Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto | Giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức

(1)

Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto

Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC. Hãy tìm số đo các góc giữa BC và BD , DA và DB .

Lời giải

Số đo góc giữa hai vectơ BC và BD là góc CBD bằng 30°.

Xét tam giác BCD có BCA là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:

BCA=CBD+CDBCDB=BCA−CBD=  −  = 80 30 50 ADB 50

 = 

Suy ra số đo góc giữa hai vectơ DA và DB là góc ADB bằng 50°.

Vậy số đo góc giữa hai vectơ BC và BD bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ DA và DB bằng 50°.

Câu hỏi trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^°, bằng 180^°.

Lời giải

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính

(

^{AB, BC .}

)

Lời giải

(2)

Lấy điểm D sao cho AD=BC.

Khi đó

(

^{AB, BC}

) (

⁼ ^{AB, AD}

)

⁼^BAD.

Vì ABC là tam giác đều nên ABC 60= . Do AD=BC nên ABCD là hình bình hành

 AD // BC (tính chất hình bình hành)

BAD ABC 180

 + =  (hai góc trong cùng phía)

BAD 180 ABC 180 60 120

 =  − =  −  = 

(

^{AB, BC}

)

^BAD ¹²⁰

 = = 

Vậy

(

^{AB, BC}

)

⁼¹²⁰^^.

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u, v là một số dương? Là một số âm?

Lời giải

Tích vô hướng của hai vectơ u, v0 được tính bởi công thức sau:

( )

u.v= u . v .cos u, v .

Vì u 0, v 0 nên dấu của tích vô hướng u.v phụ thuộc vào dấu của ^{cos u, v}

( )

^.

+) Tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số dương thì ^{cos u, v}

( )

^^0.

(3)

Khi đó góc giữa hai vectơ u, v là góc nhọn hoặc bằng 0°.

+) Tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số âm thì ^{cos u, v}

( )

^^0.

Khi đó góc giữa hai vectơ u, v là góc tù hoặc bằng 180°.

Vậy khi ⁰^{ }

( )

^{u, v} ^{ }⁹⁰ thì tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số dương;

Khi ⁹⁰^{ }

( )

^{u, v} ^¹⁸⁰^ thì tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số âm.

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào thì

( )

^u.v ² ⁼^{u .v ?}² ²

Lời giải

Ta có: ^u.v= u . v .cos u, v

( ) ( )

^u.v ² u . v .cos u, v

( )

²

 =  

( )

^u.v ² ^{u .v .cos}² ² ²

( )

^{u, v}

 =

Để

( )

^u.v ² ⁼^{u .v}² ²^thì^{u .v .cos}² ² ²

( )

^{u, v} ⁼^{u .v}² ²

( ) ( )

2 cos u, v 1

( )

u, v 0

cos u, v 1

cos u, v 1 u, v 180

 =  = 

 

 =  

 = −  = 

 

+) Với

( )

^{u, v} ^{= }⁰ thì hai vectơ u, v cùng hướng +) Với

( )

^{u, v} ⁼¹⁸⁰^ thì hai vectơ u, v ngược hướng Suy ra cả hai trường hợp thì hai vectơ u, v cùng phương.

Vậy khi hai vectơ u, v cùng phương thì

( )

^u.v ² ⁼^{u .v .}² ²

Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính AB.AC theo a, b, c.

(4)

Lời giải

Ta có: ^AB.AC=AB.AC.cos AB, AC

( )

AB.AC AB.AC.cos

 = BAC

AB.AC bc.cos

 = BAC

Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có:

2 2 2

AC AB BC

cosBAC

2AC.AB

+ −

=

2 2 2

b c a

cosBAC=

2bc + −



2 2 2 2 2 2

b c a b c a

AB.AC bc.

2bc 2

+ − + −

 = = .

Vậy

2 2 2

b c a

AB.AC .

2 + −

=

Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho hai vectơ cùng phương ^u ⁼

( )

^{x; y}

và ^v⁼

(

^{kx;ky .}

)

Hãy kiểm tra công thức ^u.v⁼^{k x}

(

² ⁺^y²

)

theo từng trường hợp sau:

a) u =0;

(5)

b) u 0 và k0;

c) u 0 và k < 0.

Lời giải

Ta có: ^u⁼

( )

^{x; y} ^ ^u ⁼ ^x² ⁺^y²

( ) ( ) ( )

² ² ² ² ² ² ²

(

² ²

)

²

v= kx; ky  v = kx + ky = k x +k y = k x +y = k x +y^ a) Vì vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ nên vectơ v vuông góc với u =0

Do đó u ⊥ v u.v=0

Ta có: ^u ⁰ ^u

( )

^0;0 ^x ⁰

y 0

 =

=  =   =

Do đó ^{k x}

(

² ⁺^y²

) (

⁼^{k 0}² ⁺⁰²

)

⁼⁰

(

² ²

)

u.v k x y 0

 = + =

Vậy với u=0 thì công thức ^u.v⁼^{k x}

(

² ⁺^y²

)

^đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ ^v ⁼

(

^{kx; ky}

)

cùng hướng với vectơ ^u ⁼

( )

^{x; y}

( )

^{u, v} ⁰

 = 

Do đó ^u.v= u v cos u, v

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

x y . k x y .cos0 k. x y .1 k x y

= + +  = + = +

Vậy với u0 và k0 thì công thức ^u.v⁼^{k x}

(

² ⁺^y²

)

^đúng.

(6)

c) Vì k < 0 nên vectơ ^v ⁼

(

^{kx; ky}

)

ngược hướng với vectơ ^u ⁼

( )

^{x; y}

( )

^{u, v} ¹⁸⁰

 = 

Do đó: ^u.v= u v cos u, v

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

x y . k x y .cos180 k. x y . 1 k x y

= + +  = − + − = +

Vậy với u0 và k < 0 thì công thức ^u.v⁼^{k x}

(

² ⁺^y²

)

^đúng.

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương ^u⁼

( )

^{x; y} ^và^v⁼

(

^{x '; y '}

)

^.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho OA=u,OB=v.

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính OA.OB theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì OA =u mà ^u ⁼

( )

^{x; y} ^nên^OA ⁼

( )

^{x; y} suy ra A(x; y).

Vì OB=v mà ^v⁼

(

^{x '; y '}

)

^nên^OB⁼

(

^{x ; y}^{ }

)

suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') ^AB=

(

x ' x; y ' y− −

) ( ) (

²

)

²

AB x ' x y ' y

 = − + −

( ) (

²

)

²

AB2 x ' x y ' y .

 = − + −

(7)

+) Ta có ^OA⁼

( )

^{x; y} ^^OA⁼ ^x² ⁺^y² ^^OA² ⁼^x² ⁺^{y .}²

+) Ta có: ^OB⁼

(

^{x '; y '}

)

^^OB⁼ ^{x '}²⁺^{y '}² ^^OB² ⁼^{x '}²⁺^{y ' .}²

Vậy ^AB² ⁼

(

^{x ' x}⁻

) (

² ⁺ ^{y ' y ;}⁻

)

² ^OA² ⁼^x² ⁺^y²^và^OB² ⁼^{x '}²⁺^{y ' .}²

c) Ta có: OA.OB=OA.OB.cos OA,OB

( )

=OA.OB.cosAOB Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:

2 2 2

OA OB AB

cosAOB

2.OA.OB

+ −

=

( ) (

²

)

²

2 2 2 2

x y x y x x y y

cosAOB

2. x y . x y

 

   

+ + + − − + − 

 =

 

+ +

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x y x y x 2x x x y 2y y y

cosAOB

2. x y . x y

     

+ + + − − + + − +

 =

 

+ +

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x y x y x 2x x x y 2y y y

cosAOB

2. x y . x y

     

+ + + − + − − + −

 =

 

+ +

2 2 2 2

2x x 2y y cosAOB

2. x y . x y

 + 

 =

 

+ +

( )

2 2 2 2

2. x x y y cosAOB

2. x y . x y

 + 

 =

 

+ +

2 2 2 2

x x y y cosAOB

x y . x y

 + 

 =

 

+ +

Do đó OA.OB OA.OB.cosAOB=

(8)

2 2 2 2

x x y y

x y . x y . x x y y

x y . x y

 + 

   

= + + = +

 

+ + .

Vậy OA.OB=x x +y y .

Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ ^u⁼

(

^{0; 5 , v}⁻

)

⁼

( )

^3;1

Lời giải

Với ^u⁼

(

^{0; 5 , v}⁻

)

⁼

( )

^3;1

Suy ra:

+) ^u ⁼ ⁰² ^{+ −}

( )

⁵ ² ⁼^5;

+) ^v ⁼

( )

³ ² ⁺¹² ⁼ ⁴ ⁼^2;

+) Tích vô hướng của hai vectơ ^u.v⁼^{0. 3}^{+ −}

( )

^{5 .1}^{= −}^5.

Ta có: ^{cos u, v}

( )

^u.v _5.2⁵ ¹₂

u . v

= = − = −

( )

^{u, v} ¹²⁰

 = 

Vậy u.v= −5 và góc giữa hai vectơ u, v bằng 120°.

Hoạt động 4 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ u =

(

x ; y ,1 1

)

v =

(

x ; y2 2

)

,

(

3 3

)

w = x ; y .

(9)

a) Tính ^{u. v}

(

⁺^w

)

^,^u.v⁺^u.wtheo tọa độ các vectơ u, v, w.

b) So sánh ^{u. v}

(

⁺^w

)

^và^u.v⁺^u.w^.

c) So sánh u.v và v.u. Lời giải

a) Với u =

(

x ; y ,1 1

)

v=

(

x ; y2 2

)

và w =

(

x ; y3 3

)

ta có:

+) v+ =w

(

x2 +x ; y3 2 +y3

)

( )

u. v w

 + =x . x1

(

2 +x3

)

+y . y1

(

2 +y3

)

=x .x1 2+x .x1 3 +y .y1 2 +y .y1 3. +) u.v=x .x₁ ₂ +y .y₁ ₂ và u.w=x .x₁ ₃ +y .y₁ ₃

1 2 1 2 1 3 1 3

u.v u.w x .x y .y x .x y .y

 + = + + + .

b) Theo câu a ta có:

( )

u. v+w =x .x₁ ₂ +y .y₁ ₂+x .x₁ ₃ +y .y₁ ₃ và u.v+u.w =x .x₁ ₂ +y .y₁ ₂ +x .x₁ ₃ +y .y₁ ₃

( )

u. v w

 + =u.v+u.w.

Vậy ^{u. v}

(

⁺^w

)

⁼^u.v⁺^u.w.

c) Ta có: u.v=x .x₁ ₂ +y .y₁ ₂ và v.u=x .x₂ ₁ +y .y₂ ₁ =x .x₁ ₂ +y .y .₁ ₂ u.v v.u.

 =

Vậy u.v=v.u.

(10)

Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒

1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng AH.BC=0 và BH.CA=0. b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) AH⊥BCAH⊥BCAH.BC=0;

+) BH⊥CABH⊥CABH.CA=0. Vậy AH.BC=0 và BH.CA =0.

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

( )

AH x 1; y 2 ;

 = + − ^BC⁼

( )

^0;9 ^và^BH=

(

^x−8; y 1 ; AC+

)

=

( )

9;6 Suy ra ^AH.BC⁼

(

^{x 1 .0}⁺

)

⁺

(

^y⁻^{2 .9}

)

⁼^{9 y}

(

⁻^{2 .}

)

Và ^BH.AC⁼

(

^x⁻^{8 .9}

)

⁺

(

^{y 1 .6}⁺

)

⁼^9x⁻⁷²⁺^6y^{+ =}⁶ ^9x⁺^6y⁻⁶⁶^.

(11)

Theo câu a ta có: AH.BC= 0 9(y – 2) = 0  y – 2 = 0  y = 2.

Và BH.AC= 0 (do BH ⊥ AC)  9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

 9x – 54 = 0

 9x = 54

 x = 6

⇒ H(6; 2) Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

+) ^AB⁼

(

^{9; 3}^{− }

)

^AB⁼ ⁹² ^{+ −}

( )

³ ² ⁼ ⁹⁰ ⁼^{3 10;}

+) ^AC⁼

( )

^9;6 ^^AC⁼ ⁹² ⁺⁶² ⁼ ¹¹⁷ ⁼^{3 13;}

+) ^BC⁼

( )

^0;9 ^^BC⁼ ⁰² ⁺⁹² ⁼^9;

+) ^AB.AC⁼^9.9^{+ −}

( )

^{3 .6}⁼^63;

Có: cosBAC ^AB.AC ⁶³ ⁶³ ⁷

AB.AC 3 10.3 13 9. 130 130

= = = =

 BAC 52 8

+) ^AB⁼

(

^{9; 3}^{− }

)

^BA^{= −}

(

^9;3

)

^^BA.BC^{= −}

( )

^{9 .0 3.9}⁺ ⁼^27;

Có: cosABC ^BA.BC ²⁷ ¹

BA.BC 3 10.9 10

= = =

(12)

ABC 71 34

  

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

BAC+ABC+ACB 180= 

( )

ACB 180 BAC ABC

 =  − +

( )

ACB 180 52 8 71 34 56 18

   −  +   

Vậy AB=3 10, AC=3 13, BC=9, BAC 52 8 , ABC 71 34 , ACB   56 18 . Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực F được phân tích thành hai lực thành phần F₁ và F₂

(

^F^{= +}^F¹ ^F²

)

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực F (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực F₁ và F .₂

b) Giả sử các lực thành phần F₁ và F₂ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F và lực F .₁

Lời giải

(13)

a) Một lực F tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời s.

+) Công sinh bởi lực F là A_F =F.s +) Công sinh bởi lực F₁ là

1 1

AF =F .s +) Công sinh bởi lực F₂ là

2 2

AF =F .s

Suy ra AF1 +AF2 =F .s1 +F .s2 =

(

F1 +F .s2

)

(tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng)

Mà F= +F₁ F₂ do đó AF1 +AF2 =

(

F1+F .s2

)

=F.s=AF

Vậy AF =AF1 +A .F2

b) +) Công sinh bởi lực F là AF =F.s=F.s.cos F,s

( )

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên s cùng hướng với F₁. Suy ra

( ) ( )

^F,s ⁼ ^{F, F}¹

Do đó AF =F.s.cos F, F

( )

¹

Ta lại có: ^F¹ ⁼^{F.cos F, F}

( )

¹

F 1

A F .s

 = (1)

+) Công sinh bởi lực F₁ là AF1 =F .s1 =F .s.cos F ,s1

( )

1

(14)

Do s cùng hướng với F₁ nên

( )

^{F ,s}¹ ^{= }⁰

1

0

1 1

AF F .s.cos0 F .s

 = = (2)

Từ (1) và (2) suy ra

( )

1 1

F F

A =A =F .s . Vậy

F F1

A =A .

Bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) ^a ^{= −}

(

^{3;1 , b}

)

⁼

( )

^{2;6 ;}

b) ^a ⁼

( )

^{3;1 , b}⁼

( )

^{2; 4 ;}

c) ^a ^{= −}

(

^{2;1 , b}

) (

⁼ ^2;⁻ ^{2 ;}

)

Lời giải

a) Với ^a ^{= −}

(

^3;1

)

^và^b⁼

( )

^2;6 ^{ta có}^a.b^{= −}

( )

^{3 .2 1.6}⁺ ⁼⁰

a b

 ⊥

( )

^{a, b} ^{90 .}⁰

 =

b) Với ^a ⁼

( )

^3;1 ^và^b⁼

( )

^{2; 4} ^{ta có:}

+) a = 3² +1² = 10;

+) b = 2² +4² = 20 =2 5; +) a.b=3.2 1.4 10+ =

(15)

( )

^a.b ¹⁰ ¹

cos a, b

10.2 5 2 a . b

 = = =

( )

^{a, b} ^{45 .}

 = 

c) Với ^a ^{= −}

(

^2;1

)

^và^b⁼

(

^2;⁻ ²

)

^{ta có:}

+) ^a ⁼

( )

⁻ ² ² ⁺¹² ⁼ ^3;

+) ^b ⁼ ²² ^{+ −}

( )

² ² ⁼ ⁶

+) ^a.b^{= −}

( )

^{2 .2 1.}⁺

( )

⁻ ² ^{= −}^{3 2}

( )

^a.b ^{3 2}

cos a, b 1

a . b 3. 6

 = = − = −

( )

^{a, b} ^{180 .}

 = 

Bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Tìm điều kiện của u, v để:

a) u.v= u . v ; b) u.v= −u . v ; Lời giải

a) Ta có: ^u.v= u . v .cos u, v

( )

Để u.v= u . v thì u . v .cos u, v

( )

= u . v

(16)

( ) ( )

cos u, v 1 u, v 0

 =  = 

Suy ra u, v là hai vectơ cùng hướng.

Vậy hai vectơ u, v cùng hướng thì u.v= u . v . b) Ta có: ^u.v= u . v .cos u, v

( )

Để u.v= −u . v thì u . v .cos u, v

( )

= − u . v

( ) ( )

cos u, v 1 u, v 180

 = −  = 

Suy ra u, v là hai vectơ ngược hướng.

Vậy hai vectơ u, v ngược hướng thì u.v= − u . v .

Bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính AM.BM theo t;

b) Tính t để AMB 90 .=  Lời giải

a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có: ^AM = − −

(

t 1; 2 , BM

)

= + −

(

t 4; 3

)

.

( )( ) ( ) ( )

² ²

AM.BM t 1 t 4 2 . 3 t 3t 4 6 t 3t 2.

 = − + + − − = + − + = + +

b) Để AMB 90=  thì MA.MB= 0 AM.BM =0

(17)

( )( )

2 t 1

t 3t 2 0 t 1 t 2 0

t 2

 = −

 + + =  + + =   = −

Vậy với ^t^{ − −}



^{1; 2}



^{thì AMB}^{= }^{90 .}

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 tập 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2;

‒2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải

a) Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) ta có:

+) ^AB⁼

( )

^6;3 ^^AB⁼ ⁶² ⁺³² ⁼ ⁴⁵ ⁼^{3 5;}

+) ^AC⁼

(

^{6; 3}^{− }

)

^AC⁼ ⁶² ^{+ −}

( )

³ ² ⁼ ⁴⁵ ⁼^{3 5;}

+) ^BC⁼

(

^{0; 6}^{− }

)

^BC⁼ ⁰² ^{+ −}

( )

⁶ ² ⁼^6;

+) Theo định lí côsin, ta có:

( ) ( )

² ² ²

2 2 2 3 5 3 5 6

AB AC BC 54 3

cosA 2.AB.AC 2.3 5.3 5 90 5

+ −

= = = =

A 53 8'

  

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

(18)

180 A 180 53 8'

B C 63 26'

2 2

 −  − 

 = =  =  .

Vậy AB=AC=3 5, BC=6, A  53 8', B=  C 63 26 '.

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH⊥BC;BH⊥AC AH BC; BH AC

 ⊥ ⊥

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

AH= x+4; y 1 ; BC− = 0; 6 ; BH− = x−2; y−4 ; AC= 6; 3−

Vì AH ⊥BC nên AH.BC=0⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0 ⇔ ‒6.(y – 1) = 0 ⇔ y

= 1.

Vì BH⊥AC nên BH.AC=0⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 ⇔ 2x – y = 0.

Mà y = 1 1

2x 1 0 x .

 − =  = 2

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là 1 H ;1

2

 

 

 .

Bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC:

( )

²

2 2

ABC

S 1 AB .AC AB.AC .

= 2 −

Lời giải Cách 1:

(19)

Ta có: S_ABC ¹AB.AC.sin AB, AC 2

2 ABC

S 1AB.AC. sin AB, AC 2

1 2

AB.AC. 1 cos AB, AC 2

2

1 AB.AC

AB.AC. 1

2 AB . AC

2

2 2

AB.AC 1AB.AC. 1

2 AB .AC

2 2 2

2 2

AB .AC AB.AC

1AB.AC.

2 AB .AC

2 2 2

1 1

AB.AC. . AB .AC AB.AC

2 AB.AC

2 2 2

1 AB .AC AB.AC 2

2 2 2

1 AB .AC AB.AC 2

Vậy ^S^ABC ⁼¹₂ ^{AB .AC}² ² ⁻

(

^{AB.AC .}

)

²

Cách 2:

Ta có: ^AB.AC=AB.AC.cos AB, AC

( )

(20)

(

^AB.AC

)

² AB .AC .cos² ² ²

(

AB, AC

)

 =

(

^AB.AC

)

² AB .AC . 1 s in² ²  ²

(

AB, AC

)



 =  − 

(

^AB.AC

)

² ^{AB .AC}² ² AB .AC .s in² ² ²

(

AB, AC

)

 = −

Mà AB² =AB , AC² ² =AC²

Do đó: ^{AB .AC}² ² −

(

^AB.AC

)

² =^{AB .AC}² ² −^{AB .AC}² ² −AB .AC .s in² ² ²

(

AB, AC

)



( )

²

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

AB .AC AB.AC AB .AC AB .AC AB .AC .s in AB, AC

 − = − +

( )

²

( )

2 2 2 2 2

AB .AC AB.AC AB .AC .s in AB, AC

 − =

( )

²

( )

2 2 2 2 2

AB .AC AB.AC AB .AC .s in AB, AC

 − =

( )

²

( )

2 2

AB .AC AB.AC AB.AC. s in AB, AC

 − =

Mà

(

^{AB, AC}

)

⁼^BAC^{và 0}^{ }^{BAC 180}^ ^

( ) ( ) ( )

s in AB, AC 0 s in AB, AC s in AB, AC

   =

Do đó ^{AB .AC}² ² −

(

^AB.AC

)

² =AB.AC.s in AB, AC

( )

²

( )

2 2

1 1

AB .AC AB.AC AB.AC.s in AB, AC

2 2

 − =

Mà ^S^ABC ¹AB.AC.sin AB, AC

( )

= 2

(21)

Vậy ^S^ABC ⁼¹₂ ^{AB .AC}² ² ⁻

(

^{AB.AC .}

)

²

Bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC². Lời giải

2 2 2 2 2 2

MA + MB + MC =MA +MB +MC

(

^MG ^GA

) (

² ^MG ^GB

) (

² ^MG ^GC

)

²

= + + + + + (Quy tắc ba điểm)

2 2 2 2 2 2

MG 2MG.GA GA MG 2MG.GB GB MG 2MG.GC GC

= + + + + + + + +

(

^MG² ^MG² ^MG²

) (2MG.GA 2MG.GB 2MG.GC) GA2 GB2 GC2

= + + + + + + + +

( )

2 2 2 2

3MG 2MG. GA GB GC GA GB GC

= + + + + + +

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA+GB+GC=0 (tính chất trọng tâm tam giác)

( )

MG. GA GB GC MG.0 0

 + + = =

2 2 2 2 2 2 2

MA + MB + MC =3MG +GA +GB +GC .



⇒ MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC². Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².