Phép nhân và phép chia hai lũy thừa cùng cơ số

Trang 1 Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu định nghĩa lũy thừa, phân biệt được cơ số và số mũ.

+ Hiểu được quy tắc nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Hiểu được khái niệm số chính phương.

 Kĩ năng

+ Thực hiện được các phép tính lũy thừa.

+ Biết cách viết gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa.

+ So sánh được các lũy thừa.

+ Biết biểu diễn một số tự nhiên bất kì dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

. . . ... . ( 0) an a a aa n

n thõa sè

Trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.

Quy ước a¹a; ^{a0 1}



^a0



^.

Chú ý:

+ 0 không có nghĩa. ⁰

+ a² còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a).

+ a³ còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a).

Ví dụ. 2.2.2.2 2 ⁴; . . 3

x x x x .

2. Nhân hai lũy thừa có cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

m. n m n

a a a ^

Ví dụ. 3 .3^{2 5} 3^{2 5} 3⁷;

4 1 4 5

.

a a a^ a .

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

 

: 0;

m n m n

a a a ^ a m n

Ví dụ. 5 : 5^{12 8} 5^{12 8} 5⁴;

 

7: 3 7 3 4 0

x x x ^ x x .

4. Chú ý

Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

Ví dụ.

2345 2.1000 3.100 4.10 5   

3 2 1 0

2.10 3.10 4.10 5.10

    .

Trang 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viêt gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa:

a) 5.5.5.5.5.5.5; b) 3.5.15.15.45;

c) 3.3.3.4.4.4.4; d) a a b b b b b. . . Hướng dẫn giải

a) Ta có: 5.5.5.5.5.5.5 = 5⁷.

b) Ta có: 3.5.15.15.45 = 3.5. 3.5 . 3.5 . 3.3.5

     

3 .5^{5 4}. c) Ta có: 3.3.3.4.4.4.4 = 3 .2 .2 .2 .2^{3 2 2 2 2}3 .2^{3 2 2 2 2  } 3 .2^{3 8}. d) Ta có: a a b b b b b a b. . .  ². ⁵.

Ví dụ 2. Viết gọn các kết quả sau dưới dạng lũy thừa:

a) 2 : 2 ; b) ^{10 4} 5 .5 ; ^{2 4}

c) 2 .3 : 6 ; d) ^{5 14 4}

 

^{ab 7:b5 với b0.}

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2 : 2^{10 4} 2^{10 4} 2⁶. b) Ta có: 5 .5^{2 4} 5^{2 4} 5⁶.

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

. . . ... . ( 0) an a a aa n

n thõa sè

a là cơ số, a0 n là số mũ

0 1

a  ; a¹a



^a0



Các phép toán lũy thừa

m. n m n

a a a ^

Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng các lũy

thừa của 10.

Chú ý

m: n m n

a a a ^

0 không có nghĩa 0

Giữ nguyên cơ số Cộng số mũ Trừ số mũ

2 0

251 2.10 5.10 1.10

Trang 4 c) Ta có:

 

⁴

     

5 14 4 5 14 5 14 4 4 5 4 14 4 10

2 .3 : 6 2 .3 : 2.3 2 .3 : 2 .3  2 : 2 : 3 : 3 2.3 . d) Ta có:

 

^{ab 7:b5 a b b7. :7 5 a b7. 7 5 a b7. 2.}

Ví dụ 3. Viết mỗi số sau dưới dạng lũy thừa của 10:

a) 1000; b) 1 000 000;

c) 1 tỉ; d) ^{1 00...0}

12 ch÷ sè 0

; Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1000 10 ³. b) Ta có: 1000 000 10 ⁶.

c) Ta có: 1 tỉ 1000000 000 10 ⁹. d) Ta có: 1 00...0 10  ¹²

12 ch÷ sè 0

.

Tổng quát:

100...0 10 ⁿ

n ch÷ sè 0

Ví dụ 4. Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:

a) ab; b) abc; c) abcd. Hướng dẫn giải

a) Ta có: ab a .10 b a.10¹b.10⁰.

b) Ta có: abc a .100b.10 c a.10²b.10¹c.10⁰. c) Ta có:

3 2 1 0

.1000 .100 .10 .10 .10 .10 .10 abcd a b c a b c d . Ví dụ 5. Mỗi tổng sau có phải là số chính phương hay không?

a) 1³2³ 3³ 4³; b) 1³2³ 3³ 4³5³. Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1³2³ 3³ 4³  1 8 27 64 100 10   ². Vậy 1³2³ 3³ 4³ là một số chính phương.

b) Ta có: 1³2³ 3³ 4³5³100 5 ³100 125 225 15   ². Vậy 1³2³ 3³ 4³5³ là một số chính phương.

Tổng quát:

 

3 3 3 3 3

2

1 2 3 4

1 2 3

...

...

n n

    

    

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1. Viết gọn các biểu thức sau bằng cách dùng lũy thừa

a) 2.2.2.2.3.3.3.3.3; b) 2.4.5.10.20.25;

c) 3.3.7.9.21.49 d) m m m m n n. . .  . . Câu 2. Viết gọn các kết quả sau bằng cách dùng lũy thừa:

Trang 5 a) 7.7.7.7.7; b) 2.2.3.3.3; c) 5.5.5 – 3.3.3.3;

d) 4.4.4.8 : 2.2.2; e) 2.2.5.10; f) x y y y x. . . Câu 3. Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng lũy thừa:

a) 2 2⁵. ⁴; b) 4 3. ¹⁰5 3. ¹⁰; c) 5¹⁵:5⁷; d) x x x⁶. . ³ Câu 4. Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:

a) 567; b) 1024; c) abcde; Câu 5. Dùng lũy thừa để viết các số sau:

a) Khối lượng Trái Đất bằng ^{6 00...0}

21 ch÷ sè 0

tấn.

b) Khối lượng khí quyển Trái Đất bằng 5 00...0

15 ch÷ sè 0

tấn.

Bài tập nâng cao

Câu 6. Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa:

a) x x x. . ...^{2 3} x⁹⁹; b) x x x. . ...^{3 5} x⁹⁹; c) x x x². . ...^{4 6} x¹⁰⁰.

Câu 1.

a) Ta có: 2.2.2.2.3.3.3.3.3 2 .3 ^{4 5}.

b) Ta có: 2.4.5.10.20.25 2.2 .5. 2.5 . 2.2.5 .5 ²

   

² 2 .5^{6 5}. c) Ta có: 3.3.7.9.21.49 3.3.7.3 . 3.7 .7 ²

 

² 3 .7^{5 4}.

d) Ta có: m m m m n n m. . .  .  ⁴n². Câu 2.

a) 7.7.7.7.7 7 ⁵. b) 2.2.3.3.3 2 .3 ^{2 3}. c) 5.5.5 3.3.3.3 5  ³3⁴.

d) 4.4.4.8 : 2.2.2 2 .2 .2 .2 : 2.2.2 2 : 2.2.2 2 .2.2 2 ^{2 2 2 3}  ⁹  ⁸  ¹⁰. e) 2.2.5.10 2.2.5.2.5 2 .5  ^{3 2}.

f) x y y y x. . . . x y². ³. Câu 3.

Ta có: 2 .2^{5 4} 2^{5 4} 2⁹.

Ta có: ^{4.310 5.310 3 . 4 510}



^



^{3 .9 3 .310  10 2 310 2 312.}

Ta có: 5 : 5^{15 7} 5^{15 7} 5⁸. Ta có: x x x⁶. . ³ x^{6 1 3 }  x¹⁰. Câu 4.

Ta có: 567 5.100 6.10 7 5.10    ²6.10¹7.10⁰.

Trang 6 Ta có: 1024 1000 24 1000 2.10 4 10      ³ 2.10¹4.10⁰.

Ta có: abcde a .10000b.1000c.100d.10e

4 3 2 1 0

.10 .10 .10 .10 .10

a b c d e

     .

Câu 5.

a) 6 00...0 6.10²¹

21 ch÷ sè 0

 . b) 5 00...0 5.10¹⁵

15 ch÷ sè 0

 . Câu 6.

a) Ta có: x x x. . ...^{2 3} x⁹⁹  x1 2 3 ... 99^{   } . Xét tổng: 1 2 3 ... 99   

+ Số số hạng: 99 1 1 99   .

+ Tổng: 1 2 3 ... 99    



99 1 .99 : 2 100.99 : 2 4950



  . Vậy x x x. . ...^{2 3} x⁹⁹ x⁴⁹⁵⁰.

b) Ta có: x x x. . ...^{3 5} x⁹⁹ x1 3 5 ... 99^{   }  x^{1 99 .50:2 }  x2500. c) Ta có: x x x2. . ...4 6 x100 x2 4 6 ... 100^{   } x^100 2 .50:2^{ } x2550.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) 3 3⁶: ²3⁴; b) 2 5 3 81 3². .²  : ². Hướng dẫn giải

a) Ta có: 3 3⁶: ²3⁴3^{6 2} 3⁴3⁴3⁴0. b) Ta có: ^{2 5 3 81 32. .2  : 2}

 

^{2 5. 2.3 3 3 4: 2}

10 3 3².  ² 100 3 9.  300 9 291. Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) 4 6. ²2 6. ²; b) 9 5 9 3². . .^{4 5 2}9 5⁸. ⁴; c)



^{2201822019}



^:22017; d)



^41014100



^:499.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: b) Ta có:

Trang 7

 

2 2

2 2

4 6 2 6 6 4 2 6 6 36 6

. .

. . .



 





216.

2 4 5 2 8 4

2 4 5 8 4

8 4 8 4

9 5 9 3 9 5 9 5 9 9 9 5 9 5 9 5 0

. . . .

. . . .

. .

.



 

 



c) Ta có:



^{2018 2019}



²⁰¹⁷

2018 2017 2019 2017 2018 2017 2019 2017

2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 4 6

:

: :

.

 



 

 

 

 



d) Ta có:



^{101 100}



⁹⁹

101 99 100 99

101 99 100 99 2

4 4 4

4 4 4 4

4 4

4 4

16 4 12

:

: :

.

 



 

 

 

 

 Ví dụ 3. Tính nhẩm: 15 25 35 45 75 125²; ²; ²; ²; ²; ².

Hướng dẫn giải Ta có:

Tương tự, ta có: 35² 1225 45; ²2025 75; ²5625. Muốn bình phương một số có tận cùng bằng 5, ta lấy số chục nhân với số chục cộng 1, rồi viết thêm số 25 ở bên phải của tích vừa nhận được.

Ví dụ 4. Tính tổng S   1 2 2²2³ ... 2⁹⁹2¹⁰⁰. Hướng dẫn giải

Ta có: S   1 2 2²2³ ... 2⁹⁹2¹⁰⁰. (1) Nhân cả 2 vế với 2, ta được:

2 3 4 100 101

2S  2 2 2 2  ... 2 2 . (2) Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta được:

 

 

2 3 4 100 101

2 3 99 100

101

2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2

2 1

...

...

. S S

S

       

      

 

Vậy S 2¹⁰¹1.

Để tính tổng S có dạng

2 3

1 ... ⁿ

S  a a a  a (1) Ta làm như sau:

Nhân cả 2 vế của S với a ta được:

2 3 4 1

. ... ⁿ

a S a a  a a  a ^ . (2) Trừ theo vế của (2) cho (1) ta được:

Trang 8

 

1 1 1

1

1 1

1 1 .

.

n n n

a S S a

a S a

S a a







  

  

 

 Vậy

1 1

1 an

S a

 

  .

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

Câu 1. Điền vào các bảng sau:

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a² a³

a 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a²

Câu 2. Tính nhẩm:

a) 55 ; b) ² 65 ; c) ² 105 ; d) ² 145 . ² Câu 3. Thực hiện các phép tính:

a) 3 3⁵. ⁷; b) 2¹⁰:2³; c) 2 5 10². .³ ; d) 3 7 49 21⁵. .² : ³. Câu 4. Mỗi biểu thức sau có phải là một số chính phương hay không?

a) 3²4²; b) 8 2³: ³;

c) 5²12²; d) 1³2³ 3³ 4³ 5³ 6³. Câu 5. Thực hiện các phép tính:

a)



^{125 25:}



²; b)



2 16 2 34 2⁹.  ⁹.



: ¹⁰; c)



3 57 9 21 3⁴.  ².



: ⁵; d) 3 3⁸: ⁴2 2². ³. Câu 6. Thực hiện các phép tính:

a)



^2883

 

^{: 2 25. 3}



; b)



^{7199771995}

 

^{: 71994.7}



^;

Bài tập nâng cao Câu 7. Tính tổng:

a) 1 2 2  ²  2³ ... 2⁵⁰; b) 1 3 3    ² 3³ ... 3¹⁹⁹⁹3²⁰⁰⁰; Đáp án

Câu 1.

Trang 9

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

a³ 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

a 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a² 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Câu 2.

a) 55² 3025. b) 65²4225. c) 105²11025. d) 145² 21025. Câu 3.

a) 3 .3^{5 7} 3¹². b) 2 : 2^{10 3} 2⁷.

c) 2 .5 .10 2 .5 .2.5 2 .5^{2 3}  ^{2 3}  ^{3 4}. d) 3 .7 .49 : 21^{5 2 3}3 .7 .7 : 3.7^{5 2 2}

 

³

 

5 4 3 3

2

3 .7 : 3 .7 3 .7.



 Câu 4.

a) Ta có: 3²4²  9 16 25 5  ². Vậy 3²4² là một số chính phương.

b) Ta có: ^{8 : 23 3}

 

^{23 3: 232 : 23.3 3 29 3 26}

 

^{23 2.}

Vậy 8 : 2 là một số chính phương. ^{3 3} c) Ta có: 5²12² 25 144 169 13   ². Vậy 5²12² là một số chính phương.

d) Ta có: 1³2³ 3³ 4³ 5³ 6³ 225 216 9 3   ². Vậy 1³2³ 3³ 4³ 5³ 6³ là một số chính phương.

Câu 5.

a) Ta có:



^{125 : 25}



²⁵²²⁵.

b) Ta có:



2 .16 2 .34 : 2⁹  ⁹



¹⁰ 2 . 16 34 : 2⁹







 ¹⁰

Trang 10

 

 

 

 

9 10

9 10

10 10

10 10

2 .50 : 2 2 .2.25 : 2 2 .25 : 2 25. 2 : 2 25.











c) Ta có:



3 .57 9 .21 : 3⁴  ²



⁵3 .57 3 .21 : 3⁴  ⁴  ⁵

 

 

 

 

 

4 5

4 5

4 5

5 5

5 5

3 . 57 21 : 3 3 .36 : 3 3 .3.12 : 3 3 .12 : 3 12. 3 : 3 12.

 

  











d) Ta có: 3 : 3^{8 4}2 .2^{2 3}3^{8 4} 2^{2 3}

4 5

3 2

81 32 113.

 

 

 Câu 6.

a) Ta có:



^{288 : 2 .23}

 

^{5 3}



^_^28

   

^{23 3}_^{: 25 3}

 

   

8 9 8

8 8 9 8

2 2 : 2 2 : 2 2 : 2 1 2

3.

 

 

 



b) Ta có:



^{7199771995}

 

^{: 71994.7}

 

^{ 7199771995}



^{: 71995}



^{1997 1995}

 

^{1995 1995}



2

7 : 7 7 : 7

7 1

48.

 

 

 Bài tập nâng cao

Câu 7.

a) Đặt A  1 2 2²2³ ... 2⁵⁰ (1) Nhân cả hai vế của A với 2 ta được:

2 3 4 51

2.A 2 2  2 2  ... 2 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

Trang 11



^{2 3 4 51}

 

^{2 3 50}



51

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1

. ... ...

. A A

A

            

  Vậy A2⁵¹1.

b) Tương tự câu a) ta có: ^{2 3 1999 2000} 3²⁰⁰¹ 1

1 3 3 3 3 3

... 2 .

      

Dạng 3: Tìm cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa Phương pháp giải

+ Đưa về cùng cơ số: a^m aⁿ suy ra m n . Ví dụ.

3

2 8

2 2

3

x x

x





 + Đưa về cùng số mũ: a^m b^m suy ra a b ^{Ví dụ.}

2

2 2

9 3 3





 x x x Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 2ⁿ32; b) 4ⁿ64; c) 5ⁿ 625; d) 15ⁿ 225;

Hướng dẫn giải

Vì 32 2 ⁵ nên 2ⁿ 2⁵ suy ra n5. Vì 64 4 ³ nên 4ⁿ 4³ suy ra n3. Vì 625 5 ⁴ nên 5ⁿ 5⁴ suy ra n4. Vì 225 15 ² nên 15ⁿ 15² suy ra n2. Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên x sao cho:

a) x²25; b) x³64; c) xⁿ 1 với n; d) x¹⁰⁰x;

Hướng dẫn giải

a) Vì 25 5 ² nên x² 25 x² 5² suy ra x5. b) Vì 64 4 ³ nên x³ 64x³ 4³ suy ra x4. c) Vì 1ⁿ 1 với mọi số tự nhiên n nên xⁿ 1 suy ra x1.

d) Ta có: x¹⁰⁰  x Nhận xét:

m n

x  x với x, m, n là

Trang 12

 

100 99

0

1 0

. .

x x

x x

 

 

Suy ra x0 hoặc x⁹⁹ 1 0.

Với x⁹⁹  1 0 suy ra x⁹⁹ 1, do đó x1.

các số tự nhiên thì x0 hoặc x1.

Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x, biết:

a)



^4x1



^{2 25 9.} ; b) 2^x 2^x3 144; c) 2 3. ^x 10 3. ¹²8 27. ⁴; d)



^2x1



^{312 15 .}

Hướng dẫn giải

a) Ta có:



^4x1



^{2 25 9.}

 

 

 

2

2 2 2

2 2

4 1 25 9

4 1 5 3

4 1 15

4 1 15

4 15 1

4 16

4 . .

. x

x x

x x x x

 

 

 

 

 



 Vậy x4.

b) Ta có: 2^x 2^x3 144



³



2 1 2 144

2 9 144 2 144 9 2 16 .

.

: .

x

x x x

 





 Vì 16 2 ⁴ nên x4. Vậy x4.

c) Ta có: 2 3. ^x 10 3. ¹²8 27. ⁴

 

 

12 4

12 4

12 4

12 12

12 12 12 2 14

3 10 3 8 27 2

3 10 3 2 8 27 2 3 5 3 4 27

3 5 3 4 3

3 3 5 4

3 3 9

3 3 3

3 3

14

. . :

. : . :

. .

. .

. .

.

x

x x x x x x x

x

 

 

 

 

 







 Vậy x14.

d) Ta có:



^2x1



^{312 15}

 

 

 

3 3

3 3

2 1 15 12

2 1 27

2 1 3

2 1 3

2 3 1

2 2

1.

x x x

x x x x

  

 

 

 

 



 Vậy x1.

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a) 2^x 16 b) 3^x 81; c) x³ 64; d) x² 81. Câu 2. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

Trang 13 a) 2 8 512^x.  ; b) x²⁰  x;

c)



^2x1



^{3 125}; d)



^x3



^{10 0.}

Câu 3. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a) 3^x 3^x2 90; b)



^2x1



^{2 625;}

c) x²:4 5 5 ⁵ : ³ 29; d) ^20199.



^x16



^201910.

Bài tập nâng cao

Câu 4. Cho A 3 3² 3³ ... 3²⁰⁰⁸. Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2A 3 3ⁿ. Đáp án

Câu 1.

a) Ta có: 2^x 16 2 24

4.

x

x



 Vậy x4.

b) Ta có: 3^x 81 3 34

4.

x

x



 Vậy x4.

c) Ta có: x³64

3 43

4.

x x



 Vậy x4.

d) Ta có: x² 81

2 92

9.

x x



 Vậy x9.

Câu 2.

a) Ta có: 2 .8 512^x 

6

2 512 : 8

2 64

2 2

6.

x x x

x







 Vậy x6.

b) Ta có: x²⁰ x

 

20 19

0

. 1 0.

x x

x x

 

 

Suy ra x0 hoặc x¹⁹ 1 0. Với x¹⁹ 1 0 ta được x1. Vậy x0 hoặc x1. c) Ta có:



^2x1



^{3 125}



^{2 1}



^{3 53}

2 1 5

2 5 1

2 4

4 : 2 2.

 

 

 





 x

x x x x x Vậy x2.

d) Ta có:



^x3



^{10 0}

3 0 3.

x x

 

 Vậy x3.

Câu 3.

Trang 14 a) Ta có: 3^x 3^x2 90



²



2

3 . 1 3 90 3 .10 90

3 90 :10

3 9

3 3

2.

x

x x x x

x

 









 Vậy x2.

b) Ta có:



^2x1



^{2 625}



^{2 1}



^{2 252}

2 1 25

2 25 1

2 24

24 : 2 12.

x x

x x x x

 

 

 





 Vậy x12.

c) Ta có: x²: 4 5 : 5 ^{5 3} 29

2 2

2 2 2 2

2 2

: 4 5 29 : 4 25 29 : 4 29 25 : 4 4

4.4 4 4.

x x x x x x x

 

 

 







 Vậy x4.

d) Ta có: ^{2019 .9}



^x16



^201910

10 9

16 2019 : 2019 16 2019

2019 16 2035.

x x

x x

 

 

 

 Vậy x2035.

Câu 4.

Xét tổng A 3 3² 3³ ... 3²⁰⁰⁸. (1) Nhân cả hai vế của A với 3, ta được:

2 3 4 2009

3A3 3 3  ... 3 . (2) Trừ theo từng vế của (2) cho (1), ta được:

   

 

2 3 4 2009 2 3 2008

2009 2009

3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 3 3

3 3 2

. ... ...

.

: . A A

A A

          

 

 

Khi đó: 2A 3 3ⁿ



²⁰⁰⁹



2009 2009

2 3 3 2 3 3

3 3 3 3

3 3

2009

. :

.

n

n n

n

   

 

  



 Vậy n2009.

Dạng 4: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa Phương pháp giải

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có Ví dụ. So sánh:

Trang 15 thể làm theo một trong ba cách sau:

Cách 1. Tính cụ thể rồi so sánh.

a) 2³ và 3 : ²

3 2

2 8 3; 9. Suy ra 2³ 3². Cách 2. Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi

so sánh hai số mũ:

Nếu m n thì a^m aⁿ.

b) 9 và ⁴ 27 : ²

 

⁴

4 2 2 4 8

9  3 3^. 3 ;

 

²

2 3 3 2 6

27  3 3^. 3 . Suy ra 9⁴ 27².

Cách 3. Đưa về cùng số mũ, rồi so sánh hai cơ số:

Nếu a b thì a^m b^m.

c) 3 và ³⁰ 5 : ²⁰

 

¹⁰

30 3 10 3 10

3 3^.  3 27 ;

 

¹⁰

20 2 10 2 10

5 5 ^.  5 25 . Suy ra 3³⁰ 5²⁰.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Hãy so sánh:

a) 5 và ³ 3 ; b) ⁵ 2 và ⁵ 3 ; ⁴ c) 3 và ⁴ 8 . ²

Hướng dẫn giải

Ta có: 5³ 125 3; ⁵ 243, suy ra 5³ 3⁵. Ta có: 2⁵ 32 3; ⁴ 81, suy ra 2⁵ 3⁴. Ta có: 3⁴ 81 8; ² 64, suy ra 3⁴ 8². Ví dụ 2. Hãy so sánh:

a) 16 và ¹⁹ 8 ; b) ²⁵ 27 và ¹¹ 81 ; ⁸ c) 625 và ⁵ 125 . ⁷

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ^{1619 }

 

^{24 1924 19. 276;}

^{825 }

 

^{23 25 23 25. 275.}

Vì 76 75 nên 2⁷⁶ 2⁷⁵, suy ra 16¹⁹ 8²⁵.

a) Các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau, nhưng đều là lũy thừa của 2 nên ta có thể đưa chúng về cùng cơ số 2.

b) Ta có: ^2711

 

^{33 1133 11. 333;}

^{818 }

 

^{34 8 34 8. 332.}

Vì 33 32 nên 3³³3³², suy ra 27¹¹81⁸.

b) Đưa về cùng cơ số 3.

Trang 16 c) Ta có: ^6255

 

^{54 5 54 5. 520;}

^{1257 }

 

^{53 753 7. 521.}

Vì 20 21 nên 5²⁰5²¹, suy ra 625⁵125⁷.

c) Đưa về cùng cơ số 5.

Ví dụ 3. Hãy so sánh:

a) 2³⁰⁰ và 3 ; b) ²⁰⁰ 5 và ³⁶ 11²⁴; c) 3²ⁿ và 2³ⁿ với n.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ^{2300 23 100. }

 

^{23 1008100;}

^{3200 32 100. }

 

^{32 100 9100 8100.}

Vậy 2³⁰⁰3²⁰⁰.

a) Hai số mũ 300 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta nghĩ đến việc đưa chúng về lũy thừa có cùng số mũ là 100.

b) Ta có: ^{536 53 12. }

 

^{53 12 12512;}

^{1124112 12. }

 

^{112 121211212512.}

Vậy 5³⁶11²⁴.

b) 36 và 24 đều là bội của 12 nên đưa về cùng số mũ là 12.

c) Ta có: ^{32n 32.n}

 

^{32 n9n;}

^{23n 23.n}

 

^{23 n 8n9n.}

Vậy 3²ⁿ 2³ⁿ.

c) Đưa về cùng số mũ là n.

Ví dụ 4. So sánh:

a) 5 và ²³ 6 5. ²²; b) 222 và ³³³ 333 ; ²²² c) 31 và ¹¹ 17 . ¹⁴

Hướng dẫn giải a) Ta có: 5²³5 5. ²².

Vì 5 5. ²² 6 5. ²² nên 5²³6 5. ²².

a) Đưa hai số về dạng một tích, trong đó có chung thừa số 5 . ²² b) Ta có: ^{2223332223 111. }



²²²³



^111;

 

¹¹¹

222 2 111 2

333 333^.  333 .

Vì



²²²³



^{111 và}



³³³²



¹¹¹ có cùng số mũ là 111 nên ta sẽ so sánh 2223 và 333 . ²

Lại có: ²²²³



^{111 2}.



³^{111 23}. ³111 111 8 111 888². .  ². ;

 

²

2 2

333  111 3. 111 9.

b) Ta thấy hai cơ số 222 và 333 đều chia hết cho 111 nên ta sẽ phân tích 222 2 111 . ;

333 3 111 .

Trang 17 Ta thấy 111 888 111 9².  ². suy ra 222³ 333².

c) Ta có: ^{31113211}

 

^{25 1125 11. 255.}

 

¹⁴

14 14 4 4 14 56

17 16  2 2 ^. 2 . Vì 2⁵⁵2⁵⁶, suy ra 31¹¹17¹⁴.

c) Ta thấy 31 là số liền trước của 32 và 17 là số liền sau của 16.

Mà 32 và 16 có thể đưa về cùng cơ số 2.

Do vậy để so sánh 31 và ¹¹ 17 ¹⁴ ta sử dụng tính chất bắc cầu.

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

Câu 1. Hãy so sánh:

a) 5 và ² 2 ; b) ⁵ 9 và ³⁰ 27 ; ²⁰ c) 2²¹⁰ và 5 ; d) ¹⁴⁰ 7 2. ¹³ và 2¹⁶; e) 21¹⁵ và 27 49⁵. ⁸; f) 2⁹¹ và 5 . ³⁵ Câu 2. So sánh:

a) 25 và ⁴⁵ 125 ; b) ³⁰ 2 và ³⁰⁰ 3 ; ²⁰⁰ c) 8 và ⁵ 3 4. ⁷; d) 202 và ³⁰³ 303 ; ²⁰² e) 333 và ⁴⁴⁴ 444 . ³³³

Bài tập nâng cao

Câu 3. So sánh: 107 và ⁵⁰ 73 , ⁷⁵ Câu 4. Tìm số tự nhiên n, biết:

a) 9 3 ⁿ 81; b) 25 5 ⁿ125. Đáp án

Câu 1.

a) Ta có: 5² 25 và 2⁵ 32, suy ra 5² 2⁵. b) Ta có: ^{930 }

 

^{32 30 32.30 360;}

 

²⁰

20 3 3.20 60

27  3 3 3 . Vậy 9³⁰ 27²⁰.

c) Ta có: ^{2210 23.70 }

 

^{23 70 870;}

 

⁷⁰

140 2.70 2 70

5 5  5 25 . Vậy 2²¹⁰ 5¹⁴⁰.

d) Ta có: 2¹⁶ 2^{3 13} 2 .2^{3 13} 8.2¹³ 7.2¹³.

Trang 18 Vậy 7.2¹³ 2¹⁶.

e) Ta có: ^{2115 }

 

^{3.7 15 3 .715 15;}

   

^{5 8}

5 8 3 2 3.5 2.8 15 16

27 .49  3 . 7 3 .7 3 .7 . Vậy 21¹⁵ 27 .49^{5 8}.

f) Ta có: ^{291 290 25.18 }

 

^{25 18 3218;}

 

¹⁸

35 36 2.18 2 18

5 5 5  5 25 . Vậy 2⁹¹5³⁵.

Câu 2.

a) Ta có: ^{2545 }

 

^{52 45 52.45 590;}

 

³⁰

30 3 3.30 90

125  5 5 5 . Vậy 25⁴⁵ 125³⁰.

b) Ta có: ^{2300 23.100 }

 

^{23 100 8100;}

 

¹⁰⁰

200 2.100 2 100

3 3  3 9 .

Vậy 2³⁰⁰ 3²⁰⁰.

c) Ta có: ^{85 }

 

^{23 5 23.5 215;}

 

⁷

7 2 2.7 14 15

3.4 3. 2 3.2 3.2 2 . Vậy 8⁵ 3.4⁷.

d) Ta có: ^{202303 2023.101}



²⁰²³



^101;

 

¹⁰¹

202 2.101 2

303 303  303 . Ta so sánh: 202 và ³ 303 . ²

Lại có: ^{2023 }



^2.101



^{3 2 .1013 3 8.101.1012 808.1012;}

 

²

2 2 2 2 2

303  3.101 3 .101 9.101 808.101 . Suy ra 202³ 303². Vậy 202³⁰³ 303²⁰². e) Tương tự câu d) ta có: 333⁴⁴⁴ 444³³³ Bài tập nâng cao

Câu 3.

Ta có: ^{10750 10850 }



^4.27



^{50 }



^{2 .32 3}



^{50 2 .3100 150}

Trang 19

 

⁷⁵

 

⁷⁵

75 75 3 2 225 150 100 150

73 72  8.9  2 .3 2 .3 2 .3 Vậy 107⁵⁰ 73⁷⁵.

Câu 4.

a) 9 3 ⁿ 813² 3ⁿ 3⁴. Vì n là số tự nhiên nên n3.

b) 25 5 ⁿ 1255² 5ⁿ 5³. Vì n là số tự nhiên nên n2 hoặc n3.

Dạng 5: Tìm chữ số tận cùng của số có dạng lũy thừa Phương pháp giải

Chữ số tận cùng của aⁿ chính là chữ số tận cùng của xⁿ (với x là chữ số tận cùng của a).

Các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là 0;

1; 5; 6.

Các số có tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa lẻ thì chữ số tận cùng không thay đổi, khi nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lần lượt là 6;

1.

Ví dụ.

- Chữ số tận cùng của 2019 bằng chữ số tận cùng ⁵ của 9 . ⁵

- 100³... ;0 5¹⁰ ...5

50 80

11 ... ;1 6 ...6.

- 4²⁰ ...6 (số mũ chẵn); 4²¹...4 (số mũ lẻ).

92...1 (số mũ chẵn); 9³...9 (số mũ lẻ).

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của:

a) 10¹⁰⁰⁰; b) 2011²⁰¹¹; c) 5 ; ¹⁰⁰ d) 6²⁰²⁰; e) 4 ; f) ⁵⁰ 9 . ¹²⁰ Hướng dẫn giải

a) 10¹⁰⁰⁰...0. b) 2011²⁰¹¹...1. c) 5¹⁰⁰...5. d) 6²⁰²⁰...6. e) 4⁵⁰ ...6 (vì số mũ chẵn).

f) 9¹²⁰ ...1 (vì số mũ chẵn).

Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a) 2000²⁰¹⁸; b) 1111²⁰¹⁹; c) 12345⁴³²¹; d) 2016¹⁰⁰⁰.

Hướng dẫn giải

a) 2000²⁰¹⁸ có chữ số tận cùng là 0.

b) 1111²⁰¹⁹ có chữ số tận cùng là 1.

Ta thấy các số trên có tận cùng lần lượt là 0; 1; 5; 6 nên khi nâng lên lũy thừa bất kì cũng

Trang 20 c) 12345⁴³²¹ có chữ số tận cùng là 5.

d) 2016¹⁰⁰⁰ có chữ số tận cùng là 6.

có chữ số tận cùng là 0; 1; 5;

6.

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a) 5²¹⁰4⁵⁵; b) 10²⁰¹⁰1; c) 2016³⁰9⁵⁶; d) 2021 14⁷⁰. ²⁶.

Hướng dẫn giải a) Ta có: 5²¹⁰...5

4⁵⁵...4 (vì số mũ lẻ).

Suy ra ^{5210455 }

   

^{...5  ...4 ...1.}

Vậy chữ số tận cùng của 5²¹⁰4⁵⁵ là 1.

b) Ta có: 10²⁰¹⁰ ...0.

Suy ra: ^{102010 1}

 

^{...0  1 ...1,}

Vậy chữ số tận cùng của 10²⁰¹⁰1 là 1.

c) Ta có: 2016³⁰...6;

9⁵⁶...1 (do số mũ chẵn).

Suy ra: ^{201630956}

   

^{...6  ...1 ...7.}

Vậy chữ số tận cùng của 2016³⁰9⁵⁶ là 7.

d) Ta có: 2021⁷⁰...1

14²⁶...6 (do số mũ chẵn).

Suy ra: ^{2021 1470. 26 }

   

^{...1  ...6 ...6.}

Vậy chữ số tận cùng của 2021 14⁷⁰. ²⁶ là 6.

Ví dụ 4. Tìm chữ số hàng đơn vị của: 2016²⁰¹⁹2015²⁰²⁰2014²⁰²¹. Hướng dẫn giải

Ta có: 2016²⁰¹⁹ ...6; 20152020...5;

20142021...4 (vì số mũ lẻ).

Suy ra ^{201620192015202020142021}

     

^{...6  ...5  ...4 ...7.}

Vậy số đã cho có chữ số hàng đơn vị là 7.

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

Câu 1. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:

Trang 21 a) 16²⁰¹⁹; b) 4²⁰¹⁰; c) 9 ; d) ⁹⁹⁹ 5 . ¹⁰¹

Bài tập nâng cao

Câu 2. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa:

a) 135 ; b) ²³⁴ 211 126⁹. ¹⁵; c) 1000¹⁰⁰109¹⁰⁰; d) 95¹⁸51³⁶. Câu 3. Tìm chữ số hàng đơn vị của:

a) P1005 11¹⁰. ¹⁰¹24⁵¹; b) Q216⁸⁷9¹²⁰100³⁰. Đáp án

Bài tập cơ bản Câu 1.

a) Ta có: 16²⁰¹⁹ ...6.

b) Ta có: 4²⁰¹⁰ ...6 (vì số mũ chẵn).

c) Ta có: 9⁹⁹⁹ ...9 (vì số mũ lẻ).

d) Ta có: 5¹⁰¹...5. Bài tập nâng cao Câu 2.

a) Vì 135 có chữ số tận cùng là 5 nên 135 cũng có chữ số tận cùng là 5. ²³⁴ b) Ta thấy 211 có chữ số tận cùng là 1 và ⁹ 126 có chữ số tận cùng là 6. ¹⁵ Suy ra ^{211 1269. 15 }

   

^{... . ...1 6 ...6.}

c) Vì 1000¹⁰⁰ ...0 nên chữ số tận cùng của 1000¹⁰⁰109¹⁰⁰ chính là chữ số tận cùng của 9 . ¹⁰⁰ Ta có: 9¹⁰⁰ ...1 (vì số mũ chẵn).

Vậy chữ só tận cùng của 1000¹⁰⁰109¹⁰⁰ là 1.

d) Ta có: ^{95185136 }

   

^{...5  ...1 ...4.}

Câu 3.

a) Ta có: 1005¹⁰ ...5; 11101 ...1;

2451 ...4.

Suy ra: ^P

     

^{... . ...5 1  ...4 ...1.}

Vậy P có chữ số hàng đơn vị là 1.

b) Ta có: 216⁸⁷ ...6; 9120 ...1;

Trang 22 10030 ...0.

Suy ra: ^Q

     

^{...6  ...1  ...0 ...7.}

Vậy Q có chữ số hàng đơn vị là 7.

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 1