 12. B. 14. C. 16. D. 8.

Lời giải Chọn B

Ta có log 22

(

a+ +1 log 3 1 6 0

)

2

(

b+ − ≥

)

⇔log2

(

2 1 3 1a+

)(

b+

)

≥6⇔

(

2a+1 3 1 64

)(

b+ ≥

)

. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 2a+1 và 3 1b+ , ta được

(

2a+ +1

) (

3 1b+ ≥

)

2 2

(

a+1 3 1

)(

b+ ≥

)

2 64 16= ⇔2a+3b+ ≥2 16 ⇔2a+3b≥14 Dấu " "= xảy ra khi 2 1 3 1 3

a+ = b+ ⇔ =a 2b. Vậy min 2

(

a+3b

)

=14 khi 7; 7

2 3

a= b= . Câu 5. Trong các nghiệm

(

x y;

)

thỏa mãn bất phương trình

log_x²_+2y²

(

2x y+

)

≥1. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức T =2x y+ là A. 9

4 B. 9 C. 9

2 D. 9

8 Lời giải

Chọn C

- Trường hợp 1: x²+2y² >1

Bất phương trình ^log_x²_+2y²

(

²x y+

)

≥ ⇔^{1 2x}+ ≥y x²+²y² ⇒2x+ ≥y x²+2y² >1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có

( ) ( )

2 2

2 1 2 2

2 2 2x

2 x y y

 +   + ≥ +

   

   

 

( )

²

2 2 2 2x

2 9

x y +y

⇒ + ≥

( )

²

( )

2 2x 9 9

2 2 2 0 2 1;

9 2 2

x y +y x y  x y  x y  

⇒ + ≥ ⇔ +  + − ≤ ⇒ + ∈ 

Giá trị lớn nhất của 2 9

T = x y+ =2. Dấu bằng xảy ra khi 2; 1 x= y= 2 - Trường hợp 2: 0<x²+2y² <1

Bất phương trình log ² ₂ ²

(

2

)

1 2x ² 2 ² 1 ⁹ 2

x₊ y x y+ ≥ ⇔ + ≤y x + y < < . Vậy giá trị lớn nhất của 2 9

T = x y+ = 2.

Câu 6. Xét các số nguyên dương a b, sao cho phương trình aln² x b x+ ln + =5 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ và phương trình 5log²x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt x x₃, ₄ thỏa mãn

1 2 3 4

x x >x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của S =2a+3b

A. S_min =33. B. S_min =30. C. S_min =17. D. S_min =25. Lời giải

Chọn B

Điều kiện để hai phương trình aln²x b x+ ln + =5 0 và 5log²x b+ logx a+ =0 có hai nghiệm phân biệt là: b²−20a>0.

Theo giả thiết ta có

( )

( )

1 2 1 2

1 2

3 4 3 4 3 4 5

ln ln ln

log log 5 log 5 10

b a b

b b

x x a x x a x x e

b b

x x x x x x

−

−

 + = −  = − 

  =

 ⇒ ⇒

  

 + = −  = −  =

 

 

.

Mà x x_{1 2} >x x_{3 4}⇒e^−ba >10^−5bnên suy ra ln10 5

b b

− > −a 5 3

a ln10 a

⇒ > ⇒ ≥ . Theo điều kiện có b²−20a> ⇒0 b² >20a≥60⇒ ≥b 8.

Từ đó suy ra S=2a b+3 ≥30⇒S_min =30 khi và chỉ khi 3 8 a b

 =

 = . Câu 7. Cho các số thực 1 , 1.

a>3 b> Khi biểu thức

log3_ab+log_b

(

a⁴−9a²+81

)

đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a b+ bằng

A. 9 2+ ³. B. 3 9+ ². C. 3 3 2+ . D. 2 9 2+ . Lời giải

Chọn B

Ta có 3a>1,b>1 nên log_3ab>0,log 3_b a>0. Theo bất đẳng thức Cauchy ta được

(

^{4 2}

) (

^{2 2}

)

3 3 3

log _ab+log_b a −9a +81 log≥ _ab+log 18_b a −9a =log _ab+2log 3_b a≥2 2.

Dấu “⁼” xảy ra khi và chỉ khi ⁴ ₂

3

3 1, 1

81 3 .

log _a 2log 3_b 9

a b

a a

b a b

> >

  =

 = ⇔

 

 =

 =



Vậy a b+ = +3 9 .²

Câu 8. Cho các số thực x y, thỏa mãn ^{5 16.4+ x2−2y ≤}

(

^{5 16+ x2−2y}

)

^{.72y x− +2 2 và x}₂^{2 ≥ +y 1. Gọi M và m}

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 10 6 26.

2 2 5

x y

P x y

+ +

= + + Khi đó, giá trị của biểu thức T M m= + bằng

A. T =10. B. 21

T = 2 . C. 19

T = 2 . D. T =15. Lời giải

Chọn C Đặt t x= ²−2 .y

Ta có

(

²

)

² 2 ² 2 ²

( )

5 4 5 4

5 16.4 5 4 .7 1 .

7 7

t t

t t t

t t

− +

+

+ +

+ ≤ + ⇔ ≤

Xét hàm số

( )

^{5 4} 5 ^{1 4}

7 7 7

u u

u

f u = +u =     +    ta có

( )

5 ¹ ln^{1 4} ln⁴ 0,

7 7 7 7

u u

f u′ =     +    < ∀ ∈u  Suy ra hàm số f u

( )

luôn nghịch biến trên .

Khi đó

( )

1 ⇔ f t

(

+2

)

≤ f t

( )

2 ⇔ + ≥t 2 2t⇔ ≤t 2.

Mặt khác ² 1 ² 2 2 2.

2

x ≥ + ⇔y x − y≥ ⇔ ≥t Suy ra 2 ² 2. 2

t y x −

= ⇔ = Thay vào P ta được

( ) ( ) ( )

2 2

2

3 10 20 3 2 5 20 3 0 2 .

2 3

x x

P P x P x P

x x

+ +

= ⇔ − + − + − =

+ +

Khi P≠3, vì P xác định nên phương trình

( )

2 có nghiệm.

Khi đó ∆ ≥ ⇔ −′ ⁰

(

⁵ P

) (

²− −³ P

)(

^{20 3}− P

)

≥ ⇔ −^{0 2}P²+¹⁹P−^{35 0}≥

5 7.

2 P

⇔ ≤ ≤ Vậy 5 7 19.

2 2

T M m= + = + = Câu 9. Xét các số thực dương x y, thỏa ( )

( )

2 2 2

2

4 2

2021 0.

2

x y x y

x

− + − + + ≥

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 4 .

P= y− x

A. 2021. B. 2020. C. 1

2. D. 2 .

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết, ta suy ra ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2021 2

4 2 4 2

2021 2 2 log 1 .

2 2

x y x y x y x y

x x

− + ≥ + + ⇔ − + ≥ + +

+ +

Đặt

( )

^{2 2 2}

4 2

2 4 4 2

a x y

b a x y

b x x x

= + +

 ⇒ − = − +

 = + = + +

 thì

( )

1 trở thành

( )

_{2021 2021 2021 2021}

( )

2 b a log a log b log a 2a log b 2b 2 .

⇒ − ≥ − ⇔ + ≥ +

Xét hàm số f t

( )

=log2021t+2t trên

(

0;+∞

)

ta có

( )

¹ 2 0, 0 ln 2021

f t t

′ =t + > ∀ >

Suy ra hàm số f t

( )

luôn đồng biến trên khoảng

(

0;+∞

)

.

Khi đó

( )

² ⇔ f a

( )

≥ f b

( )

⇔ ≥ ⇔a b ⁴x y+ + ≥²

(

x+²

)

² ⇔ ≥y x²+^2.

Thay vào P, ta được P≥²x²−⁴x+ =^{4 2}

(

x−¹

)

² + ≥^{2 2.}

Vậy P_min =2 khi và chỉ khi x=1,y=3.

Câu 10. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2^{ln 2} .5^{ln( )} 2^ln5

x y+ x y

 

  +

  = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 1)ln ( 1)ln

P= +x x y+ + y với 1 3

2≤ ≤x 2 và 1 3

2≤ ≤y 2 là m, khi đó m thuộc khoảng nào sau đây

A. 1 ;0

m∈ − 2 . B.m∈

( )

0;1 . C. m∈

( )

1;2 . D. m∈

( )

2;4 . Lời giải

Chọn A

Ta có: 2^{ln 2} .5^{ln( )} 2^ln5 2^{ln( ) ln 2 ln(}.5 ⁾ 2^ln5 2^{ln( ) ln(}.5 ⁾ 2 .2^{ln5 ln 2}

x y

x y x y x y x y x y

+

 

  + + − + + +

  = ⇔ = ⇔ =

ln( ) ln10

10 ^{x y+} 2

⇔ = ⇔^ln(x y+ ^{) log 2}=

( )

^ln10 ⇔^ln(x y+ ) ln10.log 2= ⇔e^{ln(x y+ )} =e^ln10.log2

10log2 2

x y x y

⇔ + = ⇔ + = . Do đó P=(x+1)lnx+(y+1)lny=

(

x+1 ln

)

x+ −

(

3 x

) (

ln 2−x

)

. Xét hàm số f x( ) ( 1)ln= +x x+ −(3 x)ln(2−x)

Ta có: ( ) ln 1 ln(2 ) 3 ln 2 2

2 2 (2 )

x x x x

f x x x

x x x x x

+ − −

′ = + − − − = +

− − − .

Lại có:

( )

( ) ( ) ( ( ) )

2 2

2 2 2 2 2

4 1

2 .2 2 4 4 0, 1 3;

2 2 2 2 2

x x x x

f x x

x x x x x x

− −

− − +  

′′ = − − − = − < ∀ ∈   Do đó f x′

( )

=0 có nhiều nhất một nghiệm trên 1 3;

2 2

 

 

 .

Mà x=1 là một nghiệm của pt f x′

( )

=0 nên phương trình f x′

( )

=0 có nghiệm duy nhất là 1

x= . Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào BBT, ta suy ra _{1 3}

( )

2 2;

1 3 3 1 5 3 1

min min ln ln ;0

2 2 2 2 2 2 2

P f x f f

 

 

 

     

= =   =   = + ∈ − .

Câu 11. Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x+3 .3y ^{x y+ −3 4}≥4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 5 4

P x= +y + x+ y bằng A.43

8 . B. 33

4 . C. 49

8 . D. 57

8 . Lời giải

Chọn A

Ta có x+3 .3y ^{x y+3 4−} ≥ ⇔4 3 .3y ^{x y+3 4−} ≥ − ⇔4 x 3 .3y ^3y ≥

(

4−x

)

3^4−x

( )

* Xét hàm số f t

( )

=t.3^t,∀ ≥t 0, ta có

( )

3 1 ln 3^t

( )

0

f t′ = +t > ,∀ ≥ ⇒t 0 f t

( )

đồng biến trên

[

0;+∞

)

.

( )

* ⇔ f y

( )

3 ≥ f

(

4−x

)

, ∀x y, ≥ ⇔0 3y≥ − ⇔ ≥ −4 x x 4 3 ,y ∀x y, ≥0 Xét biểu thức P x= ²+y²+⁵x+⁴y⇒ ≥P

(

^{4 3}− y

)

²+y²+^{5 4 3}

(

− y

)

+⁴y

2 43

10 35 36

P y y 8

⇔ ≥ − + ≥

Vậy min 43

P= 8 khi và chỉ khi ⁷4

( )

; ^{5 7}; 4 3 4 4

y x y

x y

 = ⇔ = − 

  

 

 = −

Câu 12. Cho 2 số thực dương x y, thỏa mãn phương trình sau: 

( )

3

1 1

2 2

1 1

2 2 2

2 3.4 4 3.2

x y

x y

x y y x

x y e ^{+ −}

− −

+ = + −

+ + + .

Biết rằng, giá trị của x³+y⁴ được viết dưới dạng ^m

n với m,n là các số nguyên dương và ^m n là phân số tối giản. Hỏi T m n= + có giá trị là bao nhiêu?

A. 149. B. 147 . C. 160. D. 151.

Lời giải

Chọn D

Biến đổi giả thiết ta được:

( )

3 3

1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2

2 2 2

2 3.4 4 3.2 2 3.2 2 3.2

x y x y x y

x y

x y

x y y x x y y x

x y e− −₋ ^{+ −}₋ + + x y e ^{+ −}

+ = ⇔ + = − −

+ + + + +

Đặt 2^x =a,2^y =b thì theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2 ; 2 1 2 2 3

3 2 3 4 2

3 3 3

2 ; 2 1 2 2 3

3 2 3 4 2

3 3 3

2 2 3 4 2

3 3 2 2 3 3

a b

a a a b b b a

a b a b a b a b

a b a b a b

a b

b b a b a a b

b a b a b a a b

b a b a b a

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

 + +

 ≤ + ≤ + ⇒ ≤ +

 + + + + + + +



 + +

≤ + ≤ + ⇒ ≤ +

 + + + + + + +



+ + + + +

⇒ + ≤ + = ⇔ + ≤

+ + + + +

Suy ra ²₂ ² ₂ ²₂ ² ₂ 2

3 3

2 3.2 2 3.2

x y x y

x y y x

a b a b

a b a b

+ + + = + + + ≤

+ +

+ +

Mặt khác theo một bất đẳng thức phụ quen thuộc ta có:

( )

3 3 3 3 3 1 2

x y x y

x y e+ − ^{+ −} = x y+ − −e ^{+ −} + ≤ − = Vậy VT ≥ ≥2 VP. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ^{2 2 3}

3 0 2

x y

x y x y

 = ⇔ = =

 + − =



Khi đó ^{3 4 135} 151

16

x y m T m n

+ = = n ⇒ = + = .

Câu 13. Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 ³ 1

(

³

)

2 2

1log 1log 2 log 1

6 y +2 x + ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

( )

3 2 4 2 2

1 1

2

x x y

x y

P x y y

e

+ + −

  +

=   − + + −

A. minP=0. B. minP=1. C. minP=2. D. minP e= . Lời giải

Chọn B

Điều kiện 0₃ 2 (*) y

x

 >

 > −

 ; Với x y, thuộc (*) và thỏa mãn

( ) ( )

3 3 3

1 2 2 2 2

2

2

1log 1log 2 log 1 log log 2 log 3

6 y +2 x + ≥ 3⇔ y− x + ≥ −

(

³

) (

³

)

2 2 2 2 2

log y log 3 log x 2 log 3y log x 2

⇔ + ≥ + ⇔ ≥ +

( )

3 3

3y x 2 3 y x x 3x 2 (**)

⇔ ≥ + ⇔ − ≥ − +

Xét hàm số f x( )=x³−3x+2 xác định và liên tục trên

(

^{−3 2;+∞}

)

Có ^{f x'( ) 3= x2− =3 3}

(

^x2−1

)

^{. Với f x'( ) 0= ⇔x2}− = ⇔ ^{1 0 }^x_x⁼= −¹₁ Và f( 1) 4; (1) 0; ( 2) 3 2 0− = f = f −³ = ³ >

Bảng biến thiên

Do đó

(^{−min32;+∞}) ^{f x( )= f(1) 0=} nên suy ra 3

(

y x−

)

≥ ⇔ − ≥0 y x 0

Mà

( ) ( )

3

2 4 2 2 3 2 2

4 2

1 1 1

2 2

x x y

y x x

x y x y

P x y y e x y y

e

+ + −

− − −

+ +

=   − + + − = − + + −

 

^{( ) 3} ( ^{3 2})

( ) ( )

^{2 ( )}

( ) ( )

²

2 2

y x y x y x y x y x

e ^{− + − +} − y x e ⁻ − y x

= − − − ≥ − − −

Xét hàm số (*) ( ) 1 ² 2

g t = −et t t− xác định và liên tục trên

[

0;+∞

)

Do đó g t'( )= − −e t^t 1 xác định và liên tục trên

[

0;+∞

)

Và g t''( )= − ≥e^t 1 e⁰− = ∀ ∈1 0, t

[

0;+∞

)

.

Do đó hàm số g t'

( )

đồng biến trên

[

0;+∞

)

. Tức là t≥ ⇒0 g t'( )≥g'(0)= − − =e⁰ 0 1 0, Do đó hàm số g t

( )

đồng biến trên

[

0;+∞

)

. Tức là t≥ ⇒0 g t( )≥g(0)=e⁰ − − =0 0 1 Suy ra _{[ )}

min ( )0; g t g(0) 1

+∞ = =

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi _{3 3}

0 0 0

1 1

3 2 3 2 0 2

x y x y x y

x y

y x x x xx

= >

= > = > 

 ⇔ ⇔ = ⇔ = =

 = +  − + = 

   = −

.

Câu 14. : Cho các số thực x y, thỏa mãn e^x2+2y2+e x^xy( ²−xy y+ ²− −1) e^{1+ +xy y2} =0 . Gọi M m, lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức 1

P 1

= xy

+ . Tính M m− . A. M m− =1. B. M m− =2 . C. 1

M m− = 2. D. M m− =3. Lời giải

Chọn A

Ta có e^x2+2y2+e x^xy( ²−xy y+ ²− −1) e^{1+ +xy y2} =0 ⇔e^{x2+2y xy2−} +(x²−xy y+ ²− −1) e^1+y2 =0

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

x xy y y

e ^{− +} x xy y e⁺ y

⇔ + − + = + + (1)

Xét hàm f t( )= +e t t^t , ∈. Ta có f t′ = + >( ) e^t 1 0 ∀ ∈t  nên f t( ) đồng biến trên . Do đó (1) ⇔ f x xy( ²− +2 )y² = f(1+y²)⇔x xy²− +2y² = +1 y² ⇔x xy y²− + ² =1

Khi đó

( )

( )

2 2

1

1 3 3

x y xy xy

x y xy xy

 = − + ≥



= + − ≥ −

 suy ra 1 1

xy −3

≥ ≥ .

Do đó 1 1 1

1 1 1 1 1

3

P xy

≤ = ≤

+ + −

1 1 3

2 P 1 2

⇔ ≤ = xy ≤

+ . Vậy M m− =1

Câu 15. Cho các số thực x, y thỏa mãn ^{5 16.4+ x2−2y =}

(

^{5 16+ x2−2y}

)

^{.72y x− +2 2. Gọi M và m} lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 10 6 26

2 2 5

P x y

x y + +

= + + . Tính T M m= + .

A. 21

T = 2 . B. T =10. C. T =15. D. 19 T = 2 . Lời giải

Chọn D

Đặt t x= ²−2y, khi đó giả thiết tương đương với

( )

² 2 ² 2 ²

5 4 5 4

5 16.4 5 16 .7 .(1)

7 7

t t

t t t

t t

− +

+

+ +

+ = + ⇔ =

Xét hàm số

( )

5 ^{1 4}

7 7

u u

f u =    +  

    trên . Ta có:

( )

5 ¹ ln^{1 4} ln⁴ 0

7 7 7 7

u u

f u′ =    +   <

    , ∀ ∈t  Suy ra f u

( )

là hàm số nghịch biến trên .

Do đó (1)⇔ f t

(

+2

)

= f t

( )

2 ⇔ + =t 2 2t ⇔ = ⇔t 2 x²−2y= ⇔2 2y x= ²−2 Khi đó ^{10 6 26 3 2}₂

3

2 2

10 20 2 5

x x

P y x x

x y x

+ +

= +

+

= +

+ + +

Ta có

( )

2 2 2

4 22 10 0 51

2 3 2

x x x

P x x x

 = −

− − − 

′ = = ⇔

 = −

+ + 

. Bảng biến thiên như sau:

Từ BBT, ta suy ra M =7, 5

m=2 . Vậy 7 5 19

2 2

M m+ = + = .

Câu 16. Cho a b, là hai số thực thay đổi thỏa 1< ≤ ≤a b 2, biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

²

)

²

2.log 4 4 log_b

a

a a

P= b + b− + là m+3³ n với m n, là số nguyên dương. Tính S m n= + . A. S 9= . B. S =18. C. S=54. D. S =15.

Lời giải Chọn D

Ta có: ^{1 b 2 b}₂ ^{1 0}_{4 0}

(

^{b 1}

) (

^{b2 4}

)

⁰

b

− >

< ≤ ⇒ ⇒ − − ≤

 − ≤

3 2 4 4 0 2 4 4 3

b b b b b b

⇒ − − + ≤ ⇒ + − ≥ mà a>1 nên ^loga

(

b²+⁴b− ≥^{4 log}

)

ab³ Do đó

( )

²

2

3 1

2.log log 6 ogl

log 1

a

a b a

a

b a b

P + = + b

≥ −

Đặt t=log_ab, từ điều kiện

1 2

1 1 a b b t a

< ≤ ≤

 ⇒ >

 ≠

 .

Khi đó

( ) ( ) ( )

( )

³

2 2

1 1

6. 3. 1 3 1 6 3 9 6

1 1

P t t t

t t

+ = − + − + + ≥

≥ − +

− Dấu “=” xảy ra khi

( )

(

¹

)

₂

( )

^{3 1 3 1}

3 1 1 1

3 3

t 1 t t

− = t ⇔ − = ⇔ = +

− . Vậy m=6;n=9.

Câu 17. Cho hai số thực a b, thay đổi thỏa mãn 0 2< b a< <1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

²⁵

3 2 12

2 2

log _b .log_b log 4_b log_a

a

S a b b a b

= a + − + bằng m. Khẳng định đúng là:

A. m∈

( )

0;1 . B. m∈

( )

1;2 . C. m∈

( )

2;3 . D. m∈

( )

3;5 . Lời giải

Chọn C

 Ta có:

( ) ( )

( )

3 2 25 12 2 2

2 2

2 2 2 4

2

2 12 1

log .log log 4 log log .log log 4

25 log

12 1

log log .log log 4

25 log

b b b a a b b

a

a a

b a b b

a a

S a b b a b b a b a

a b

a b a a b a

b

= + − + = + + −

= − + + + −

Ta có: 0 2< b a< < ⇒1

(

a−2b

)

²≥ ⇒0 a⁴−4a b² +4b² ≥ ⇔0 4a b a² − ⁴≤4b²

Mà mặt khác 0 2 1 0 1 1

b a b 2

< < < ⇒ < < < nên suy ra ^{log 4}b

(

a b a² − ⁴

)

≥^{log 4}b

( )

b² Từ đó ta có:

( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

3

2 2 2 2

2

2

12 1 2 12 1

log log .log log 4 2log log .log

25 log 25 log

log log

1 1 12log 3 1 . 1 . 12log

log log log 25 log log log 25

log 3 log

b a b b b a b

a a a a

b b

a a

a a

b b a b b a

a a a a

b a

b a

S a b a b b b a

b a b

a a

b b

b b b b b b

a b

 

= − + + + ≥  + +

 

 

 

= + + + ≥ +

 

 



= 



( )

2

3 3 3

1 12 1 12

. log 3 log

log 25 log 25

3 12log 2 3 .12log 2 12.3 12

log 25 log 25 25 5

a a

a a

a a

a a

b b

b b

b b

b b

 + = +

 

= + ≥ = =

Như vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 12

5 với ¹²

( )

2;3 m= 5 ∈ Câu 18. Cho 2 số thực x y, thỏa mãn phương trình sau:

(

^{1 2+ x y+}

)(

^{1 2+ x+2y}

)(

^{1 2+ x y−3}

) (

^{= +1 2x}

)

^3.

Đặt ^{2 2 2 2}

(

2

)

²

4

x y y

P e= ⁺ +x + − −x y . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P e= −1. B. P e= . C. P_max =e². D. P e= −2. Lời giải

Chọn B

Một bất đẳng thức mà ta hay gặp:

(

^1+a

)(

^1+b

)(

^{1+ ≥ +c}

) (

^{1 3 abc}

)

³

Có bổ đề sau: Cho các số thực dương a b c x y z m n p, , , , , , , , khi đó ta luôn có:

(

^{a b c3}+ ³+ ³

)(

^x3+^y3+^z3

)(

^{m n3}+ ³+^p3

)

≥

(

axm byn czp+ +

)

³ Chứng minh: Theo bất đẳng thức AM GM− ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

. .

3

. .

3

. .

a m x axm

a b c m n p x y z a b c m n p m n p

b n y bny

a b c m n p x y z a b c m n p m n p

c p z cpz

a b c m n p x y z a b c m n p m n p

+ + ≥

+ + + + + + + + + + + +

+ + ≥

+ + + + + + + + + + + +

+ + ≥

+ + + + + + + + + + + +

Cộng 3 bất đẳng thức trên có điều phải chứng minh.

Quay lại bài khi đó phương trình trở thành:

(

^1+a

)(

^1+b

)(

^{1+ ≥ +c}

) (

^{1 3abc}

)

³

Theo bất đẳng thức Holder, ta có 3 ³ 3 ³

( ) (

^{3 3 3}

)

³

1 1 1

2 2

cyc

a abc

  +  + ≥ +

    

 

 

∏

Với bài toán này nếu đặt 2^{x y+} =a,2^{x y+2} =b,2^{x y−3} = ⇒c ³abc =2^x, đây chính là dạng trên.

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 2^{x y+} =2^{x y+2} =2^{x y−3} ⇔ = =x y 0. Vậy khi đó P e= . Câu 19. Cho 2 số thực a b, không âm thỏa mãn log₂

( ) ( )

ab ∈ 0;1 đồng

thời

(

log₂

)

^log2

(

1 log₂

)

^{1 log2} 1 _{2 2}^{2 1}

2 1

ab ab a b

ab + − ab ⁻ = + a b₋^{− +}

+ . Biết rằng a b^{4 10} được viết dưới dạng m n với a,b là các số nguyên dương. Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số

(

m n;

)

như vậy?

A. m∈

( )

0;1 . B. m∈

( )

1;2 . C. m∈

( )

2;3 . D. m∈

( )

3;5 . Lời giải

Chọn C

Bất đẳng thức Jensen và tính chất của hàm lồi

Cho hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn

[ ]

a b; và n điểm tùy ý nên

[ ]

a b; . Ta có

• Nếu f x''

( )

>0 thì

( )

^{1 2}

1

...

n n

i i

x x x

f x nf

n

=

+ + +

 

≥  

 

∑

• Nếu f x''

( )

<0 thì

( )

^{1 2}

1

...

n n

i i

x x x

f x nf

= n

+ + +

 

≤  

∑

Ngoài ra cần chú ý thêm

• Nếu hàm số f x

( )

có f x''

( )

> ∀ ∈0, x a b

[ ]

; thì f x

( )

làm hàm lồi trên

[ ]

a b;

• Nếu hàm số f x

( )

có f x''

( )

< ∀ ∈0, x a b

[ ]

; thì f x

( )

làm hàm lõm trên

[ ]

a b; Trước tiên ta sẽ đặt log₂ab x= ,1 log− ₂ab y= ⇒ + =x y 1.

Vế trái viết lại là x^x+y^y.

Ta có bất đẳng thức

( ) ( ) ( )

*

2 2

f x + f y f x y+ 

≥   - Bất đẳng thức Jensen Thật vậy ta có thể giả thiết 0< < <a b 1 và viết bất đẳng thức dưới dạng

( ) ( )

0

2 2

x y x y

f f x f y f

  + −  − −  + ≤

      

   

Vế trái của bất đẳng thức này có dạng f ^'

( )

α ^{y x}₂⁻ − f ^'

( )

β ^{y x}₂⁻ = f ^''

( )(

γ α β−

)

^{y x}₂⁻

Trong đó ,

2

x< <α x y⁺ < <β y α γ β< < .

Vì ln f x

( )

=x xln f x'

( )

f x

( )(

1 lnx

)

f x''

( )

f x

( ) (

1 lnx

)

^{2 1} 0, x

( )

0;1 x

 

⇒ = + ⇒ =  + + > ∀ ∈

Suy ra f ^''

( )(

γ α β−

)

^{y x}₂⁻ <⁰. Vậy bất đẳng thức

( )

* đúng. Khi đó áp dụng ta có

(

1

)

¹

( ) (

1

)

2 ¹ 2

2

x y x x

x +y =x + −x ⁻ = f x + f −x ≥ f    = Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 _{2 2}2 ¹ 1 2.2_{2 2} 2

2 1 2 2

a b a b

a b a b

− + −

− −

+ ≤ + =

+ .

Vậy VT VP≥ . Dấu “=” xảy ra khi x y= = ⁴2⇒x y^{4 10} = 128 2 32 4 8 8 2= = = Câu 20. Cho 2 số thực x y, >1 thỏa mãn điều kiện:

( )

2 2 2

1 log 3 2log 3 3 log 3 9log 2 2 ^x

y y xy

+ + − = .

Đặt P x xy y= ²+ + ². Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P∈

[

11;12

]

. B. P∈

[

12;13

]

. C. P∈

[

10;11

]

. D. P_min =10. Lời giải

Chọn C

Ý tưởng ở bài này là sẽ kiếm một điều kiện ràng buộc giữa x,y rồi sau đó chỉ ra giả thiết chỉ nhận duy nhất 1 bộ nghiệm. Dưới đây là cách giải quyết của bài toán trên

Biến đổi giả thiết ta được: 1 log 32 2log 3 3 log 32

(

2

)

9log 2

2 ^x

y y xy

+ + − =

2 2 2 2 2 2 8 9

log log log 3 2log 3 log log

3 2

x x y y x

⇔ + + xy =

Ta nhận thấy rằng log₂ log 3₂ log₂ 8 3 x y 3

+ + xy= .

Để đơn giản ta đặt

2 2

2

log log 3 log 8

3 x a

y b xy c

 =

 =



 =



. Lúc này ta có 2 giả thiết 3 2 9

2 a b c

a ab abc + + =



 + + =

 .

Thế b= − −3 a c vào giả thiết dưới ta được:

(

^{2 1c+}

)

^a2+

(

^2c2−5c−4

)

^{a+ =9}₂ ⁰

Coi vế trái là tam thức bậc 2 theo biến a với c là tham số ta có:

(

^{2c2 5c 4}

)

^{2 18 2 1}

(

^c

) (

^{2 1c}

)

²

(

^{c2 4c 2}

)

∆ = − − − + = − − −

Chú ý với điều kiện x y, >1 ta sẽ có a b c, , >0. Mặt khác a b c+ + = ⇒ <3 c 3 Suy ra ∆ ≤0, điều này đồng nghĩa VT ≥0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

2

2

3 log 3

2 2 2 2

1 log 3 1 2

1 log 8 1 3

2 3 2

a x

b y x

c y

xy

 =  =

   =

 = ⇒ = ⇔

  

   =

 =  =

 

Từ đây suy ra ^{76 12 2}

[

10;11

]

P +9

= ∈ .

Câu 21. Cho hàm số y f x=

( ) (

= x+1

)(

x+2

)(

x+3

)(

x+ +4

)

m . Khi đó, giá

trị m để giá trị cực tiểu của hàm số f x

( )

bằng với giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=log 3_a

(

b+ +2 log 3

)

_b

(

a+2

)

với ∀a b, ∈

(

1;2

]

nằm trong khoảng nào sau đây

A.

[ ]

3;4 . B.

[ ]

5;6 . C.

[ ]

7;8 . D.

[

9;10 .

]

Lời giải Chọn C

Cách 1: Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

3 3 4

4 3

4 4 3

3 1

log 3 2 log 4 2 log 4 log log 2

3 2 2 4 2 4 4

3 1

3 2 2 4 2 log 3 2 log 4 2 log 4 log log 2

4 4

b b b b b

a a a a a

a a a

a a a a a

b b b b b b b b

 + ≥ = + +

 + = + + + ≥ 

 ⇒

 

+ = + + + ≥

 

 + ≥ = + +



Suy ra: ^{log 3}

(

^{2 log 3}

) (

²

) (

log 4 log 4

)

³

(

log log

)

¹

(

log 2 log 2

)

4 4

a b+ + b a+ ≥ a + b + ba+ ab + b + a

(

log 4 log 4_{2 2}

)

³2 log .log ¹

(

log 2 log 2_{2 2}

)

4 ^ba ^ab 4

≥ + + + + (do ∀a b, ∈

(

1;2

]

)

6

= . Suy ra P_min =6 khi và chỉ khi a b= =2 Từ đó ta cũng suy ra:

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

min

2 2 2 2 2 2

6 1 2 3 4 1 4 2 3

5 4 5 6 5 5 1 5 5 1 5 5 1

P x x x x m x x x x m

x x x x m x x x x m x x m

= = + + + + + = + + + + +

= + + + + + = + + − + + + + = + + + −

Do phương trình x²+5x+ =5 0 có hai nghiệm ∉

(

1;2

]

) nên ta cũng suy ra

(

^{2 5 5}

)

^{2 1 1 1 6 7}

P= x + x+ + − ≥ − ⇒ − = ⇔ =m m m m . Như vậy m= ∈7 7;8

[ ]

Cách 2: Nhìn vào biểu thức P trên ta dự đoán được điểm rơi a b= =2

Ta có: ^{P=log 3a}

(

^{b+ +2 log 3}

)

^b

(

^a+2

)

^≥loga

(

^{b2+ −}

(

^{2 b b}

)(

⁺¹

)

²

)

^+logb

(

^{a2+ −}

(

^{2 a a}

)(

⁺¹

)

²

)

Xét hàm số y f x=

( ) (

= ²−x x

)(

+¹

)

²với ∀ ∈x

(

1;2

]

có f x

( )

≥0 ∀ ∈x

(

1;2

] ( )

^{0 1,}

( )

⁰

(

²

)(

¹

)

^{2 0}

f t′ = ⇔ =t f t′′ < ⇒ −x x+ >

Từ đó ta suy ra ^P≥loga

(

^{b2+ −}

(

^{2 b b}

)(

⁺¹

)

²

)

^+logb

(

^{a2+ −}

(

^{2 a a}

)(

⁺¹

)

²

)

^≥loga

( )

^{b3 +logb}

( )

^a3

( )

^{1 1}

3 log log 3 log 3.2 log . 6

log log

a b a a

a a

b a b b

b b

 

= + =  + ≥ =

 

Suy ra P_min =6 khi và chỉ khi a b= =2

--Khúc sau làm tương tự như cách 1 đã trình bày--

Câu 22. Lần lượt cho hai số thực dương x y, thỏa mãn phương trình sau đây:

2 2 2 ^{2 2}

( )

3 3

log 6 2

3

x y x y xy x y

x y xy

 + = + + − + +

 + + + 

  . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 3 2 1 x y

P x y

+ +

= + + lần lượt là M và m. Giá trị của biểu thức

(

M m+

)

bằng A. ⁶⁰

13. B. 12. C. 26

5 . D. 40

13 .

Lời giải Chọn A

Ta có: 2 2 2 ^{2 2}

( )

3 3

log 6 2

3

x y x y xy x y

x y xy

 + = + + − + +

 + + + 

 

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

3 3

1 log 6 3

3

log 6 6 3

3

log 3 3 log 6 6

x y x y xy x y

x y xy

x y x y xy x y

x y xy

x y xy x y xy x y x y

 + 

⇔ +  + + + = + + − + + +

 

⇔  + + + = + + − + +

+ + + + + + + = + + +

Xét hàm đặc trưng

( )

log2

( )

1 1 0 0

y f t t t f t ln 2 t

′ t

= = + ⇒ = + > ∀ > . Suy ra hàm số f t

( )

đồng biến trên

(

0;+∞ ⇒

)

x²+y² +xy+ =3 6

(

x y+

)

Đặt: x a b

( ) (

²

) (

²

)( )

3 6

( ) (

6

)