Toán 7 Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác | Giải Toán lớp 7 Kết nối tri thức

(1)

Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 70 sgk toán 7 tập 1: Trong thực tế, nhiều khi ta không thể đo được hết các cạnh của hai tam giác để khẳng định được chúng có bằng nhau hay không.

Khi đó, có cách nào khác giúp ta biết được điều đó?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ngoài cách sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh để khẳng định hai tam giác bằng nhau thì có thể sử dụng hai trường hợp bằng nhau khác để khẳng định hai tam giác bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hoạt động 1 trang 70 sgk toán 7 tập 1: Vẽ xAy60 . Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm, AC = 3 cm.

Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27).

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

(2)

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC ta được kết quả BC = 3,6 cm.

Hoạt động 2 trang 70 sgk toán 7 tập 1: Vẽ thêm tam giác A'B'C' với B A C    60 , A'B' = 4 cm và A'C' = 3 cm (H.4.28).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C'.

- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

- Độ dài các cạnh AB và A'B' của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh AB và A'B' của hai tam giác các bạn khác vẽ không?

(3)

- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

+) Sau khi dùng thước thẳng có vạch chia (hoặc compa) ta thấy hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.

Do đó ABC A B C  (c.c.c).

+) Độ dài các cạnh BC và B'C' của hai tam giác em vẽ bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ.

+) Hai tam giác em vừa vẽ bằng hai tam giác các bạn khác vẽ.

Câu hỏi trang 71 sgk toán 7 tập 1: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

(4)

Hai tam giác ABC và tam giác MNP có:

AB = MN, BACNMP, AC = MP (với BACNMP lần lượt là góc xen giữa hai cạnh của hai tam giác).

Do đó ABC  MNP (c.g.c).

Luyện tập 1 trang 71 sgk toán 7 tập 1: Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?

GT

ABC, MNP;

  AB = MN, AC = MP;

A 60 , N 50 , P 70 .

KL Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không?

(5)

Chứng minh (hình vẽ trên):

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác MNP ta có:

M  N P 180 .

Suy ra M 180   N P M 180     50 70 M 60 .

Do đó ^A^^M



^{ }^{60 .}



Xét hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN (theo giả thiết);

AM (chứng minh trên);

AC = MP (theo giả thiết).

Vậy ABC  MNP (c.g.c).

Vận dụng trang 71 sgk toán 7 tập 1: Cho Hình 4.32, biết OABODC, OA = OD và AB = CD. Chứng minh rằng:

a) AC = DB;

(6)

b) OAC ODB.

GT OAD, OABODC, OA = OD, AB = CD.

KL a) AC = DB;

b) OAC ODB.

a) Ta có: AC = AB + BC; BD = BC + CD.

Mà AB = CD (theo giả thiết), do đó AC = DB.

b) Xét tam giác OAC và tam giác ODB có:

OA = OD (theo giả thiết);

OACODB (do OABODC (theo giả thiết));

(7)

AC = DB (chứng minh câu a).

Vậy OAC ODB (c.g.c).

Hoạt động 3 trang 72 sgk toán 7 tập 1: Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho xBC 80 , yCB 40 như Hình 4.33.

Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33).

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh AB và AC ta được:

AB = 2,2 cm; AC = 3,4 cm.

(8)

Hoạt động 4 trang 72 sgk toán 7 tập 1: Vẽ thêm tam giác A B C   sao cho B'C' = 3 cm, A B C    80 , A C B    40 (H.4.34).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và A'B'C'. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài cạnh A'B' và A'C' được:

A'B' = 2,2 cm, A'C' = 3,4 cm.

Do đó AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'.

Vậy ABC A B C   (c.c.c).

Câu hỏi trang 72 sgk toán 7 tập 1: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

(9)

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

ABCMNP; BC = NP; ACBMPN.

Vậy ABC MNP (g.c.g).

Các tam giác còn lại tuy có các góc bằng nhau nhưng các cạnh bằng nhau lại không phải cạnh xen giữa các góc.

Luyện tập 2 trang 73 sgk toán 7 tập 1: Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.

(10)

GT

ABD, CBD;

 

ADBCDB, ABDCBD.

KL ABD CBD.

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

ADBCDB (theo giả thiết);

DB là cạnh chung;

ABDCBD (theo giả thiết).

Vậy ABD  CBD (g.c.g).

Thử thách nhỏ trang 73 sgk toán 7 tập 1: Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38).

Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

(11)

GT ABD, A B C ;    ABCA B C ,   BACB A C ,   AC = A'C'.

KL ABC và A B C   có bằng nhau không?

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' ta có:

Trong tam giác ABC: BAC ABC BCA 180   , suy ra

 

BCA 180   BACABC

Trong tam giác A'B'C': B A C  A B C  B C A  180, Suy ra ^{B C A}^{  }^¹⁸⁰^{ }



^{B A C}^{  }^^{A B C}^{  }



Mà ABCA B C ,   BACB A C   (theo giả thiết).

(12)

Do đó BAC ABC B A C A B C       .

Nên ¹⁸⁰^{ }



^BAC^^ABC



^¹⁸⁰^{ }



^{B A C}^{  }^^{A B C}^{  }



Hay BCAB C A .  

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

BACB A C   (theo giả thiết);

AC = A'C' (theo giả thiết);

BCAB C A  (chứng minh trên).

Vậy ABC A B C   (g.c.g).

B. Bài tập

Bài 4.12 trang 73 sgk toán 7 tập 1: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

+) Hình 4.39 a)

GT ABD, CDB;

(13)

ABDCDB, AB = CD.

KL Chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau.

Giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:

AB = CD (theo giả thiết);

ABDCDB (theo giả thiết);

BD là cạnh chung.

Vậy ABD CDB (c.g.c).

+) Hình 4.39 b)

GT OAD, OCB; OA = OC, OD = OB.

KL Chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau.

Giải thích vì sao chúng bằng nhau.

(14)

Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

OA = OC (theo giả thiết);

AODCOB (hai góc đối đỉnh);

OD = OB (theo giả thiết).

Vậy OAD OCB (c.g.c).

Bài 4.13 trang 73 sgk toán 7 tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.

b) Chứng minh rằng DAB BCD.

GT O AC,O BD,  OA = OC, OB = OD.

KL a) Tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau;

b) Chứng minh DAB  BCD.

(15)

a) Hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau là:

+) Tam giác OAB và tam giác OCD Giải thích:

OA = OC (giải thuyết) OB = OD (giải thuyết)

AOBCOD (hai góc đối đỉnh) Do đó, OAB  OCD(c – g – c) +) Tam giác OAD và tam giác OCB.

Giải thích:

OA = OC (giải thuyết) OD = OB (giải thuyết)

AODCOB (hai góc đối đỉnh) Do đó, OAD  OCB(c – g – c)

b) OAB  OCD (Chứng minh ở câu a) nên ABOCDO (hai góc tương ứng) hay ABDCDB.

(16)

OAD OCB

   (Chứng minh ở câu a) nênADOCBO (hai góc tương ứng) hay ADBCBD.

+) Xét tam giác DAB và tam giác BCD có:

ABDCDB (chứng minh trên);

BD là cạnh chung;

ADBCBD (chứng minh trên).

Vậy DAB BCD (g.c.g).

Bài 4.14 trang 73 sgk toán 7 tập 1: Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

GT ADE, BCE; AE = BE, DAECBE.

KL ADE BCE.

(17)

Xét tam giác ADE và tam giác BCE có:

DAECBE (theo giả thiết);

AE = BE (theo giả thiết);

AEDBEC (hai góc đối đỉnh).

Vậy ADE BCE (g.c.g).

Bài 4.15 trang 73 sgk toán 7 tập 1: Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) ABE DCE;

b) EG = EH.

(18)

GT

AB = CD, AB // CD;

E là giao điểm của AD và BC;

GAB,H CD ; G, E, H thẳng hàng.

KL a) ABE DCE;

b) EG = EH.

a) Từ AB // CD (theo giả thiết) suy ra DABADC (hai góc so le trong) và ABCDCB (hai góc so le trong).

(19)

Hay EABEDC và ABEDCE.

Xét tam giác ABE và tam giác DCE có:

EABEDC (chứng minh trên);

AB = DC (theo giả thiết);

ABEDCE(chứng minh trên).

Vậy ABE DCE (g.c.g).

b) Từ ABE DCE(chứng minh câu a) suy ra AE = DE (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác AEG và tam giác DEH có:

EAGEDH (do EABEDC);

AE = DE (chứng minh trên);

AEGDEH (hai góc đối đỉnh).

Vậy AEG  DEH (g.c.g).

Suy ra EG = EH (hai cạnh tương ứng).