Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ | Giải Toán lớp 7 Kết nối tri thức

(1)

Bài 3. Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 16 sgk toán 7 tập 1:

Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng 71% diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể phải lên tới 1 111,34 km.

(Theo usgs.gov) Muốn biết lượng nước trên Trái Đất là khoảng bao nhiêu kilômét khối, ta cần tính 1 111,34  1 111,34  1 111,34. Biểu thức này có thể viết gọn hơn dưới dạng lũy thừa giống như lũy thừa của một số tự nhiên mà em đã học ở lớp 6.

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Số kilômét khối mà lượng nước trên Trái Đất có là:

1 111,34  1 111,34  1 111,34 = 1 111,34³. Hoạt động 1 trang 16 sgk toán 7 tập 1:

Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của lũy thừa đó.

a) 2.2.2.2;

b) 5.5.5.

a) Dạng luỹ thừa của tích 2.2.2.2 được viết là: 2.2.2.2 = 2⁴. Luỹ thừa trên có cơ số là 2, số mũ là 4.

b) Dạng luỹ thừa của tích 5.5.5 được viết là: 5.5.5=5³. Luỹ thừa trên có cơ số là 5, số mũ là 3.

Hoạt động 2 trang 16 sgk toán 7 tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (–2). (–2). (–2);

b) (–0,5). (–0,5);

(2)

c) 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 2

a) Ta có (–2). (–2). (–2) = 4.(–2) = –8.

b) Ta có (–0,5).(–0,5) = 0,5.0,5 = 0,25.

c) Ta có 1 1 1 1 1.1.1.1 1

. . . .

2 2 2 2 2.2.2.2 16

Hoạt động 3 trang 16 sgk toán 7 tập 1:

Hãy viết các biểu thức trong HĐ2 dưới dạng lũy thừa tương tự như lũy thừa của số tự nhiên.

a) Dạng luỹ thừa của tích (–2).(–2).(–2) được viết là: (–2).(–2).(–2) = (–2)³. b) Dạng luỹ thừa của tích (–0,5).(–0,5) được viết là: (–0,5).(–0,5) = (–0,5)². c) Dạng luỹ thừa của tích 1 1 1 1

. . .

2 2 2 2được viết là:

1 1 1 1 1 4

. . . .

2 2 2 2 2

   

  Luyện tập 1 trang 17 sgk toán 7 tập 1: Tính:

a) 4 4

5 ;

 

 

  b) (0,7)³.

a) Ta có:

4 4 4 4 4 4

. . .

5 5 5 5 5

          

         

         

4 4 4 4

. . .

5 5 5 5

   



       

^{4 .} ^{4 .} ^{4 .} ⁴ 16.16 256 5.5.5.5 25.25 625.

   

  

b) Ta có: (0,7)³=

7 3 7 7 7 7.7.7 343

. . 0,343.

10 10 10 10 10.10.10 1000

     

 

 

Luyện tập 2 trang 17 sgk toán 7 tập 1: Tính:

(3)

a)

10

2 10

3 .3 ;

  

 

b) (–125)³ : 25³; c) (0,08)³.10⁶. Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng công thức luỹ thừa của một tích ta có:

10 10

2 2

.3 .3 2 .

3 3

    

   

   

b) Áp dụng công thức luỹ thừa của một thương ta có:

(–125)³ : 25³ =

 

³ ³

3

125 125

25 25

  

   = (–5)³ = –125.

c) Ta có:

(0,08)³.10⁶=

3 3

6 6

3

8 8

.10 .10

100 100

  

 

 

3 3

8 8 3

.10.10.10.10.10.10 .1000000 8 512.

100.100.100 1000000

   

Vận dụng trang 17 sgk toán 7 tập 1:

Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a dưới dạng lũy thừa. Từ đó viết biểu thức lũy thừa để tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối).

Công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a dưới dạng luỹ thừa là: a.a.a = a³.

(4)

Biểu thức luỹ thừa tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất đổ đầy vào bể chứa hình lập phương kích thước cạnh a = 1 111,34 kilômét là: 1 111,34³ (kilômét khối).

Vậy lượng nước trên Trái Đất là 1 111,34³ kilômét khối.

Hoạt động 4 trang 17 sgk toán 7 tập 1: Tính và so sánh:

a) (–3)².(–3)⁴ và (–3)⁶; b) 0,6³ : 0,6² và 0,6.

a) Ta có (–3)².(–3)⁴ = (–3). (–3). (–3). (–3). (–3). (–3) = (–3)⁶. Vậy (–3)².(–3)⁴ = (–3)⁶.

b) 0,6³ : 0,6²

     

   

0,6 . 0,6 . 0,6 0,6 . 0,6 0,6.

 

Vậy 0,6³ : 0,6² = 0,6.

Luyện tập 3 trang 18 sgk toán 7 tập 1:

Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng lũy thừa.

a) (–2)³.( –2)⁴; b) (0,25)⁷ : (0,25)³. Hướng dẫn giải:

a) Dạng luỹ thừa của phép tính (–2)³.( –2)⁴là: (–2)³.( –2)⁴ = (–2)³⁺⁴ = (–2)⁷.

b) Dạng luỹ thừa của phép tính (0,25)⁷ : (0,25)³ là: (0,25)⁷ : (0,25)³ = (0,25)^{7 – 3} = (0,25)⁴.

Hoạt động 5 trang 18 sgk toán 7 tập 1:

Viết số

 

²² ³ dưới dạng lũy thừa cơ số 2 và số ^_

 

^³ ²^_² dưới dạng lũy thừa cơ số – 3.

Số

 

²² ³ được viết dưới dạng lũy thừa cơ số 2 như sau:

(5)

 

²² ³^{= 2}²^{. 2}²^{. 2}²^{= 2}²⁺²⁺²^{= 2}⁶^.

Số ^_

 

^³ ²^_² được viết dưới dạng lũy thừa cơ số –3 như sau:

 

³ ² ²

  

  = (–3)². (–3)² = (–3)²⁺² = (–3)⁴. Luyện tập 4 trang 18 sgk toán 7 tập 1:

Viết các số

8 3

1 1

4 ; 8

   

   

    dưới dạng lũy thừa cơ số 1 2. Hướng dẫn giải:

Các số

8 3

1 1

4 ; 8

   

   

    được viết dưới dạng lũy thừa cơ số 1

2 như sau:

8 8 8 2 8 2.8 16

1 1.1 1 1 1 1 1

. .

4 2.2 2 2 2 2 2

 

            

           

            

3 3

3 3 3 3 3 3.3 9

3

1 1.1 1.1.1 1 1 1 1

8 2.4 2.2.2 2 2 2 2 .

 

 

              

           

               Thử thách nhỏ trang 18 sgk toán 7 tập 1:

Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu “?” bằng một lũy thừa của 2, biết tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

(6)

Đặt các ô lần lượt là a, b, c, d, e như hình sau:

Theo đề bài, tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo là bằng nhau nên tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều có giá trị bằng tích của đường chéo chứa các ô số đã có sẵn là: 2³.2⁴.2⁵= 2³⁺⁴⁺⁵ = 2¹².

+) Tích các số của cột 2 là: a.2⁴.2⁶= a.2¹⁰ có giá trị bằng 2¹² nên ta có a.2¹⁰ = 2¹². Suy ra a = 2¹² : 2¹⁰ = 2^{12 – 10} = 2².

+) Tích các số của hàng 1 là: 2³.a.b hay 2³.2².b = 2³⁺².b = 2⁵.b có giá trị bằng 2¹² nên ta có 2⁵.b = 2¹².

Suy ra b = 2¹² : 2⁵ = 2^{12 – 5} = 2⁷.

+) Tích các số của hàng 3 là: e.2⁶.2⁵ = e.2¹¹có giá trị bằng 2¹² nên ta có e.2¹¹ = 2¹² Suy ra e = 2¹² : 2¹¹ = 2^{12 – 11} = 2¹.

+) Tích các số của cột 1 là: 2³.c.e hay 2³.c.2¹ = c.2³⁺¹ = c.2⁴ có giá trị bằng 2¹² nên ta có c.2⁴ = 2¹².

Suy ra c = 2¹² : 2⁴ = 2^{12 – 4} = 2⁸.

+) Tích các số của hàng 2 là: c.2⁴.d hay 2⁸.2⁴.d = 2⁸⁺⁴.d = 2¹².d có giá trị bằng 2¹² nên ta có 2¹².d = 2¹².

Suy ra d = 2¹² : 2¹² = 2^{12 – 12} = 2⁰. Ta có bảng như sau:

Cột 3 Cột 2

Cột 1

Hàng 3 Hàng 2 Hàng 1

(7)

B. Bài tập

Bài 1.18 trang 18 sgk toán 7 tập 1: Viết các số 125; 3 125 dưới dạng lũy thừa của 5.

Ta có: 125 = 5.25 = 5.5.5 = 5³.

Vậy số 125 được viết dưới dạng luỹ thừa của 5 là 5³. Ta có: 3 125 = 5.625 = 5.5.125 = 5².5³ = 5²⁺³ = 5⁵. Vậy số 3 125 được viết dưới dạng luỹ thừa của 5 là 5⁵. Bài 1.19 trang 18 sgk toán 7 tập 1: Viết các số

5 7

1 1

9 ; 27

   

   

    dưới dạng lũy thừa cơ số 1

3.

Có:

5 5

5 5 2 2 2.5 10

2

1 1.1 1 1 1 1

9 3.3 3 3 3 3 .

 

 

            

         

             Vậy số

1 5

9

  

  được viết dưới dạng luỹ thừa cơ số 1 3 là

1 10

3 .

  

 

(8)

Có:

7 7

7 7 3 3 3.7 21

3

1 1.1.1 1 1 1 1

27 3.3.3 3 3 3 3 .

 

             

         

             Vậy số

1 7

27

 

 

  được viết dưới dạng luỹ thừa cơ số 1 3 là

1 21

3 .

  

 

Bài 1.20 trang 18 sgk toán 7 tập 1: Thay mỗi dấu “?” bởi một lũy thừa của 3, biết rằng từ ô thứ ba, lũy thừa cần tìm là tích của hai lũy thừa ở hai ô liền trước.

3⁰ 3¹ ? ? ? ? ?

Theo quy tắc trên của đề bài: từ ô thứ ba, lũy thừa cần tìm là tích của hai lũy thừa ở hai ô liền trước nên ta có:

Giá trị của ô thứ ba là tích của ô thứ nhất và ô thứ hai: 3⁰.3¹ = 3⁰⁺¹ = 3¹; Giá trị của ô thứ tư là tích của ô thứ hai và ô thứ ba: 3¹.3¹ = 3¹⁺¹ = 3²; Giá trị của ô thứ năm là tích của ô thứ ba và ô thứ tư: 3¹.3² = 3¹⁺² = 3³; Giá trị của ô thứ sáu là tích của ô thứ tư và ô thứ năm: 3².3³ = 3²⁺³ = 3⁵; Giá trị của ô thứ bảy là tích của ô thứ năm và ô thứ sáu: 3³.3⁵= 3³⁺⁵ = 3⁸. Khi đó ta có bảng sau:

3⁰ 3¹ 3¹ 3² 3³ 3⁵ 3⁸

Bài 1.21 trang 19 sgk toán 7 tập 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) (–3)⁸, biết (–3)⁷ = –2 187;

b) 2 12

3 ,

 

 

  biết

2 11 204 8 3 177 147.

   

 

  Hướng dẫn giải:

a) Ta có (–3)⁸ = (–3)⁷⁺¹ = (–3)⁷. (–3)

Mà (–3)⁷ = –2 187 nên ta có (–3)⁷. (–3) = (–2 187). (–3) = 6 561.

Vậy (–3)⁸ = 6 561;

(9)

b) Ta có

12 11 1 11

2 2 2 2

3 3 3 . 3

          

       

       

Mà

2 11 20 48 3 177 14 7

   

 

  nên ta có

   

11 2048 . 2

2 2 2048 2 4096

. . .

3 3 177147 3 177147.3 531441

 

     

   

   

Vậy

2 12 409 6 3 53144 1.

  

 

 

Bài 1.22 trang 19 sgk toán 7 tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

a) 15⁸.2⁴; b) 27⁵ : 32³. Hướng dẫn giải:

a) 15⁸.2⁴ = 15^2.4.2⁴ = (15²)⁴.2⁴ = 225⁴.2⁴ = (225.2)⁴ = 450⁴. Vậy 15⁸.2⁴ = 450⁴.

b) 27⁵ : 32³

 

   

 

5 3 5 15

5 15

3 3

3 5 15

3.3.3 3

27 3 3

32 2.2.2.2.2 2 2 2 .

        

Vậy 27⁵ : 32³ = 3 15

2 .

  

 

Bài 1.23 trang 19 sgk toán 7 tập 1: Tính:

a)

1 1 2 3

1 . 2 ;

2 4 7

      

   

   

b)

1 1 3

4 : .

2 3

  

 

 

a) Ta có:

(10)

1 1 2 3

1 . 2

2 4 7

      

   

   

2 1 1 2 14 3

2 2 4 . 7 7

   

        3 1 2 14 3

2 4 . 7

    

      6 1 2 17 4 4 . 7

 

   5 2 17 4 . 7

   

 

2 2

5 17.

4 7



25.17

 16.7 425.

112 b) Ta có:

1 1 3

4 : 2 3

  

 

 

3 2 3

4 : 6 6

 

    1 3

4 : 6

    

3 3

4 :1

 6

= 4.6³

= 4.216

(11)

= 864.

Bài 1.24 trang 19 sgk toán 7 tập 1: Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng 1,5.10⁸ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng 7,78.10⁸ km.

Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

(Theo solarsystem.nasa.gov) Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp số lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là:

(7,78.10⁸) : (1,5.10⁸)

8 8

7,78.10 7,78 7,78.100 778 389 1,5.10 1,5 1,5.100 150 75

     (lần).

Vậy khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp 389

75 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.

Bài 1.25 trang 19 sgk toán 7 tập 1: Bảng thống kê dưới đây cho biết số lượng khách quốc tế đến thăm Việt Nam trong năm 2019.

Quốc gia Số lượng khách đến thăm

Hàn Quốc 4,3.10⁶

Hoa Kì 7,4.10⁵

Pháp 2,9.10⁵

Ý 7.10⁴

(Theo Viện Nghiên cứu Phát triển Du lịch) Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn.

Ta có: 4,3.10⁶ = 4,3.10²⁺⁴ = 4,3.10².10⁴ = 4,3.100.10⁴ = 430.10⁴; 7,4.10⁵ = 7,4.10¹⁺⁴ = 7,4.10.10⁴ = 74.10⁴.

(12)

2,9.10⁵ = 2,9.10¹⁺⁴ = 2,9.10.10⁴ = 29.10⁴.

Do 7 < 29 < 74 < 430 nên 7.10⁴ < 29.10⁴< 74.10⁴ < 430.10⁴. Suy ra 7.10⁴ < 2,9.10⁵ < 7,4.10⁵ < 4,3.10⁶.

Vậy các quốc gia sắp xếp theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn là: Ý, Pháp, Hoa Kì, Hàn Quốc.