Công thức nguyên hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

7. Công thức nguyên hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết nhất 1. Lý thuyết

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm _I ^P(x) _dx,

=



Phương pháp giải:

Nếu bậc của tử số P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số Q(x) thì chia đa thức.

Nếu bậc của tử số P(x) nhỏ hơn bậc của mẫu số Q(x) thì xem xét mẫu số và khi đó:

- Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về

dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

mx n A B

(x a) (x b) x a x b

+ = +

−  − − −

2 2

1 A Bx C

(x m)(ax bx c) x m ax bx c,

= + +

− + + − + + với  = b² −4ac0.

2 2 2 2

1 A B C D

(x a) .(x b) = x a +(x a) + x b +(x b)

− − − − − −

Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) x 1

I dx

x 1

= +



b) ₂2x 1

I dx

4x 4x 1

= −

+ +



c) I ₂ ¹ dx

x 3x 2

=



Lời giải

a) I ^{x 1}dx 1 ² dx x 2 ln x 1 C

x 1 x 1

+  

=





b) ₂2x 1

I dx

4x 4x 1

= −

+ +



₍

_{) (}

₎

 



( )

1 2

2x 1 2x 1 dx

 

=  − 

+ +

 

 



1 1

ln 2x 1 C

2 2x 1

= + + +

+ .

c) 2

1 1 1

I dx dx

x 3x 2 x 2 x 1

 

=





ln x 2 ln x 1 C

= − − − + _ln ^{x 2} _C

x 1

= − +

−

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) I ₂^{4x 3} dx x 3x 2

= −

− +



b)

( )

I 2x dx

1 x

=



Lời giải

a) Ta có: ₂^{4x 3 A B}

x 3x 2 x 2 x 1

− = +

− + − −

( ) ( )

2 2

A x 1 B x 2 4x 3

x 3x 2 x 3x 2

− + −

 − =

− + − +

( ) ( )

2 2

A B x A 2B

4x 3

x 3x 2 x 3x 2

+ + − −

 − =

− + − +

Suy ra A B 4 A 5

A 2B 3 B 1

+ = =

 

− − = −  = −

 

2

4x 3

I dx

x 3x 2

= −

− +



_

5ln x 2 ln x 1 C

= − − − +

b)

( )

I 2x dx

1 x

=





₍

⁽

₎

⁾

( ) (

)

2 2

dx

1 x 1 x

 

=



₍

₎

= + +

− −