Công thức lũy thừa đầy đủ, chi tiết nhất

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức lũy thừa đầy đủ, chi tiết nhất

1. Lí thuyết

a. Lũy thừa với số mũ nguyên - Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho a , n ^*. Khi đó: ⁿ

n sô a

a =a.a...a

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho a0. Khi đó: a ^{n 1}_n; a⁰ 1

a

− = =

VD: 2 ^{3 1}₃ ¹

2 8

− = =

- Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

+ 0⁰ và 0⁻ⁿ không có nghĩa.

b. Căn bậc n

- Cho số thực b và số nguyên dương n2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ =b VD: 4 là căn bậc ba của 64 vì 4³ =64

- Khi n lẻ, b : Tồn tại duy nhất ⁿ b

b0: Không tồn tại căn bậc n của b b=0: Có một căn ⁿ 0=0

b0: Có hai căn

n n

b 0 b 0

 



− 



c. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

- Cho số thực a0 và số hữu tỉ m

r= n , trong đó m , n2 Khi đó:

m

r n n m

a =a = a . VD:

1 3 3

2 = 2 - Khi n chẵn

d. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

- Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ,

( )

nlim rn α

→+ = . Khi đó: ^{α rn} a nlim a

= →+ . 2. Các tính chất của lũy thừa

Cho 2 số dương a, b; m,n . Khi đó:

+) a .a^{m n} =a^{m n+} +)

m

m n n

a a

a

= −

+)

( )

+)

m m

m

a a

b b

  =

  

+)

( )

- Nếu a 1 thì a^m aⁿ mn - Nếu 0 a 1 thì a^m aⁿ  m n 3. Ví dụ

VD1. Cho a, b là các số dương. Hãy viết rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa:

a.

1

a . a 3 b.

1 1

3 6

b .b . b 2 c.

1 3 b : b 6

Lời giải:

a.

1 1 1 1 1 5

3 3 2 3 2 6

a . a =a .a =a ⁺ =a b.

1 1 1 1 1 1

1 1

3 6 3 6 2 3 6

2 2

b .b . b =b .b .b =b ^{+ +} =b c.

1 1 1 1 1 1

3 b : b6 =b : b3 6 =b3 6⁻ =b6 VD2. Tìm x biết:

a. x⁸ −15x⁴ −16=0 b. x⁶ +6x³−16=0

.

Lời giải:

a. Đặt ^{t=x , t4}

(

)

t2 −15t 16− =0 ^{t 1 loai}

( )

t 16 t 16

 = −

 =  =

Với

4 4

4

x 16 2

t 16 x 16

x 16 2

 = =

=  =  

= − = −



Vậy x= −2; x=2

b. Đặt t= x³. Phương trình trở thành:

2 t 2

t 6t 16 0

t 8

 = + − =   = − Với t= 2 x³ =  =2 x ³ 2

Với t = −8x³ = −  = −  = −8 x ³ 8 x 2 Vậy x= ³ 2; x= −2

VD3. Cho a và b là các số dương. Rút gọn các biểu thức

a.

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

A

a a a

−

−

 

 + 

 

=  

 + 

 

b. ^B=

(

)

 

Lời giải:

a.

( )

4 1 2

3 3 3 4 1 4 2

3 3 3 3 2

1 3 1 1

1 3 1

4 4 4 4

4 4 4

a a a

a a 1

a .a a .a a a

A a

a 1 a 1

a .a a .a

a a a

−

−

− −

 

 +  + + +

 

= = = = =

+ +

 +  +

 

 

b. ^B=

(

)

^{( )}

     

( )

2 2 3 3

1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3

a b a a.b b a b a b

 

         

 

= +    − +  =  +  = +

 

          

4. Luyện tập Bài 1. Tính

a. 2^{2 3 5−} .8 ⁵ b. 3^{1 2 2+ 3} : 9³² c.

(

)

Bài 2. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức a. A= ³ a. a⁶ với a=0,09

b.

2 3 6

b. b

b với b 1,3= c.

5 3 4 12

1 3

a. a. a C

a⁻

= với a=2,7

Bài 3. Cho x và y là 2 số dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a.

1 1

3 3

6 6

x y y x

x y

+

+ b.

1 1

3 3 3 x 3 y

x y : 2

y x

 

 

+  + + 

 

   

Bài 4. So sánh các số sau với 1

a. 3⁻² b.

1 5

2

  

  c.

π 5 2

3

  −

  

Bài 5. So sánh các cặp số sau:

a. 17 và ³ 28 b. ⁴13 và ⁵ 23 c.

2 3

3

  

  và 2 2

3

  

  d. 3 và ⁵ 3 ^{3 1+} Bài 6. Giải phương trình

a. x¹⁰ −x⁵ − =2 0 b. x⁹ −7x³ + =6 0