Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số | Giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức

Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Mở đầu trang 55 SGK Toán 10 tập 1: Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, tại mỗi đỉnh Ai có đặt một vật nặng mi (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với các khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg).

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 10 tập 1: Cho vecto AB=a. Hãy xác định điểm C sao cho BC=a.

a) Tìm mối quan hệ giữa AB và a+a.

b) Vecto a+a có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto a.

Lời giải

+) AB=a nên AB cùng hướng và cùng độ lớn với a;

+) BC=a nên BC cùng hướng và cùng độ lớn với a. Do đó AB và BC cùng hướng và cùng độ lớn với a Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC Hay B là trung điểm của AC.

Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

a) Ta có: a+ =a AB+BC=AC (quy tắc ba điểm) Suy ra a+ =a AC =AC

Mà AC = AB + BC = 2AB nên a+ =a 2AB. Lại có AC cùng hướng với AB

Vậy a+a cùng hướng với vecto AB và a+ =a 2AB=2 AB . b) Vì AB=a nên AB cùng hướng vecto a và AB = a hay AB= a Mà a+a cùng hướng với vecto AB và a+ =a 2AB.

Do đó a+a cùng hướng với vecto a và a+ =a 2 a .

Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 tập 1: 1a và acó bằng nhau hay không?

Lời giải

Tích của vectơ a 0 với số thực k = 1 > 0 là một vectơ kí hiệu là 1a, vectơ này cùng hướng với vectơ a và có độ dài bằng 1. a = a .

Do đó 1a =a.

Vậy 1a =a.

Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 10 tập 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số 0;1; 2;− 2. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto OM,ON với vecto a =OA. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto OM và OA.

Lời giải

Trên trục số Hình 4.22 ta thấy:

- Về hướng:

Điểm M và điểm A nằm cùng phía đối với điểm O trên trục số nên OM cùng hướng với OA;

Điểm N và điểm A nằm khác phía đối với điểm O trên trục số nên ON ngược hướng với OA.

- Về độ dài:

+ Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1 do đó OA =OA 1=

+ Điểm M biểu diễn cho số 2 nên OM= 2 do đó OM =OM= 2 Suy ra OM = 2 OA = 2 a

+ Điểm N biểu diễn cho số − 2 nên ON = − 2 = 2 do đó ON =ON= 2 Suy ra ON = 2 OA = 2 a

Vậy OM cùng hướng với a =OA và OM = 2 a ON ngược hướng với a =OA và ON = 2 a

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto OM và OA là OM= 2OA.

Câu hỏi trang 56 SGK Toán 10 tập 1: −a và

( )

^{−1 a}có mối quan hệ gì?

Lời giải

+ Vectơ −a là vectơ đối của vectơ a nên −a ngược hướng với a và có độ dài a . + Vectơ

( )

^{−1 a} là tích của vectơ a với số thực k = ‒1 < 0 nên

( )

^{−1 a} ngược hướng với a và có độ dài ^{− −}

( )

^{1 a =1. a = a .}

Do đó vectơ

( )

^{−1 a}cùng hướng với −a và cùng có độ dài bằng độ dài của a.

Vậy

( )

^{−1 a= −a.}

Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 10 tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để AM=tAB. b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: AM ^AM.AB.

= AB

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để AM=tAB.

Lời giải a)

+ Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên AM cùng phương AB

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn AM=tAB.

+ Nếu tồn tại số t thỏa mãn AM= tAB thì AM cùng phương AB Hay đường thẳng AM song song hoặc trùng với đường thẳng AB.

Mà cả hai đường thẳng này đều đi qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì AM không cùng phương với AB . Do đó ta không thể viết dưới dạng AM ^AMAB.

= AB Vậy khẳng định b) sai.

c)

Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ AM và AB là hai vectơ cùng phương, ngược hướng

Khi đó tồn tại số thực t ≤ 0 thỏa mãn AM=tAB.

Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để AM=tAB thì hoặc hai vectơ AB và AM ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).

Do đó khẳng định c) đúng.

Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Với u0 và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ ^{k tu}

( )

^và

( )

kt u có cùng độ dài bằng kt u .

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ k tu , kt u

( ) ( ) cùng hướng với u. c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ k tu , kt u( ) ( ) ngược hướng với u. d) Hai vectơ k tu( ) và ( )kt u bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: ^{k tu}

( )

^{= k tu = k t u = kt u và}

( )

^{kt u = kt u}

Suy ra ^{k tu}

( )

⁼

( )

^{kt u = kt u}

Do đó hai vectơ ^{k tu}

( )

^và

( )

kt u có cùng độ dài bằng kt u . Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ

( )

kt u cùng hướng với vectơ u

- Với kt ≥ 0 ^{k 0} t 0

 

   hoặc ^{k 0} t 0

 

  +) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ tu cùng hướng với vectơ u; Với k ≥ 0 thì vectơ ^{k tu}

( )

cùng hướng với vectơ tu;

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì ^{k tu}

( )

cùng hướng với vectơ u(do cùng hướng với tu ).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ tu ngược hướng với vectơ u; Với k ≤ 0 thì vectơ ^{k tu}

( )

ngược hướng với vectơ tu;

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì ^{k tu}

( )

cùng hướng với vectơ u(do cùng ngược hướng với tu).

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì ^{k tu}

( )

cùng hướng với vectơ u. Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto k tu , kt u

( ) ( ) cùng hướng với u.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ

( )

kt u ngược hướng với vectơ u

- Với kt < 0 ^{k 0} t 0

 

   hoặc ^{k 0} t 0

 

  +) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ tu ngược hướng với vectơ u; Với k > 0 thì vectơ ^{k tu}

( )

cùng hướng với vectơ tu;

Do đó với k > 0 và t < 0 thì ^{k tu}

( )

ngược hướng với vectơ u +) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ tu cùng hướng với vectơ u; Với k < 0 thì vectơ ^{k tu}

( )

ngược hướng với vectơ tu;

Do đó với k < 0 và t > 0 thì ^{k tu}

( )

ngược hướng với vectơ u.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì ^{k tu}

( )

ngược hướng với vectơ u. Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ k tu , kt u

( ) ( ) ngược hướng với u.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ ^{k tu}

( )

^và

( )

^{kt u}có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ k tu , kt u

( ) ( ) cùng hướng với u. Suy ra hai vectơ k tu , kt u( ) ( ) cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ k tu , kt u

( ) ( ) ngược hướng với u. Suy ra hai vectơ k tu , kt u( ) ( ) cùng hướng.

Do đó hai vectơ k tu , kt u

( ) ( ) cùng hướng với mọi k, t.

( ) ( )

k tu kt u

 =

Hay hai vectơ ^{k tu}

( )

^và

( )

kt u bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.

Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ

( )

3 u+v và 3u+3v. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ^{3 u}

( )

^{+v và 3u+3v.}

Lời giải

Giả sử OE=u, OF=v được biểu diễn như hình vẽ trên.

+ Xét hình bình hành OEMF, ta có:

u+ =v OE+OF=OM (quy tắc hình bình hành)

( )

3 u v 3OM

 + =

Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM và OC cùng hướng với OM. Do đó ^{3 u}

(

^+v

)

^{=3OM =OC. (1)}

+ Trên hình vẽ ta thấy OA =3 u và OA cùng hướng với u OB=3 v và OB cùng hướng với v

Do đó OA=3u, OB=3v

Xét hình bình hành OACB, ta có:

3u+3v=OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành) (2) Từ (1) và (2) ^{3 u}

(

^+v

)

^=3u+3v

(

^=OC

)

Vậy ^{3 u}

(

^+v

)

^=3u+3v.

Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G.

Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

OA+OB+OC=3OG Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA+GB+GC=0 (Tính chất trọng tâm của tam giác)

Với điểm O bất kì ta có: ^OA+OB+OC=

(

^OG+GA

) (

^{+ OG+GB}

) (

^{+ OG+GC}

) (

^{OG OG OG}

) (

^{GA GB GC}

)

= + + + + +

3OG 0

= +

=3OG.

Vậy OA+OB+OC=3OG.

Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ u, v theo hai vectơ a, b, tức là tìm các số x, y, z, t để u=xa+yb, v=ta +zb.

Lời giải

Giả sử các điểm O, A, B, C, M, N, P là các điểm như trong hình vẽ dưới đây.

Khi đó ta có:

OA =a;OB=2b;OC=u;OM=3b;ON = −2a;OP =v

Xét hình bình hành OACB, có: OC=OA+OB (quy tắc hình bình hành) Suy ra u = +a 2b.

Xét hình bình hành OMPN, có: OP=OM+ON (quy tắc hình bình hành) Suy ra ^{v=3b+ −}

( )

^{2a = − +2a 3b.}

Vậy u = +a 2b, v= − +2a 3b.

Bài 4.11 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị AM theo hai vecto AB và AD.

Lời giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

AB AC AE

 + = (quy tắc hình bình hành) Mà AE=2AM (M là trung điểm của AE)

AB AC

AB AC 2AM AM

2

 + =  = +

Xét hình bình hành ABCD có: AC=AB+AD (quy tắc hình bình hành)

( )

AB AB AD AB AB AD

AM 2 2

+ + + +

 = =

2AB AD 2AB AD 1

AM AB AD

2 2 2 2

 = + = + = +

Vậy AM AB ¹AD.

= +2

Bài 4.12 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng BC+AD=2MN=AC+BD.

Lời giải

Ta có: ^AC+BD=

(

^AD+DC

) (

^{+ BC+CD}

)

^=AD+DC+BC+CD

( )

AC BD AD BC DC CD AD BC 0 AD BC

 + = + + + = + + = +

Do đó AC+BD=AD+BC (1)

Ta có: ^BC+AD=

(

^MC−MB

) (

^{+ MD−MA}

)

^{=MC−MB+MD−MA}

( ) ( )

BC AD MC MD MA MB

 + = + − +

Lại có M là trung điểm của AB nên MA+MB=0

N là trung điểm của DC, với điểm M bất kì ta có MC+MD=2MN Suy ra BC+AD=2MN−0

BC AD 2MN

 + = (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC+AD=2MN=AC+BD.

Bài 4.13 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho KA+2KB=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: 1 2

OK OA OB.

3 3

= +

Lời giải

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn KA+2KB=0. Khi đó KA= −2KB. Suy ra hai vectơ KA và KB cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra MA+MB=0.

Khi đó ta có: KA+2KB=0.

(

^{KM MA}

) (

^{2 KM MB}

)

⁰

 + + + =

KM MA 2KM 2MB 0

 + + + =

(

^{KM 2KM}

) (

^{MA MB}

)

^{MB 0}

 + + + + =

3KM MB 0

 + = (Vì MA+MB=0)

3KM MB

 = −

3KM BM

 =

KM 1BM

 = 3

MK 1MB

 = 3

Suy ra vecto MK cùng hướng với vectơ MB và thỏa mãn 1

MK MB.

= 3

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn 1

MK MB.

=3 b)

Cách 1:

Ta có:

( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2

OA OB OK KA OK KB OK KA OK KB

3 + 3 =3 + + 3 + = 3 + 3 + 3 +3

( )

1 2 1 2 1

OK OK KA KB OK KA 2KB

3 3 3 3 3

   

= +   + + = + +

Mà KA+2KB=0 (theo câu a) do đó 1 2

OA OB

3 + 3 1

OK .0 OK

= +3 = Vậy với mọi điểm O, ta có: 1 2

OK OA OB.

3 3

= +

Cách 2:

Ta có: OK =OM+MK

Theo câu a ta có ^{MK= 1}₃^{MB= 1}₃

(

^MO+OB

)

Do đó ^{OK=OM+MK=OM+1}₃

(

^MO+OB

)

^=OM+1₃^MO+1₃^OB

1 1

OM OM OB

3 3

= − +

2 1

OM OB

3 3

= +

Vì M là trung điểm của AB nên ^{OA+OB=2OMOM= 1}₂

(

^OA+OB

)

( ) ( )

2 1 1 1 1

OK . OA OB OB OA OB OB

3 2 3 3 3

 = + + = + +

1 1 1 1 2

OK OA OB OB OA OB

3 3 3 3 3

 = + + = +

Vậy với mọi điểm O, ta có: 1 2

OK OA OB.

3 3

= +

Bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để MA+MB+2MC=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OA+OB+2OC=4OM.

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA+GB+GC=0. Ta có: MA+MB+2MC=0

(

^{MG GA}

) (

^{MG GB}

) (

^{2 MG GC}

)

⁰

 + + + + + =

MG GA MG GB 2MG 2GC 0

 + + + + + =

(

^{MG MG 2MG}

) (

^{GA GB GC}

)

^{GC 0}

 + + + + + + =

4MG GC 0

 + = (vì GA+GB+GC=0)

4MG GC

 = −

4GM GC

 − = −

GM 1GC

 = 4

Do đó vecto GM cùng hướng với vecto GC và GM ¹GC.

= 4

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho 1

GM GC.

= 4

b) Ta có: ^OA+OB+2OC=

(

^OM+MA

) (

^{+ OM+MB}

) (

^{+2 OM+MC}

)

OM MA OM MB 2OM 2MC

= + + + + +

(

^{OM OM 2OM}

) (

^{MA MB 2MC}

)

= + + + + +

4OM 0

= + (vì MA+MB+2MC=0)

=4OM

Vậy với mọi điểm O, ta có: OA+OB+2OC=4OM.

Bài 4.15 trang 59 SGK Toán 10 tập 1: Chất điểm A chịu tác động của ba lực

1 2 3

F , F , F như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là F₁+ + =F₂ F₃ 0). Tính độ lớn của các lực F , F ,_{2 3} biết F₁ có độ lớn là 20 N.

Lời giải

Giả sử các điểm B, C, D, E thoả mãn AB=F ; AD₁ =F ; AE₂ =F₃ và ABCD là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB+AD=AC hay F₁+F₂ =AC Ta có: F₁+ + =F₂ F₃ 0

1 2 3

F F F

 + = −

AC F3

 = −

Suy ra hai vectơ AC và F₃ là hai vectơ đối nhau AC F3

 = và CAD=60⁰.

ABCD là hình bình hành nên F1 = AB =AB=DC=20 N

( )

Tam giác ACD vuông tại D có:

+) AD DC.cot CAD 20.cot 60 ^{20 20 20 3} tan 60 3 3

= =  = = =



Do đó 2

( )

F 20 3 N

= 3

+) DC 20 20 40 40 3

AC sin CAD sin 60 3 3 3

2

= = = = =



Do đó 3

( )

F AC 40 3 N

= = 3

Vậy độ lớn vectơ F , F_{2 3} lần lượt là 20 3 40 3

N, N.

3 3