Công thức nguyên hàm hàm hợp đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

(1)

5. Công thức nguyên hàm hàm hợp đầy đủ, chi tiết nhất

1. Lý thuyết

Nguyên hàm của hàm hợp f(ax + b)

Công thức tổng quát: f (ax b)dx ¹F(ax b) C

+ = a + +



Một số công thức thường gặp 1 (ax b) 1

(ax b) dx . C ( 1)

a 1

 + +

+ = +   −



 +



_ax¹₊_b^dx ⁼ ¹_a^{ln | ax}⁺^{b | C}⁺

x 1 x

e^{ +}dx = e^{ +} C

 +

 

^a^{ +}^x ^dx⁼ _¹^.^a_{ln a}^{ +}^x ⁺^C

( )

cos(ax b)dx 1sin ax b C

+ =a + +

 

^sⁱⁿ^(ax⁺^b)dx^{= −}¹_a^{cos ax}

⁽

⁺^b

⁾

⁺^C

( )

¹

( )

tan ax b dx ln | cos ax b | C

+ = −a + +



c

⁽

^ax ^{b dx}

⁾

¹ln | sin ax

⁽

b | C

⁾

ot + =a + +



2

1 1

dx cot(ax b) C sin (ax b) = −a + +



+



_c_{o (}_s² _ax¹ ₊_b₎^dx⁼ ¹_a^tan(ax⁺^b)⁺^C

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=



(x−3) dx4

b) I 1 dx

= 1 2x



−

c) I=



3 x−2 dx

Lời giải a) Ta có:

5

4 (x 3)

I (x 3) dx C

5

=



− = − +

b) Ta có:

(2)

1 1

I dx ln |1 2x | C

1 2x 2

= = − − +



− c)

4

1 3

3 3 (x 2) 3 3

I x 2 dx (x 2) dx C (x 2) x 2 C

4 4

3

=



− =



− = − + = − − +

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) ^I ^{cos 3x} ₆ ^dx

 

=



 +  b)

2

I 1 dx

sin x 3

=  + 



c) I=



e^{4x 2}⁻ dx

Lời giải a) Ta có:

I cos 3x dx 1sin 3x C

6 3 6

 

   

=  +  =  + +

   



b) Ta có:

2

I 1 dx cot x C

sin x 3 3

 

=  +  = −  + +



c) ^{4x 2} ²^x ¹ 1 ^2x ¹

I e dx e dx e C

2

−

− −

=



=



= +