Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. LÝ THUYẾT:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2x³6x²4x b) 3x y² 9xy²12x y^{2 2} c) ^{2xy x y}



 



a) Ta có: ^{2x36x24x2x x}





b) Ta có: ^{3x y2 9xy212x y2 23xy x}





c) Ta có: ^{2xy x y}



 





 



 



x x y y x

  

d) Ta có: ^{x24y2 x 2yx2}

  







 

 





        







   

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)





a) Ta có:







 





  



 







         









   

b) Ta có: 3xy4y3x 4 3xy3x 4 4y

      

3x y 1 4 y 1 y 1 3x 4

      

c) Ta có: x²4xy3y²x²xy3xy3y²

 

   



x x y y x y x y x y

      

d) Ta có: ^{x2y25x5y}





 









   

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)













c) x²2x4y²4y d) ^{4x x}









Giải

a) Ta có:



















 

 



       



 



 



 



         





 





         

     

2x x 2 2x x 2 2x x 2 x 2 4x

        

b) Ta có: 2x²2xy4y² 2x²2y²2xy2y²



  

2 x y 2y x y

   

       

2 x y x y 2y x y 2 x y x y 2y

        

  

2 x y x 3y

  

c) Ta có: x²2x4y²4y x ²4y²2x4y





 



    







   

d) Ta có: ^{4x x}













 



 



       

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Lưu ý: Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện

“thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức.

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ² 1

x  x 4 b) 2x³12x²24x16 c)



 



Giải a) Ta có:

2

2 1 2 1 1 1

4 22 4 2

x   x x  x x 

b) Ta có: ^{2x312x224x16 2}







  

2 x 3. .2 3.4.x x 2 2 x 2

     

c) Ta có:



 





 



       

 

2 3 2 2

6x y 2y 2 3y x y

   

d) Ta có: ^{2x42x2 2 2}



 



 



   2  2  

2 x 1 x 2 x 1 x x 1 x

       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x⁴4 b) x³6x²16

c) 1 ² 1 ²

36a 4b d) x²2x y ²2y

Giải

a) Ta có: ^{x4 4 x44x2 4 4x2 }









 





         

b) Ta có: x³6x²16x³6x²12x 8 12x24







 

  



 

 



           

c) Ta có: 1 ² 1 ² 1 ² 1 ² 1 1 . 1 1

36a 4b 6a 2b 6a2b   6a2b d) Ta có: x²2x y ²2y

2 2 1 2 2 1

x x y y

     



 



     



 

 





          







   

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)





c) x⁸x⁴1 d) x⁷x²2x1

Giải

a) Ta có:















b) Ta có: 125a³75a²15a1

 

 





      

c) Ta có: ^{x8x4 1 x82x4 1 x4}









 





         

d) Ta có: x⁷x²2x 1 x⁷ x x² x 1



 



x x x x

    





 



x x x x x

     



 

 

 



x x x x x x x

       



  

 





     



  

 

 

     







      

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x⁴81 b) x⁸98x⁴1

c) x⁷x²1 d) x⁷x⁵1

Giải

a) Ta có: 4x⁴81 4 x⁴36x²81 36 x²









 

     







    







    

b) Ta có: ^{x898x4 1}

















       









     









    



 



    







        

c) Ta có: ^{x7 x2 1}



 





 



x x x x

    





 



x x x x x

     



 



 



x x x x x x x

       







 



       







      

d)^{x7x5 1}



 

 











 



x x x x x x x

       



 

 





 

 



           



 

 



          







      

Lưu ý: Các đa thức có dạng x^3m1x^3n21. Ví dụ như: x⁷x²1; x⁷x⁵1; x⁸x⁴1;

5 1

x  x ; x⁸ x 1; … đều có nhân tử chung là x² x 1

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x²2x2y y ² b)3x³xy12xy²2y² c) x³x²xy y ³y² d) 16x⁴8x²y²1

Giải

a) Ta có: ^{x22x2y y 2 x2y22}







  

 





        

b) Ta có: 3x³xy12xy²2y²3x³12xy²xy2y²



       

3x x 4y y x 2y 3x x 2y x 2y y x 2y

        



 



   

c) Ta có: x³x²xy y ³y² x³y³x²xy y ²



 

 



      



 



    

d) Ta có: ^{16x48x2y2 1}

 

 

`^

  



  

   









    

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ax²2bxy2bx²axy b)8x²2x

c) x²2x4y⁴8y3 d) x⁴5x³20x16 Giải

a) Ta có: ax²2bxy2bx²axy ax ²2bx²axy2bxy







 

 





 

         

b) Ta có: 8x²2x 9 x²2x1

  

    

9 x 1 3 x 1 3 x 1 4 x 2 x

          

c) Ta có: x²2x4y⁴8y 3 x²2x 1 4y⁴8y4







 





          







    

d) Ta có: x⁴ 5x³20x16 x⁴ 16 5 x³20x



 

 









        





 

 





       

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x²9y² 4x6y b) ^{x3 y}



 



c) a x a y²  ² 7x7y d) ^{x x}







 



Giải

a) Ta có: ^{4x2 9y24x6y }













 

 





        

b) Ta có: ^{x3 y}



 



   

3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3

x y x y xy x y x x y xy y x y

           



 

 

 



         









     

c) Ta có: ^{a x a y2  2 7x7y}









       

2 7 2 7

a x y x y x y a

      

d) Ta có: ^{x x}







 













 

 

 



x x x x x x x x x

 

           



 





 



         

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ^{x x}









a) Ta có: ^{x x}











 





x x x x

        



 



      (*)

Đặt x²10x12t, khi đó phương trình (*) trở thành:

















 



 



         

b) Giả sử x0 ta có:

4 3 2 2 2

2

6 1

6 7 6 1 6 7

x x x x x x x

x x

 

          

2 2

2

1 6 6 7

x x x

x x

    

         (*)

Đặt 1

t x

  x thì ² 1₂ ² 2

x t

 x   , khi đó phương trình (*) trở thành:

 

2 2 2 2

2

1 6

6 7 2 6 7

x x x x t t

x x

          

    

 

  



 

2 3 3 1 3 2 3 1

x t xt x x x x x x

x

   

           

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

   

4 6 3 7 2 6 1 4 6 3 2 2 9 2 6 1

x  x  x  x x  x  x  x  x

   

 

4 2 2 3 1 3 1 2 3 1

x x x x x x

       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a)



 

 



b) ²



 





 

 



Giải

a) Ta có:



 

 









 

 



 

             (*)

Đặt a x ²y²z², b xy yz zx   , khi đó phương trình (*) trở thành:





 

a a b b a  ab b  a b





 

       b) Ta có:



 





   



2 x  y z  x  y z 2 x  y z x y z   x y z  Đặt a x⁴ y⁴z⁴, bx² y²z², c  x y z, khi đó ta có:

   

2 2 4 2 2 2 4 2 2

2a b 2bc c 2a2b b 2bc c 2 a b  b c (1) Mặt khác ta có:

 

2 4 4 4 2 2 2

a b  x y z  x  y z

 

4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z x y y z z x

        





2 x y y z z x

   

 

2 2 2 2

b c x  y z  x y z 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z xy yz zx

        

 

2 xy yz zx

    Do đó:

(1)^2



 



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4x y 4y z 4z x 4x y 4y z 4z x 8x yz 8xy z 8xyz

         

 

8xyz x y z

  

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)



 

 





 



Giải

a) Đặt x y a  , y z b  , z x c     a b c 0 khi đó ta có:



 

 







    



  

 





 

           

       

3 x y y z x y y z 3 x y y z x z

           

b) Ta có:



 





 





         



 

  





               





 

 

         

Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x²4x3 b) 6x²11x3

c) x³2x²5x4 d) x²4y²2x4xy4y Giải

a) Ta có: x²4x 3 x² x 3x3



 

 





x x x x x

      

b) Ta có: 6x²11x 3 6x²2x9x3

      

2 3x x 1 3 3x 1 3x 1 2x 3

      

c) Ta có: x³2x²5x 4 x³x²x² x 4x4

         

2 1 1 4 1 1 2 4

x x x x x x x x

         

d) Ta có: x²4y²2x4xy4yx²4xy4y²2x4y







 





       

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3x²4x1 b) 2x³5x3

c) 2x³x²6x d) 2x³x²13x6

Giải

a) Ta có: 3x²4x 1 3x³3x x 1

      

3x x 1 x 1 x 1 3x 1

      

b) Ta có: 2x³5x 3 2x³2x²2x²2x3x3

         

2 2

2x x 1 2x x 1 3 x 1 x 1 2x 2x 3

         

c) Ta có: ^{2x3x26x x}







 



 

  





x x x x x x x x x x x

          

d) Ta có: 2x³x²13x 6 2x³4x²5x²10x3x6



 

 

 



        



  

 

  







        

Lưu ý: Khi thực hiện tách đa thức để nhóm thành các nhân tử chung ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Thực hiện nhẩm nghiệm của đa thức (thường các nghiệm x 1; x 2 thỏa mãn).

Ví dụ: 3x²4x1, với x1 thay vào ta được 3 4 1 0    x 1 là nghiệm của đa thức.

Bước 2: Thực hiện tách đa thức để có nhân tử chung là nghiệm của đa thức.

Ví dụ: Thực hiện tách đa thức để có x1 là nhân tử chung

      

2 2

3x 4x 1 3x 3x x  1 3x x   1 x 1 x1 3x1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x³4x²11x8 b) 2x³5x²4 c) 6a²6ab11a11b d) m³7m²6m Giải

a) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là





Ta có: x³4x²11x 8 x³x²3x²3x8x8

         

2 1 3 1 8 1 1 2 3 8

x x x x x x x x

         

b) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x2 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là





Ta có: 2x³5x² 4 2x³4x²x²2x2x4

         

2 2

2x x 2 x x 2 2 x 2 x 2 2x x 2

         

c) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy a b là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là





Ta có: ^{6a26ab11a11b6a a b}







 





d) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy m 6 hoặc m 1 là nghiệm của phương trình, do đó nhân tử chung là





Ta có: m³7m²6m m ³6m²m²6m

          

2 6 6 2 6 1 6

m m m m m m m m m m

         

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

a)











a) Ta có:





















     







      (*)

Đặt tx²3x7, khi đó phương trình (*) trở thành:

















 





           

b) Ta có: ^{4 3 2 2 2} 4 1₂

4 2 4 1 4 2

x x x x x x x

x x

 

          

2 2

2

1 1

4 2

x x x

x x

    

        (*)

Đặt t x 1 x² 1₂ t² 2

x x

      , khi đó phương trình (*) trở thành:

 

     

2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4

x t   t x t   t x t  t

 

 

2 2 2 1 2 2 2 1

x t x x x x

x

 

         

Lưu ý: Khi thực hiện phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ như ví dụ trên, thường gặp ở các dạng sau:

+) Dạng:











Dạng 6: Tìm x với điều kiện cho trước Phương pháp:

Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử chung, ta đưa biểu thức về dạng A B. 0, khi đó xảy ra các trường hợp:

TH1: 0

0 A B

 

  giải ra ta được giá trị x.

TH2: 0

0 A B

 

  giải ra ta tìm được giá trị x.

TH3: 0

0 B A

 

  giải ra ta được giá trị x.

Bài 1: Tìm x, biết:

a) ^{x x}



 







c) 2x³2x3x² 3 0 d) ^x2





Giải

a) Ta có: ^{x x}



 



 

2 0 0

3 0 3 0

3 0 3

x x

x x x x

x x

 

 

          

Vậy x0 và x3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) Ta có: ^{4x2 }





 



 



 

     







x x

x x

  

   

        

Vậy x 1 và 1

x3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) Ta có: ^{2x32x3x2  3 0 2x x}



 





 



       (do x² 1 0 với mọi x) 3

x 2

 

Vậy 3

x 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) Ta có: ^x2







 





 



       (do x² 2 0 với mọi x) 4

x 3

 

Vậy 4

x 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 2: Tìm x _biết:

a) x²2018x2017 0 b) x³8x² 8 x Giải

a) Ta có: x²2018x2017 0 x² x 2017x2017 0















x x x x x

        

1 0 1

2017 0 2017

x x

x x

  

 

    

Vậy x1 và x2017 thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) Ta có: ^{x38x2  8 x x x2}



 





 







       (do x² 1 0 với mọi x₎ 8

 x

Vậy x8 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lưu ý: Đối với bài b học sinh thường mắc sai lầm cách giải như sau:

Ta có: ^{x3 8x2   8 x x x2}









 phương trình vô nghiệm.

Vì vậy: Đối với những bài toán tương tự ta chỉ được phép rút gọn khi giá trị đó luôn khác 0. Còn các trường hợp còn lại chúng ta phải nhóm thành nhân tử chung.

B.CÁC DẠNG BÀI TỔNG HỢP MINH HỌA NÂNG CAO

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

  



) 1

a xy  x y ^{b a b c)}



 







) 9 36

c a   a

Hướng dẫn giải – đáp số

  

 

 

) 1 1 1

a xy  x y  xy  x y xy  x y









x y y x y y

           











    

  

 

) 2 2

b a b c   a b c   c a b c   c



 





       







       









 

         









   



) 9 36 9 6 9 6 3 3

c a   a  a   a a   a  a a 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2

)3 3 2

a a b a  ab b b a) ²2ab b ²2a2b1

 

2 2 2 2 2

)4

c b c  b c a Hướng dẫn giải – đáp số

    

 

)3 3

a a b  a b  a b  a b

 

   

) 2 1 1

b a b  a b   a b 







) 2 2

c bc b c a bc b c a









   

        



   

        

3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2 2

) 4 4 9

a x  xy y  a ^{b xy a)}









   

2 2 2

) 2

c x a b  xy a b ay by ^{d xy)8 3x x y}





Hướng dẫn giải – đáp số

    

 

2 2 2

) 4 4 9 2 3 2 3 2 3

a x  xy y  a  x  a  x  a x  a



 



)

b xy a b ab x  y  xya xyb abx aby



 



   

      

ax ay bx by bx ay ay bx ax by

      

         

2 2 2 2 2

) 2 2

c x a b  xy a b ay by  x a b  xy a b y a b



 

 

 

      

 

  



)8 3 2

d xy x x y  x y  x y 





   



 



x y x y  y y x y x y  x y x x y

          

4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2 2 2

) 4 2

a A x  x y  y  xy b B) x⁶ y⁶



 

 



) 4 6 9

c C xy x  y  x  y x y xy  x y

2 2

) 25 2

d D a  ab b Hướng dẫn giải – đáp số

 

2 2 2 2 2 2

) 2 4 4

a A x  xy y  x y  x y  x y







    





   

   



)

b B x y x  y  x y x xy y x y x xy y



 

   



) 4  6   9 

c C xy x y x y x y x y



 



    







 



      



 





   



  

) 25 2 25

d D  a  ab b   a b







    

5. Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 2 2 3

) 3 4 12

a x  x y xy  y b x) ³4y² 2xy x ²8y³

     

2 2

)3 36 108

c x a b c   xy a b c   y a b c  ^{d a x)}



 



Hướng dẫn giải – đáp số

3 2 2 3

) 3 4 12

a x  x y xy  y

   

2 3 4 2 3

x x y y x y

   









   

3 3 2 2

) 8 2 4

b x  y x  xy y



 

 