Sách bài tập Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông | Kết nối tri thức

(1)

Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Giải SBT Toán 7 trang 64 Tập 1

Bài 4.31 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1: Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau?

Hướng dẫn giải +) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆ADC ta có:

AB = AD (giả thiết)

ABC = ADC = 90° (giả thiết) BC = CD (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ADC (hai cạnh góc vuông).

+) Hình b

Xét ∆EFG và ∆KHG ta có:

GF = GH (giả thiết)

FEG = HKG = 90° (giả thiết) EGF = HGK (hai góc đối đỉnh)

(2)

Do đó, ∆EFG = KHG (góc nhọn – cạnh huyền) +) Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên ONM   O 90 ONM  90 O. Tam giác OQP vuông tại Q nên OPQ   O 90 OPQ  90 O. Do đó, ONMOPQ.

Xét ∆OMN và ∆OQP ta có:

MN = PQ (giả thiết)

OMN = OQP = 90^o (giả thiết) ONMOPQ (chứng minh trên)

Do đó, ∆OMN = ∆OQP (góc nhọn – cạnh góc vuông).

+) Hình d:

Xét ∆XYZ và ∆STZ ta có:

YZ = TZ (giả thiết)

YXZ = TSZ = 90° (giả thiết) XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, ∆XYZ = ∆STZ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài 4.32 trang 64 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34.

Biết rằng E là trung điểm của BC, chứng minh rằng ∆ABE = ∆DCE.

(3)

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABE và ∆DCE ta có:

BE = CE (giả thiết)

ABE = ECD = 90° (giả thiết) AEB = CED (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Giải SBT Toán 7 trang 65 Tập 1

Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35.

Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED.

Chứng minh rằng:

a) ∆AED = ∆BEC.

b) ∆ABC = ∆BAD.

(4)

a) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:

AE = BE (giả thiết)

AED = BEC = 90° (do AC và DB vuông góc với nhau) ED = EC (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì ∆AED = ∆BEC nên AD = BC (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ABC và ∆BAD có:

BC = AD (chứng minh trên) AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – c – c).

Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng BN = CM và BN ⊥ CM.

(5)

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = AD 2 . Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = AB

2 . Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên) AB = BC (chứng minh trên)

NAB = MBC = 90° (do ABCD là hình vuông) Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông) Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên EMBCMBBNA.

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

BEM 180  EMBMBE 180  BNAABNBAN 90 . Vậy BN vuông góc với CM tại E.

(6)

Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37.

Biết rằng DABCAB, hãy chứng minh CB = DB.

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

CAB = DAB (giả thiết)

ACB = ADB = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Bài 4.36 trang 65 SBT Toán 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38. Biết rằng ∆ABC = ∆DEF, hãy chứng minh AH = DK.

(7)

Vì ∆ABC = ∆DEF nên BAC EDF; B E; C F AB DE; AC DF; BC EF

   



  

 (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, AHB 90 .

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, DKE 90 .

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

AHBDKE 90 (chứng minh trên) AB = DE (chứng minh trên)

BE (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

(8)

Giải SBT Toán 7 trang 66 Tập 1

Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng:

a) Nếu AB = DE; BC = EF và AH = DK thì ∆ABC = ∆DEF;

b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì ∆ABC = ∆DEF.

Hướng dẫn giải a)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, AHB 90 .

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, DKE 90 .

AHBDKE 90 (chứng minh trên) AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

(9)

Suy ra, BE (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BE (chứng minh trên) AB = DE (giả thiết) BC = EF (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, AHBAHC 90 .

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, DKEDKF 90 .

AHBDKE 90 (chứng minh trên) AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét ∆ACH và ∆DFK có:

AHCDKF 90 (chứng minh trên) AC = DF (giả thiết)

(10)

Do đó, ∆ACH = ∆DFK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BC = EF (chứng minh trên) AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – c – c).

Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

(11)

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

BACCDB 90 (giả thiết) AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên ACBDBC (hai góc tương ứng) Xét tam giác OBC có:

OCB CBO BOC = 180°.

Mà OCBCBO do ACBDBC nên 2CBOBOC= 180°

Suy ra 2CBO = 180° – BOC

Do đó, 180 BOC

CBO 2

   (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên) AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, ADBDAC.

(12)

Xét tam giác OAD có:

OADADOAOD = 180°.

Mà OADADO do ADBDAC nên 2ADOAOD= 180°

Suy ra 2ADO = 180° – AOD

Do đó, 180 AOD

ADO 2

   (2)

Mà AOD = BOC (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, CBO ADO hay CBDADB. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41). Chứng minh rằng:

a) AF = CE.

b) AF // CE.

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

(13)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCBCDCDADAB 90 . Xét ∆ABF và ∆CDE có:

AB = CD (chứng minh trên) BF = ED (chứng minh trên)

ABFCDE 90 (do ABCCDA 90 ) Do đó, ∆ABF = ∆CDE (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

b) Vì ∆ABF = ∆CDE nên AFBCED (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên CEDECF(hai góc so le trong).

Ta có: AFBCED; CEDECF nên AFBECF. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).

Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 7 Tập 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE.

a) Chứng minh rằng AB = CE.

b) Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng BFC 90 .

(14)

a) Xét ∆ABD và ∆CED có:

ADBCDE 90 (giả thiết) DA = DC (giả thiết)

DB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆CED (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AB = CE (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABD = ∆CED nên BADECD(hai góc tương ứng).

Lại có: BADABC 90 (do tam giác ABD vuông ở D) nên ECDABC 90 . Xét tam giác BFC có:

BFC CBF BCF 180 

Mà CBF chính là góc ABC và BCF chính là góc ECD . Do đó, CBF + BCF = 90°.

Nên BFC + 90° = 180°

(15)

Suy ra BFC = 180° – 90° = 90° (điều phải chứng minh).