Kĩ năng + Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 2. LÔGARIT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.

+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.

+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.

 Kĩ năng

+ Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.

+ Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit.

TOANMATH.com Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương ,a b với a1. Số  thỏa mãn đẳng thức a^ b được gọi là lôgarit cơ số a của b, và ký hiệu là log_a b.

2. Tính chất

Cho ,a b0,a1. Ta có:

 

log

log 0; log 1

; log ^ 

 

 

a

a a

b

a

a

a b a

Nhận xét: ^logab^{ } a^{ }b a b ^,



^0,a^1



Ví dụ: log 8 3₂  2³8

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

3. Quy tắc tính lôgarit a. Lôgarit của một tích

Cho a b b, ,_{1 2} 0 với a1, ta có:

1 2 1 2

log (_a b b )log b_a log b_a

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số dương:



1



1

log_a b b... _n log_ab  ... log_{a n}b trong đó a b b, , ,...,_{1 2} b_n 0,a1.

Ví dụ:

 1 1

log log 2 log .2 log 1 0;

2 2

       

 log₃1 log₃2 log₃3 ... log₃7 log₃8

2 3 4  8 9

3

1 2 3 7 8

log . . ... .

2 3 4 8 9

 

  

3

log 1 2.

 9   b. Lôgarit của một thương

Cho a b b, ,_{1 2} 0 với a1, ta có:

1 1 2

2

log_a b log_a log_a

b b

 b  

Đặc biệt: log_a1 log_ab

b  



^{a0,b0 .}



Ví dụ:

• log₅125 log 125 log 25 3 2 1;_{5 5}

25     

• log₇ 1 log 49₇ 2.

49    

c. Lôgarit của một lũy thừa

Cho hai số dươnga b, ,a1.Với mọi , ta có:

log_ab^ log_ab Đặc biệt:

log_a ⁿb 1log_ab

n

Ví dụ:

• log 8₂ ³3log 8 3.3 9;₂  

• log 8₂⁴ 1log 8₂ 1.3 3.

4 4 4

  

4. Đổi cơ số

Cho a b c, , 0;a1;c1, ta có:

Ví dụ:

• ₈ ²

2

log 16 4

log 16 ;

log 8 3

 

TOANMATH.com Trang 3 log log

log^c

a

c

b b

 a

Đặc biệt: ^loga _log¹



^{1 ;}



b

b b

 a 

 

log_a b 1log_ab  0 .

 

• ₃

27

log 27 1 3;

log 3

 

• 128 27 2

1 1

log 2 log 2 log 2 .

7 7

  

5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với b0, log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

b. Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Với b0, log_eb được viết là lnb.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 4 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho x y, 0 vàx²4y²12 .xy Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A. log2



x2y



log2xlog2y1.

B. log₂ 2 log₂ log .₂ 4

x y x y

   

 

 

C. 2

  

2 2



log 2 2 1 log log .

x y  2 x y D. 4 log2



x2y



log2xlog .2y Hướng dẫn giải

Vớix y, 0, ta có: ^{x24y2 12xy}



^x2y



^{2 16xy}

 

²

2 2

log x 2y log 16xy

  

 

2 2 2

2 log x 2y 4 log x log y

    

   

log₂ 2  2 1 log₂ log₂ .

x y 2 x y

Chọn C.

Nhận xét: Các lôgarit có mặt trong các đáp án đều có cùng cơ số 2. Do đó ta cũng có thể dùng các quy tắc của lôgarit, biến đổi từng đáp án đến khi thấy xuất hiện biểu thức không còn lôgarit và so sánh với giả thiết ban đầu để tìm ra đáp án đúng.

Ví dụ 2: Cho các số thực a b 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ^ln

 

^{ab 2 ln}

   

^{a2 ln b2 . B.ln}

 

^{ab 1}₂



^{lnaln .b}



C. ln a lna ln .b b

  

   D. ^{ln } ^a_b ^{2 ln}

   

^{a2 ln b2 .}

 

Hướng dẫn giải

Vì khi a b 0 không tồn tại ln , ln .a b Chọn B.

Ví dụ 3: Cho a b c d, , , là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a^c b^d ln a c. b d

    

  B. ln .

ln

c d a d

a b

  b c

C. ln .

ln

c d a c

a b

  b d D. a^c b^d ln a d.

b c

    

  Hướng dẫn giải

Chú ý: Khi biến đổi biểu thức chứa lôgarit, ta cần thận trọng trong việc lựa chọn tính chất, công thức, quy tắc sao cho biểu thức luôn xác định với điều kiện ban đầu.

TOANMATH.com Trang 5 Do a b c d, , , là các số thực dương, khác 1 nên ta có:

ln ln ln .

ln

c d a d

a b c a d b

    b c

Chọn B.

Ví dụ 4: Với các số thực dương a b, bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. log₂ 2a³ 1 3log₂a log .₂b b

 

  

 

  B.

3

2 2 2

2 1

log 1 log log .

3

a a b

b

 

  

 

 

C.

3

2 2 2

log 2a 1 3log a log .b b

 

  

 

 

D. log₂ 2 ³ 1 1log₂ log .₂ 3

a a b

b

 

  

 

  Hướng dẫn giải Ta có:

   

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

log 2a log 2a log b log 2 log a log b 1 3log a log .b b

 

       

 

  Chọn A.

Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức.

Phương pháp giải

Để tính log_ab ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau:

• b a ^, từ đó suy ra log_ablog_aa^ ;

• a b ^, từ đó suy ra log b log_{a b} b 1;

 

• a c ^, b c ^, từ đó ta suy ra log_ab log_c c  .

 

 Để tính b^logac, ta biến đổi b a ^, từ đó suy ra

log_ac log_ac

b a^ c^

Ví dụ:

• 5 7

32 2

log 128 log 2 7;

 5

• 32^{log 92} 2^{5log 92} 9 .⁵

Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 6 Ví dụ 1: Cho a, b,c,d 0 . Rút gọn biểu thức

S lna lnb lnc lnd

b c d a

    ta được

A. S1. B. S 0.

C. S ln a b c d . b c d a

 

     

  D. ^Sln



^abcd



^.

Hướng dẫn giải

Ta có: S lna lnb lnc lnd ln a b c d. . . ln1 0.

b c d a b c d a

 

       

 

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho a b, 0 và a b, 1, biểu thức Plog _ab³.log_ba⁴ bằng

A. 6 B. 24 C. 12. D. 18.

Hướng dẫn giải Ta có :

1 2

3 4 3 4 3 1

log .log log .log .4.log . 24.

1 log

2

b b a

a a a

P b a b a b

   b 

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a1, a b và log_ab 3.

Biến đổi biểu thức P log _b

a

b

 a ta được

A. P  5 3 3. B. P  1 3.

C. P  1 3. D. P  5 3 3.

Hướng dẫn giải Ta có:

   

1 1

log 2 log 1 2 3 1 3 1 1 3.

log 1 1log 1 3 2

log 2

a a

a a

a

b b

P a

b b b

a

  

      

  

Chọn C.

Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức

Phương pháp giải trắc nghiệm: Ta thấy các đáp án đều là các hằng số, như vậy ta dự đoán giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a b, . Sử dụng máy tính bỏ túi Casio, thay a b 2 vào biểu thức

3 4

log _ab .log_ba rồi bấm =, được kết quả P24.

Chọn B.

Phương pháp giải trắc nghiệm:

Chọn a2,b2 .³ Bấm máy ta được

1 3.

P   Chọn C.

TOANMATH.com Trang 7

 

2 3

10 2 2

log_a log _a a log _b

P a b b

b

  

   

  (với 0 a 1, 0 b 1) ta được

A. P2. B.P1. C.P 3. D.P 2.

Hướng dẫn giải

Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:

 

2 3

10 2 2

log_a log _a a log _b

P a b b

b

  

   

 

 

10 2

1 log log 2 log log 3. 2 log

2 ^aa ^ab   ^aa ^a b ^bb

       

1 10 2 log 2 1 1log 6 1.

2 ^ab  2 ^ab

        Chọn B.

Bài toán 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải

Để tính log_ab theo mlog ;_ax nlog_ay ta biến đổi . . .

b a x y ^{  }

Từ đó suy ra log_ablog_aa x y^. .^{ }   m n.

Ví dụ: Cho log_ab2,log_ac 3.

Tính giá trị của log_aa b^{2 3}₄ . c Hướng dẫn giải

Ta có:

2 3 2 3 4

log_a a b4 log a log b log c_{a a a}

c   

 

2 3.2 4. 3 20.

    

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho log 27₁₂ a. Khi đó giá trị của log 16₆ được tính theo a là A. ^{4 3}

 

_.

3 a a



 B. ^{4 3}

 

_.

3 a a



 C. 4 .

3 a

a D. 2 . 3

a

a Hướng dẫn giải

Ta có: ₁₂ ^{2 2} ₂

2 2

log 27 3log 3 2

a log 27 log 3 .

log 12 2 log 3 3

a

     a

 

Khi đó

 

6 6

2 2

4 4 4 4 3

log 16 4 log 2 .

2

log 6 1 log 3 1 3

3

a

a a

a

     

  



Chọn A.

TOANMATH.com Trang 8 Ví dụ 2. Cho lg3a,lg2b. Khi đó giá trị của log 30₁₂₅ được tính theo a là:

A. ^{4 3}

 

_.

3 a b



 B.

 

^{1 .}

3 1 a

b



 C. .

3 a

b D. .

3 a

a Hướng dẫn giải

Ta có:

   

125

lg30 1 lg3 1

log 30 .

lg125 3 1 lg2 3 1 a

b

 

  

 

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho alog 3;₂ blog 5;₃ clog 2.₇ Khi đó giá trị của log 63₁₄₀ được tính theo a, b, c là:

A. 2 1 .

2 1 ac abc c



  B. 2 1.

2 1

abc c ac

 



C. 2 1 .

2 1 ac abc c



  D. 1 .

2 1 ac abc c



  Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 2 2

124 2

2 2 2 2

log 63 log 3 .7 2 log 3 log 7 log 63

log 140 log 2 .5.7 2 log 5 log 7

   

 

2

7

2 3

7

1 1

2 log 3 log 2 2

1 1

2 log 3.log 5 2

log 2

a c ab c

 

 

   

1 2 .

1 2 ac c abc

 

  Chọn C.

Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt

2 3 7

log 3,log 5,log 2 cho a, b, c. Lấy log 63₁₄₀ trừ đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Phương pháp giải

Cơ sở lý thuyết: A B   A B 0

+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm.

+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Nếu alog 3₁₅ thì

TOANMATH.com Trang 9 A. ^{log 1525  5 1}

 

^{3a . B. log 1525 3 1}

 

^{5a .}

C. ^{log 1525  2 1}

 

^{1a . D. log 1525  5 1}

 

^{1a .}

Hướng dẫn giải

Tư duy tự luận thì ta làm như sau:

Ta có: _{15 3}

3 3

1 1 1 1

log 3 log 5 1

log (3.5) 1 log 5 .

a a

a a

       



Khi đó: 25 5 5

  

5



3

1 1 1 1 1

log 15 log 15 log 5.3 1 log 3 1

2 2 2 2 log 5

 

       

 

 

1 1 1 1

1 1 1 .

2 2 1 2 1

a

a a a

a

 

   

         

 

Chọn C.

Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên để giải bài toán này.

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3 cho A. ₁₅

Bấm log 3 . ₁₅

Bước 2: Nhập biểu thức: log 15 (...)₂₅ 

Lần 1: Nhập ₂₅ 3 log 15

3(1 )

 

A Loại A.

Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log 15₂₅ 5 2(1 A)

 



Loại B.

Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành log 15₂₅ 1 2(1 )

 

A

Chọn C.

TOANMATH.com Trang 10 Ví dụ 2. Đặt alog 3,₂ blog 3.₅ Biểu diễn log 45₆ theo a, b ta được

A. log 45₆ a 2ab. ab

  B. log 45₆ 2a² 2ab. ab

 

C. log 45₆ a 2ab. ab b

 

 D. log 45₆ 2a² 2ab. ab b

 

 Hướng dẫn giải

Ta có: log 3₂ a log 2₃ 1

   a và log 3₅ b log 5₃ 1.

   b Khi đó:

 

3 3 3 3

 

6

3 3 3 3

2 1 1 2

log 45 log 9 log 5 2 log 5 2

log 45 .

log 6 log 3 log 2 1 log 2 1 1 1

a b a ab

b b a b ab

a

 

  

     

    

Chọn C.

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3,₂ log 3₅ cho A, B.

Gán log 3₂ A. Bấm log 3.₂

Gán log 3₅ B. Bấm log 3.₅

Bước 2: Nhập biểu thức: log 45 ...6 

 

Lần 1: Nhập log 45₆ A 2AB AB

  

Loại A.

Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành

2 6

2 2

log 45 A AB AB

  

Loại B.

Lần 3: Bấm để sửa biểu thức thành log 45₆ A 2AB AB B

  



Chọn C.

Ví dụ 3. Nếu log₂₇5a;log 7₈ b;log 3₂ c thì log 35₁₂ bằng

TOANMATH.com Trang 11 A. 3 2 .

2 b ac

c



 B. 3 3 . 2 b ac

c



 C. 3 2 . 3 b ac

c



 D. 3 3 . 1 b ac

c



 Hướng dẫn giải

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 5,₂₇ log 7,₈ log 3₂ cho A, B, C.

Gán log 5₂₇ A. Bấm log 5. ₂₇

Gán log 7₈ B. Bấm log 7.₈

Gán log 3₂ C. Bấm log 3.₂

Bước 2: Nhập biểu thức: log 35 ...12 

 

Lần 1: Nhập log 35₁₂ 3 2

2 B AC

C

  



Loại A.

Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành log 35₁₂ 3 3 2 B AC

C

  



Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. _{2 2}

căn bậc hai

log log ... 2 .

n

n 

 B. _{2 2}

căn bậc hai

log log ... 2 .

n

n



C. _{2 2}

căn bậc hai

2 log log ... 2 .

n

n 

 D. _{2 2}

căn bậc hai

2 log log ... 2 .

n

n 



Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn ^{log2ab8logb}

 

^{a b3  8}₃^. Tính giá trị biểu thức ^{P log a}

 

^{a ab3 2017, ta được}

A. P2019. B. P2020. C. P2017. D. P2016.

Câu 3: Biết log 3₅ a, khi đĩ giá trị của log₃27

25 được tính theo a là A. 3a 2 .

a

 B. 3 .

2

a C. 3 .

2a D. .

3 2 a a Câu 4: Cho alog 20.₂ Giá trị log 5₂₀ theo a bằng

TOANMATH.com Trang 12 A. 5 .

2

a B. a 1.

a

 C. a 2 .

a

 D. 1 .

2 a a



 Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log 1log3 2 log 3log

x2 a b c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.

A. x 3ac₂ ³.

 b B. x _{2 3}3 .a

 b c C. x 3 . .a c₂ ³

 b D. x 3 .₂ac

 b Câu 6: Đặt log 5₃ a. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. log 75₁₅ 1 . 2 1

a a

 

 B. log 75₁₅ 2 1. 1 a a

 

 C. log 75₁₅ 2 1. 1 a a

 

 D. log 75₁₅ 2 1. 1 a a

 

 Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a 1. Rút gọn biểu thức: ^{P log2}a

 

^{2 log}_log ^1,

ab b

  a  ta được

A. P log_ab. B. P log_ab1 . C. P log_ab1 . D. P0.

Câu 8: Cho log 5₂₇ a,log 7₈ b,log 3₂ c. Giá trị của log 35₁₂ bằng A. 3 3 .

2 b ac

c



 B. 3 2 .

2 b ac

c



 C. 3 2 .

3 b ac

c



 D. 3 3 .

1 b ac

c



 Câu 9: Cho a 0,b 0,a 1,b 1,n    ^*.

Một học sinh tính:

2 3

1 1 1 1

P ...

logab loga b loga b loganb

     theo các bước sau:

Bước I: Plog_balog_ba²log_ba³ ... log_baⁿ. Bước II: ^Plogb



^{a a a a. . ...2 3 n}



^.

Bước III: Plog_ba^{1 2 3 ...   n}. Bước IV: P n n

 

^{1 .log .}ba

Trong các bước trình bày, bước nào sai?

A. Bước III B. Bước I C. Bước II D. Bước IV

Câu 10: Cho log 12₇ x, log 24₁₂ y và log 168₅₄ axy 1 , bxy cx

 

 trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức S a 2b3 ,c ta được

A. S4. B. S19. C. S10. D. S15.

Câu 11: Cho a,b 0,a 1  thỏa mãn log

a 4

b b và log₂a 16.

 b Tổng a b bằng

A. 12. B. 10. C. 16. D. 18.

Câu 12: Biết rằng log ,log ,log₂a ₃b ₅c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng thời log₂a⁴,log₃b²,log₅c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của P a b c   bằng

A. 125. B. 390725. C. 390625. D. 390710.

TOANMATH.com Trang 13 Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log₄ log₉ log₆ 1 .

4 x y xy 

  Giá trị của biểu thức

9

4 log 6

log 6

P x y bằng

A. 2. B. 5. C. 4. D. 6.

Câu 14: Cho alog 15;₂₀ blog 15₃₀ biết log₄₀₀₀600 ma nb ab pb qa

 

  và trong đó m n p q, , , . Giá trị của biểu thức S m n p q    bằng

A. S1. B. S2. C. S3. D. S4.

Câu 15: Cho

loga logb logc logx 0;b2 x^y.

p  q  r   ac Tính y theo p, q, r.

A. y q ²pr. B. . 2 y p r

q

  C. y2q p r  . D. y2q pr .

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải

Để tính log_ab theo mlog ;_ax nlog ,_ay ta sẽ biến đổi . . .

b a x y ^{  }

Từ đó suy ra: log b log_a  _aa x y^. .^{ }   mn. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho log 27₁₂ a. Khi đó giá trị của log 16₆ tính theo a bằng

A. ^{4 3}

 

_.

3 a a



 B. ^{4 3}

 

_.

3 a a



 C. 4 .

3 a

a

 D. 2 .

3 a

a

 Hướng dẫn giải

Ta có: ₁₂ ^{2 2} ₂

2 2

log 27 3log 3 2

a log 27 log 3 .

log 12 2 log 3 3

a

     a

 

 

6 6

2 2

4 4 4 4 3

log 16 4 log 2 .

log 6 1 log 3 1 2 3 3

a

a a

a

     

  



Chọn A.

Ví dụ 2: Cho log3a,log2b. Khi đó giá trị của log 30₁₂₅ tính theo a là

A. ^{4 3}

 

_.

3 a b



 B.

 

^{1 .}

3 1 a

b



 C. .

3 a

b D. . 3

a

a

Thật vậy:

log_ablog_aa x^. .y^{ }

.log_ax .log_ay

  

  

.

m n

  

   Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng máy tính: gán log 27₁₂ A. Lấy log 16₆ trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

Chọn A.

Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng máy tính: gán lần lượt log3A;log2B.

TOANMATH.com Trang 14 Hướng dẫn giải

Ta có:

   

125

log30 1 log3 1

log 30 .

log125 3 1 log2 3 1 a

b

 

  

 

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho alog 3;₂ blog 5;₃ clog 2.₇ Khi đó giá trị của biểu thức log 63 được tính theo a, b, c là ₁₄₀

A. 2 1 .

2 1 ac abc c



  B. 2 1.

2 1

abc ac ac

 



C. 2 1 .

2 1 ac abc c



  D. 1 .

2 1 ac abc c



  Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 2 2

140 2

2 2 2 2

log 63 log 3 .7 2log 3 log 7 log 63

log 140 log 2 .5.7 2 log 5 log 7

   

 

2

7

2 3

7

1 1

2 log 3 log 2 2 1 2

1 1 1 2

2 log 3.log 5 2

log 2

a c ac

c abc ab c

  

  

 

   

Chọn C.

Lấy log 63₁₄₀ trừ đi lần lượt các đáp án số ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng máy tính: gán lần lượt

2 3 7

log 3A;log 5B;log 2C.

Lấy log 63₁₄₀ trừ đi lần lượt các đáp án số ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.

Ví dụ 4. Cho các số thực a b c, ,   1;2 thỏa mãn điều kiện log³₂alog³₂blog³₂c1

Khi biểu thức ^{P a 3b3 c3 3 log}



^{2aalog2bblog2cc}



đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a b c  bằng

A. 3. B. ³

1

3.2 .3 3 C. 4. D. 6.

Hướng dẫn giải

Ta xét hàm số f x

 

x³3 logx 2xlog³2c với x  1;2 .

Ta có đạo hàm

 

² 2 ²²

3 3log

f 3 3log ;

ln 2 ln 2

x x x x

     x

 

^{3 6}₂ ²₂ ^3log₂ ²²

f 6 .

ln2 ln 2 ln 2

log x x

x x

x x x

    

Vì

 

2



2



3 3 2 3 2

6 log 3 log

1 3

6 1 0 1;2

ln 2 ln 2 ln 2

x x

f x x

x x x

  

          nên

   

^{1 1,67 0.}

f x  f  

TOANMATH.com Trang 15 Như vậy hàm số ^{f x}

 

đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1;2 vì ^f

 

^{1 0;f}

 

^{2 0}và có đồ thị lõm trên 1;2. Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng ^{f x}

 

^{1 cho nên}

3 3 3

2 2 2

3 log log log 4

P  a b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1,c2 và các hoán vị.

Chọn C.

Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp

 

^{x y; thỏa mãn log}_{x y}²_{ }² ₂



^4x4y4



^1. Với giá trị nào của m thì tồn tại duy nhất cặp

 

^{x y; sao cho x2y22x2y  2 m 0?}

A.



^{10 2 .}



^{2 B.}



^{10 2}



^{2 và}



^{10 2 .}



²

C. 10 2 và 10 2. D. 10 2.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 4x4y 4 0.

Ta có ^logx² y² ₂



⁴x ⁴y ^{4 1}



    

  

²



²

 

2 2

4x 4y 4 x y 2 x 2 y 2 2 C1 .

          

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)

 

C1 có tâm I1

 

2;2 bán kính R₁ 2.

Mặt khác: ^{x2y22x2y   2 m 0}



^x1

  

^{2 y12 m * .}

 

Với m0 thì x 1;y1 (không thỏa mãn



^x2

 

^{2 y2}



^22).

Với m0 thì

 

^* là đường tròn

 

C2 có tâm I2

 

1;1 bán kính R₂  m. Để tồn tại duy nhất cặp

 

^{x y; thì}

 

C1 và

 

C2 tiếp xúc với nhau.

Trường hợp 1:

 

C1 và

 

C2 tiếp xúc ngoài.

TOANMATH.com Trang 16 Khi đó: ^{R R1 2 I I1 2  m 2 10m}



^{10 2 .}



²

Trường hợp 2:

 

C1 nằm trong

 

C2 và hai đường tròn tiếp xúc trong.

Khi đó: ^{R2R1I I1 2  m 2 10m}



^{10 2 .}



²

Vậy ^m



^{10 2}



^{2 và m}



^{10 2}



² thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1. Giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức

 

2 2

log_a 3log_b

b

P a a

b

    

  bằng

A. P_min 19. B. P_min 13. C. P_min 14. D. P_min 15.

Hướng dẫn giải Ta có:

   

2

2 2 2

log 3log 3 log 1

a b log b

b a

P a a a

b a

b

 

 

       

   

 

2 2 3 log 1 .

1 log_a ^ba

b

 

    

TOANMATH.com Trang 17 Đặt ^logab t ⁰



 t ^{1 .}



Khi đó

 

⁴ ₂ ^{3 3}

 

P 1 f t

t t

   

 với 0 t 1.

Ta có

 

 

3 2

 

8 3 0 1.

1 3

f t f t t

t t

       



Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có P_min 15.

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

2 2 3

x y  và ^logx y²_ ² x x



^{4 2}³x⁴y²



³y²² Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y  . Khi đó biểu thức ^T2



^{M m 1}



có giá trị gần nhất số nào sau đây?

A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.

Hướng dẫn giải

Ta có ^logx y²_ ²x x



^{4 2}³x⁴y²



³y² ^{2 log}x y²_ ² 



x²y²

 

⁴x³



²



^{x2 y2}

 

^{4x 3}

 

^{x2 y2}



²



^{x 2}



^{2 y2 1.}

        

Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:

 

2 2

2 2

3

2 1

x y

x y

  



  

 những điểm thuộc miền trong hình tròn

 

C1 có tâm

 

^{2;0 ,}

I bán kính R₁1 và nằm ngoài hình tròn

 

C2 có tâm ^O

 

^0;0 và bán kính R₂  3.

TOANMATH.com Trang 18 Biểu thức: P x y     x y P 0 là họ đường thẳng  song song với đường y x .

Các giao điểm của hai hình tròn là 3 3; , 3; 3

2 2 2 2

A  B 



   

   

   

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A.

Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: 3 3 _min 0 _min 3 3. 2 2 P  P  2 P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn

 

C1 ta có:

 

1 max

; 2 1 2 2 2 2.

1 1

d I R P P P

         



Do đó ^T2



^{M m  1}



^{2 2}_ ^{ 23}₂ ^3_^10.

 

Chọn D

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho x y xy ; 1 thỏa mãn 3^{ x y 2}log2



x y



²3^{2 2 xy}log 2 22



 xy



. Giá trị lớn nhất của biểu thức ^M2



^x3y3



^{3xy bằng}

A. 7. B. 13 .

2 C. 17 .

2 D. 3.

Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn   1;3 thỏa mãn log³₂alog³₂blog³₂c3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P a ³b³ c³ 3 log



2a^alog2b^blog2c^c



bằng

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a b 10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương trình



^logax



^logbx



^{2 log}ax^3logbx ^{1 0.} Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S mn bằng

A. 16875 .

16 B. 4000 .

27 C. 15625. D. 3456.

Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log2 2 2 2



4

 

4

 

4 .



2

a b c a a b b c c

a b c

       

   Giá trị lớn

nhất của biểu thức P a 2b3c bằng

A. 3 10. B. 12 2 42. C. 12 2 35. D. 6 10.

Câu 5: Cho các số thực a b, 1 thỏa mãn điều kiện log₂alog₃b1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2

log log

P a b bằng

A. log 2 log 3.₃  ₂ B. log 2₃  log 3.₂ C. 1 log 2 log 3 .



3 2



2  D.

3 2

2 .

log 2 log 3

TOANMATH.com Trang 19 Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ^{logxlogy 1 log}



^{x y}



^. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

S x  y bằng A. 1 3 .

10

 B. 2 3 .

5

 C. 3 3 .

30

 D. 1 3 .

4



Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn ^log _{3 x2y}^{x y}₂^_xy2^{x x}



^{ 3}

 

^{y x 3}



^{xy. Giá trị}

nhỏ nhất của biểu thức 2 3 6 x y P x y

 

   bằng

A. 69 249 . 94

 B. 43 3 249 .

94 C. 37 249 .

21

 D. 69 249 .

94



Câu 8: Cho b0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^P



^{a b}



^2



^10alogb



^{2 bằng}

A. 2 log ln10 .

 

B. 2 1 log 1 .

ln10 ln10

   

  

 

 

C. 2 1 log 1 .

ln10 ln10

   

  

 

  D. 2 1 ln 1 .

ln10 ln10

   

  

 

 

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0  b a 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

4 3 1

log 8log 1

a 9 b

a

P b a

   bằng

A. 6. B. 3 2.³ C. 8. D. 7.

Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ^{lnxlnyln}



^x2y



^. Giá trị nhỏ nhất P x y  bằng A. P_min 2 2 3. B. P_min 6. C. P_min  2 3 2. D. P_min  17 3.

Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 1.

3  b a Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 1 2

log 12 log 3

4

a b

a

P  b  a

  bằng

A. minP13. B.

3

min 1 .

P 2 C. minP9. D. minP ³2.

Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 1 1 1



²



3 3 3

log xlog ylog x y . Giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức P2x3y bằng

A. P_min  7 2 10. B. P_min  3 2. C. P_min  7 3 2. D. P_min  7 2 10.

Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b1 và a b a  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log_a 2 log _b

b

a a

b

    

  bằng

TOANMATH.com Trang 20

A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.

Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2

 

a 1 log2



b 1



6. Giá trị nhỏ nhất của S a b  bằng

A. minS 12. B. minS14. C. minS8. D. minS16.

Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của

  

log 2 log 3 log 4 ... log3



3



3

 

3



9ⁿ ,

f n  n với n,n2. Có bao

nhiêu số n để ^{f n}

 

^a.

A. 2. B. vô số. C. 1. D. 4.

Câu 16: Cho ³₁ ^{3 2}_{1 1} ³

3 3 3

P 9 log alog alog a 1 với 1 ;3 a 27 

  

  và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức S4M3m bằng

A. 42. B. 38. C. 109 .

9 D. 83 .

2

Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b² 3ab4a²và a 4;2 .³² Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ₂

8

log 4 3log .

4 4

b

P a b Tính tổng T M m  .

A. 1897 .

T 62 B. 3701.

T 124 C. 2957 .

T 124 D. 7 .

T2

Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log2alog2blog2



a6 .b



Giá trị lớn nhất

ax

PM của biểu thức ₂ ² ₂

2 2

P ab b

a ab b

 

  bằng

A. _ax 2 . 3

PM  B.P_Max 0. C. _ax 1 . 2

PM  D. _ax 2 .

5 PM 

Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn log³₂alog³₂blog³₂c1. Khi biểu thức

 

3 3 3

2 2 2

3 log ^a log ^b log ^c

P a b  c a  b  c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a b c  là

A. 3. B. ³

1

3.2 . 3 C. 4. D. 6.

Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức:

3

4 1 8

log _bc log_ac 3log_ab

P a b  c là

A.P_min 20. B.P_min 10. C. P_min 18. D. P_min 12.

ĐÁP ÁN Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit

1-B 2-A 3-A 4-C 5-A 6-B 7-A 8-A 9-D 10-D

TOANMATH.com Trang 21

11-D 12-D 13-C 14-D 15-C

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho

1-B 2-D 3-D 4-C 5-A 6-B 7-D 8-B 9-D 10-A

11-C 12-D 13-C 14-B 15-A 16- 17-B 18-C 19-C 20-A